御制数理精蕴下编卷二十九

御制数理精蕴下编卷二十九

体部七各等面体互容更体形各等面体互容设如正方体每边一尺二寸，求内容四面体之每一边几何？法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸，倍之得二尺八十八寸，开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余，即正方体内容四面体之每一边也。如图，甲乙丙丁正方体内容丁甲戊己四面体，以四面体之六棱切于正方体之六面，则四面体之每一边即为正方体之每一面之对角斜线。故用方边求斜▯之法，以一边自乗，倍之，开平方，即得内容四面体之每一边也。如有四面体之一边，求外切正方体之一边，则用斜▯求方边法，以四面体之一边自乗，折半，开平方，即得外切正方体之每一边也。设如正方体，每边一尺二寸，求内容八面体之每一边几何？法以正方体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸，折半得七十二寸，开平方得八寸四分八厘五豪二丝八忽一微有余，即正方体内容八面体之每一边也。如图，甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸八面体，以八面体之六角切于正方体之六面，则正方体之每一边即与内容八面体之对角斜线等【甲乙与戊庚等】故用斜▯求方边之法，以一边自乗折半开平方，即得内容八面体之每一边也。如有八面体之一边，求外切正方体之一边，则用方边求斜▯法，以八面体之一边自乗加倍开平方，即得外切正方体之每一边也。设如正方体，每边一尺二寸，求内容十二面体之每一边几何？法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率，小分三八一九六六○一为二率，今所设之正方体每边一尺二寸为三率，求得四率四寸五分八厘三豪五丝九忽二微有余，即正方体内容十二面体之每一边也。如图，甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸十二面体，以十二面体之六棱切于正方体之六面，则方正体之每边与十二面体之两边相对之线等【即十二面体中心至每边正中之斜线之倍】而正方体之每边之半即为十二面体中心至每边正中之斜线。试将十二面体之正中截之，则成十等边之面形，而其所截之处皆正当每边之一半，故其所截之子丑等线亦为戊己两角相对斜线之一半，而为十等边形之一边。其子寅外切圜之半径为中心至每边正中之斜线，即正方体每边之一半。子寅即如理分中末线之全分，子丑即如理分中末线之大分，而戊子每边之半即如理分中末线之小分【见球内容十二面体法】故全分与小分之比同于今所设之正方体每边之半与内容十二面体每边之半之比，即同于今所设之正方体之一边与内容十二面体之一边之比也。如有十二面体之一边求外切正方体之一边，则以十二面体之一边为理分中末线之小分，比例得全分即外切正方体之每一边也。

设如正方体，每边一尺二寸，求内容二十面体之每一边几何？法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率，大分六一八○三三九九为二率，今所设之正方体每边一尺二寸为三率，求得四率七寸四分一厘六豪四丝零七微有余，即正方体内容二十面体之每一边也。如图，甲乙丙丁正方体内容戊己庚辛壬癸二十面体，以二十面体之六棱切于正方体之六面，则正方体之每边与二十面体之两边相对之线等，即二十面体戊庚两角相对之斜线。试自二十面体之戊庚二角类对角平截之，则所截之面成戊己庚子丑五等边之面形。戊庚两角相对斜线即如理分中末线之全分，庚子【与己庚等】一边即如理分中末线之大分【见球内容二十面体法】故全分与大分之比即同于今所设之正方体之毎一边与内容二十面体之每一边之比也。如有二十面体之一边求外切正方体之一边，则以二十面体之一边为理分中末线之大分，比例得全分，即外切正方体之每一边也。设如四面体，毎边一尺二寸，求内容正方体之每一边几何？法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸，三归二因得九十六寸，开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余，为四面体自尖至底中心之立垂线，折半得四寸八分九厘八豪九丝七忽九微有余，为四面体内容圆【之】球全径乃用【一】求球内容正方体之每一边，法以球径自乗，三归开平方，得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余，即四面体内容正方体之每一边也。如图，甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬正方体，以正方体之丁己辛癸四角切于四面体各面之中心，则四面体中心至每一面中心之立垂线，即正方体中心至角之斜线，四面体内【边】容圆球径。即正方体【也】外切圆球径，故先求得四面体内容圆球径，又求得球内容正方体之一边，即四面体内容正方体。又法，以四面体每边一尺二寸，自乗得一百四十四寸，以十八归除之，得八寸，开平方得二寸八分二厘八豪四丝二忽七微有余，即四面体内容正方体之每一边也。此法与前法同，盖四面体之自尖至底中心之立垂线，自乗方为每边自乗方之三分之二【之每一即六】内容圆球径为立垂线之一半【分之四见球外切四】则内容圆【面】球径自乗方为立垂线自乗方之四分之一，即为毎边自乗方之六分。之一而【体】圆球内容正方体之每边自乗方又【法】为圆球径自乗方之三分之一，故内容正方体之每边自乗方为四面体之每边自乗方之十八分之一也。如有正方体之一边，求外切四面体之一边，则以正方体之毎边自乗，以十八乗之，开平方即得外切四面体之每一边也设如四面体，每边一尺二寸，求内容八面体边几何？

法以四面体每边一尺二寸折半得六寸，即四面体内容八面体之每一边也。如图，甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬八面体，以八面体之四面切于四面体之各面，以八面体之六角切于四面体之六棱，其各角皆当各棱之一半，故内容八面体之毎边亦为四面体每边之一半也。如有八面体之一边，求外切四面体之一边，则以八面体之一边倍之，即得外切四面体之每一边也。设如四面体每边一尺二寸，求内容十二面体之每一边几何？法以四面体每边一尺二寸自乗得一尺四十四寸，三归二因得九十六寸，开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余，为四面体自尖至底中心之立垂线，折半得四寸八分九厘八毫九丝七忽九微有余，为四面体内容圆【面】球全径乃用【体】求球内容十二面体之一边法，以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股，小分三八一九六六一为勾，求得▯一○七○四六六二六为一率，小分三八一九六六○一为二率，今所得【内】之圆球径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微，为三率，求得四率一寸七分四厘八豪零三忽九微有余，即四面体内容十二面体之每一边也。如图，甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬十二面体，以十二面体之戊庚壬癸四角切于四面体各面之中心，则四面体中心至毎一面中心之立垂线，即十二面中心至各角之斜线，四面体【容】内容圆球径即十二面【十】体外切圆。球径，故先求得四面体内容圆球径，又求得球内容十二面体之每一边，即四二面体之每一边也。如有十二面体之一边，求外切四面体之每一边，则先求得十二面体外切圆球径，又求得球外切四面体之每一边，即十二面体外切四面体之每一边也。设如四面体每边一尺二寸，求内容二十面体之每一边几何法以四面体，毎边一尺二寸，求得内容。圆【丝】球全径四寸八分九厘八豪九丝。

七忽九微有【六忽法见】余乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　【前】求球外切二十面体之一边法以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率小分三八一九六六○一为二率今所得【题】之圆球全径折半得半径，二寸四分。四厘九豪四丝八忽，有微有余，为三率，求得四率九分三厘五豪六丝二忽一微有余，为二十面体毎一面中心至边之垂线。三因之，得二寸八分零六豪八三微有余，为二十面体每一面自角至对边之垂线。自乘三归四因，开平方，得三寸二分五厘二豪六丝三忽三微有余，即四面体内容二十面体之每一边也。如图，甲乙丙四面体内容丁戊己庚辛壬二十面体，以二十面体之丁戊癸、己庚子、丑丑辛、寅卯辰之四面切于四面体各面之中心，则四面体中心至每一面中心之立垂线，即二十面体中心至每一面中心之立垂线。四面体内容圆【面】球径即二十面体内容【体】圆球径。故先求得四面体内【之】容圆球径【一】又求得球外切二十面体之一边，即四面体内容二十面体之一边也。如有二十面体之一边，求外切四面体之一边，则求得二十面【边】体内容圆【也】球径又求得球外切四面体之一边，即二十面体外切四设如八面体，每边一尺二寸，求内容正方体之每一边几何？法以每边一尺二寸，三归之得四寸，自乘得一十六寸，倍之得三十二寸，开平方得五寸六分五厘六豪八丝六忽四微有余，即八面体内容正方体之每一边也。如图，甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛正方体，以正方体之八角切于八面体各面之中心。试自八面体之壬角至对边作壬癸一面中垂线，又自一面中心辛与甲丁边平行作子丑线，则壬辛为壬癸三分之二，子丑亦为甲丁三分之二。辛丑即为甲丁三分之一，与丑庚等。辛丑、丑庚与内容正方体之辛庚一边遂成辛丑庚勾股形。辛丑既与丑庚等，故以辛丑自乘，倍之，开平方即得辛庚为八面体内容正方体之每一边也。如有正方体之一边，求外切八面体之一边，则以正方体之一边自乘，折半，开平方，得数三因之，即外切八面体之一边也。设如八面体，每边一尺二寸，求内容四面体之每一边几何？八面体之每边，即内容四面体之每一边也。何以知之？盖甲乙丙丁八面体，内容戊乙丙己四面体。以乙丙己底面，合于八面体之一面，则上尖戊切于八面体甲庚丁一面之中心【其戊乙边恰与乙丙边等】故八面体之每一边，即内容四面体之每一边也。设如八面体，每边一尺二寸，求内容十二面体之每一边几何？法以八面体每边一尺二寸自乘得一尺四十四寸，三归二因得九十六寸，开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余，为八面体内容圆球全径，乃用求【体】球内容十二面体之一边，法以全径自乘，三归开平方，得五寸六分五厘六豪八丝五忽四微有余，为十二面体每一面两角相对斜线。

又以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率，大分六一八○三三九九为二率，今所得之每一面两角相对斜线为三率，求得四率三寸四分九厘六豪一丝二忽八微有余，即八面体内容十二面体之每一边也。如图，甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛十二面体，以十二面体之戊己庚辛壬癸子丑八角切于八面体各面之中心，则八面体中心至每面中心之立垂线，即内容十二面体中心。至各角之斜线，八面体内容【之】圆球径。即十二面体外【一】切圆球径，故先求得八面体内容圆球径，又求得球内容十二面体之一边，即八面体内容十二面边也。如有十二面体之一边，求外切八面体之一边，则先求得十二面体外切圆球径，又求得球外切八面体之一边，即十二面体外切八面体之一边也。设如八面体，每边一尺二寸，求内容二十面体之每一边几何？法以八面体毎边一尺二寸自乘得一尺四十四寸，六归之得二十四寸，开平方得四寸八分九厘八豪九丝七忽九。微有余，为八面体，内容圆【豪】球半径乃用【七】求球外切二十面体之一边法，以理分中末线之全分一○○○○○○○○为一率，小分三八一九六六○一。为二率，今所得【丝】之圆球半径四寸八分九厘八豪九丝七忽九微，为三率，求得四率一寸八分七厘一豪二丝四忽三微有余，为二十面体毎一面中心至边之垂线。三因之得五寸六分一厘三二忽九微有余，为毎一面自角至对边之垂线。自乗三归四因，开平方得六寸四分八厘二豪一丝七忽五微有余，即八面体内容二十面体之每一边也。如图，甲乙丙丁八面体内容戊己庚辛壬癸二十面体，以二十面体之戊丑子丑庚寅寅辛壬子壬癸戊己卯己庚辰己辰辛卯巳癸八面切于八面体各面之中心，则八面体中心至每面中心之立垂线，即内容二十面体中心至每面中心之立垂线，八面体内容圆【之】球径即二十面体内容【一】圆球径，故先求得八面体内【边】容「圆球径【也】又求得球外切二十面体之一边，即八面体内容二十面体之一边也。如有二十面体之一边，求外切八面体之一边，则先求得二十面体内客圆球径，又求得球外切八面体之一边，即二十面体外切八面体。设如十二面体，每边一尺二寸，求内容正方体之每一边几何？法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率，全分一○○○○○○○○为二率，今所设之十二面体每边一尺二寸为三率，求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余，即十二面体内容正方体之每一边也。如图，甲乙丙丁戊己十二面体内容庚乙辛丁壬己正方体，以正方体之十二棱切于十二面体之各面，则正方体之每一边即十二面体之每一面两角相对斜线，故用五等边面形有边求对角斜线法算之，即得十二面体内容正方体之每一边也。

如有正方体之一边，求外切十二面体之一边，则正方体之一边即外切十二面体之每一面两角相对斜线，用五等边面形有对角斜线求边法算之，即得正方体外切十二面体之一边也。设如十二面体，每边一尺二寸，求内容四面体之每一边几何？法以十二面体每边一尺二寸用求十二面体外切圆【寸】球径法，以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率，全分一○○○○○○○○为二率，今所设之十二面体每边一尺二寸，折半得六寸为三率，求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余，为十二面体中心至每边正中之斜线，以此斜线为股，每边之半六寸为勾，求得▯一尺六寸八分一厘五豪一丝零二微有余，倍之得三尺三寸六分三厘零二丝零四微有余为十二面体外切【四】圆球全径乃用求球内容四面体之一边法，以球径自乗，三归二因，开平方，得二尺七分五厘八豪九丝四忽六微有余，即十二面体内容四面体之每一边也。如图，甲乙丙丁戊己十二面体内客庚辛壬癸四面体，以四面体之四角切于十二面体之四角，则十二面体中心至各角之斜线，即四面体中心至各角之斜线。十二面体外切圆【○】球径即四面体外切圆球径，故先求得十二面体外切圆。球径又求【○】得球内容四面体之一边，即十二面体内容四面体之一边也。如有四面体之一边，求外切十二面体之一边则先求得四面体外【○】切圆球径。【○】又求得球内容十二面体之一边，即四面体外切十二面体之一边也设如十二面体每边一尺二寸求内容八面体之每一边几何法以理分中末线之小分三八一九六六○一为一率全分一○○○○为二率今所设之十二面体毎边一尺二寸折半得六寸为三率求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余为十二面体中心至毎边正中之斜线倍之得三尺一寸四分一厘六豪四丝零六微有余【即十二面体外切正方体之一边】为内容八面体两角相对斜线自乗折半开平方得二尺二寸二分一厘四豪七丝五忽二微有余即十二面体内容八面体之毎一边也如图甲乙丙丁戊己十二面体内容庚辛壬癸八面体以八面体之六角切于十二面体之六棱则十二面体中心至每边正中之斜线即内容八面体中心至各角之斜线倍之则得八面体两角相对之斜线故用斜▯求方边法求得方边即十二面体内容八面体之每一边也如有八面体之一边求外切十二面体之一边则先求得八面体两角相对斜线折半为外切十二面体中心至每边正中之斜线乃以理分中末线之全分与小分之比同于十二面体中心至毎边正中之斜线与每边之半之比既得每边之半倍之即八面体外切十二面体之一边也设如十二面体，每边一尺二寸，求内容二十面体之每一边几何？

法以十二面体毎边一尺二寸用求十二面体中心至毎面中心之立垂线法求得中心至毎边正中之斜线一尺五寸七分零八豪二丝零三微有余又求得每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八毫二丝九忽一微有余乃以中心至毎边正中之斜线为▯每一面中心至边之垂线为勾求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余倍之得二尺六寸七分二厘四豪三丝九忽二微有余为十二面体内容圆【十】球。全径乃用【面】求球内容二十面体之一边法，以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股，大分六一八○三三九九为勾，求得▯一一七五五七○五○为一率，大分六一八○三三九九为二率今所得【体】之圆球全径二尺六寸七分二厘四豪三丝九忽二微，为三率，求得四率一尺四寸零四厘九豪八丝四忽四微有余，即十二面体内容二十面体之每一边也。如图，甲乙丙丁戊十二面体内容己庚辛壬癸二十面体，以二十面体之十二角切于十二面体各面之中心，则十二面体中心至毎面中心之立垂线，即内容二十面体中心至各角之斜线十二面体【之】内容圆球径，即二十面体外切圆球径，故先求得十二面体内容圆球径，又求得球内容二一边，即十二面体内容二十面体之一边也。如有二十面体之一边，求外切十二面体之一边，则先求得二十面体外切圆【为】球径，又求【二】得球外切十二面体之一边，即二十面体外切十二面体之一。边也设如二十面体，每边一尺二寸，求内容正方体之每一边。几何法，以二十面体毎边一尺二寸，用求二十面体中心至每面中心之立垂线法，求得中心至毎边正中之斜线九寸七分零八豪二丝零三微有余，又求得每一面中心至边之垂线三寸四分六厘四豪一丝零一微有余，乃以中心至毎边正中之斜线为▯，以毎一面中心至边之垂线为勾，求得股九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余，倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余十面体内容圆【寸】球全径乃用【求】求球。内容正方体之一边【内】法以球径自乗，三归，开平方，得一尺零四分七厘二豪一丝三忽四微有余，即二十面体内容正方体之毎一边也。如图，甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸正方体，以正方体之八角切于二十面体之八面之中心，则二十面体中心至毎一面中心之立垂线，即内容正方体中心至角。之斜线二十面体【容】内容圆球径即正方【四】体外切圆球径，故先求得二十【面】面体内容【体】圆球径，又求得球内容正方体之一边，即二十面体内客正方体之一边也。如有正方体之一边，求外切。二十面体之一边则先求【之】得正方体。【毎】外切圆，球径又求得球外切二十面。

体之一边即正方体外切二十面体之一边也。设如二十面体，每边一尺，二一边几何？

法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至每面中心之立垂线法求得立垂线九寸厘六厘九豪一丝三忽五微有余【边即二法】倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面体内客圆　　　　　　　　　　　　【见】球全径乃用　　　　　　　　　　　　　　　　　　【前】求球内容四面体之毎一边法以球径自乗三归二因开平方得一尺四寸八分零九豪八丝三忽五微有余即二十面体内容四面体之每一边也如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸四面体以四面体之四角切于二十面体之四面之中心则二十面体中心至每面中心之立垂线即内容四面体中心至角之斜线二十面体内【题】容圆球径，即四面体外切圆球径，故先求得二十面体内容圆球径，又求得球内容四面体之一十面体内容四面体之毎一边也，如有四面体之一边，求外切二十面体之一边，则先求得四面体外切圆球径，又求得【面】球外切二十面体之一边，即四面体外切二十面体之一边。也设如二十面体每边一尺二寸，求内容八面体之每一边几？何法以理分中末线之大分六一八○三三九九为一率，全分一○○○○○○○○为二率，今所设之二十面体毎边一尺二寸，折半得六寸为三率，求得四率九寸七分零八豪二丝零三微有余，为二十面体中心至毎边正中之斜线，倍之得一尺九寸四分一厘六豪四丝零六微有【即二十面体外切正方体之一边】余为内容八面体两角相对之斜线，自乗折半开平方，得一尺三寸七分二厘九豪四丝七忽一微有余，即二十面体内容八体之毎一边也。如图甲乙丙丁戊己二十面体内容庚辛壬癸八面体，以八面体之六角切于二十面体之六棱，则二十面体中心至每边正中之斜线，即内容八面体中心至各角之斜线，倍之则得八面体两角相对之斜线，故用斜▯求方边法求得方边，即二十面体内容八面体之毎一边也。如有八面体之每一边，求外切二十面体之每一边，则先求得八面体之角相对斜线，折半为外切二十面体中心至每边正中之斜线，乃以理分中末线之全分与大分之比，同于二十面体中心至每边正中之斜线与毎边之半之比，既得毎边之半，倍之即八面体外切二十面体之一边也。设如二十面体，每边一尺二寸，求内容十二面体之每一边几何？

法以二十面体毎边一尺二寸用求二十面体中心至毎面中心之立垂线法求得立垂线九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余【面体】见倍之得一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余为二十面体内容圆【中】球全径乃用【法】求球内容十二面体之一边法，以理分中末线之全分一○○○○○○○○为股，小分三八一九六六○一为勾，求得▯一○七○四六六二六为一率，小分三八一九六六一为二率，今所得【前】之圆球全径一尺八寸一分三厘八豪二丝七忽有余，为三率，求得四率六寸四分七厘二豪一丝三忽五微有余，即二十面体内容十二面体之每一边也。如图，甲乙丙丁戊二十面体内容己庚辛壬癸十二面体，以十二面体之二十角切于二十面体各面之中心，则二十面体中心至每面中心之立垂线，即内容十二心至角之斜线，二十面体内容圆【每】球径即十二面体外切【一】圆球径，故先求得二十面体内容圆球径，又求得球内容十二面体之一边，即二十面体内容十二面体之一边也。如有十二面体之一边，求外切二十面体之一边，则先求得十二面体外【边】切圆球径【也】又求得球外切二十面体之一边，即十二面体外切二十面体之更体形设如正方体，每边一尺二寸，今欲作与正方体积相等之圆球体，问径几何？法用体积相等，边线不同之定率，比例以定率之正方体之每边一○○○○○○○○为一率，圆【积】球径一，二四○七○○九八为二率，今所设之正方体之毎边一尺二寸为三率，求得四率一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余。即【亦】圆球之径也。葢正方体之每边为一○○○○○○○【为】○圆球径为一二四○七○○九八，则两体积相等，故以子丑寅卯正方体之每边一○○○○○○○○与【相】辰巳圆球径一二四○七○○九八之比，即同于今所设之甲乙丙丁正方体之每边一尺二寸，与今所得之戊己圆球径一尺四寸八分八厘八豪四丝一忽有余之比，而两体等也。设如正方体积一尺七百二十八寸，今欲作与正方边相等之圆球体，问积几何？法用边线相等，体积不同之定率，比例以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率，圆【八】球积五二三五九八七七五为二率，今所设之正方体积一尺七百二十八寸为三率，求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十。三厘有余，即【分】圆球之积也。葢正方体，积为一○○○○○○○○【六】○圆球积为五二三五九八七七五则正方体。之每【百】边与圆球径相等，故以子丑寅卯正方体积一○○○○○○○○○【八】与辰巳圆球积五二三五九八七七。五之比，即同于今所设之甲、乙、丙、丁正方体积，一尺七百二十八寸，与今所得之戊、己圆球积九百零四寸七百七十十三厘有余之比，而正方体之每边与圆　　　　　　　　　【分】球径亦为相等也设如圆球径一尺二寸，今欲作与圆球积相等之四面体，问毎一边几？何法用体积相等，边线不同之定率比？例以定率之【二】圆球径一二四○七○○九八为一率，四面体之毎边二○三九六四八九○为二率，今所设之圆球径一尺二寸为三率，求得四率一尺九寸七分二厘七豪三丝八忽有余，即四面体之每一边也　　　　　　　　　　　　　　　【厘】葢圆球径为一二四○七○○九八四面体之毎边为二○三九六四八九○则两体积相等故以【七】子丑圆球径一二四○七○○九八与寅卯辰巳四面体之每边二○三九六四八九○之比，即同于今所设【豪】之甲乙圆球径一尺二寸与今所得之丙丁戊己四面体之每边一尺九寸七三丝八忽有余之比，而两体积亦为相等也。设如圆球积一尺七百二十八寸，今欲作与圆球径相等之四面体，问积几何？法用边线相等、体积不同之定率比例。以定率之圆【面】球积五二三五九八七七五为一率，四面体积一一七八五一一二九为二率，今所设之圆球积一尺七百二十八寸为三率，求得四率三百八十八寸九百三十六分六百四十五。厘有余即四面体之积也。葢【体】圆球积为五二三五九八七七五，四面体积为一一七八五一一二九【积】则圆球径与四面体之每边相等，故以【三】子丑圆球积五二三五九八七七五，与寅卯辰巳四面体积一一七八五一一二九之比，即同于今所设之甲乙圆球积一尺七百二十八寸，与今所得之丙丁戊己四百八十八寸九百三十六分六百四十。五厘有余之比而圆【面】球径与四面体之毎边亦为相等。也设如八面体每边一尺二寸，今欲作与八面体积相等之十二面体，问每边几？

何法用体积相等边线不同之定率比例以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率十二面体之每边五○七二二二○七为二率今所设之八面体之每边一尺二寸为三率求得四率四寸七分三厘七豪零七忽有余即十二面体之每一边也葢八面体之每边为一二八四八九八二九十二面体之每边为五○七二二二○七则两体积相等故以子丑寅卯八面体之每边一二八四八九八二九与辰巳午未申十二面体之每边五○七二二二○七之比即同于今所设之甲乙丙丁八体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛壬十二面体之毎边四寸七分三厘七豪零七忽有余之比而两体积亦为相等也设如八面体积一尺七百二十八寸，今欲作与八面体毎边相等之二十面体，问积几何？

法用边线相等体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率二十面体积二一八一六九四九六九为二率今所设之八面体积一尺七百二十八寸为三率求得四率七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余即二十面体之积也葢八面体积为四七一四○四五二一二十面体积为二一八一六九四九六九则八面体之毎边与二十面体之毎边相等故以子丑寅卯八面体积四七一四○四五二一与辰巳午未申酉二十面体积二一八一六九四九六九之比即同于今所设之甲乙丙丁八面体积一尺七百二十八寸与今所得之戊己庚辛壬癸二十面体积七尺九百九十七寸三百一十一分七百三十二厘有余之比而八面体之每边与二十面体之每边亦为相等也御制数理精蕴下编卷二十九<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书