御制数理精蕴下编卷十八

御制数理精蕴下编卷十八

面部八测量【勾股测量三角测量】

测量周髀》曰：「偃矩以窥髙覆矩以测深，卧矩以知逺盖以矩度，或表杆相度窥测。立者则取其直，平者则取其方。必使成直角，以大小勾股为比例，以在器之勾股比所测之勾股，彼此相形而得之者也。然勾股必为直角而三角形，则惟变所适而无定形。要以角度为准，而用割圜八线以为比例。凡求角求边，皆以三角形之法为本。总以对所知为一率，对所求为二率，所知为三率，得四率即所求也。或一测，或屡测，惟在随时而致用。或用正，或用余，惟在比例之相当。不特凡物之髙深广逺可得而推，即七政之躔度，天地之形体，俱可得而测也。

勾股测量【凡用矩度，或立表杆，必用垂线，取其与地平成直角，以为准则，若地不平，须记取，某处与人目所看相平为记】设如有一旗杆，欲测其髙，但知距旗杆之逺为三丈，问得髙几何？法用矩度【矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横▯俱界线画成小方分自中心所出线俱平分每边一半对中心所出线两邉安定表取中心安游表看分数必以其自中心所出线为准见几何原本十二卷】定准坠线以定表看地平，游表看旗杆顶，得距地平分四十分【此矩度前边为百分自中心平分半边为五十分】乃以中心平分距分五十分为一率，所得距分四十分为二率，距旗杆之逺三丈为三率，求得四率二丈四尺，即矩度中心定表所对地平至旗杆顶之髙，加矩度中心距地之髙四尺，共得二丈八尺，即所求旗杆之髙也。如图，甲乙为旗杆之髙，丙乙为距旗杆之逺，丁为矩度中心，丁丙为矩度中心距地之高，己庚为定表所对地平为戊辛，壬为游表看旗杆顶，甲其丁庚为矩度中心平分距分五十分，壬庚为游表距地平分四十分。其丁庚与壬庚之比同于丁戊与甲戊之比，故丁庚五十分为一率，壬庚四十分为二率，丁戊距旗杆之逺三丈为三率，得四率甲戊二丈四尺，加同丁丙高之戊乙四尺，即得甲乙二丈八尺为旗杆之高也。又用表杆测法，于距旗杆三丈处立一表，高四尺。向前又立一表，高八尺。看二表端与旗杆顶齐，量二表间相距得五尺。乃以五尺为一率，前表八尺内减后表四尺，余四尺为二率，距旗杆之逺三丈为三率，求得四率二丈四尺。加入后表高四尺，得二丈八尺，即旗杆之高也。如图，甲乙为旗杆之高，乙丙为距旗杆之逺三丈，丁丙为后表之髙四尺，戊己为前表之高八尺，丙己为二表之距五尺，戊庚为二表之较四尺，丁戊甲为人目视线，试与乙丙平行，作辛丁线，遂成甲辛丁、戊庚丁两勾股形，为同式形。故丁庚与戊庚之比，同于丁辛与甲辛之比。既得甲辛，加与丁丙相等之辛乙，即得甲乙为旗杆之高也。设如一树欲测其逺，爰取一直角横量十五丈，问得逺几何？法以矩度定表与游表定准，直角以定表对树，游表随直角立表杆二三处，横量十五丈，于此处复安矩度，以定表对所立表杆，取直看原处，以游表看树，得距矩度中心平分线，距分三十分，乃以所得距分三十分为一率，矩度中心平分距分五十分为二率，横量十五丈为三率，求得四率二十五丈，即离树之逺也。如图，甲为树，甲乙为离树之逺，乙为直角，乙丙为横量十五丈，丁戊为所立二表杆，丙为矩度中心，丙己为矩度中心平分距分五十分，己庚为所得距分三十分，丙己庚勾股形与甲乙丙勾股形为同式形，故己庚与己丙之比，即同于丙乙与甲乙之比也。

又用表杆测法，先立一表于乙，取直角横量十五丈至丙。次立一表于丙，自丙对甲相直，复立一表于丁。次依丁丙度引至乙丙线上，截乙丙于戊。乃以丙戊折半于己，遂得丁己丙勾股形与甲乙丙勾股形为同式形。因量丙己得三丈为一率，丁己得五丈为二率，丙乙十五丈为三率，求得四率二十五丈，即甲乙之逺也。设如，有山一座，欲知其高，用重矩之法测之，问山之高得几何？法用矩度定准坠线以定表看地平，游表看山顶，得距地平分四十分。又向后量九丈，复安矩度定准坠线以定表，仍看前矩度定表所看地平原处，游表看山顶，得距地平分三十二分。乃以前矩度距地平分四十分为一率，中心平分距分五十分为二率，后矩度距地平分三十二分为三率，求得四率四十分，为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分。乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减，余十分为一率，后矩度距地平分三十二分为二率，向后量九丈为三率，求得四率二十八丈八尺，即矩度中心定表所对地平至山顶之高，加矩度中心距地之高四尺，共得二十九丈二尺，即所求之山之髙也。如图，甲乙为山之高，丙为前矩度中心，丙庚为定表所对地平为戊，丙己为游表看山顶甲，其己庚为游表距地平分四十分，丙庚为中心平分距分五十分，丙丁为向后量九丈，丁为后矩度中心，丁壬为定表所对地平亦为戊，丁辛为游表看山顶甲，其辛壬为游表距地平分三十二分，丁壬为中心平分距分五十分。试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线，则丙子中心距分必小于丙庚，故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比，而得丙子之分。既得丙子，则以丙子与丁壬相减，余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较。乃自辛至丑作辛丑线，遂成辛壬丑勾股形，与癸子丙同度，俱与甲戊丙勾股形为同式形，而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形，且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较，故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形，是以丁丑与辛壬之比同于丁丙与甲戊之比，而为相当比例四率也。又法用矩度定准坠线以定表看地平，游表看山顶，向后量九丈，复安矩度定准坠线，以定表仍看前矩度定表所看地平原处，游表看山顶，得距地平分三十二分，其中心平分距分为五十分。爰察前矩度距地平分三十二分处，得距中心距分为四十分。乃以所得四十分与后矩度中心平分距分五十分相减，余十分为一率，距地平分三十二分为二率，向后量九丈为三率，求得四率二十八丈八尺，即矩度中心定表所对地平至山顶之高，加矩度中心距地之高四尺，共得二十九丈二尺，即所求之山之高也。

如图，甲乙为山之高，丙为前矩度中心定表所对地平为戊，游表看山顶甲，丙丁为向后量九丈，丁为后矩度中心，其辛壬为游表距地平分三十二分，丁壬为中心平分距分五十分。试依后矩度距地平分三十二分辛壬度于前矩度三十二分处作己庚线，其丙庚距中心距分得四十分。乃以丙庚四十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸，则丁癸为减余十分。其丁癸与辛壬之比，即同于丁丙与甲戊之比也。前法两矩度游表距地平分不同，故用比例四率而得其距地平相等之中心距分，以取其两中心距分之较。此法因取其距地平相等之分，故其两中心距分不同相减，即得其两中心距分之较也。设如一墙，欲知其逺，用重矩之法测之，问墙之逺得几何？

法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶得距地平分四十分又向后量一丈复安矩度定凖坠线以定表仍看前矩度定表所看地平原处游表看墙顶得距地平分二十四分乃以前矩度距地平分四十分为一率中心平分距分五十分为二率后矩度距地平分二十四分为三率求得四率三十分为前矩度游表与后矩度游表同距地平分所得之中心距分乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减余二十分为一率前矩度所得中心距分三十分为二率向后量一丈为三率求得四率一丈五尺即前矩度距墙之逺若求后矩度距墙之逺则以后矩度中心平分距分五十分为二率所得四率二丈五尺即后矩度距墙之逺也如图甲乙为墙之高丙为前矩度中心丙庚为定表所对地平为戊丙己为游表看墙顶甲其己庚为游表距地平分四十分丙庚为中心平分距分五十分丙丁为向后量一丈丁为后矩度中心丁壬为定表所对地平亦为戊丁辛为游表看墙顶甲其辛壬为游表距地平分二十四分丁壬为中心平分距分五十分试依后矩度游表距地平分辛壬度于前矩度作癸子线则丙子中心距分必小于丙庚故己庚与丙庚之比同于癸子与丙子之比而得丙子之分既得丙子则以丙子与丁壬相减余丁丑【与前矩度子庚等】即前后两矩度游表同距地平分所得中心距分之较乃自辛至丑作辛丑线遂成辛壬丑勾股形与癸子丙同度俱与甲戊丙勾股形为同式形而辛壬丁勾股形又与甲戊丁勾股形为同式形且丁丙与丁丑皆为两勾股形之各股之较故辛丑丁三角形与甲丙丁三角形亦为同式形是以丁丑与丑壬之比同于丁丙与丙戊之比又丁丑与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也。又法用矩度定凖坠线以定表看地平游表看墙顶，向后量一丈，复安矩度定凖坠线以定表，对前矩度中心，游表看墙顶，得距地平分二十四分，其中心平分距分为五十分。爰察前矩度距地平分二十四分处，得距中心距分为三十分，乃以所得三十分与后矩度中心平分距分五十分相减，余二十分为一率，前矩度中心距分三十分为二率，向后量一丈为三率，求得四率一丈五尺，即前矩度距墙之逺。若求后矩度距墙之逺，则以后矩度中心平分距分五十分为二率，所得四率二丈五尺，即后矩度距墙之逺也。如图，甲乙为墙之高，丙为前矩度中心定表所对，地平为戊，游表看墙顶，甲丙丁为向后量一丈，丁为后矩度中心，其辛壬为游表距地平分二十四分，丁壬为中心平分距分五十分。试依后矩度距地平分二十四分辛壬度于前矩度二十四分处作己庚线，其丙庚距中心距分得三十分，乃以丙庚三十分截后矩度丁壬中心平分距分于癸，则丁癸为减余二十分，其丁癸与癸壬之比同于丁丙与丙戊之比，又丁癸与丁壬之比亦同于丁丙与丁戊之比也。

设如一石，欲知其逺，不取直角，于左右两处横量三十九丈测之，问两处各距石几何？法先平安矩度于右，以定表看左矩度之中心，游表看石，得距矩度中心距分三十七分五厘，其游表之斜距分为六十二分五厘。次平安矩度于左，以定表看右矩度之中心，游表看石，得距矩度中心距分十一分二厘五豪，其游表之斜距分为五十一分二厘五豪。乃以所得两距分相并，得四十八分七厘五豪为一率，右矩度所得之游表斜距分六十二分五厘为二率，横量三十九丈为三率，求得四率五十丈为右矩度距石之逺。若求左矩度距石之逺，则仍以两距分相并为一率，左矩度所得之游表斜距分五十一分二厘五豪为二率，横量三十九丈为三率，求得四率四十一丈为左矩度距石之逺也。如图，甲为石，乙为右矩度中心，其丁戊为距分三十七分五厘，戊乙为游表斜距分六十二分五厘，乙丙为横量三十九丈，丙为左矩度中心，其己庚为距分十一分二厘五豪，己丙为游表斜距分五十一分二厘五豪。试自甲角至乙丙线作甲辛垂线，分为两勾股形，则丁戊乙勾股形与甲辛乙勾股形为同式形，已庚丙勾股形与甲辛丙勾股形为同式形。而乙丙即为两勾之和，故以丁戊与己庚两勾相并与戊乙之比同于乙丙与甲乙之比，又丁戊与己庚两勾相并与己丙之比同于乙丙与甲丙之比，俱为相当比例四率也。设如隔河一树，欲测其逺，不能定直角，爰取两处俱斜对树，横量十七丈测之，问离树之逺得几何？法先平安矩度于一处，随定表横量十七丈，复安一矩度【若止用一矩度，则记凖一处亦可】以先安矩度定表看后安矩度中心游表看树，得距矩度中心距分四十九分，其游表之斜距分为七十分；次以后安矩度定表看先安矩度中心游表看树，得距矩度中心距分十五分，其游表之斜距分为五十二分二厘。乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减，余三十四分为一率，先安矩度游表斜距分七十分为二率，横量十七丈为三率，求得四率三十五丈为先安矩度距树之逺。若以后安矩度游表斜距分五十二分二厘为二率，则得四率二十六丈一尺为后安矩度距树之逺也。如图，甲为树，乙为先安矩度中心，其丁戊为距矩度中心距分四十九分，戊乙为游表斜距分七十分，乙丙为横量十七丈，丙为后安矩度中心，其己庚为距矩度中心距分十五分，庚丙为游表斜距分五十二分二厘。按己庚十五分截丁戊四十九分于辛，则辛戊为减余三十四分。乃自辛至乙作辛乙线与庚丙等，又将乙丙线引长于壬，自甲作甲壬垂线，遂成甲壬丙、甲壬乙两勾股形。其乙丁辛勾股形与丙己庚勾股形同度，俱与甲壬丙勾股形为同式形，而乙丁戊勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形，故乙戊辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形。

是以辛戊与乙戊之比同于乙丙与甲乙之比，而辛戊与乙辛【乙辛即与丙庚度等】之比又同于乙丙与甲丙之比也。此法盖因游表视线俱在对角以外，故甲壬垂线所成甲壬乙、甲壬丙两勾股形同以甲壬为股，而矩度上所得之乙丁戊、乙丁辛两勾股形【乙丁辛即丙、己、庚】亦同以乙、丁为股，故即成两两同式。形若游表，视线在对角以内，或一在对角之内，一在对角之外，所得距矩度、中心距分不同者，则须取其同距矩度、中心距分之度以为比例，如后法。设如隔河一亭，欲测其逺，不能定直角，爰取两处俱斜对亭，横量三十丈测之，问距亭之逺得几何？法先平安矩度于一处，随定表横量三十丈，复安一矩度，以先安矩度定表看后安矩度中心游表看亭，得距矩度中心距分二十七分，其游表之斜距分为五十六分八厘有余。次以后安矩度看先安矩度中心游表看亭，亦察距矩度中心距分二十七分处，得距中心距分三十分，其游表之斜距分为四十分三厘有余。乃以所得距中心距分三十分与先安矩度中心平分距分五十分相减，余二十分为一率，先安矩度游表斜距分五十六分八厘有余为二率，横量三十丈为三率，求得四率八十五丈二尺有余，为先安矩度距亭之逺。若以后安矩度游表斜距分四十分三厘有余为二率，则得四率六十丈四尺五寸有余，为后安矩度距亭之逺也。如图，甲为亭，乙为先安矩度中心，其丁戊为距矩度中心距分二十七分，乙戊为中心平分距分五十分，丁乙为游表斜距分五十六分八厘有余，乙丙为横量三十丈，丙为后安矩度中心，其己庚亦为距矩度中心距分二十七分，丙庚为距中心平分距分三十分，己丙为游表斜距分四十分三厘有余。按丙庚三十分截乙戊中心平分距分五十分于辛，则乙辛为减余二十分。又自丁至辛作丁辛线与己丙等。又将乙丙线引长于壬，自甲作甲壬垂线，遂成甲壬丙、甲壬乙两勾股形。其丁戊辛勾股形与己庚丙勾股形同度，俱与甲壬丙勾股形为同式形，而丁戊乙勾股形又与甲壬乙勾股形为同式形，故丁乙辛三角形与甲乙丙三角形亦为同式形。是以乙辛与丁乙之比同于乙丙与甲乙之比，又乙辛与丁辛【即己丙】之比同于乙丙与甲丙之比也。此法盖因游表视线俱在对角以内，故甲壬垂线所成甲壬乙、甲壬丙两勾股形，同以甲壬为勾，而两矩度上亦取与丁戊相等之己庚为勾，使成两两同式形，然后可以为比例也。设如，有塔一座，欲知其高，用相等两表测之，问得高几何？法先立一表，比人目高四尺，看塔顶得距分六尺。又自前表向后量六丈，复立一表，亦比人目高四尺，看塔顶得距分八尺。乃以前距分六尺与后距分八尺相减，余二尺为一率，表比人目高四尺为二率，向后量六丈为三率，求得四率十二丈，加表比人目之高四尺，共得十二丈四尺，即人目以上之高也。

若求前表距塔顶下地平之逺，则以两距分相减之较为一率，前表距分六尺为二率，向后量之数为三率，得四率十八丈，为前表距塔顶下地平之逺。若求后表距塔顶下地平之逺，则以后表距分八尺为二率，得四率二十四丈，即后表距塔顶下地平之逺也。如图，甲乙为塔之高，丙丁与戊己为两表，比人目之高四尺，丁目为前表距分六尺，丁己为向后量六丈，己目为后表距分八尺。试依前距分丁目六尺度截后距分己目于庚，则庚目为减余二尺。乃自戊过丙至辛作戊丙辛线，又自戊至庚作戊庚线，遂成戊己庚勾股形，与丙丁目勾股形同度，俱与甲辛丙勾股形为同式形。而戊己目勾股形又与甲辛戊勾股形为同式形，且丙戊与庚目皆为两勾股形之各股之较，故戊庚目三角形与甲丙戊三角形又为同式形。是以庚目与戊己之比同于戊丙与甲辛之比，又庚目与己庚之比同于丙戊与辛丙之比，庚目与己目之比并同于丙戊与辛戊之比也。设如，有楼一座，欲知其高，用不等两表测之，问得高几何？法先立长表，比人目高六尺，看楼脊得距分五尺四寸。又自先立长表，向后量二丈，立短表，比人目高四尺，看楼脊得距分六尺四寸。乃以前表比人目之高六尺为一率，前表距分五尺四寸为二率，后表比人目之高四尺为三率，求得四率三尺六寸，为前表与后表同高所得之距分。爰以所得之三尺六寸与后表距分六尺四寸相减，余二尺八寸为一率，后表比人目之高四尺为二率，以前表距分五尺四寸内减所得之三尺六寸，余一尺八寸与两表相距二丈相减，余一丈八尺二寸为三率，求得四率二丈六尺，加后表比人目之高四尺，得三丈，即人目以上之高也。如图，甲乙为楼之高，丙丁为前表比人目之高六尺，丁目为前表距分五尺四寸，丁己为向后量二丈，戊己为后表比人目之高四尺，己目为后表距分六尺四寸。试依后表戊己度作庚辛垂线，截丁目于辛，则辛目距分必小于丁目，故丙丁与丁目之比同于庚辛与辛目之比，而得辛目之分。既得辛目，则以辛目与己目相减，余壬目，即前后两表同高所得距分之较。又于两表相距丁己内减丁辛，余辛己，即同高两表相距之分。故壬目与戊己【即庚辛】之比，即同于戊庚【即辛己】与甲癸之比也。

三角度数测量【度数测量必取资于仪器，全圜仪、半圜仪、象限仪，虽为体不同，其为用则一，以九十度为准，以定表、游表为二视线，其相距之度即为所测之角】设如一塔，不知其髙，但知距塔之逺为三十丈，欲测其高几何？法以仪器定凖，坠线以定表，看地平游表看塔尖，得两表相距二十四度，乃以二十四度与九十度相减，余六十六度为对所知之角，其正▯九万一千三百五十五为一率，仪器上二十四度为对所求之角，其正▯四万零六百七十四为二率，距塔之逺三十丈为所知之边为三率，求得四率十三丈三尺五寸七分，加仪器之高，即所求之塔之高也。如图，甲乙为塔之高，丙乙为距塔之逺，仪器中心为丁，丁丙为仪器中心距地之高，丁戊为定表所对地平为庚，丁己为游表看塔尖甲，得两表距弧二十四度为己戊，其正▯为己辛，其余▯为壬己与丁辛等，象限九十度内减二十四度，余六十六度为癸己，即甲角之正弧，其正▯即壬己，是以与壬己相等之丁辛与己辛之比，同于丁庚与甲庚之比，为相当比例，四率既得甲庚，加同丁丙高之庚乙，得甲乙即塔之高也。又法，以半径十万为一率，二十四度之切线四万四千五百二十三为二率，距塔之逺三十丈为三率，求得四率十三丈三尺五寸七分，加仪器之高，即塔之高也。如图，己戊弧为二十四度，丁戊为半径，壬戊为二十四度之正切，故丁戊与壬戊之比，同于丁庚与甲庚之比，为相当比例四率也。设如一树欲知其逺，取一直角横量十五丈，测之，问得几何？法以仪器定游表于九十度，定表看树，对游表立两表竿，取直横量十五丈，复安仪器于此，以定表看原处，游表看树，得两表相距六十度，乃以六十度与九十度相减，余三十度为对所知之角，其正▯五万为一率，仪器上六十度为对所求之角，其正▯八万六千六百零三为二率，横量十五丈为所知之边为三率，求得四率二十五丈九尺八寸，即所测之树之逺也。如图，甲为树，甲乙为距树之逺，乙为所定直角，丙乙为横量十五丈，丙为仪器中心，丙丁为定表看原处，乙丙戊为游表看甲，得两表距弧六十度为戊丁，其正▯为戊己，余▯为庚戊，与丙己等，象限九十度内减六十度余三十度为辛戊，即甲角之正弧，其正▯即庚戊，是以与庚戊相等之丙己与戊己之比，同于丙乙与甲乙之比，为相当比例四率也。又法，以半径十万为一率，丙角六十度之正切十七万三千二百零五为二率，横量十五丈为三率，求得四率二十五丈九尺八寸，即所测之树之逺也。若求甲丙斜距，则以半径十万为一率，丙角六十度之正割二十万为二率，横量十五丈为三率，求得四率三十丈，即甲丙斜距之逺也。如图，戊丁弧为六十度，丙丁为半径，己丁为六十度之正切，己丙为六十度之正割，故丙丁与己丁之比，同于丙乙与甲乙之比；又丙丁与己丙之比，同于丙乙与甲丙之比，俱各为相当比例四率也。设如一山，欲知其高，用重测之法测之，退步十丈，问山之高得几何？

法先安仪器定准坠线以定表看地平游表看山顶得两表相距五十度又退行十丈复安仪器定准坠线以定表仍看前仪器定表所看地平原处仍以游表看山顶得两表相距四十度乃以前仪器所得五十度内减后仪器所得四十度余十度为对所知之角其正▯一万七千三百六十五为一率后仪器所得四十度为对所求之角其正▯六万四千二百七十九为二率退行十丈为所知之边为三率求得四率三十七丈零一寸为前仪器中心至山顶之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正▯即半径十万为一率前仪器所得五十度为对所求之角其正▯七万六千六百零四为二率前仪器中心至山顶之斜距三十七丈零一寸为所知之边为三率求得四率二十八丈三尺五寸即所测之山之高也如图甲乙为山之高丙丁为退行十丈前测得丙角五十度后测得丁角四十度而丙角为甲丙丁三角形之外角与丁甲二内角相并之度等【解见三角形边线角度相求巻中】故丙角五十度内减丁角四十度余十度即甲丙丁三角形之甲角故先用甲丙丁钝角三角形求甲丙边既得甲丙边然后用甲乙丙直角三角形求甲乙边为山之高也又法以前测所得五十度之余切八万三千九百一十与后测所得四十度之余切十一万九千一百七十五相减，余三万五千二百六十五为一率，半径十万为二率，退行十丈为三率，求得四率二十八丈三尺五寸，即所求之山之高也。如图，戊己为丙角之余切，即丙甲乙角之正切，与壬癸等；庚辛为丁角之余切，即丁甲乙角之正切，与子癸等。子壬即两余切之较。甲癸与戊丙及庚丁俱同为半径。甲癸壬三角形与甲乙丙三角形为同式形，而甲癸子三角形与甲乙丁三角形为同式形，故甲壬子三角形与甲丙丁三角形亦为同式形。是以子壬与甲癸之比同于丁丙与甲乙之比，而为相当比例四率也。设如人在山上，欲测山之高，但知山前有二树，与山参直，二树相距十八丈，问山之高得几何？

法于山顶安仪器定准坠线以定表向空中取一平线先以游表看逺树得游表距垂线四十九度次以游表看近树得游表距垂线三十八度乃以所得两数相减余十一度为对所知之角其正▯一万九千零八十一为一率以看逺树所得之四十九度与九十度相减余四十一度为对所求之角其正▯六万五千六百零六为二率二树相距十八丈为三率求得四率六十一丈八尺九寸为近树距山顶之斜距次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角其正▯即半径十万为一率以看近树所得之三十八度与九十度相减余五十二度为对所求之角其正▯七万八千八百零一为二率近树距山顶之斜距六十一丈八尺九寸为所知之边为三率求得四率四十八丈七尺七寸即所测之山之高也如图甲乙为两树相距十八丈丙丁为山之高甲丙丁角为看逺树所得之四十九度乙丙丁角为看近树所得之三十八度两数相减余十一度为甲丙乙角甲丙丁角四十九度与九十度相减所余之四十一度为甲角乙丙丁角三十八度与九十度相减所余之五十二度为乙角先用甲乙丙钝角三角形求丙乙边既得丙乙边然后用乙丙丁直角三角形求丙丁边为山之高也又法，以先看逺树所得四十九度之正切十一万五千零三十七，与后看近树所得三十八度之正切七万八千一百二十九相减，余三万六千九百零八为一率，半径十万为二率，二树相距之十八丈为三率，求得四率四十八丈七尺七寸，即山之高也。如图，戊己为甲丙丁角之正切，庚己为乙丙丁角之正切，戊庚即两正切之较，丙己为半径，故戊庚与丙己之比，同于甲乙与丙丁之比，而为相当比例四率也。设如一石，欲知其逺，不取直角，于左右两处横量五十丈测之，问两处各距石几何？法先平安仪器于左，以定表看右仪器之中心，游表看石，得两表相距七十度。次平安仪器于右，以定表看左仪器之中心，游表看石，得两表相距六十度。乃以两角度相并，得一百三十度，与一百八十度相减，余五十度，为对所知之角。其正▯七万六千六百零四为一率，求右边则以左边仪器所得七十度为对所求之角，其正▯九万三千九百六十九为二率，左右相距五十丈为所知之边为三率，求得四率六十一丈三尺三寸为右边距石之逺。若求左边距石之逺，则以右边仪器所得六十度为对所求之角，其正▯八万六千六百零三为二率，左右相距五十丈为所知之边为三率，求得四率五十六丈五尺三寸为左边距石之逺也。如图，甲为石，乙丙为左右相距五十丈，乙角为左边所测七十度，丙角为右边所测六十度，两角相并与一百八十度相减，得甲角五十度，共为甲乙丙锐角三角形，盖知乙丙二角及乙丙边而求甲乙边及甲丙边也。又法，以左边仪器所得七十度之余切三万六千三百九十七与右边仪器所得六十度之余切五万七千七百三十五相并，得九万四千一百三十二为一率，右边仪器所得六十度之余割十一万五千四百三十为二率，左右相距五十丈为三率，求得四率六十一丈三尺三寸为右边距石之逺。

若求左邉距石之逺，则以左边仪器所得七十度之余割十万六千四百一十八为二率，左右相距五十丈为三率，求得四率五十六丈五尺三寸为左边距石之逺也。如图，甲为石，乙丙为左右相距五十丈，乙角为左边所测七十度，丙角为右边所测六十度，试自甲至乙丙线上作甲丁垂线，分为甲丁乙、甲丁丙两直角形，戊己为丙角之余切，即丁甲丙角之正切，与壬癸等，己丙为丙角之余割，即丁甲丙角之正割与甲癸等，庚辛为乙角之余切，即丁甲乙角之正切与壬子等，庚乙为乙角之余割，即丁甲乙角之正割与甲子等，而癸子即两余切之和。甲壬癸与甲丁丙为同式形，甲壬子与甲丁乙为同式形，故甲子癸与甲乙丙亦为同式形。是以癸子与甲癸之比同于丙乙与甲丙之比，又癸子与甲子之比同于丙乙与甲乙之比，皆为相当比例四率也。设如隔河一树，欲知其逺，不能定直角，爰取两处俱斜对树，横量十二丈测之，问离树之逺得几何？法平安仪器于一处，随定表，横量十二丈，复安一仪器【若止用一仪器，则记凖一处亦可】以先安仪器定表看后安仪器中心游表看树，得两表相距一百一十度；次以后安仪器定表看先安仪器中心游表看树，得两表相距四十度。乃以两角度相并，得一百五十度，与一百八十度相减，余三十度为对所知之角，其正▯五万为一率；后安仪器所得四十度为对所求之角，其正▯六万四千二百七十九为二率；横量十二丈为所知之边为三率，求得四率十五丈四尺二寸七分，即所测之树之逺也。如图，甲为树，甲乙为离树之逺，乙丙为横量十二丈，乙角为一百一十度，丙角为四十度，两角相并与一百八十度相减，得甲角三十度，共为甲乙丙钝角三角形，盖知乙丙二角及乙丙边而求甲乙边也。又法以先安仪器所得之外角七十度之余切三万六千三百九十七与后安仪器所得四十度之余切十一万九千一百七十五相减，余八万二千七百七十八为一率，先安仪器所得之外角七十度之余割十万六千四百一十八为二率，横量十二丈为三率，求得四率十五丈四尺二寸七分，即所测之树之逺也。如图，甲为树，甲乙为离树之逺，乙丙为横量十二丈，乙角为先安仪器所得一百一十度，丙角为后安仪器所得四十度。试将乙丙线引长，自甲角作甲丁垂线，遂成甲丁乙直角三角形，而甲乙丁角即乙角之外角。戊己为乙外角之余切，即乙甲丁角之正切，与壬癸等。己乙为乙外角之余割，即乙甲丁角之正割，与甲壬等。庚辛为丙角之余切，即丙甲丁角之正切，与子癸等。子壬即两余切之较。甲癸壬三角形与甲丁乙三角形为同式形，甲癸子三角形与甲丁丙三角形为同式形，故甲壬子三角形与甲乙丙三角形亦为同式形。

是以子壬与甲壬之比同于丙乙与甲乙之比，而为相当比例四率也。设如逺望一山，欲知其高，不得退步，爰取左右两处横量一百丈，先求斜距测之，问山之高得几何？法以仪器斜对山顶，随定表横量一百丈，任记一处，游表看山顶，得两表相距八十六度五十三分，又随定表横量一百丈所记之处，复安仪器斜对山顶，以定表看原处，游表看山顶，得两表相距七十八度零七分，乃以两角度相并得一百六十五度，与一百八十度相减，余一十五度为对所知之角，其正▯二万五千八百八十二为一率，后测所得七十八度零七分为对所求之角，其正▯九万七千八百五十七为二率，横量一百丈为所知之边为三率，求得四率三百七十八丈零九寸为先安仪器至山顶之斜距，次以仪器安于原处定凖坠线，定表看地平，游表看山顶，得两表相距五十一度，乃以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角，其正▯即半径十万为一率，仪器所得五十一度为对所求之角，其正▯七万七千七百一十五为二率，仪器至山顶之斜距三百七十八丈零九寸为所知之边为三率，求得四率二百九十三丈八尺三寸即所测之山之高也。如图，甲为山顶，甲乙为先安仪器至山顶之斜距，乙丙为横量一百丈，甲丙为后安仪器至山顶之斜距，乙角为八十六度五十三分，丙角为七十八度零七分，两角相并与一百八十度相减得甲角一十五度，遂成甲乙丙鋭角三角形，今有乙丙二角与乙丙边，求甲乙边即先安仪器至山顶之斜距，又甲丁为山之高，甲乙为仪器至山顶之斜距，丁角即山顶垂线与地平所成直角，乙角为五十一度，复成甲丁乙直角三角形，今有乙丁二角与甲乙边，求甲丁边即山之高也。设如人在山坡测山之高，前后不得地平，爰取斜坡前后两处相距一百丈测之，问山之高得几何？法于山坡先安仪器，定准坠线以定表空，取一地平以游表看山顶，得两表相距四十度。于是向后就斜坡直量一百丈，复安仪器，定准坠线以定表空，取一地平以游表看山顶，得两表相距三十五度。又以游表看前仪器中心，得两表相距十三度。乃以前仪器所得四十度内减后仪器所得三十五度，余五度为对所知之角，其正▯八千七百一十六为一率。以前仪器所得四十度内减后仪器看前仪器中心所得十三度，余二十七度为对所求之外角，其正▯四万五千三百九十九为二率。退量一百丈为所知之边为三率，求得四率五百二十丈八尺七寸为山顶至后仪器之斜距。次以山顶垂线与地平所成直角为对所知之角，其正▯即半径十万为一率。后仪器所得三十五度为对所求之角，其正▯五万七千三百五十八为二率。山顶至后仪器之斜距五百二十丈八尺七寸为所知之边为三率，求得四率二百九十八丈七尺六寸，即所测之山之高也。

如图，甲乙为山之高，丙丁为山坡斜距一百丈，甲丙戊角为前仪器所得四十度，甲丁乙角为后仪器所得三十五度，丙丁乙角为后仪器看前仪器中心所得十三度。若将戊丙线引长至己，则甲己戊角与甲丁乙角为二平行线之内外角，其度必等，故于甲丙戊角四十度内减甲丁乙角三十五度，余五度为丁甲丙角【此即前题退步两测之理】又试将丁丙线引长至庚，则庚丙戊角与丙丁乙角亦为二平行线之内外角，其度亦等，故于甲丙戊角四十度内减与庚丙戊角相等之丙丁乙角十三度，余甲丙庚角二十七度为甲丙丁钝角之外角。故先用甲丙丁钝角三角形求甲丁边为后，仪器至山顶之斜距。次用甲乙丁直角三角形，求甲乙边为山之高也。设如东西二树欲知其相距之逺，测处距西树五十丈，距东树七十丈，问二树相距几何？法以仪器定表，看东树游表，看西树，得两表相距五十度。乃以距西树五十丈与距东树七十丈相加，得一百二十丈为一率。又以五十丈与七十丈相减，余二十丈为二率。两表相距五十度与一百八十度相减，余一百三十度为外角，折半得六十五度为半外角，其正切二十一万四千四百五十一为三率。求得四率三万五千七百四十二为半较角之正切，检表得十九度四十分。与半外角六十五度相减，余四十五度二十分为小角，与半外角六十五度相加，得八十四度四十分为大角。既得二角，则以小角四十五度二十分为对所知之角，其正▯七万一千一百二十一为一率。两表相距五十度为对所求之角，其正▯七万六千六百零四为二率。距西树之逺为所知之边，其数五十丈为三率。求得四率五十三丈八尺五寸，即东西二树相距之逺也。如图，甲为西树，乙为东树，丙为仪器中心。甲丙为距西树五十丈，乙丙为距东树七十丈。丙角为两表视线相距五十度。今以丙角为心，甲丙小边为半径，作一甲丁戊圜，截乙丙大边于戊。将乙丙引长至圜界丁，则丙戊、丙丁俱为半径，与甲丙等。自丁至乙即两边之和，自戊至乙即两边之较。试自甲至戊作甲戊线，则成丙甲戊三角形。其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等。今折半用其正切，即如用丁戊甲角之正切。故自甲至丁作甲丁线，即丁戊甲角之正切。又戊甲乙角，即甲角大于丙甲戊角之较，亦即乙角小于丙戊甲角之较。故自圜界戊至甲乙边作己戊线，与甲丁平行，即戊甲乙角之正切。且乙甲丁与乙己戊为同式形，故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比，即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比，为相当比例四率也。又法以半径十万为一率，两表相距五十度之正▯七万六千六百零四为二率，距西树之逺五十丈为三率，求得四率三十八丈三尺，为西树至看东树视线上之垂线。

又以半径十万为一率，两表相距五十度之余▯六万四千二百七十九为二率，距西树之逺五十丈为三率，求得四率三十二丈一尺四寸，为西树至看东树视线上垂线所分之小段分边线。将此数与距东树之逺七十丈相减，余三十七丈八尺六寸，亦为西树至看东树视线上垂线所分之大段分边线。爰以此线为勾，所得垂线为股，求得▯五十三丈八尺五寸，即东西二树相距之逺也。如图甲乙丙三角形，甲为西树，乙为东树，丙为仪器中心，甲丙为距西树五十丈，乙丙为距东树七十丈。试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线，遂分甲乙丙三角形为甲丁乙、甲丁丙两直角三角形。先求得甲丁垂线为股，次求得丁丙小段分边线与乙丙相减，余乙丁大段分边线为勾，求得甲乙▯即二树相距之逺也。又法以距西树之逺五十丈为一率，距东树之逺七十丈为二率，两表相距五十度之余割一十三万零五百四十一为三率，求得四率一十八万二千七百五十七为西树至看东树视线上垂线所分两分角之两正切之和，内减两表相距五十度之余切八万三千九百一十余，九万八千八百四十七为对西树视线之对边角之余切，检表得四十五度二十分，即对西树视线之对边角，乃以此角度为对所知之角，其正▯七万一千一百二十一为一率，两表相距五十度为对所求之角，其正▯七万六千六百零四为二率，距西树之逺为所知之边，其数五十丈为三率，求得四率五十三丈八尺五寸，即东西二树相距之逺也。如图甲乙丙三角形，甲为西树，乙为东树，丙为仪器中心，甲丙为距西树五十丈，乙丙为距东树七十丈，丙角为两表视线相距五十度，试自甲角至乙丙视线上作甲丁垂线，遂分甲乙丙三角形为甲丁乙、甲丁丙两直角三角形，以甲角为心作一戊己庚半圜，则甲丁垂线平分于己，两边各成一象限，又与乙丙平行作一辛壬线，则辛己一段为乙甲丁分角之正切，即乙角之余切，己壬一段为丙甲丁分角之正切，即丙角之余切，而甲壬为丙甲丁分角之正割，亦即丙角之余割，甲辛壬与甲乙丙两三角形为同式形，故甲丙边与乙丙边之比同于丙角余割甲壬【即丙甲丁分角之正割】与丙甲丁、乙甲丁两分角之正切相合之辛壬之比为相当比例，四率既得辛壬两分角之共切，内减去丙甲丁分角之正切己壬【即丙角之余切】所余辛己为乙甲丁分角之正切，即为乙角之余切，检表即得乙角，既得乙角则用两角一边比例求之而得甲乙边矣。设如南北二桥，欲知其相距之逺，测处距南桥九十丈，距北桥一百二十丈，问二桥相距几何？法以仪器定表，看北桥游表，看南桥，得两表相距一百二十度，乃以距南桥九十丈与距北桥一百二十丈相加，得二百一十丈为一率，又以九十丈与一百二十丈相减，余三十丈为二率，两表相距一百二十度与一百八十度相减，余六十度为外角，折半得三十度为半外角，其正切五万七千七百三十五为三率，求得四率八千二百四十八为半较角之正切，检表得四度四十三分，与半外角三十度相减，余二十五度一十七分为小角，与半外角三十度相加，得三十四度四十三分为大角，既得二角，则以小角二十五度十七分为对所知之角，其正▯四万二千七百零九为一率，两表相距一百二十度为对所求之角，其外角六十度之正▯八万六千六百零三为二率，距南桥之逺为所知之边，其数九十丈为三率，求得四率一百八十二丈四尺九寸为南北二桥相距之逺也。

如图，甲为南桥，乙为北桥，丙为仪器中心，甲丙为距南桥九十丈，乙丙为距北桥一百二十丈，丙角为两表视线相距一百二十度，今以丙角为心，甲丙小边为半径，作一甲丁戊圜，截乙丙大边于戊，将乙丙引长至圜界丁，则乙丁为两边之和，乙戊为两边之较，试自甲至戊作甲戊线，成甲丙戊三角形，其丙甲戊与丙戊甲二角并之与甲丙丁外角度等，今折半用其正切，即如用丁戊甲角之正切，故自甲至丁作甲丁线，即丁戊甲角之正切，又戊甲乙角即甲角大于丙甲戊角之较，亦即乙角小于丙戊甲角之较，故自圜界戊至甲乙边作己戊线，与甲丁平行，即戊甲乙角之正切，且乙甲丁与乙己戊为同式形，故两边之和乙丁与丁戊甲半外角切线甲丁之比，即同于两边之较乙戊与半较角切线己戊之比，为相当比例四率也。又法以半径十万为一率，两表相距一百二十度之外角六十度之正▯八万六千六百零三为二率，距南桥之逺九十丈为三率，求得四率七十七丈九尺四寸，为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线。又以半径十万为一率，两表相距一百二十度之外角六十度之余▯五万为二率，距南桥之逺五十丈为三率，求得四率四十五丈，为南桥至看北桥视线引长所成直角之虚边线，与距北桥一百二十丈相加得一百六十五丈，为南桥至看北桥视线引长之总边线。爰以此线为股，所得南桥至虚边之垂线为勾，求得▯一百八十二丈四尺八寸，即南北二桥相距之逺也。如图甲乙丙三角形，甲为南桥，乙为北桥，丙为仪器中心，甲丙为距南桥九十丈，乙丙为距北桥一百二十丈。试将乙丙线引长，自甲角作甲丁垂线，遂成甲丁丙、甲丁乙两直角三角形。先求得甲丁垂线为勾，次求得丙丁虚边线与乙丙相加得乙丁总边线为股，求得甲乙▯即二桥相距之逺也。又法，以距南桥之逺九十丈为一率，距北桥之逺一百二十丈为二率，两表相距一百二十度之外角六十度之余割一十一万五千四百七十为三率，求得四率一十五万三千九百六十，为南桥至看北桥视线引长虚边线上之垂线所成两分角之正切之较，与两表相距一百二十度之外角六十度之余切五万七十七百三十五相加，得二十一万一千六百九十五，为对南桥视线之对边角之余切，检表得二十五度十七分，即对南桥视线之对边角，乃以此角度为对所知之角，其正▯四万二千七百零九为一率，两表相距一百二十度为对所求之角，其外角六十度之正▯八万六千六百零三为二率，距南桥之逺为所知之边，其数九十丈为三率，求得四率一百八十二丈四尺九寸，即南北二桥相距之逺也。如图甲乙丙三角形，甲为南桥，乙为北桥，丙为仪器中心，甲丙为距南桥九十丈，乙丙为距北桥一百二十丈，丙角为两表视线相距一百二十度，试将乙丙边引长，自甲角作甲丁垂线，遂成甲丁丙、甲丁乙两直角三角形，甲丁丙三角形之丙角，即甲乙丙三角形之丙角之外角，其余切戊己即甲丁丙三【角】形之甲角之正切如度辛丙外角之余割己丙，即甲丁丙三角形之甲角之正割如甲庚；而甲乙丙三角形之乙角之余切壬癸，即甲丁乙三角形之甲角之正切如子辛。

若甲丁乙三角形之乙角余切与甲丁丙三角形之丙角余切相减，即两甲角相差之较如子庚。甲辛庚三角形与甲丁丙三角形为同式形，甲辛子三角形与甲丁乙三角形为同式形，故甲子庚三角形与甲乙丙三角形亦为同式形。是以甲丙边与乙丙边之比同于丙外角余割甲庚【即己丙】与两余切之较子庚之比为相当比例。四率既得子庚两余切之较与丙外角之余切庚辛【即戊己】相加得子辛，即乙角之余切。捡表得乙角，既得乙角，则用两角一边比例求之而得甲乙边矣。设如隔河，东西二树，欲知其相距之逺，爰对一树取一直角左右横量十三丈测之，问二树相距几何？法先对西树安仪器于右，定游表于九十度，以定表看西树，随游表横量十三丈，乃以游表看东树，得西树视线距横量边线九十度，东树视线距横量边线三十八度，西树、东树两视线相距为五十二度。次于直角横量十三丈处安仪器于左，以定表看右仪器中心，游表看东树，得东树视线距横量边线一百一十度，复以游表看西树，得西树视线距横量边线四十五度。乃先求右仪器距西树之逺，以左仪器看西树距横量边线之四十五度与九十度相减，余四十五度为对所知之角，其正▯七万零七百一十一为一率，以左仪器看西树距横量边线之四十五度为对所求之角，其正▯七万零七百一十一为二率，左右横量十三丈为所知之边为三率，求得四率十三丈为右仪器距西树之逺。次求右仪器距东树之逺，以右仪器看东树距横量边线三十八度与左仪器看东树距横量边线一百一十度相并，得一百四十八度，与一百八十度相减，余三十二度为对所知之角，其正▯五万二千九百九十二为一率，以左仪器看东树距横量边线一百一十度为对所求之角，其外角七十度之正▯九万三千九百六十九为二率，左右横量十三丈为所知之边为三率，求得四率二十三丈零五寸为右仪器距东树之逺。末求东西二树相距之逺，以右仪器距西树十三丈与右仪器距东树二十三丈零五寸相加，得三十六丈零五寸为一率，又以十三丈与二十三丈零五寸相减，余十丈零五寸为二率，以右仪器看西树、东树两表相距五十二度与一百八十度相减，余一百二十八度为外角，折半得六十四度为半外角，其正切二十万零五千零三十为三率，求得四率五万七千一百五十八为半较角之正切，捡表得二十九度四十五分，与半外角六十四度相减，余三十四度十五分为小角，以半较角二十九度四十五分与半外角六十四度相加，得九十三度四十五分为大角。乃以小角三十四度十五分为对所知之角，其正▯五万六千二百八十为一率，看西树东树两表相距之五十二度为对所求之角，其正▯七万八千八百零一为二率，右仪器距西树之逺十三丈为所知之边为三率，求得四率十八丈二尺为东西二树相距之逺也。

如图，甲为西树，乙为东树，丙为右仪器中心，丁为左仪器中心，丙丁为两测之距十三丈，甲丙丁角为直角九十度，甲丙乙角为右仪器看东树西树两表相距之五十二度，乙丙丁角为右仪器看东树视线距横量边线三十八度，乙丁丙角为左仪器看东树视线距横量边线一百一十度，甲丁丙角为左仪器看西树距横量边线四十五度。先以甲丁丙角四十五度与九十度相减，余四十五度为丁甲丙角，遂成甲丙丁三角形，求甲丙边为右仪器距西树之逺。次以乙丙丁角三十八度与乙丁丙角一百一十度并之，与一百八十度相减，余三十二度为丙乙丁角，遂成乙丙丁三角形，求乙丙边为右仪器距东树之逺。末以甲乙丙三角形之甲丙乙丙二边，甲丙乙一角，求乙甲丙大角九十三度四十五分，甲乙丙小角三十四度十五分，而得甲乙边为东西二树相距之逺也。设如南北二峯，欲知其相距之逺，不取直角于左右两处，横量一百丈测之，问二峯相距几何？法安仪器于右随定表向左横量一百丈，乃以游表看南峯，得南峯视线距横量边线一百零七度。复以游表看北峯，得北峯视线距横量边线四十六度。南峯北峯两视线相距为六十一度。次于横量一百丈处安仪器于左，以定表看右仪器中心，游表看北峯，得北峯视线距横量边线九十九度。复以游表看南峯，得南峯视线距横量边线五十度。北峯南峯两视线相距为四十九度。乃先求左仪器距北峯之逺，以右仪器看北峯距横量边线之四十六度与左仪器看北峯距横量边线之九十九度相倂，得一百四十五度，与一百八十度相减，余三十五度为对所知之角，其正▯五万七千三百五十八为一率，以右仪器看北峯距横量边线之四十六度为对所求之角，其正▯七万一千九百三十四为二率，横量一百丈为所知之边为三率，求得四率一百二十五丈四尺一寸为左仪器距北峯之逺。次求左仪器距南峯之逺，以左仪器看南峯距横量边线之五十度与右仪器看南峯距横量边线之一百零七度相并，得一百五十七度，与一百八十度相减，余二十三度为对所知之角，其正▯三万九千零七十三为一率，右仪器看南峯距横量边线一百零七度为对所求之角，其外角七十三度之正▯九万五千六百三十为二率，横量一百丈为所知之边为三率，求得四率二百四十四丈七尺四寸为左仪器距南峯之逺。末求南北二峯相距之逺，以左仪器距北峯一百二十五丈四尺一寸与左仪器距南峯二百四十四丈七尺四寸相加，得三百七十丈一尺五寸为一率，又以一百二十五丈四尺一寸与二百四十四丈七尺四寸相减，余一百一十九丈三尺三寸为二率，以左仪器看南峯北峯两视线相距四十九度与一百八十度相减余一百三十一度为外角，折半得六十五度三十分为半外角，其正切二十一万九千四百三十为三率，求得四率七万零七百四十为半较角之正切，查表得三十五度十六分，与半外角六十五度三十分相减，余三十度十四分为小角，与半外角六十五度三十分相加，得一百度四十六分为大角。

乃以小角三十度十四分为对所知之角，其正▯五万零三百五十二为一率，左仪器看南峯、北峯两视线相距之四十九度为对所求之角，其正▯七万五千四百七十一为二率，左仪器距北峯之逺一百二十五丈四尺一寸为所知之边为三率，求得四率一百八十七丈九尺七寸为南北二峯相距之逺也。又法求自北峯至左仪器距南峯视线上之垂线，作勾股法算之，则以垂线所分直角为对所知之角，其正▯即半径十万为一率，左仪器看南峯、北峯两视线相距之四十九度为对所求之角，其正▯七万五千四百七十一为二率，左仪器距北峯之逺为所知之边，其数一百二十五丈四尺一寸为三率，求得四率九十四丈六尺四寸为自北峯至左仪器距南峯视线上之垂线。次求左仪器至垂线末之分边线，仍以垂线所分直角为对所知之角，其正▯即半径十万为一率，以左仪器看南峯、北峯两视线相距之四十九度与九十度相减，余四十一度为对所求之角，其正▯六万五千六百零六为二率【即四十九度之余▯】左仪器距北峯之逺为所知之边，其数一百二十五丈四尺一寸为三率，求得四率八十二丈二尺七寸为自左仪器至垂线末之分边线，与左仪器距南峯之二百四十四丈七尺四寸相减，余一百六十二丈四尺七寸为南峯距垂线末之分边线。乃以此数为股，所得垂线九十四丈六尺四寸为勾，求得▯一百八十八丈零二寸，即南北二峯相距之逺也。如图，甲为南峯，乙为北峯，丙为右仪器中心，丁为左仪器中心，丙丁为两测之距一百丈。甲丙丁角为右仪器看南峯视线距横量边线一百零七度，乙丙丁角为右仪器看北峯视线距横量边线四十六度，乙丁丙角为左仪器看北峯视线距横量边线九十九度，甲丁丙角为左仪器看南峯视线距横量边线五十度，甲丁乙角为左仪器看南峯北峯两表相距之四十九度。先以乙丙丁角四十六度与乙丁丙角九十九度并之，与一百八十度相减，余三十五度为丁乙丙角，遂成乙丁丙三角形，而求乙丁边为左仪器距北峯之逺。次以甲丁丙角五十度与甲丙丁角一百零七度并之，与一百八十度相减，余二十三度为丁甲丙角，遂成甲丙丁三角形，而求甲丁边为左仪器距南峯之逺。末以甲乙丁三角形之甲丁乙丁二边，甲丁乙一角，求甲乙丁大角一百度四十六分，乙甲丁小角三十度十四分，而得甲乙边为南北二峯相距之逺也。又或求得乙戊垂线，又求得丁戊为左仪器至垂线末之分边线，则以丁戊与甲丁相减，余甲戊为股，乙戊垂线为勾，而得甲乙▯为南北二峯相距之逺也。

御制数理精蕴下编卷十八<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书