御制数理精蕴下编卷三十八

御制数理精蕴下编卷三十八

末部八对数比例对数比例对数比例乃西士若往讷白尔所作，以借数与眞数对列成表，故名对数表。又有恩利格巴理知斯者，复加增修行之，数十年始至中国。其法以加代乘，以减代除，以加倍代自乘，故折半即开平方；以三因代再乘，故三归即开立方。推之至于诸乘方，莫不皆以假数相求而得眞数。葢为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也。其立数之原，起于连比例。葢比例四率，二率与三率相乘，一率除之得四率，而递加递减之四数，第二数、第三数相加减第一数，则得第四数。作者有见于此，故设假数以加减代乘除之用，此表之所以立也。然连比例之大者，莫如十、百、千、万。葢一与十，十与百，百与千，千与万，万与十万，其数皆为一而递进一位，取其整齐而无竒零也。一为数之始，以之乘除数皆不变，故一之假数定为○，而十之假数定为一，百之假数定为二，千之假数定为三，万之假数定为四，十万之假数定为五。推之百、千、万、亿，皆递加一数，此对数之大纲也。其间之零数，则用中比例累求而得。以首率、末率两眞数相乘开方，即得中率之眞数；以首率、末率两假数相加折半，即得中率之假数。又法用递乘而得，以眞数递次相乘，其乘得之位数即所得之假数。此二法者，理虽易明，而数则甚繁也。又有递次开方一法，以眞数递次开方，假数递次折半，至于数十次，使彼此皆可为比例，而假数由之而生。又有相较之一法，省开方之多次，尤为甚防。至于他数之可以乘除得者，如二与三相乘而得六，则以二之假数与三之假数相加，即为六之假数；又以二除十而得五，则以二之假数与十之假数相减，即为五之假数之类。其不由乘除而得者，则又以累乘累除之法求之。此对数之细目也。今为推其理，考其数，先详作表之原，次明用表之法，使学者知作者。之难而用之甚易，甚勿以易而忘其难也。

明对数之原之一凡眞数连比例四率任对设递加递减之较相等之四假数，其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加，内减第一率相对之假数，即得第四率相对之假数；若减第四率相对之假数，即得第一率相对之假数。如二、四、八、十六连比例四率，任对设二之假数为一，四之假数为二，八之假数为三，十六之假数为四，其递加递减之数皆为一。以二率四相对之假数二与三率八相对之假数三相加，得五，内减一率二相对之假数一，即得四率十六相对之假数四。若减四率十六相对之假数四，即得一率二相对之假数一。或以二之假数为三，四之假数为五，八之假数为七，十六之假数为九，其递加递减之数皆为二。以二率四相对之假数五与三率八相对之假数七相加，内减一率二相对之假数三，即得四率十六相对之假数九。若减四率十六相对之假数九，即得一率二相对之假数三。

明对数之原之二凡眞数连比例三率任对设递加递减之较相等之三假数，其中率相对之假数倍之内减首率相对之假数，即得末率相对之假数；若减末率相对之假数，即得首率相对之假数。如一、三、九连比例，三率任对。设一之假数为四，三之假数为五，九之假数为六，其递加递减之数皆为一。以中率三相对之假数五倍之，得十，内减首率一相对之假数四，即得末率九相对之假数六。若减末率九相对之假数六，即得首率一相对之假数四。或以一之假数为八，三之假数为五，九之假数为二，其递加递减之数皆为三。以中率三相对之假数五倍之内减首率一相对之假数八，即得末率九相对之假数二。若减末率九相对之假数二，即得首率一相对之假数八。

明对数之原之三凡眞数连比例几率，任对设递加递减之较相等之假数，其中隔位取比例四率，其第二率相对之假数与第三率相对之假数相加，内减第一率相对之假数，亦得第四率相对之假数；若减第四率相对之假数，亦得第一率相对之假数。如二、四、八、十六、三十二、六十四、一百二十八、二百五十六，连比例几率。任对设二之假数为一，四之假数为二，八之假数为三，十六之假数为四，三十二之假数为五，六十四之假数为六，一百二十八之假数为七，二百五十六之假数为八。其递加递减之数皆为一。任取四、八、六十四、一百二十八之四率，以二率八相对之假数三与三率六十四相对之假数六相加得九，内减一率四相对之假数二，即得四率一百二十八相对之假数七。若减四率一百二十八相对之假数七，即得一率四相对之假数二。

明对数之纲之一凡假数皆可随意而定，然一之假数必定为○，方与眞数相应而眞数连比例率，十、百、千、万皆为一，但递进一位，则其假数亦皆递加一数。葢乘除之数始于一，故一不用乘，亦不用除，而加减之数始于○，故○无可加，亦无可减也。假数旣以加减代乘除，故一之假数必定为○，而一与十，十与百，百与千，千与万，万与十万，皆为加十倍之相连比例率，然其数皆为一，但递进一位，故一之假数定为○者，十之假数即定为一，百之假数即定为二，千之假数即定为三，万之假数即定为四，十万之假数即定为五，百万之假数即定为六，千万之假数即定为七，亿之假数即定为八，亦皆递加一数，而假数即与位数相同。试以一百与一千相乘，得十万，为进二位，以一百相对之假数二与一千相对之假数三相加，即得十万相对之假数五，亦为加二数也。以一十除一千，得一百，为退一位，以一十相对之假数一与一千相对之假数三相减，即得一百相对之假数二，亦为减一数也。如或以十之假数定为二百之假数定为四千之假数定为六是为递加二数，未甞不可；然眞数进一位者，假数则加二数，即不得与位数相同矣。

明对数之纲之二凡眞数不同而位数同者，其假数虽不同，而首位必同。眞数相同而递进几位者，其假数首位必递加几数，而次位以后却相同。如自一至九眞数皆为单位，则假数首位皆为○。故二之假数为○三○一○二九九九五七，三之假数为○四七七一二一二五四七，四之假数为○六○二○五九九九一三，五之假数为○六九八九七○○○四三，六之假数为○七七八一五一二五○四。首位以后零数递增至十，则首位皆为一；至百，则首位皆为二；至千，则首位皆为三；至万，则首位皆为四；至十万，则首位皆为五。如一十一，一百，一十一千一，百一万一千，一十一万，虽递进一位，而其数皆为一一，故其假数首位虽递加一数，而次位以后皆同为○四一三九二六八五二。

明对数之目，用中比例求假数法之一。凡连比例率，以首率末率两眞数相乘，开方即得中率之眞数；以首率末率两假数相加，折半即得中率之假数。如一十为首率，一百为中率，一千为末率。以首率一十与末率一千相乘，开平方得一百为中率。以首率一十之假数一○○○○○○○○○○与末率一千之假数三○○○○○○○○○○相加，折半得二○○○○○○○○○○，即中率一百之假数。葢首率末率相乘，与中率自乘之数等；以首率末率两假数相加，即与中率之假数加倍之数等，故折半为中率之假数也。明对数之目，用中比例求假数法之二。凡十百千万之假数既定，而欲求其间零数之假数，则以前后相近之两数，一为首率，一为末率，求得中率之眞数，并求得中率之假数，累次比例，使中率恰得所求之眞数，其假数即为所求之假数。如求九之假数，因九在一与十之间，则以一为首率，十为末率，相乘开方，得三一六二二七七七为第一次之中率。即以首率一之假数○○○○○○○○○○○与末率十之假数一○○○○○○○○○○相加折半，得○五○○○○○○○○○为第一次中率之假数。此所得之中率较之首率去九为近，故以所得之中率复为首率，十为末率，相乘开方，得五六二三四一三二为第二次之中率。即以第二次之首率末率两假数相加折半，得○七五○○○○○○○○为第二次中率之假数。又以第二次所得之中率复为首率，十为末率，相乘开方，得七四九八九四二一为第三次之中率。即以第三次之首率末率两假数相加折半，得○八七五○○○○○○○为第三次中率之假数。又以第三次所得之中率复为首率，十为末率，相乘开方，得八六五九六四三二为第四次之中率。即以第四次之首率末率两假数相加折半，得○九三七五○○○○○○为第四次中率之假数。又以第四次所得之中率复为首率，十为末率，相乘开方，得九三○五七二○四为第五次之中率。即以第五次之首率末率两假数相加折半，得○九六八七五○○○○○为第五次中率之假数。此所得之中率较之末率去九为近，故以第五次所得之中率复为末率，仍以第五次之首率为首率，相乘开方，得八九七六八七一三为第六次之中率。即以第六次首率末率两假数相加折半，得○九五三一二五○○○○为第六次中率之假数。由此递推去。九渐近而即以相近之两率比例相求得第七次之中率为九一三九八一七○，其假数为○九六○九三七五○○○。第八次之中率为九○一七九七七七，其假数为○九五七○三一二五○○。第九次之中率为九○一七三三三三，其假数为○九五五○七八一二五○。第十次之中率为八九九七○七九六，其假数为○九五四一○一五六二五。第十一次之中率为九○○七二○○八，其假数为○九五四五八九八四三七。第十二次之中率为九○○二一三八八，其假数为○九五四三四五七○三一。第十三次之中率为八九九九六○八八，其假数为○九五四二二三六三二八。第十四次之中率为九○○○八七三七，其假数为○九五四二八四六六七九。第十五次之中率为九○○○二四一二，其假数为○九五四二五四一五○三。第十六次之中率为八九九九九二五○，其假数为○九五四二三八八九一五。第十六次之中率为九○○○○八二一，其假数为○九五四二四六五二○九。第十八次之中率为九○○○○○四一，其假数为○九五四二四二七○六二。第十九次之中率为八九九九九六五○，其假数为○九五四二四○七九八九。第二十次之中率为八九九九九八四五，其假数为○九五四二四一七五二六。第二十一次之中率为八九九九九九四三，其假数为○九五四二四二二二九四。第二十二次之中率为八九九九九九九二，其假数为○九五四二四二四六七八。第二十三次之中率为九○○○○○一六，其假数为○九五四二四二五八七○。第二十四次之中率为九○○○○○○四，其假数为○九五四二四二五二七四。第二十五次之中率为八九九九九九九八，其假数为○九五四二四二四九七六至第二十六次之中率则恰得九○○○○○○○，其假数为○九五四二四二五一二五，即所求之假数也。然所得中率虽爲九，而七空位之后尚有竒零，故所得之假数犹为稍大。故开方之位数愈多，则所得之假数愈密也。

明对数之目，用递次自乘求假数法之一。凡连比例率之自小而大者，以第一率之眞数递次自乘，即得加倍各率之眞数；以第一率之假数递次加倍，即得加倍各率之假数。而以各率之假数按率除之，即得第一率之假数。如以二为连比例，第一率其假数为○三○一○二九九九五七，以第一率之眞数二自乘得四为第二率之眞数，以第一率之假数○三○一○二九九九五七加倍得○六○二○五九九九一三为第二率之假数，而以第二率之假数用二除之，即得第一率之假数。又以第二率之眞数四自乘得十六为第四率之眞数，以第二率之假数○六○二○五九九九一三加倍得一二○四一一九九八二六为第四率之假数，而以第四率之假数用四除之，即得第一率之假数也。明对数之目，用递次自乘求假数法之二。凡连比例率，自小而大者，其假数之首位旣因眞数之位数而递加，故求假数者，以所求之眞数为连比例第一率，递次自乘，即得加倍各率之眞数，以第一率假数之首位递次加倍，即得加倍各率之假数，而眞数自乘又进一位者，则假数加倍后又加一数，而以各率之假数按次除之，即得所求第一率之假数。如求二之假数，则以二为连比例第一率，是为单位，故傍纪○，即第二率之假数首位为○也。又以第一率之眞数二自乘得四，为第二率之眞数，仍为单位，故傍亦纪○，卽第二率之假数首位亦为○也。又以第二率之眞数四自乘得十六，为第四率之眞数，是为进前一位，故傍纪一，即第四率之假数首位为一也。又以第四率之眞数十六自乘得二百五十六，为第八率之眞数，以第四率之假数一倍之得二，是为进前二位，故傍纪二，即第八率之假数首位为二也。又以第八率之眞数二百五十六自乘得六万五千五百三十六，为第十六率之眞数，以第八率之假数二倍之得四，是为进前四位，故傍纪四，即第十六率之假数首位为四也。又以第十六率之眞数六万五千五百三十六自乘得四十二亿九千四百九十六万七千二百九十六，为第三十二率之眞数，以第十六率之假数四倍之得八，又因第十六率眞数自乘所得首位乃逢十又进一位之数，故将假数加倍所得之八又加一得九，是为进前九位，故傍纪九，即第三十二率之假数首位为九也。由此递乘至第一万六千三百八十四率之眞数，则自单位以前共得四千九百三十二位，故傍纪四九三二为第一万六千三百八十四率之假数，以一万六千三百八十四除之得○三○一○，即为第一率二之假数。葢以一万除四千为实不足法一倍，则其首位必为○也。然其位数尚少，故仅得五位。若再递乘至第一千三百七十四亿四千六百九十五万三千四百七十二率之眞数，则自单位以前共得四百一十三亿七千五百六十五万五千三百零七位，即其假数为四一三七五六五五三○七，以率数除之得○三○一○二九九九五六六，即为第一率二之假数也。此法葢因眞数进一位，则假数首位加一数。今递乘所得之眞数既得若干位，则其假数首位必加若干数。乃以首位为单位，递进向前者也。而连比例各率之假数，以率数除之，即得第一率之假数。故以率数除之所得第一率之假数为首位，以后之零数也。

明对数之目，用递次开方求假数法之一。凡连比例率之自大而小者，以第一率之眞数递次开方，即得加倍各率之眞数；以第一率之假数递次折半，即得加倍各率之假数。而以各率之假数按率乘之，即得第一率之假数。如以二百五十六为连比例第一率，其假数为二四○八二三九九六五三，以第一率之眞数二百五十六开方得十六为第二率之眞数，以第一率之假数二四○八二三九九六五三折半得一二○四一一九九八二六为第二率之假数，而以第二率之假数用二乘之，即得第一率之假数。又以第二率之眞数十六开方得四为第四率之眞数，以第二率之假数一二○四一一九九八二六折半得○六○二○五九九九一三为第四率之假数，而以第四率之假数用四乘之，即得第一率之假数。明对数之目，用递次开方求假数法之二。凡递次开方率，皆用二倍。葢眞数开方，假数折半，而折半即二归。故递次折半之假数，以递次加倍之率数乘之，即得第一率之假数。如原数为第一率，加倍得二，为第一次开方之率数【葢折半即二归，以二归者复用二乘，必仍得原数也】又加倍得四，为第二次开方之率数【葢折半二次即四归，以四归者复用四乘，必亦得原数也】递次加倍，则第三次之率为八，第四次之率为十六，第五次之率为三十二，第六次之率为六十四，第七次之率为一百二十八，第八次之率为二百五十六，第九次之率为五百一十二，第十次之率为一千零二十四，第二十次之率为一百零四万八千五百七十六，第三十次之率为十亿七千三百七十四万一千八百二十四，第四十次之率为一兆零九百九十五亿一千一百六十二万七千七百七十六，第五十次之率为一千一百二十五兆八千九百九十九亿零六百八十四万二千六百二十四。凡有眞数求假数，皆以所求之数为第一率，眞数开方几次，则假数必折半几次。今虽无第一率之假数，而苟得其折半第几次之假数，则加倍几次必得第一率之假数。故以加倍第几次之率数与折半第几次之假数相乘，即得第一率之假数也。明对数之目，用递次开方求假数法之三。凡眞数不可与假数为比例者，因眞数开方，假数折半，其相比之分数不同。若开方至于数十次，则开方之数即与折半之数相同，故假数即可用眞数比例而得。是以凡求假数者，皆以其眞数开方至几十次，与此所得之假数相比，即得其开方第几十次之假数，按前率数乘之，即得所求之假数。如眞数为一十，假数为一○，以眞数一十开方得三一六二二七七六六○一六八三七九三三一九九八八九三五四，第二次开方得一七七八二七九四一○○三八九二二八○一一九七三○四一三，第三次开方得一三三三五二一四三二一六三三二四○二五六六五三八九三○八，第四次开方得一一五四七八一九八四六八九四五八一七九六六一九一八二一三，第五次开方得一○七四六○七八二八三二一三一七四九七二一三八一七六五三八，第六次开方得一○三六六三二九二八四三七六九七九九七二九○六二七三一三一，第七次开方得一○一八一五一七二一七一八一八一八四一四七三七二三八一四四，如此递次开方至第五十四次，则得一○○○○○○○○○○○○○○○一二七八一九一四九三二○○三二三五，而与第五十三次开方所得折半之数同，是故眞数即可与假数为比例矣。乃以一十之假数一○折半得○五，第二次折半得○二五，第三次折半得○一二五，第四次折半得○○六二五，第五次折半得○○三一二五，第六次折半得○○一五六二五，第七次折半得○○○七八一二五，如此递次折半，亦至第五十四次，则得十七空位五五五一一一五一二三一二五七八二七○，即为第五十四次开方之假数。于是以眞数之零数一二七八一九一四九三二○○三二三五为一率，假数之零数，五五五一一一五一二三一二五七八二七○为二率，眞数之零数，一为三率【一率为十七位，则三率亦加十六空位以足其分】得四率四三四二九四四八一九○三二五一八○四，即为一○○○○○○○○○○○○○○○一之假数。前亦仍得十七空位，盖真数为一则假数为○，今真数之零数即比一多之较，假数之零数即比○多之较，故以真数之较与假数之较为比例也。凡求假数者，皆以真数开方至几十次，首位得一，又得十五空位，则以其后之零数与此所得之假数为比例，即得其开方第几十次之假数。按前率数乘之，即得第一率之假数也。

明对数之目，用递次开方求假数法之四。凡真数首位为一者，则开方首位必得一。若首位非一者，则以真数递乘几次，使首位得一，即以递乘所得之真数递次开方，至得十五空位，乃以其后之零数与前法所得一○○○○○○○○○○○○○○○一之假数相比例，即得开方第几次之假数。按前率数乘之，即得递乘所得真数之假数。再看递乘所得真数为连比例第几率，则以第几率之数除之，即得所求之假数。

如求二之假数，则以二为连比例第一率，递次乘之，第二率得四，第三率得八，第四率得十六，第五率得三十二，第六率得六十四，第七率得一百二十八，第八率得二百五十六，第九率得五百一十二，第十率得一千零二十四。是首位既得一，又得一空位，乃以此数命为第一率，其首位之一千命为单位，开方得一○一一九二八八五一二五三八八一三八六二三九七，第二次开方得一○○五九四六七四三七四六三四八三二六六五四二四，第三次开方得一○○二九六八九六四四九八○七八七三七三六二六八，第四次开方得一○○一四八三三八二○三七九○四一八○三○一八三八，第五次开方得一○○○七四一四一六一六九九八三五三三六二四九○六，第六次开方得一○○○三七○六三六三九八二一○○一四○七一七六一五，第七次开方得一○○○一八五三○二五三○五九一○八五三○五八二七七。如此递次开方至第十七次，则得一○○○○○○一八○九四二七五四八四四五三四三六三九五○一五四四，第二十七次则得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二，第三十七次则得一○○○○○○○○○○○○一七二五六○四四二四二三二五九四三四七七，第四十七次则得一○○○○○○○○○○○○○○○一六八五一六○五七○五三九四九七七。是已得十五空位矣，乃以前法所得眞数之零数一为一率【三率有十七位，则一率亦加十六空位以足其分】其假数十七空位后之零数四三四二九四四八一九○三二五一八○四为二率，今所得眞数之零数一六八五一六○五七○五三九四九七七为三率，得四率七三一八五五九三六九○六二三九二六八即为开方第四十七次之假数，前亦仍为十七空位，以加倍四十七次之率数一四○七三七四八八三五五三二八乘之，得○○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五，即为第一率一○二四之假数【葢开方第四十七次之假数为十八位，前十七空位，共三十五位，今相乘得三十三位，故前止有二空位，亦共三十五位也，此截用二十一位】然一○二四首位之一开方虽命为单位，而其实则为千位，千之假数首位应为三，故首位加三，得三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五，是为一千零二十四之假数。又因一千零二十四为二之连比例第十率，故以十归之，得○三○一○二九九九五六六三九八一一九五二六五，即为所求之连比例第一率二之假数也。明对数之目，用递次开方求假数法之五。

凡求假数眞数开方之次数愈多则所得之假数愈密然用假数不过至十二位观前递次开方表内至九空位以后其开方之数与折半之数已同七位其零数所差甚微故眞数开方至二十七次即可以立率如求二之假数，按前法递次乘之，至第十率得一○二四，开方至二十七次得一○○○○○○○○○一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二，是已得九空位矣。于是察前眞数一○递次开方表内第三十四次数得一○○○○○○○○○一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七，亦为九空位。即以其眞数之零数一三四○二八○九二三二六三八三九九二七七七为一率，其假数十一空位后之零数五八二○七六六○九一三四六七四○七二二六五六二五为二率，眞数之零数一为三率【一率为二十一位，则三率亦加二十空位以足其分】得四率四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五，即为一○○○○○○○○○一之假数，前亦仍为十一空位。乃即用此数为比例，以眞数之零数一为一率【三率为二十二位，则一率亦加二十一空位以足其分】其假数十一空位后之零数四三四二九四四八一八七四一四七九九七二○六九五五为二率，今以一○二四开方二十七次所得之零数一七六七○一八九三○五七○一四一九四八二六二为三率，得四率七六七四○六五七○九一三七七○八九○七○一四三九，即为一○二四开方第二十七次之假数，前亦仍为十一空位。以加倍二十七次之率数一三四二一七七二八乘之，得○○一○二九九九五六六四○○，即为第一率一○二四之假数，与前法所得之数同【前法得三九八収之，亦为四○○以后竒零防有不合，止截用十二位】再按前法首位加三，而以率数十归之，即得○三○一○二九九九五六六四○为二之假数也。此法较之前法开方省二十次，而所得之数同，故求假数者用此法。亦便也。明对数之目，用递次开方求假数法之六。凡开方之数，与折半之数，虽不同，然而不同之较，递次渐少，故又有相较之法。至开方第十次以后，则以较数相减，即得开方之数。如求六之假数，以六为连比例第一率，递次乘之，得连比例第九率为一千零七万七千六百九十六，乃以此数命为第一率，其首位之一千万命为单位，开方得一○○三八七七二八三三三六九六二四五六六三八四六五五一，第二次开方得一○○一九三六七六六一三六九四六六一六七五八七○二二九，第三次开方得一○○○九六七九一四六三九○九九○一七二八八九○七二○，第四次开方得一○○○四八三八四○二六八八四六六二九八五四九二五三五，第五次开方得一○○○二四一八九○八七八八二四六八五六三八○八七二七，与第四次开方所得折半之数渐近，乃以第四次开方所得数折半【首位之一不折半，葢首位之一诸次开方皆同，其数不变也】得二四一九二○一三四四二三三一四九二七四六二六七，与第五次开方所得数相减，余二九二五五五九八六二九二八九三七五四○，为第五次之较，设使有第五次之较，则将第四次开方所得数折半内减第五次之较，即第五次开方所得数，然第五次之较乃与第五次开方数相减而得，故第五次犹必用开方也，第六次开方得一○○○一二○九三八一二六三九七一三四五九四三九一九四，又以第五次开方所得数折半，得一二○九四五四三九四一二三四二八一九○四三六三，与第六次开方所得数相减，余七三一三○一五二○八二二四六五一六九，为第六次之第一较，又将第五次之较四归之，得七三一三八九九六五七三二二三四三八五，与第六次之第一较相减，余八八四四四九○九七六九二一五，为第六次之第二较，设使有第二较，则将第五次之较四归之内减第六次之第二较，即为第六次之第一较将第五次开方所得数折半内减第六次之第一较，即第六次开方所得数。

然第二较乃与第一较相减而得，而第一较乃与第六次开方数相减而得，故第六次犹必用开方也。第七次开方得一○○○○六○四六七二三五○五五三○九六八○一六○○五，又以第六次开方所得数折半得六○四六九○六三一九八五六七二九七一九五九七，与第七次开方所得数相减，余一八二八一四三二五七六一七○三五九二，为第七次之第一较。又将第六次之第一较四归之，得一八二八二五三八○二○五六一六二九二，与第七次之第一较相减，余一一○五四四四三九一二七○○，为第七次之第二较。又将第六次之第二较八归之，得一一○五五六一三七二一一五二，与第七次之第二较相减，余一一六九八○八四五二，为第七次之第三较。设使有第三较，则将第六次之第二较八归之内减第七次之第三较，即为第七次之第二较；将第六次之第一较四归之内减第七次之第二较，即为第七次之第一较；将第六次开方所得数折半内减第七次之第一较，即第七次开方所得数。然第三较乃与第二较相减而得，第二较乃与第一较相减而得，而第一较乃与第七次开方数相减而得，故第七次犹必用开方也。第八次开方得一○○○○三○二三三一六○五○五六五七七五九六四七九四，又以第七次开方所得数折半得三○二三三六一七五二七六五四八四○○八○○二，与第八次开方所得数相减，余四五七○二一九九七○八○四三二○八，为第八次之第一较。又将第七次之第一较四归之，得四五七○三五八一四四○四二五八九八，与第八次之第一较相减，余一三八一七三二三八二六九○。为第八次之第二较，又将第七次之第二较八归之，得一三八一八○五四八九○八七，与第八次之第二较相减，余七三一○六三九七，为第八次之第三较。又将第七次之第三较十六归之，得七三一一三○二八，与第八次之第三较相减，余六六三一，为第八次之第四较。设使有第四较，则将第七次之第三较十六归之内减第八次之第四较，即为第八次之第三较。将第七次之第二较八归之内减第八次之第三较，即为第八次之第二较。将第七次之第一较四归之内减第八次之第二较，即为第八次之第一较。将第七次之开方数折半内减第八次之第一较，即第八次开方数。然第四较乃与第三较相减而得，第三较乃与第二较相减而得，第二较乃与第一较相减而得，而第一较乃与第八次开方数相减而得，故第八次犹必用开方也。至第九次开方得一○○○○一五一一六四六五九九九○五六七二九五○四八八，又以第八次开方数折半得一五一一六五八○二五二八二八八七九八二三九七，与第九次开方数相减，余一一四二五三七七二一五○三一九○九，为第九次之第一较。

又将第八次之第一较四归之，得一一四二五五四九九二七○一○八○二，与第九次之第一较相减，余一七二七一一九七八八九三，为第九次之第二较。又将第八次之第二较八归之，得一七二七一六五四七八三六，与第九次之第二较相减，余四五六八九四三，为第九次之第三较。又将第八次之第三较十六归之，得四五六九一五○，与第九次之第三较相减，余二○七，为第九次之第四较。又将第八次之第四较三十二除之，亦得二○七，与第九次之第四较同，故自第十次以后则不用开方【若间方止用二十二位，则第八次之第三较已同至第九次即不用开方亦不用第四较】即以第九次之第四较三十二除之得六为第十次之第四较，将第九次之第三较十六除之得二八五五五八，内减第十次之第四较，余二八五五五二即为第十次之第三较，将第九次之第二较八归之得二一五八八九九七三六一，内减第十次之第三较，余二一五八八七一一八○九即为第十次之第二较，将第九次之第一较四归之得二八五六三四四三○三七五七九七七，内减第十次之第二较，余二八五六三二二七一五○四六一六八即为第十次之第一较，将第九次开方所得数折半得七五五八二三二九九九五二八三六四七五二四四，内减第十次之第一较，又加首位之一得一○○○○○七五五八二○四四三六三○一二一四二九○七六即为第十次开方所得数也，至第十一次则将第十次之第四较三十二除之不足一倍故无第四较，而以第十次之第三较十六除之得一七八四七即为第十一次之第三较，将第十次之第三较八归之得二六九八五八八九七六，内减第十一次之第三较，余二六九八五七一一二九即为第十一次之第二较，将第十次之第一较四归之得七一四○八○六七八七六一五四二，内减第十一次之第二较，余七一四○七七九八○一九○四一三即为第十一次之第一较，将第十次开方所得数折半得三七七九一○二二一八一五○六○七一四五三八，内减第十一次之第一较，又加首位之一得一○○○○○三七九九○九五○七七三七○八○五二四一二五即为第十一次开方所得数也，由此递推至第二十三次开方数得一○○○○○○○○○九二二六二八八九一○四三○七六六七是已得九空位矣，乃以前法所得眞数之零数一为一率【三率截用十四位，则一率亦加十三空位以足其分】其假数十一空位后之零数四三四二九四四八一八七四一四为二率【截用十四位以从简易】今开方二十三次所得之零数九二二六二八八九一○四三○七为三率，得四率四○○六九二六三六一九七六五二，即为开方第二十三次之假数。前则为十空位【二率有十四位，而其前为十一空位，今四率得十五位，故前为十空位】以加倍二十三次之率数八三八八六○八乘之，得○○○三三六一二五三四五【葢开方第二十三次之假数为十五位，并前十空位共二十五位，今相乘得二十二位，故前止有三空位，亦共为二十五位也，此截用十二位】即为第一率一○○七七六九六之假数。

然首位之一开方虽命为单位，其实则为千万千万之假数，首位应为七，故首位为七，得七○○三三六一二五三四五，是为一千零七万七千六百九十六之假数。又因其为连比例第九率，故用九归之，得○七七八一五一二五○三八，即为连比例第一率六之假数也。明对数之目，用递次开方求假数法之七。凡求假数，先求得一至九，一一至一九，一○一至一○九，一○○一至一○○九，以及三○位零一至九，四空位零一至九，五空位零一至九，六空位零一至九，七空位零一至九，八空位零一至九，九空位零一至九之九十九数，而他数皆由此生。然此九十九数内，有以两数相乘除而得者，则以两假数相加减，即为所求眞数之假数。至五空位以后，则又可以比例而得，不必逐一而求也。如一至九之九数，惟二、三、七之三数，用前递次开方求假数法求之。至于四，则系二与二相乘所得之数，故以二之假数○三○一○二九九九五六六倍之，得○六○二○五九九九一三三，即为四之假数。至于五，系以二除十所得之数，故以二之假数与十之假数相减，余○六九八九七○○○四三四，即为五之假数。至于六，系二与三相乘所得之数，故以二之假数与三之假数相加，得○七七八一五一二五○三八，即为六之假数【或先得六之假数，内减二之假数，即得三之假数】至于八，系二与四相乘所得之数，故以二之假数与四之假数相加，得○九○三○八九九八六九九，即为八之假数。至于九，系三与三相乘所得之数，故以三之假数○四七七一二一二五四七二倍之，得○九五四二四二五○九四四，即为九之假数【或先得九之假数，折半即得三十假数】如一一至一九之九数，惟一一、一三、一七、一九之四数，用前递次开方求假数法求之。至于一二，系二与六相乘所得之数，故以二之假数与六之假数相加，得一○七九一八一二四六○四，为一十二之假数，内减首位之一，余○○七九一八一二四六○四，即为一二之假数【葢自一一至九空位零九，其首位之一皆为单位，首位以下为小余，试将一十二以十除之，仍得一二，则其首位之一即为单位，二为小余，故于十二之假数内减首位之一，即减去十之假数，而所余为一二之假数也】至于一四，乃二与七相乘所得之数，故以二之假数与七之假数相加，得一一四六一二八○三五六七，为一十四之假数，内减首位之一，余○一四六一二八○三五六七，即为一四之假数。至于一五，乃三与五相乘所得之数，故以三之假数与五之假数相加，得一一七六○九一二五九○六为一十五之假数，内减首位之一，余○一七六○九一二五九○六，即为一五之假数，余皆仿此【详见对数阐防】至于一○○○○○一以后之假数，则即可用前递次开方表内相近数比例而得之。

如求一○○○○○一之假数，则以前表内开方第二十一次眞数五空位后之零数一○九七九五八七三五为一率【截用十位以从简便】其假数七空位后之零数四七六八三七一五八二为二率【亦截用十位】今眞数之零数一为一率【添九空位以足其分】得四率四三四二九四三有余，前亦仍为七空位【因假数止用十二位，故四率止求七位并七空位为十四位，已为足用】截前十二位得○○○○○○○四三四二九，即为一○○○○○一之假数。二因之得○○○○○○○八六八五九【第十三位满五则进一数，余仿此】即为一○○○○○二之假数。三因之得○○○○○○一三○二八八，即为一○○○○○三之假数。又以前表内开方第十九次眞数五空位后之零数四三九一八四二一七三为一率，其假数六空位后之零数一九○七三四八六三二为二率。今眞数之零数四为三率【添九空位以足其分】得四率一七三七一七四○，前亦仍为六空位，截前十二位得○○○○○○一七三七一七，即为一○○○○○四之假数【不以前所得四率四因之者，因前所得一○○○○○一之假数四因之则防小，且表内第十九次开方数与此所求眞数相近，故又用比例以求其准】将所得一○○○○○四之假数四归五因【将一○○○○○四之假数四归五因者，因欲得一○○○○○一之假数而以五因之也】得○○○○○○二一七一四七，即为一○○○○○五之假数将所得一○○○○○四之假数四归六因得○○○○○○二六○五七六即为一○○○○○六之假数「又以前表内开方第十八次眞数五空位后之零数八七八三七○三六三四为一率其假数六空位后之零数三八一四六九七二六五为二率今眞数之零数七为三率得四率三○四○○四八○前亦仍为六空位截前十二位得○○○○○○三○四○○五即为一○○○○○七之假数【不以前所得四率四归七因者因前所得一○○○○○四之假数四归七因之则防小且表内第十八次开方数与此所求眞数相近故又用比例以求其准】将所得一○○○○○七之假数七归八因得一○○○○○三四七四三四即为一○○○○○八之假数又将所得一○○○○○七之假数七归九因得○○○○○○三九○八六三即为一○○○○○九之假数至于一○○○○○○一以后之假数则并不用比例葢五空位零一之假数为四三四二九而前所得十五空位零一之假数亦为四三四二九其假数皆相同但递退一位故以五空位零一至九之假数从未截去一位【末位满五以上则进一数】前添一空位即得六空位零一至九之假数以六空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得七空位零一至九之假数以七空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得八空位零一至九之假数以八空位零一至九之假数从末截去一位前添一空位即得九空位零一至九之假数<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,下编卷三十八>明对数之目，用前所得九十九数，求他假数法之一。

凡求假数，既得前九十九数，而他数有由此乘除而得者，则以假数相加减，即得所求之假数。其不由乘除而得者，谓之数根【因无他数可以度尽，即算法原本所谓连比例之至小数】则其假数亦不可以加减而得。然有虽为数根，而前九十九数中有为其根所生者，则逆求之，即得原根之假数。如前九十九数首位既皆为单位，则以十乘之即为十，以百乘之即为百，以千乘之即为千，以万乘之即为万。故以二之假数与一十之假数相加，即为二十之假数；与一百之假数相加，即为二百之假数；与一千之假数相加，即为二千之假数；与一万之假数相加，即为二万之假数。又如十一之假数与一十之假数相加，即为一百一十之假数；以一○五之假数与一百之假数相加，即为一百零五之假数；与一千之假数相加，即为一千零五十之假数。眞数同则假数亦同，但眞数进一位则假数首位加一数耳。又如三与七相乘得二十一，则以三之假数与七之假数相加，即为二十一之假数；二与十一相乘得二十二，则以二之假数与十一之假数相加，即为二十二之假数。至于二十三、二十九之类，则不以乘除而得，是为数根。若夫五十三虽亦为数根，然以五十三与二相乘则得一百零六，前既得一○六之假数，则与一百之假数相加即为一百零六之假数，内减二之假数即为五十三之假数。由此类推，数自繁衍，而其不可以乘除而得者，则又以累乘累除之法而得之【详见后】要未有出于前九十九数之外者也。明对数之目，用前所得九十九数，求他假数法之二。凡求假数，其眞数有以累乘而得者，则以假数累加之，即得所求之假数。如二万零七百零三为二万与一○三及一○○五累乘所得之数，则以二万之假数四三○一○二九九九五六六与一○三之假数○○一二八三七二二四七一及一○○五之假数○○○二一六六○六一七六相加，得四三一六○三三二八二一三，即为二万零七百零三之假数。若先有假数四三一六○三三二八二一三求眞数，则视假数内足减二万之假数，即以二万之假数书于原假数下相减，余○○一五○○三二八六四七，足减一○三之假数，即以一○三之假数书于减余之下相减，余○○○二一六六○六一七六，与一○○五之假数恰合，是知其假数为二万与一○三及一○○五之三假数相加所得之数，则其眞数即知为三眞数累乘所得之数矣。乃以二万与一○三相乘，得二万零六百，再以一○○五乘之，得二万零七百零三，即为所求之眞数也。明对数之目，用前所得九十九数，求他假数法之三。凡求假数，而不知其眞数为何数累乘而得者，则以所知前位之整数累除之，除得累乘之眞数，则以其假数累加之，即得所求之假数。

如求二十三之假数，而不知其为何数累乘而得，但知二十之假数为一三○一○二九九九五六六，则以二十三为实，以二十为法除之，得一一。又以两层所减数按位相加，得二二，即二十与一一相乘之数，以之为法除原实二十三，得一○四。又以两层所减数按位相加，得二二八八，即二二与一○四相乘之数，以之爲法除原实二十三，得一○○五。又以两层所减数按位相加，得二二九九四四，即二二八八与一○○五相乘之数，以之为法除原实二十三，得一○○○二。又以两层所减数按位相加，得二二九九八九九八八八，即二二九九四四与一○○○二相乘之数，以之为法除原实二十三，得一○○○○四。又以两层所减数按位相加，得二二九九九九一八八四【法止用十位，故第十一位满五以上者进一，数用若不满五则去之】即二二九九八九九八八八与一○○○○四相乘之数，以之为法除原实二十三，得一○○○○○三。又以两层所减数相加，得二二九九九九八七八四，即二二九九九九一八八四与一○○○○○三相乘之数，以之为法除原实二十三，得一○○○○○○五。又以两层所减数按位相加，得二二九九九九九九三四，即二二九九九九八七八四与一○○○○○○五相乘之数，以之为法除原实二十三，得一○○○○○○○二。又以两层所减数按位相加，得二二九九九九九九八○，即二二九九九九九九三四与一○○○○○○○二相乘之数，以之为法除原实二十三，得一○○○○○○○○八。又以两层所减数按位相加，得二二九九九九九九九八，即二二九九九九九九八○与一○○○○○○○○八相乘之数，以之为法除原实二十三，得一○○○○○○○○○八。是知二十三系二十与一一及一○四、一○○五、一○○○二、一○○○○四、一○○○○○三、一○○○○○○五、一○○○○○○○二、一○○○○○○○○八、一○○○○○○○○○八累乘所得之数，乃以其各假数累加之，得一三六一七二七八三六○六，即为二十三之假数也。若先有假数一三六一七二七八三六○六，求眞数，则视假数内足减二十之假数，即以二十之假数书于原假数之下相减，余○○六○六九七八四○四○；足减一一之假数，即以一一之假数书于减余之下相减，余○○一九三○五一五五二四；足减一○四之假数，即以一○四之假数书于减余之下相减，余○○○二二七一八一五九四；足减一○○五之假数，即以一○○五之假数书于减余之下相减，余○○○○一○五七五四一八；足减一○○○二之假数，即以一○○○二之假数书于减余之下相减，余○○○○○一八九○三九七；足减一○○○○四之假数，即以一○○○○四之假数书于减余之下相减，余○○○○○○一五三二五四；足减一○○○○○三之假数，即以一○○○○○三之假数书于减余之下相减，余○○○○○○○二二九六六；足减一○○○○○○五之假数，即以一○○○○○○五之假数书于减余之下相减，余○○○○○○○○一二五一；足减一○○○○○○○二之假数，即以一○○○○○○○二之假数书于减余之下相减，余○○○○○○○○○三八二；足减一○○○○○○○○八之假数，即以一○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减，余○○○○○○○○○○三五；足减一○○○○○○○○○八之假数，即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减，恰尽。

是知其假数为此十一假数累加所得之数，而眞数即为此十一眞数累乘所得之数，乃以此十一眞数累乘之，得二十三，即为所求之眞数也。又如求五千六百八十九之假数，而不知其为何数累乘而得，但知五千六百之假数为三七四八一八八○二七○○，则以五千六百八十九为实，以五千六百为法除之，得一○一。又以两层所减数按位相加，得五六五六，即五千六百与一○一相乘之数，以之为法除原实五千六百八十九，得一○○五。又以两层所减数按位相加，得五六八四二八，即五六五六与一○○五相乘之数，以之为法除原实五千六百八十九，得一○○○八。又以两层所减数按位相加，得五六八八八二七四二四，即五六八四二八与一○○○八相乘之数，以之为法除原实五千六百八十九，得一○○○○三。又以两层所减数按位相加，得五六八八九九八○八九，即五六八八八二七四二四与一○○○○三相乘之数，以之为法除原实五千六百八十九，得一○○○○○○三。又以两层所减数按位相加，得五六八八九九九七九六，即五六八八九九八○八九与一○○○○○○三相乘之数，以之为法除原实五千六百八十九，得一○○○○○○○三。又以两层所减数按位相加，得五六八八九九九九六七，即五六八八九九九七九六与一○○○○○○○三相乘之数，以之为法除原实五千六百八十九，得一○○○○○○○○五。又以两层所减数按位相加，得五六八八九九九九九五，即五六八八九九九九六七与一○○○○○○○○五相乘之数，以之为法除原实五千六百八十九，得一○○○○○○○○○八。是知五千六百八十九系五千六百与一○一及一○○五、一○○○八、一○○○○三、一○○○○○○三、一○○○○○○○三、一○○○○○○○○五、一○○○○○○○○○八累乘所得之数，乃以其各假数累加之得三七五五○三五九三三七一，即为五千六百八十九之假数也。若先有假数三七五五○三五九三三七一，求眞数，则视假数内足减五千六百之假数，即以五千六百之假数书于原假数之下相减，余○○○六八四七九○六七一；足减一○一之假数，即以一○一之假数书于减余之下相减，余○○○二五二六五三二九三；足减一○○五之假数，即以一○○五之假数书于减余之下相减，余○○○○三六○四七一一七；足减一○○○八之假数，即以一○○○八之假数书于减余之下相减，余○○○○○一三一七四四八；足减一○○○○三之假数，即以一○○○○三之假数书于减余之下相减，余○○○○○○○一四五八四；足减一○○○○○○三之假数，即以一○○○○○○三之假数书于减余之下相减，余○○○○○○○○一五五五；足减一○○○○○○○三之假数，即以一○○○○○○○三之假数书于减余之下相减，余○○○○○○○○○二五二；足减一○○○○○○○○五之假数，即以一○○○○○○○○五之假数书于减余之下相减，余○○○○○○○○○○三五；足减一○○○○○○○○○八之假数，即以一○○○○○○○○○八之假数书于减余之下相减，恰尽。

是知其假数为此九假数累加所得之数，而眞数即为此九眞数累乘所得之数。乃以此九眞数累乘之，得五千六百八十九，即为所求之眞数也。

求八线对数凡求八线之假数，定半径为一百亿，位数既多，为用愈密，且眞数十一位，则假数首位为一○，又取其便于用也。先以正▯、余▯之眞数求得假数，复以正▯、余▯之假数加减之，即得切线、割线之假数。如一分之正▯为二九○八八八二，求其假数得六四六三七二六一一○九。又如六十度之正▯为八六六○二五四○三八，求其假数得九九三七五三○六三一七。如求六十度切线之假数，则以六十度正▯之假数九九三七五三○六三一七为二率，半径之假数一○○○○○○○○○○○为三率，六十度余▯之假数九六九八九七○○○四三为一率，二、三率相加内减一率，余一○二三八五六○六二七四，即六十度正切线之假数。如求六十度割线之假数，则以半径之假数一○○○○○○○○○○○为二率，又为三率，六十度余▯之假数九六九八九七○○○四三为一率，二率倍之内减一率，余一○三○一○二九九九五七，即六十度正割线之假数也。

对数用法设如一百二十三与四百五十六相乘，问得几何？法以对数表之一二三之假数二○八九九○五一一一四与四五六之假数二六五八九六四八四二七相加，得四七四八八六九九五四一，乃查假数四七四八八六九九五四一所对之眞数，得五六○八八，即五万六千零八十八，为相乘所得之数也。设如三千四百五十六与二千六百七十九相乘，问得几何？法以对数表之三四五六之假数三五三八五七三七三三八与二六七九之假数三四二七九七二七一三六相加得六九六六五四六四四七四。因对数表假数首位止于四，眞数止于五位，故将相加所得假数首位之六暂当四，查假数四九六六五四六四四七四相近畧少者为四九六六五四五三二一六，其相对之眞数得九二五八六，即为九二五八六○○【因假数首位多二数，则眞数必多二位】又以九二五八六○○之假数与九二五八七○○之假数相减余四六九○七为一率，以九二五八六○○与九二五八七○○相减余一○○为二率，今相加所得之假数与九二五八六○○之假数相减余一一二五八为三率，得四率二四，即眞数九二五八六之后二位之数。葢假数多四六九○七，则眞数多一百，今假数多一一二五八，则眞数应多二十四，为比例四率也。乃以所得二四与九二五八六○○相加得九二五八六二四，即九百二十五万八千六百二十四，为相乘所得之数也。大凡眞数二四位以后，其假数之较相差无多，故眞数即可与假数为比例。若用前累乘累除之法，固为甚密，然较之比例则难，而得数则同。此对数表所以止于五位也。设如三千七百四十四，以十六除之，问得几何？法以对数表之三七四四之假数三五七三三三五八四○一内减一六之假数一二○四一一九九八二七，余二三六九二一五八五七四，乃查假数二三六九二一五八五七四所对之眞数，得三三四，即二百三十四，为归除所得之数也。设有米三十二石，令一千零二十四人分之，问：毎一人应得几何？法以对数表之三二之假数首位加二为三五○五一四九九七八三【因法之假数大于实之假数故以实之假数加二即如以实之眞数加两空位也】内减一○二四之假数三○一○二九九九五六六，余○四九四八五○○二一七。因假数首位为○，卽知眞数应得单位，其得数首位为升，仍以假数首位加三，查三四九四八五○○二一七所对之眞数得三一七五【因眞数得四位故将假数首位作三查表，若眞数求五位则将假数首位作四查表，或五位后仍有余数则用比例求之】即三升一合二勺五撮为毎人所应得之数也。设如甲乙丙直角形，甲角五十度，丙角四十度，甲乙边十二丈，求丙乙边、丙甲边各几何？法以甲角五十度之正▯假数九八八四二五三九六六五与甲乙边十二丈【作一二○○○】之假数四○七九一八一二四六○相加得一三九六三四三五二一二五，内减丙角四十度之正▯假数九八○八○六七四九六七，余四一五五三六七七一五八为丙乙边之假数。查假数相近所对之眞数得一四三○一，即一十四丈三尺零一分为丙乙边也。求丙甲边，则以乙角九十度之正▯假数一○○○○○○○○○○○【即半径之数】与甲乙边十二丈之假数四○七九一八一二四六○相加得一四○七九一八一二四六○，内减丙角四十度之正▯假数九八○八○六七四九六七，余四二七一一一三七四九三为丙甲边之假数。查假数相近所对之眞数得一八六六九，即一十八丈六尺六寸九分为丙甲边也。设如甲乙丙三角形，甲角五十度，甲乙边十六丈，甲丙边十二丈，问丙角、乙角及乙丙边各若干？法以甲乙边十六丈与甲丙边十二丈相加得二十八丈为边总，甲乙边与甲丙边相减余四丈为边较，甲角五十度与一百八十度相减余一百三十度，折半为六十五度为半外角，乃以边较四丈【作四○○○】之假数三六○二○五九九九一三与半外角六十五度之正切假数一○三三一三二七四五二二相加得一三九三三三八七四四三五，内减边总二十八丈【作二八○○○】之假数四四四七一五八○三一三，余九四八六二二九四一二二爲半较角正切之假数，查正切假数相近所对之眞数得十七度二分为半较角，与半外角相加得八十二度二分为对甲乙大边之丙角，与半外角六十五度相减余四十七度五十八分为对甲丙小边之乙角也。又求丙乙边，则以五十度之正▯假数九八八四二五三九六六五与十六丈【作一六○○○】之假数四二○四一一九九八二七相加得一四○八八三七三九四九二，内减丙角八十二度二分之正▯假数九九九五七八八二○九八，余四○九二五八五七三九四为丙乙边之假数，查假数相近所对之眞数得一二三七六，即一十二丈三尺七寸六分为丙乙边也。凡眞数用加减然后比例者，须以眞数加减得数再查假数依法算之，余皆仿此。

设如六十四自乘问得几何法以对数表之六四之假数一八○六一七九九七四○，用二因之，得三六一二三五九九四八○，仍查假数所对之眞数，得四○九六，即四千零九十六，为自乘所得之数也。葢自乘两数相同，则其两假数亦相同，故二因之，即如二假数相加也。设如正方面积三百六十一尺，开平方，问毎一边数几何？

法以对数表之三六一之假数二五五七五○七二○一九折半得一二七八七五三六○○九仍查假数所对之眞数得一九即一十九尺为开平方所得毎边之数也葢正方面积之假数乃以毎边之假数加倍所得之数故折半即得毎边之假数对其眞数即得毎边之数也设如正方面积，一百五十二万二千七百五十六尺，开平方，问毎一边数几何？法先以方积前五位一五二二七查得假数为四一八二六一四三四七七，因方积系七位，今止查得五位，仍余二位，故将假数首位之四加二得六，一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数。又以一五二二七○○与一五二二八○○相减，余一○○为一率，以一五二二七○○之假数与一五二二八○○之假数相减，余二八五二○四为二率，方积之后二位数五六为三率，得四率一五九七○四。葢眞数多一百，则假数多二八五二○四，今眞数多五十六，则假数应多一五九七一四为比例四率也。乃以所得四率与一五二二七○○之假数相加，得六一八二六三○三一九一，即为一五二二七五六之假数。折半得三○九一三一五一五九六，仍查假数所对之眞数，得一二三四，即一千二百三十四尺，为开平方所得毎边之数也。

又防法以一五二二七之假数首位加二得六一八二六一四三四七七即为一五二二七○○之假数折半得三○九一三○七一七三八查假数相近畧大者【葢一五二二七○○之假数畧少于一五二二七五六之假数则其折半之假数亦必畧少于一二三四之假数亦取畧大者用之】对其眞数得一二三四即为毎边之数也此法因方根止四位查表即得不用比例故以方积前五位查表后有几位则假数首位加几数折半查假数相近者即可得之若方根过五位以上者须用比例则以方积查假数亦须用比例方得密合设如正方面积一百五十二兆四千一百五十七亿六千五百二十七万九千三百八十四尺，问毎一边数几何？法以方积前五位一五二四一，查得假数为四一八三○一三四六三一。因方积系十五位，今止查得五位，仍余十位，故将假数首位之四加十，得一四一八三○一三四六三一，即为一五二四一○○○○○○○○○○之假数。又以一五二四一○○○○○○○○○○与一五二四二○○○○○○○○○○相减，截用六空位，得一○○○○○○为一率，以一五二四一之假数与一五二四二之假数相减，余二八四九四二为二率，方积后十位数截用前六位，得五七六五二七为三率【因表中假数止于十一位，则眞数亦止须用十一位，虽眞数后再多几位，其假数前十一位亦相同，故查表用五位，比例用六位，共为十一位】得四率一六四二七七，与一五二四一○○○○○○○○○○之假数相加，得一四一八三○二九八九○八，即为一五二四一五七六五二七○○○○之假数，亦即同于一五二四一五七六五二七九三八四之假数。折半得七○九一五一四九四五四，因假数首位为七，即知眞数应得八位。今对数表假数首位止于四，眞数止于五位，故将折半所得假数首位之七减去三，得四○九一五一四九四五四。查假数相近畧少者为四○九一四九一○九四三，对其眞数得一二三四五，即为一二三四五○○○【因假数首位多三数，则眞数进三位】又以一二三四五○○○之假数与一二三四六○○○之假数相减，余三五一七八三为一率，以一二三四五○○○与一二三四六○○○相减，余一○○○为二率，今折半所余之假数与一二三四五○○○之假数相减，余二三八五一一为三率，得四率六七八，与一二三四五○○○相加，得一二三四五六七八，即一千二百三十四万五千六百七十。八尺为开平方所得，毎一边之数也。设如勾二十七尺，股三十六尺，求▯若干？

法以对数表之二七之假数一四三一三六三七六四二倍之得二八六二七二七五二八四为勾自乘之假数仍查假数所对之眞数得七二九为勾自乘之眞数又以三六之假数一五五六三○二五○○八倍之得三一一二六○五○○一六为股自乘之假数仍查假数所对之眞数得一二九六为股自乘之眞数两自乘之眞数相加【不以两自乘之假数相加者葢假数相加则是相乘故必对其眞数然后相加也】得二○二五为▯自乘之眞数查其假数得三三○六四二五○二七六折半得一六五三二一二五一三八仍查假数所对之眞数得四五即四十五尺为开方所得之▯数也设如三十六，自乘，再乘，问得几何？法以对数表之三六之假数一五五六三○二五○○八，用三因之，得四六六八九○七五○二四，仍查假数所对之眞数，得四六六五六，即四万六千六百五十六，为自乘再乘所得之数也。葢自乘再乘系以方根乘二次，则假数亦加二次，故以方根之假数三因之，即如以方根之假数加二次也。其或位数多者，依乘法之例推之。设如正方体积一万三千八百二十四尺，开立方，问毎一边数几何？法以对数表之一三八二四之假数四一四○六三三七二五一，用三归之，得一三八○二一一二四一七，仍查假数所对之眞数，得二四，即二十四尺，为开立方所得每边之数也。葢正方体积之假数，乃以毎边之假数三因所得之数，故三归之，即得每边之假数，对其眞数，即得毎边之数也。其或位数多者，依平方之例推之。设如方根一十六尺，问三乘方积几何？法以对数表之一六之假数一二○四一一九九八二七，用四因之，得四八一六四七九九三○八，仍查假数所对之眞数，得六五五三六，即六万五千五百三十六尺，为三乘方之积数也。葢三乘方系以方根乘三次，则其假数亦加三次，故以方根之假数四因之，即如以方根之假数加三次也。其或位数多者，亦依乘法之例推之。设如三乘方积二万零七百三十六尺，问方根几何？法以对数表之二○七三六之假数四三一六七二四九八四二，用四归之，得一○七九一八一二四六○，仍查假数所对之眞数，得一二，即一十二尺，为开三乘方所得方根之数也。葢三乘方积之假数，乃以方根之假数四因所得之数，故四归之，即得方根之假数，对其眞数，即得方根之数也。其或位数多者，亦依平方之例推之。大凡开诸乘方之理，亦皆由于连比例。葢方根为连比例第一率，平方积为第二率，立方积为第三率，三乘方积为第四率，四乘方积为第五率，五乘方积为第六率，六乘方积为第七率，七乘方积为第八率，八乘方积为第九率，九乘方积为第十率【与借根方比例定位表同】以第一率方根之假数，各以率数乘之，即得各乘方积之假数；而以各乘方积之假数，各以率数除之，亦即得第一率方根之假数。故由三乘方而进之四乘方，求积则用五因，求根则用五归；五乘方求积则用六因，求根则用六归，推之至于九乘方，求积则用十因，求根则用十归；即至于一百乘方，则以方根之假数用一百零一乘之，即得方积之假数，以方积之假数用一百零一除之，即得方根之假数。乘除之数愈繁，愈见对数之易，此对数之大用也。

御制数理精蕴下编卷三十八<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书