几何论约卷一

几何论约卷一

柘城杜知耕撰一题有界直线上求立平边三角形法曰：甲乙直线上，求立平边三角。形，先以甲为心，乙为界，作丙、乙、丁。圜次以乙为心，甲为界，作丙甲丁。圜两圜相交于丙，于丁末作甲丙乙丙两线，即甲乙丙为平边三角形。论曰：两圜既等，甲乙、乙丙、丙甲三线皆圜之半径，故等【界説十五】用法不必作全圜，但作短界线相交处即得。丙【下图】二题。一直线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等。法曰：有甲防及乙丙线，求以甲为界，作一线与乙丙等。先以丙为心，乙为界，作乙戊圜。次观甲防若在丙乙之外则作甲丙线如上圗或甲防在丙乙之内则截取甲丙线如下圗两法俱以甲丙线为底，作甲丁丙平边三角形【本卷一】次引丁丙至乙戊圜界为丙戊，引丁甲出圜界外稍长为甲己。末以丁为心，戊为界，作辛戊圜。其丁己线与辛戊圜相交于庚，即甲庚与乙丙等。论曰：丁戊、丁庚同为外圜半径，故等；丙戊、丙乙同为内圜半径，亦等于丁庚。减丁甲于丁戊，减丁丙，其所减两腰等，则所存必等【公论三】夫甲庚既等于丙戊，即等于丙乙矣。若所设甲防在丙乙线之一界，其法尤易。若甲防在丙，即以丙为心作乙戊圜，从丙至戊即所求。三题。长短两直线，求于长线减去短线之度。法曰：甲短线，乙丙长线，求于乙丙减甲。先作乙丁线，与甲等；次以乙为心，丁为界作圜，圜界交乙丙于戊，即乙戊与等甲之乙丁等。盖乙丁、乙戊同心同圜，故也【界説十五】

四题两三角形若相当之两腰各等，各两腰间角等，则两底必等，而两形亦等，其余各两角相当者俱等。解曰：甲乙丙丁戊己两角形，甲与丁两角等，甲丙与丁、己两线，甲、乙与丁、戊两线各等。题言：乙、丙与戊、己两底必等，而两角。形亦等，乙与戊两角，丙与己两角，俱等【三角形称为角形，省文也】

五题三角形若两腰等，则底线两端之两角等，而两腰引出之其底之外两角亦等。解曰：甲乙丙角形，其甲丙与甲乙两腰等。题言甲丙乙与甲乙丙两角等，又引甲丙。至戊，引甲乙至丁，其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等。

増凡三边等形其三角俱等六题三角形，若底线两端之两角等，则两腰亦等。

七题一线为底，出两腰线，其相遇止有一防，不得别有腰线与元腰线等，而于此防外相遇。解曰：乙丙线为底，于乙、于丙各出一线至甲，防相遇，不得于乙上更出一线与甲乙等，丙。上更出一线与甲、丙等而不于甲相遇。

八题两三角形若相当之两腰各等，两底亦等，则两腰间角必等。解曰：甲乙丙丁戊己两角形，其甲乙与丁戊两腰，甲丙与丁己两腰各等，乙丙。与戊己两底亦等，题言甲丁两角必等。糸本题止论甲丁两角，若旋转依法论之，即三角皆同，可见凡线等角必等，不可疑也。

九题有直线角求两分之法曰：乙甲丙角，求两平分之先，于甲乙线任截一分为甲丁，次于甲丙截甲戊与甲丁等，次作丁戊线，次以丁戊为底立丁己戊。平边三角形【本卷一】末作甲己线，即乙甲丙角为两平分。用法如前，截取甲丁、甲戊，即以丁为心，向乙丙间作一短界线。次用元度以戊。为心亦如之，两界线交处，即得己【本巻一】

十题一有界线求两平分之法曰：甲乙线求两平分，先以甲乙为底，作甲乙丙两边等三角形【本巻一】次平分丙角【本巻九】作丙丁线，即平分甲乙于丁。用法：以甲为心，任用一度，但须长于甲乙线之半，向上、向下各作一短界线。次用元度，以乙为心，亦如之。两界线交处，即丙丁。末作丙。

丁线即平分甲乙于戊十一题一直线任于一防上求作垂线法曰：甲乙直线，任指丙防，求作垂线。先任用一度于丙左右，各截一界为丁，为戊。次以丁戊为底，作丁己、戊两邉等角形【本巻一】末作己丙线，即为甲乙之垂线。用法于丙防左右如前，截取丁与戊，即以丁为心，任用一度，但须长于丙丁线，向丙上方作短界线。次用元度，以戊为心，亦如之，两界。

线交处即己増若所欲立垂线之防在线末，甲界上，甲外无余线可截，则于甲乙线上任取丙防，如前法于丙上立丁丙垂线，次平分甲丙丁角为己丙线，次于丁丙线截取戊丙与甲丙等，次于戊上立垂线与己丙线相遇于庚，末自庚作庚甲线为所求。论曰：庚丙甲庚丙戊两角形等，甲与戊两角必等。戊既直角，则甲亦直角，故庚甲为甲乙之垂线【界十】用法：甲防上欲立垂线，先以甲为心，向元线上方任抵一界为丙。次用元度，以丙为心作大半圜，圜界遇甲乙线于丁。次自丁至丙作直线，引长至戊，遇圜界于己。末作己甲线为所求。耕曰：丁己既过，丙心即是圜径而己甲丁则全圜之半也。丁甲己角既负半圜，必为直角【三巻三一】故己甲为甲乙之垂线。

十二题有无界直线之外，有一防，求自防作垂线至直线上。法曰：甲乙线外有丙防，求自丙作垂线至甲乙。先以丙为心，作一圜，令两交于甲乙线为丁、戊。次作丙丁、丙戊两线。次平分丁戊于己【本巻十】末作丙，己为所求。用法：以丙为心，向直线两处各作短界线，为甲，为乙。次用一度，以甲为心，向丙防相望处作短界线；乙为心，亦如之。两界线交处为丁。末作丙丁交直线于戊，即丙戊为垂线。又用法于甲乙线上，近甲或近乙，任取一防为心，以丙为界作一圜，界于丙防及相望处各稍引长。

之次于甲乙线上视前心或相望如上圗或进或退如下图任移一防为心以丙为界作一圜界与前圜界交处，得丁末，作丙丁线，交甲乙线于戊，即丙戊为垂线【若近界作垂线无可截取，亦用此法】

十三题一直线至他直线上所作两角，非直角，即等于两直角。解曰：甲乙线至丙丁线上，作甲乙丙、甲乙丁两角。题言此两角若非直角，即一鋭一钝，而并之等于两直角。论曰：试作戊乙垂线【本巻十一】则成戊乙丁、戊乙丙两直角。甲乙丁角加一戊乙甲角，与戊乙丁直角等；甲乙丙角减一戊乙甲角，与戊乙丙直角等。故甲乙丁、甲乙丙两角并与两直角等。

十四题一直线于线上一防岀不同方两直线偕元线毎旁作两角，若旁两角与两直角等，即后出两线为一直线。解曰：甲乙线于丙防上，左岀一线为丙丁，右出一线为丙戊。若甲丙戊、甲丙丁两角与两直角等题，言丁丙与丙戊是一直线【论同前题】

十五题凡两直线相交，作四角，毎两交角必等。解曰：甲乙丙丁两线相交于戊，题言甲戊、丙丁戊。乙、两角甲、戊、丁、丙、戊、乙、两角各等。论曰：两直线相交，则甲戊丁，丁戊乙，必等于。两直角甲戊丁，甲戊丙亦等于两直角【本巻十三】是甲戊丁，丁戊乙两角并与甲戊丁，甲戊丙两角并等矣。试减同用之甲戊丁角，所存丁戊乙，甲戊丙两角必等。余两角亦同此论。一糸推显，两直线相交，作四角，与四直角等。二糸凡直线相交于一防，不论几许线，几许角，定与四直角等。増题：一直线内出不同方两直线，而所作两交角等，即后出两线为一直线【理同本题反言之】

十六题凡三角形之外角，必大于相对之各角。解曰：甲乙丙角形，自乙甲线引至丁，题言丁甲丙外角，必大于相对之甲乙丙、甲丙乙内角。论曰：试以甲丙平分于戊，作乙戊线，引长之，从戊截取戊己与乙戊等，次作甲己线，成甲戊己、戊乙丙两角形。其戊己与戊乙，戊甲与戊丙各等，甲戊己、乙戊丙两交角又等【本巻十五】则甲己与乙丙两底亦等【本巻四】而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣。夫己甲戊乃丁甲丙之分，则丁甲丙大于己甲戊，亦大于相等之戊丙乙矣。依前推显庚甲乙大于辛乙丙，庚甲乙又与丁甲丙两交角相等【本巻十五】是丁甲丙亦大于辛乙丙矣。

十七题凡三角形之毎两角，必小于两直角。解曰：甲乙丙角形题，言毎两角并俱小于两直角。论曰：试引丙乙至丁，甲乙丙甲乙丁两角，并与两直角等【本巻十三】而甲乙丁外角，必大于甲丙乙内角【本巻十六】是甲乙丙与甲丙乙两角并，小于两直角矣。余二角仿此。

十八题凡三角形，大邉对大角，小邉对小角。解曰：甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边，乙丙边。题言甲乙丙角大于甲丙两角。论曰：试于甲丙线上截甲丁与甲乙等，作乙丁线，则甲乙丁与甲丁乙两角等矣【本巻五】夫甲丁乙角者，乙丙丁角形之外角，必大于相对之丁丙乙内角【本巻十六】则甲乙丁角亦大于甲丙乙角，而况甲乙丙又函甲乙丁于其中，不更大于甲丙乙乎？如乙丙边大于甲乙边，则甲角亦大于丙角，依此推显十九题。凡三角形，大角对大边，小角对小边。

二十题凡三角形之两边并，必大于一边。

二十一题凡三角形，于一边之两界出两线，复作一三角形在其内，则内形两腰并，必小于相对两腰并，而后两线所作角，必大于相对角。解曰：甲乙丙角形，于乙丙边之两界，各出一线，遇于丁。题言：丁丙、丁乙两线并，必小。于甲乙、甲丙并，而乙丁、丙角必大于乙甲、丙角。二十二题。三直线，其毎两线并大于一线，求作三角形。法曰：甲乙丙三线，其第一第二线并大于第三线【若两线比第三线或等或小，即不能作三角形，见本巻二十】求作三角形，先任作丁戊线，长于三线并，次截丁己与甲等，截己庚与乙等。截庚辛与丙等次，以己为心，丁为界，作丁壬癸圜；以庚为心，辛为界，作辛壬癸圜。其两圜相遇，下为壬，上为癸。末以庚己为底，作癸庚、癸己两线，即得己癸庚三角形【壬防亦可作若两圜不相交，即是两线或等或小于第三线，不成三角形】用法：先作丁戊线，与乙等次，以丁为心，甲为度，向上作短界线。次以戊为心，丙为度，亦如。之交处得己，末作己丁，己戊两线为所求【若设一三角形，求别作一形与之等，亦用此法】

二十三题一直线任于一防上求作一角与所设角等。法曰：甲乙线于丙防求作一角，与丁戊己角等。先任作庚辛线，成庚戊辛角形。次依甲乙线作丙壬癸角形，与戊庚辛等【本卷二二】二十四题。两三角形相当之两腰各等，若一形之腰间角大，则底亦大。解曰：甲乙丙与丁戊庚两角形，其甲乙与丁戊两腰，甲丙与丁庚两腰各等，若甲角大于戊丁庚角，题言乙丙底亦大于戊庚底。耕曰：设丁戊己与甲乙丙形等，则角与底必俱等。若丁己线开至辛，甲角小于丁角，而乙丙底亦必小于戊辛底；若丁己线敛至庚，甲角大于丁角，而乙丙底亦大于戊庚底。

二十五题两三角形相当之两腰各等，若一形之底大，则腰间角亦大。

二十六题两三角形有相当之两角等，及相当之一边等，则余两边必等，余一角亦等。其一边不论在两角之内，及一角之对。解曰：甲乙丙形之乙丙两角，与丁戊己形之戊己两角各等，或两角内之乙丙边与戊己边等，或对丙角之甲乙边与对己角之丁戊邉等题言：两形之余，两边一角，必俱等。

二十七题两直线有他直线交加其上，若内相对两角等，即两直线必平行。解曰：甲乙丙丁两直线，加他直线戊己，交于庚，于辛，而甲庚辛与丁辛庚两角等。题言：甲乙丙丁两线必平行。论曰：如不平行，两线必相遇于壬，成庚辛壬三角形，则甲庚辛外角宜大于相对之庚辛壬内角【本巻十六】若两角等，则两线必平行。

二十八题两直线有他直线交加其上，若外角与同方相对之内角等，或同方两内角与两直角等，即两直线必平行。解曰：甲乙丙丁两直线，加他直线戊己，交于庚，于辛。题言：若戊庚甲外角，与同方相对之庚辛丙内角等，则两线必平行。又言：若甲庚辛与丙辛庚同方两内角，并与两直角等，则两线必平行。

二十九题两平行线有他直线交加其上，则内相对两角必等，外角与同方相对之内角亦等，同方两内角亦与两直角等【义同上二题反言之】

三十题两直线与他直线平行，则元两线亦平行【此题所指线在同面者，不同面线后别有论】

三十一题一防上求作直线与所设直线平行。法曰：甲防求作直线与乙丙平行，先从甲向乙丙线任作甲丁线，即乙丙线上成甲丁乙角，次于甲防上作一角与甲丁乙等【本巻二三】为戊甲丁，引长戊甲至己，即己戊为所求。论曰：戊甲、丁甲、丁乙相对之两内角等，两线必平行【本巻二八】用法，先从甲防作甲丁线，次以丁为心，任作戊己圜界，次用元度，以甲为心作庚辛圜界，少长于戊己，次取戊己度，截庚辛圜界于辛。

末作甲辛线为所求又用法，以甲防为心，于乙丙线近乙处，任作短界线为丁。次用元度，以丁为心，于乙丙线向丙作短界线为戊。次用元度，以戊为心，向上与甲平处作短界线，又用元度，以甲为心，向甲之平处作短界线，两界线交处为己，末作己甲线为所求。又用法，取甲至乙丙线为度，于乙丙线近乙处任指一防为心，作短界线，于甲；次用元度，近丙处任指一防为心，作短界线，于丁末作丁甲线为所求【出《几何要法】増从此题生一用法，设一角两线，求作四边形有角与所设角等法曰：先作己丁、戊角与丙等，次截丁戊与甲等，己丁与乙等，末依丁戊平行作己庚。

依丁己平行作庚戊为所求三十二题【二支】凡三角形之外角，与相对之内两角并等。凡三角形之内三角并，与两直角等。先解曰：甲乙丙角形，乙丙边引至丁，题言甲丙丁。

外角与甲乙两内角并等论曰：试作戊丙线，与甲乙平行，即甲丙为甲。乙戊丙之交加线，则乙甲丙角与相对之甲丙戊角等【本卷二九】又乙丁与两平行线相遇，则戊丙丁外角与相对之乙内角等【本卷二九】故甲丙丁外角与甲乙两内角并等。后解曰：甲乙丙三角，并与两直角等。论曰：甲丙乙，甲丙丁两角，并与两直角等【本巻十三】又与甲乙丙三角并等，是三角亦与两直角等。増从此推知，第一形当两直角，第二形【可分三角形二】当。四直角，第三形【可分三角形三】当六。直角第四形【可分三角形四】当八直。

角从此可推至无穷耕曰：「不论何形，凡形四边可当四直角，五边可当六直角，六边可当八直角，七边可当十直角，从此可推至无穷。」一糸，凡诸种角形之三角并俱相等。二糸凡两腰等角形，若腰间直角，则余两角毎当直角之半；腰间钝角，则余两角俱小于半直角；腰间鋭角，则余两角俱大于半直角。三糸平边角形，毎当直角三分之二。四糸甲、乙、丙平边角形，以甲丁垂线分之，其丁甲丙、丁甲乙两角，毎当直角三分之一，乙丙两角毎当直角三分之二増从三糸可分一直角为三平分如甲乙丙直角于甲乙线上作甲乙丁平边角形【本巻一】次平分甲丁于戊【本巻九】末作乙戊线三十三题两平行相等线，有两线聨之，其两线亦平行，亦相等。

三十四题凡平行线方形，毎相对两边线各等，毎相对两角各等，对角线分本形两平分。解曰：甲乙丙丁平行方形，题言甲乙与丙丁两线，甲丙与乙丁两线各等，又言乙与丙两角，丁与甲两角各等，又言若作甲丁对角线。

即分本形为两平分三十五题两平行方形若同在平行线内，又同底，则两形必等。解曰：甲乙丙丁两平行线内，有丙丁戊甲与丙丁乙己两平行方形，同丙丁底。题言两形等【等者谓所函之地等，后言形等者多仿此】先论己防，在甲戊之内，曰：甲戊、己乙两线等。试于两线各减己戊，余甲己、戊乙亦等。因显甲丙己、戊丁乙两角形亦等【本巻四】次于两角。形毎加一，丙丁戊己四边形，即丙丁戊甲，丙丁乙己两方形，安得不等？次论己戊同防曰：甲丙戊、戊丁乙两角形等，次于两角形，毎加一丙戊丁角形，即丙丁戊甲与丙丁戊乙两方形，故等。后论己防在甲戊之外曰：「甲戊己乙两线等。」而毎加一戊己线，即甲己与戊乙两线亦等，因显己甲丙乙、戊丁两角形亦等。次毎减一己戊庚角形，加一庚丁丙角形，即丙丁戊甲与丙丁乙己两方形，故等。

三十六题两平行线内有两平行方形，若底等，则形亦等。解曰：甲乙丙丁两平行线内，有甲丙戊己与庚辛丁乙两平行方形，而丙戊与辛丁两底。

等题言两形亦等论曰：试作丙庚、戊乙两线，成庚丙戊乙方形。此形与庚辛丁乙方形同，庚乙底必等；与甲丙戊己方形同，丙戊底亦等【本巻三五】即甲丙戊己与庚辛丁乙两方形自相等。

三十七题两平行线内有两三角形，若同底，则两形必等。

三十八题两平行线内有两三角形，若底等，则两形必等。耕曰：三角形当等髙等底，方形之半。两方形等，则两角形必亦等。论同前二题，平行方形。増甲乙丙角形，任于乙丙边平分于丁，作丁甲线。

即分本形为两平分论曰：试于甲角上作直线，与乙丙平行，则甲乙、丁、甲、丁、丙两角形，在平行线内，两底等，则两形亦等。二増甲乙丙角形，从丁防求两平分法。先作丁甲线，次平分乙丙于戊，作戊己线与甲丁平行。末作己丁线即分本形为两平分论曰：试作甲戊直线，即甲戊、己己、丁戊两角形，在平行线内，同己戊底，必等；而毎加一己。戊丙形，则己丁丙与甲戊丙两角形亦等。夫甲戊丙为甲乙丙之半，则己丁丙亦甲乙丙之半。

三十九题两三角形，其底同，其形等，必在两平行线内。

四十题两三角形，其底等，其形等，必在两平行线内。

四十一题两平行线内，有一平行方形，一三角形，同底，则方形倍大于三角形。

四十二题有三角形，求作平行方形，与之等，而方形角有与所设角等。法曰：求作平行方形，与甲乙丙角形等，而有丁角。先平分乙丙边于戊。次作丙戊己角与丁等【本巻十】次作甲庚直线与乙丙平行。末作丙庚线与戊己平行，即得己戊丙庚方形，为所求。四十三题。凡方形，对角线旁两余方形，自相等。解曰：甲乙丙丁，方形有甲丙对角线，题言两旁之壬戊与丁庚两余方形，自相等。论曰：甲乙丙、甲丙丁两角形等，又甲戊庚、甲庚辛两角形，庚壬丙、庚丙己两角形，各等于甲乙丙形，内减甲庚戊、庚壬丙两形。于甲丙丁形内，减甲庚辛、庚丙己两形，则所存壬戊丁庚两余方形，安得不等？

四十四题一直线上求作平行方形与所设三角形等，而方形角有与所设角等。法曰：求于甲线上，作平行方形与乙等，而有丙角。先作己丁方形与乙等，而戊己庚角与丙等。次引长丁、戊、庚、己两线为戊、壬、己、辛，令各与甲等次，作壬己对角线，引出之，次引长戊己、丁庚两线，而丁庚遇对角。线于癸末作，癸子与庚辛平行，作壬子与戊丑平行，即己丑子辛平行，方形为所求【论同本巻四二四三】

四十五题有多边直线形，求作一平行方形与之等，而方形角有与所设角等。法曰：求作平行方形，与甲乙丙五边形等，而有丁。角先分五边形为甲乙丙三三角形，次作戊己庚辛方形与甲等，而有丁角，次引长戊辛、己庚，作庚辛壬癸方。形与乙等，而有丁角，末复引前线作壬、癸、子、丑方形，与丙等，而有丁角，即此三形并成一平行方形，为所求【自五以上仿此法论，同本巻四二四四】増题甲乙两形，甲大乙小，以乙减甲，求较几何？法先任作丁丙己戊方形，与甲等；次于丙丁线上作丁丙辛庚方形，与乙等，即得辛庚戊己为甲乙相减之较。

四十六题一直线上求立直角方形法曰：甲乙线上求立直角方形，先于甲乙两界各立垂线，为丙甲、丁乙，皆与甲乙线等，末。

作丙丁聨之即直角方形四十七题凡三边直角形，对直角边上所作直角方形，与余两边上所作直角方形并等。解曰：甲乙丙角形，于对乙甲丙直角之乙丙邉上作乙丙丁戊方形。题言此方形与甲乙邉上所作甲乙己庚及甲丙邉上所作甲丙辛壬两方形并。

等曰试从甲作甲癸直线与乙戊平行分乙丙邉于子次自甲至丁至戊各作直线末，自乙至辛，自丙至己，各作直线。其乙甲丙与乙甲庚，既皆直角，即庚甲、甲丙是一直线【本巻十四】又丙乙戊与甲乙己，既皆直角，而毎加一甲乙丙角，即甲乙戊与丙乙己两角亦等。又甲乙戊角形之甲乙、乙戊两邉，与丙乙己角形之己乙、乙丙两边等甲乙戊与丙乙己两角既等则对等角之甲戊与丙己两边亦等而此两角形亦等矣夫乙庚方形倍大于同乙己底同在平行线内之丙乙己角形，而戊子直角形亦倍大于同乙戊底同在平行线内之甲乙戊角形，则乙庚方形不与戊子直角形等乎？依显丙壬与癸丙两形亦等，是戊丙一形与乙庚、丙壬两形并等矣。一増，凡直角方形之对角线上所作直角方形，倍大于元形。二、増设不等两方形，一以甲为邉，一以乙为邉，求别作两方形自相等，而并之，又与元设两形并等。法先作丙丁戊形，令丙丁与甲等。丙戊与乙等，而直角末于丁戊，两端各作半直角，两腰遇于己，而等，则己必直角【本卷三二】即己戊、己丁上两方形自相等，并之，又与甲乙上两方形并等。论曰：丁戊上方形与丁丙、丙戊上两方形并等，又与丁己、己戊上两方形并等，是丁己、己戊上两方形并与丁丙、丙戊上两方形并亦等。三増多直角方形，求并作一方形。设不等五方形，其边为甲、乙、丙、丁、戊。先作己庚辛直角，令己庚与甲等，辛庚与乙等。次作己辛线，旋作己辛壬直角，令辛壬与丙等。次作己壬线，旋作己壬癸直角，令壬癸与丁等。次作己癸线，旋作己癸子直角，令癸子与戊等。末作己子线，即己子线上所作方形为所求。论曰：辛己上，方形与甲乙上两方形并等；己壬上，方形与甲乙丙上三方形并等。余仿此。四増甲乙丙三边直角形，以两边求第三边长短之度。如先得甲乙数六，甲丙数八，求乙丙之数。其甲乙、甲丙上两方形并，既与乙丙上方形等。甲乙之羃三十六【方形自乗之数曰羃】甲丙之羃六十四，并之得百；而乙丙之羃亦百，开方。得十，即乙丙之数也。又设先得甲乙六，乙丙十，而求甲丙之数，乙丙之羃百，减甲乙之羃三十六，余六十四，开方得八，即甲丙之数也。求甲乙，仿此。四十八题。凡三角形之一边上所作直角方形，与余边上所作两直角方形并等，则对一边之角必直角。

几何论约卷一

钦定四库全书