御制数理精蕴下编卷二十七

御制数理精蕴下编卷二十七

体部五各等面体

各等面体设如四面体，每边一尺二寸，求积几何？法以每边一尺二寸为▯，每边折半得六寸为勾，求得股一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余，为每一面之中垂线。与每边一尺二寸相乗，折半得六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余，为每一面之面积。又以毎边一尺二寸为▯，每一面之中垂线取其三分之二，得六寸九分二厘八豪二丝零二防有余为勾，求得股九寸七分九厘七豪九丝五忽九微有余，为四面体自尖至底中心之立垂线。或以毎一面之中垂线一尺零三分九厘二豪三丝零四微有余为▯，每一面之中垂线取其三分之一，得三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾，亦得股九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余，为四面体自尖至底之中之立垂线。以此立垂线与每一面之面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗，三归之，得二百零三寸六百四十六分七百三十七厘有余，即四面体之积也。如圗甲乙丙丁四面体，其棱六角四平铺之，则面亦四，各成一等边三角形。试以乙丙丁之一面为底，以乙丙一边为▯，丁丙一边折半得戊丙为勾，求得乙戊股与甲戊等，即每一面之中垂线。与丁丙一边相乗，折半得乙丙丁底面积。又以甲丙一边为▯，己丙中垂线之三分之二为勾，求得甲己股为自尖至底中心之立垂线。或以甲戊每一面之中垂线为▯，己戊中垂线之三分之一为勾，亦得甲己股为自尖至底中心之立垂线。乃以甲己立垂线与乙丙丁底面积相乗，三归之，即得甲乙丙丁四面体之积也。又求自尖至底中心之立垂线防法，以毎边一尺二寸自乗，得一尺四十四寸，三归二因得九十六寸，开平方得九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余，即自尖至底中心之立垂线也。此法葢因甲丙为▯，戊丙为勾，求得甲戊股，则甲戊自乗方为甲，丙自乗方之四分之三【见等边三角形求中垂线法】又甲戊为▯，己戊为勾，求得甲己股。则甲己自乗方为甲戊自乗方之九分之八【己戊为甲戊三分之一，则甲戊自乗方为九分，己戊自乗方为一分，甲己自乗方为八分】甲戊自乗方既为甲丙自乗方四分之三，今命甲戊自乗方为甲丙自乗方十二分之九，而甲己自乗方又为甲戊自乗方九分之八，则甲己自乗方必为甲丙自乗方十二分之八，即三分之二。故以一边自乗，三归二因，得甲己自乗方积，而开方得甲己为立垂线之髙数也。又用知一边求髙数之定率比例，求自尖至底中心之立垂线，以定率之四面体之每边一○○○○○○○○为一率，四面体之立垂线八一六四九六五八为二率，今所设之四面体之每边一尺二寸为三率，求得四率九寸七分九厘七豪九丝五忽八微有余，即四面体自尖至底中心之立垂线也。

又用边线相等体积不同之定率比例，以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率，四面体积一一七八五一一二九为二率，今所设之四面体之每边一尺二寸，自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率，求得四率二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余，即四面体之积也。葢四面体之每一边为一○○○，则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○，而四面体之每一边一○○○所得之四面体积为一一七八五一一二九，故以子丑寅卯四面体之每边一尺自乗再乗之辰巳午未正方体积一○○○○○○○○○，与子丑寅卯四面体积一一七八五一一二九之比，即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸自乗再乗之戊己庚辛正方体积一尺七百二十八寸，与今所得之甲乙丙丁四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘有余之比也。又用体积相等、边线不同之定率比例，以定率之四面体之每边二○三九六四八九○为一率，正方体之每边一○○○○○○○○为二率，今所设之四面体之毎边一尺二寸为三率，求得四率五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余，为与四面体积相等之正方体每边之数。自乗再乗得二百零三寸六百四十六分七百厘有余，即四面体之积也。葢四面体之每边为二○三九六四八九○，正方体之每边为一○○○○○○○○，则两体积相等。故以子丑寅卯四面体之毎边二○三九六四八九○与辰巳午未正方体之每边一○○○○○○○○之比，即同于今所设之甲乙丙丁四面体之每边一尺二寸与今所得之戊己庚辛正方体之每边五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余之比。既得一边自乗再乗得戊己庚辛正方体积，即与甲乙丙丁四面体之积为相等也。如有四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘，求每边之数？则用边线相等，体积不同之定率比例以定率之四面体积一一七八五一一二九为一率，正方体积一○○○○○○○○○为二率，今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘为三率，求得四率一尺七百二十八寸，开立方得一尺二寸，即四面体之每一边也。此法葢因四面体之每边与正方体之每边相等，四面体积与正方体积不同，故先定为体与体之比例，既得正方体积，而后开立方得线也。又法，用体积相等、边线不同之定率比例，以定率之正方体之毎边一○○○○○○○○为一率，四面体之每边二○三九六四八九○为二率，今所设之四面体积二百零三寸六百四十六分七百五十厘，开立方得五寸八分八厘三豪三丝六忽五微有余，为三率，求得四率一尺二寸，即四面体之每一边也。此法葢因四面体积与正方体积相等，四面体之每边与正方体之每边不同，故以四面体积先开立方得正方体之每边，而后为线与线之比例也。

设如八面体，每边一尺二寸，求积几何？法以八面体分作二尖方体算之，将每边一尺二寸自乗，得一尺四十四寸，为二尖方体之共底面积。又以每边自乗之一尺四十四寸倍之，得二尺八十八寸，开平方得一尺六寸九分七厘零五丝六忽二微有余，为二尖方体之共髙，即八面体之对角斜线。以此斜线与二尖方体之共底面积一尺四十四寸相乗，三归之，得八百一十四寸五百八十六分九百七十六厘有余，即八面体之积也。如图甲乙丙丁戊己八面体，其棱十二，角六，平铺之则面为八，各成一等边三角形。自体正中对四角平分截之，则成甲乙己丁、戊丙乙戊丁己二尖方体。甲丙为二尖方体之共髙，即甲乙丙丁正方形之对角斜线。故以戊乙一边自乗，得戊乙己丁正方面积，为二尖方体之共底。又以戊乙己丁正方面积倍之，开平方，即如甲乙为勾，乙丙为股，各自乗相并开方得甲丙▯，为八面体之对角斜线，即二尖方体之共髙。以此共髙与戊乙己丁二尖方体之底面积相乗，三归之，得二尖方体积，即八面体之总积也。又用边线相等体积不同之定率比例，以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率，八面体积四七一四○四五二一为二率，今所设之八面体之每边一尺二寸，自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率，求得四率八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余，即八面体之积也。葢八面体之每一边为一○○○，则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○，而八面体之每一边一○○○所得之八面体积为四七一四○四五二一，故以子丑寅卯辰已八面体之每边一尺，自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○，与子丑寅卯辰己八面体积四七一四○四五二一之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸，自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸，与今所得之甲乙丙丁戊己八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘有余之比也。又用体积相等、边线不同之定率比例，以定率之八面体之每边一二八四八九八二九为一率，正方体之每边一○○○○○○○○为二率，今所设之八面体之每边一尺二寸为三率，求得四率九寸三分三厘九豪二丝六忽有余，为与八面体积相等之正方体每边之数。自乗再乗，得八百一十四寸五百八十六分八百五十六厘有余，即八面体之积也。葢八面体之每边为一二八四八九八二九，正方体之毎边为一○○○○○○○○，则两体积相等。故以子丑寅卯辰己八面体之每边一二八四八九八二九与午未申酉正方体之每边一○○○○○○○○之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊己八面体之每边一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每边九寸三分三厘九豪二丝六忽有余之比。

既得一边自乗再乗，得庚辛壬癸正方体积，即与甲乙丙丁戊己八面体之积为相等也。如有八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘，求每边之数？则用边线相等，体积不同之定率比例以定率之八面体积四七一四○四五二一为一率，正方体积一○○○○○○○○○为二率，今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘为三率，求得四率一尺七百二十八寸，开立方得一尺二寸，即八面体之每一边也。此法葢因八面体之每边与正方体之每边相等，八面体积与正方体积不同，故先定为体与体之比例，既得正方体积，而后开立方得线也。又法用体积相等边线不同之定率比例，以定率之正方体之每边一○○○○○○○○为一率，八面体之每边一二八四八九八二九为二率，今所设之八面体积八百一十四寸五百八十七分一十二厘，开立方得九寸三分三厘九豪二丝六忽有余为三率，求得四率一尺二寸，即八面体之每一边也。此法葢因八面体积与正方体积相等，八面体之每边与正方体之每边不同，故以八面体积先开立方得正方体之每边，而后为线与线之比例也。设如十二面体，每边一尺二寸，求积几何？法以十二面体分作十二五角尖体算之，将每边一尺二寸，求得五等边形之分角线为一尺零二分零七豪八丝零九微有余，自中心至每边之垂线为八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余，面积为二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余。乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率，全分一○○○○○○○○为二率，今所设之每边一尺二寸为三率，求得四率一尺九寸四分一厘六豪四丝零七微有余，为每一面两角相对之斜线。又用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率，全分一○○○○○○○○为二率，今所得之每一面两角相对之斜线折半得九寸七分零八豪二丝零三微有余为三率，求得四率一尺五寸七分零八豪二丝零二微有余，为十二面体之中心至每边正中之斜线。乃以此斜线为▯每一面中心至边之垂线八寸二分五厘八豪二丝九忽一微有余为勾，求得股一尺三寸三分六厘二豪一丝九忽六微有余，为十二面体之中心至每一面中心之立垂线。爰以此立垂线与每一面积二尺四十七寸七十四分八十七厘三十豪有余相乗三归之，得一尺一百零三寸四百八十九分零二十九厘有余，为一五角尖体积。十二因之，得一十三尺二百四十一寸八百六十八分三百四十八厘有余，即十二面体之总积也。如图甲乙丙丁戊十二面体，其棱三十，角二十，平铺之则面十二，各成一等边五角形。先求得己庚辛壬癸五等边形之子已类分角线，又求得子丑自中心至每边之垂线，复求得己庚辛壬癸五等边形之面积。

次以辛壬一边为大分，己辛两角相对斜线为全分，故辛壬与己辛之比同于理分中末线之大分与全分之比，而得两角相对之斜线。又自十二面体之正中截之则成十等边之面形，而其所截之处皆正当每边之一半，故其所截之寅卯等线亦为乙丙两角相对斜线【与己辛等】之一半，而为十等边形之一边，故寅卯与辰寅之比，又同于理分中末线之大分与全分之比，而得十二面体之中心至每边正中之斜线，乃以辰寅斜线为▯，每面中心至每邉之子丑垂线为勾，求得辰子股，即十二面体中心至每面中心之立垂线，以此辰子立垂线与己庚辛壬癸一面积相乗，三归之，得辰巳庚辛壬癸一五角尖体积，十二因之，即得甲乙丙丁戊十二面体之总积也。又用邉线相等体积不同之定率比例，以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率，十二面体积七六六三一一八九○三为二率，今所设之十二面体之每邉一尺二寸，自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率，求得四率一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余，即十二面体之积也。盖十二面体之每一邉为一○○○，则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○，而十二面体之每一邉一○○○所得之十二面体积为七六六三一一八九○三，故以子丑寅邜辰十二面体之每邉一尺自乗再乗之巳午未申正方体积一○○○○○○○○○，与子丑寅邜辰十二面体积七六六三一一八九○三之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸自乗再乗之巳庚辛壬正方体积一尺七百二十八寸，与今所得之甲乙丙丁戊十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘有余之比也。又用体积相等、邉线不同之定率比例，以定率之十二面体之每邉五○七二二三○七为一率，正方体之每邉一○○○○○○○○为二率，今所设之十二面体之每邉一尺二寸为三率，求得四率二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余，为与十二面体积相等之正方体每邉之数。自乗再乗得一十三尺二百四十一寸八百六十八分八百四十八厘有余，即十二面体之积也。葢十二面体之每邉为五○七二二二○七，正方体之每邉为一○○○○○○○○，则两体积相等。故以子丑寅邜辰十二面体之每邉五○七二二二○七与巳午未申正方体之每邉一○○○○○○○○之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊十二面体之每邉一尺二寸与今所得之己庚辛壬正方体之每邉二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余之比。既得一邉自乗再乗得己庚辛壬正方体积，即与甲乙丙丁戊十二面体之积为相等也。如有十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘，求每邉之数？

则用邉线相等，体积不同之定率比例以定率之十二面体积七六六三一一八九○三为一率，正方体积一○○○○○○○○○为二率，今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘为三率，求得四率一尺七百二十八寸，开立方得一尺二寸，即十二面体之每一邉也。此法葢因十二面体之每邉与正方体之每邉相等，十二面体积与正方体积不同，故先定为体与体之比例，既得正方体积，而后开立方得线也。又法用体积相等，邉线不同之定率比例，以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率，十二面体之每邉五○七二二二○七为二率，今所设之十二面体积一十三尺二百四十一寸八百六十九分四百六十四厘开立方得二尺三寸六分五厘八豪二丝七忽六微有余为三率，求得四率一尺二寸，即十二面体之每一邉也。此法葢因十二面体积与正方体积相等，十二面体之每邉与正方体之每邉不同，故以十二面体积先开立方得正方体之每邉，而后为线与线之比例也。设如二十面体，每邉一尺二寸，求积几何？法以二十面体分作二十三角尖体算之，将每邉一尺二寸，求得三等邉形之分角线为六寸九分二厘八豪二丝零二微有余，自中心至每邉之垂线为三寸四分六厘四豪一丝零一微有余，面积为六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余。乃用理分中末线之大分六一八○三三九九为一率，全分一○○○○○○○○为二率，今所设之每邉一尺二寸折半得六寸为三率，求得四率九寸七分零八豪二丝零三微有余，为二十面体之中心至每邉正中之斜线。乃以此斜线为▯，每一面中心至邉之垂线三寸四分六厘四豪一丝零一微有余为勾，求得股九寸零六厘九豪一丝三忽五微有余，为二十面体之中心至每一面中心之立垂线。爰以此立垂线与每一面积六十二寸三十五分三十八厘二十四豪有余相乗，三归之，得一百八十八寸四百九十八分四百一十五厘有余，为一三角尖体积。二十因之，得三尺七百六十九寸九百六十八分三百厘有余，即二十面体之总积也。如圗，甲乙丙丁戊二十面体，其棱三十角十二平铺之，则面二十各成一等邉三角形。先求得己丙丁三等邉形之己庚类分角线，又求得庚辛自中心至每邉之垂线，复求得巳丙丁三等邉形之面积。次自二十面体之正中截之，则成十等邉之面形，而其所截之处皆正当每邉之一半，故其所截之壬癸等线亦为乙丙每邉之一半，而为十等邉形之一邉，故壬癸与子壬之比同于理分中末线之大分与全分之比，而得二十面体之中心至每邉正中之斜线。乃以子壬斜线为▯，每面中心至每邉之庚辛垂线为勾，求得子庚股，即二十面体中心至每面中心之立垂线。

以此子庚立垂线与己丙丁一面积相乗，三归之，得子己丙丁一三角尖体积二。十因之，即得甲、乙、丙、丁、戊二十面体之总积也。又用邉线相等体积不同之定率比例，以定率之正方体积一○○○○○○○○○为一率，二十面体积二一八一六九四九六九为二率，今所设之二十面体之每邉一尺二寸，自乗再乗得一尺七百二十八寸为三率，求得四率三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘有余，即二十面体之积也。葢二十面体之每一邉为一○○○，则其自乗再乗之正方体积为一○○○○○○○○○，而二十面体之每一邉一○○○所得之二十面体积为二一八一六九四九六九，故以子丑寅邜辰巳二十面体之毎邉一尺自乗再乗之午未申酉正方体积一○○○○○○○○○，与子丑寅邜辰巳二十面体积二一八一六九四九六九之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊己二十面体之每邉一尺二寸自乗再乗之庚辛壬癸正方体积一尺七百二十八寸，与今所得之甲乙丙丁戊己二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘有余之比也。又用体积相等、邉线不同之定率比例，以定率之二十面体之每邉七七一○二五三四为一率，正方体之每邉一○○○○○○○○为二率，今所设之二十面体之每邉一尺二寸为三率，求得四率一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余，为与二十面体积相等之正方体每邉之数。自乗再乗得三尺七百六十九寸九百六十八分四百四十九厘有余，即二十面体之积也。葢二十面体之每邉为七七一○二五三四，正方体之每邉为一○○○○○○○○，则两体积相等。故以子丑寅邜辰巳二十面体之每邉七七一○二五三四与午未申酉正方体之每邉一○○○○○○○○之比，即同于今所设之甲乙丙丁戊己二十面体之每邉一尺二寸与今所得之庚辛壬癸正方体之每邉一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余之比。既得一边自乗再乗得庚辛壬癸正方体积，即与甲乙丙丁戊己二十面体之积为相等也。如有二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘，求每边之数？则用边线相等，体积不同之定率比例以定率之二十面体积二一八一六九四九六九为一率，正方体积一○○○○○○○○○为二率，今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分九百零六厘为三率，求得四率一尺七百二十八寸，开立方得一尺二寸，即二十面体之每一边也。此法葢因二十面体之每边与正方体之毎边相等，二十面体积与正方体积不同，故先定为体与体之比例，既得正方体积，而后开立方得线也。又法，用体积相等、邉线不同之定率比例，以定率之正方体之每邉一○○○○○○○○为一率，二十面体之每邉七七一○二五三四为二率，今所设之二十面体积三尺七百六十九寸九百六十八分八百七十八厘，开立方得一尺五寸五分六厘三豪六丝九忽有余，为三率，求得四率一尺二寸，即二十面体之每一邉也。

此法葢因二十面体积与正方体积相等，二十面体之毎邉与正方体之每邉不同，故以二十面体积先开立方得正方体之每邉，而后为线与线之比例也。

御制数理精蕴下编二十七<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书