御制数理精蕴下编卷五

御制数理精蕴下编卷五

线部三按数加减比例【递加递减差，分超位加减差，分互□□平，差分首尾互凖】

按数加减比例差分之内，又有按数递加、递减，或互和折半者，皆为相当比例。其法有四：一曰递加递减差分，盖所加所减之中，递次数目皆同者也。一曰超位加减差分，乃加减之中，彼此分数不同者也。一曰互和折半差分，盖立法以首尾二数之较，互和折半以求中数，而递加递减者也。一曰首尾互准差分，乃以前几分之数与后几分之数互相比较，或以前几分与后几分定为同数以立准则，然后立衰数以求之者也。然超位加减，即递加递减之一类也。首尾互凖，又为互和折半之变体也。递加者，其数自少而多，以渐而加也。递减者，其数自多而少，以渐而减也。加减之数，递次皆同，故以递次名之。法中有三色者，以总法比总实，即得中一数，凡单位者俱按此例。如五色、七色、九色之类是也。有四色者，以总法比总实，得中二数，相和折半之数，凡双位者皆按此例。如六色、八色、十色之类是也。既得中数，按定数加减，则各色之数可得矣。超位加减者，加减之中递次分数不同。即如三人分银若干，一得三分，一得五分，一得八分，而彼此分数之比例不同。又如三人买物，第一人比第二人多出二倍，第二人比第三人又多出一倍，而加倍之比例不同。故谓之超位加减。然立衰分求之，与递次加减无异，故次于递次加减之后。互和折半者，亦如递次加减之理，但用法防异。递次加减，知总物数，知总人数，并知递加递减之数，以求各数。互和折半，则亦知总物数，总人数，但知首一人比末一人之较数，而求递加递减之数，以得各数。是以三色者，第一数第三数相和折半，即第二数；四色者，第一数第四数相和折半，即第二数第三数之中数。既得中数，按较数之分加减之，即得递加之数。五色、六色，以至多位者，止分竒偶立法，总以三四为例，俱可以相和折半而得，故名之曰「互和折半」也。首尾互准者，即互和折半之变体。盖互和折半，知总物数，知总人数，又知首一人比末一人之较数，因此较数而得各人分数。首尾互准，则不知总物数，但知总人数与首尾二人各分数，或但知首尾几位共分数，由此互相准折而得各项分数与总数。要之，但以互和折半之法逆推之而即得，故次于互和折半之后焉。

递加递减差分设如，有金六十两，令甲、乙、丙三人依次递加五两分之，问各得几何？法以三人为一率，金六十两为二率，一人为三率，推得四率二十两，即乙应得之数。自乙数加五两得二十五两，即丙应得之数。自乙数减五两得十五两，即甲应得之数也。此法因甲丙二人所得较之乙所得加减之数皆同，故以总三人与总六十两之比，即若中一人与中一分二十两之比也。设如，有铅三百五十斤，欲作四球，依次递加二十五斤，问每球重数若干？法以四球为一率，铅三百五十斤为二率，一球为三率，推得四率八十七斤半，即第二球、第三球相和折半之数。乃以递加二十五斤折半得十二斤半，与八十七斤半相加得一百斤，即第三球之重；与八十七斤半相减，余七十五斤，即第二球之重。于第三球重数内再加二十五斤，得一百二十五斤，即第四球之重；于第二球重数内再减二十五斤，余五十斤，即第一球之重也。此法比例所得八十七斤半，较之第二球多十二斤半，较之第三球则少十二斤半，故为二球相和折半之数。以递加二十五斤之数折半加减之，即得中二球之重；再以二十五斤加减之，即得第一与第四球之重也。设如，有金七十五斤，分与公、侯、伯、子、男五等，自男以上递加五斤，问各该几何？法以五人为一率，金七十五斤为二率，一人爲三率，推得四率十五斤，即伯所得之数。自伯十五斤而上加五斤，得二十斤，即侯所得之数。再加五斤，得二十五斤，即公所得之数。自伯十五斤而下减五斤，余十斤，即子所得之数。再减五斤，余五斤，即男所得之数也。设如，有俸粮三百零五石，令五等官依品级递减十三石给之，问各得若干？法以五分为一率【即五等官五分也】粮三百零五石为二率，一分为三率，推得四率六十一石，即三等官俸。自六十一石递加十三石，得二等七十四石，一等八十七石。自六十一石递减十三石，得四等四十八石，五等三十五石也。设如，有银九百九十六锭，分给八人，自末名以上，依次递加十七锭，问首末两人各该几何？法以八人为一率，银九百九十六锭为二率，一人为三率，推得四率一百二十四锭半，为第四人、第五人相和折半之数。乃以递加十七锭折半，得八锭半，与一百二十四锭半相加，得一百三十三锭，即第四人应得之数。再以十七锭递加三次，得一百八十四锭，即第一人应得之数。以八锭半与一百二十四锭半相减，余一百一十六锭，即第五人应得之数。再以十七锭递减三次，余六十五锭，即第八人应得之数也。设如一人有九子，不明説出各人岁数，但云共有二百零七岁，自长至少皆递差三嵗，问各岁几何？

法以九分为一率【即以九子为九分也】二百零七岁为二率，一分为三率，推得四率二十三岁，即第五子之年。自二十三嵗递加三岁，得四子二十六嵗，三子二十九歳，二子三十二岁，长子三十五岁。自二十三岁递减三嵗，得六子二十岁，七子十七嵗，八子十四岁，九子十一岁也。设如，有叙功之二十人，其末一人赏银一百两，以上递加三十两。问第一人赏银几何？共赏银几何？法以一分为一率，递加三十两为二率，十九分为三率，推得四率五百七十两，即第一人比末一人共多之数。于此数内加入末名之一百两，共六百七十两，即第一人应得之数。以第一人所得之数与末一人所得之数并之，共七百七十两。复以二十人乘之，得一万五千四百两，折半得七千七百两，即二十人共得之银数也。此法盖以第一人比第二十人共多十九个三十两，故以一分与递加之三十两相比，即如十九分与第一人共多于第二十人之五百七十两相比也。既得十九分共多之数，再加入末一人之一百两，即得第一人应得之数矣。又首末二数相并，以人数二十乘之，折半得其银数者，盖以递加之数彼此均同，首一人得数至多，末一人得数至少，首末二人之数相并折半，即为中数，以中数乘人数而得共数。今首末二人之数相并而末折半，即用人数乗之，故所得之数为应得共数之加倍数，是以半之而始得共银数也。设如，有牛四十区，但云第一区是三十头，余递加二十头，问第四十区该几何？总数几何？法以一分为一率，递加二十头为二率，三十九分为三率，推得四率七百八十，加入第一区之三十，共八百一十头，即第四十区之数。以首末二区数相并，共八百四十头，用四十区乗之，得三万三千六百头，折半得一万六千八百头，即四十区之总数也。此法第二区比第一区加二十，由此递加，则第四十区比第一区共多三十九个二十，故以一分与二十头相比，即如三十九分与第四十区共多于第一区之七百八十头相比也。再加入第一区之三十头，即第四十区之数。继而并首末两数，以总区数四十乗之，折半即得共数也。设如有人一百名，第一人赏银一百两，以下递减五钱，问共该银几何？法以一分为一率，递减五钱为二率，九十九分为三率，推得四率四十九两五钱，即第一名多于第一百名之数。于一百两内减之，余五十两零五钱，即第一百名应赏之数。又与第一名赏银相并，得一百五十两零五钱，以一百名乗之，得一万五千零五十两，折半得七千五百二十五两，即共赏银数也。盖赏银递减五钱，则第一名比第一百名多九十九个五钱，故以一分与五钱相比，即如九十九分与第一名总多于第一百名之数相比也。

爰以首尾两数相并，以名数一百乗之，折半而得总银数也。设如一人染绢，初日染八尺，日加一尺，加至六十尺止，问日与绢各几何？法以初日之八尺与末日之六十尺相加，得六十八尺，为首尾两日共染之绢数。又看八尺以前递减至一尺有几分，今有七分，即为七尺。乃于末日之六十尺减去七尺，余五十三尺，即为共日五十三日。乃以二日为一率，六十八尺为二率，五十三日为三率，推得四率一千八百零二尺，即五十三日共染之绢数也。此法以二日为一率者，取其首末相合之共日为准也。以初日末日之尺数相并为二率者，取其首末尺数相合与首末两日为比也。以八尺递减至一尺而得日数为三率者，盖以初日之八尺【十尺内减】上数至一尺得数必为七分【理与一面尖堆法同】即爲七尺。而今有之末日六去七尺，余五十三尺，即为五十三日。故二日与首末相合之尺数相比，即如共日五十三日与共绢之尺数相比也。设如一人行路，日増六里，共行三百二十里，但知初末两日所行共一百六十里，问共行几日及初日、末日各行几里？法以初末两日行数一百六十里，折半得八十里，乃共日之中数，为一率；一日为二率；共行三百二十里为三率，推得四率，四日即共行日数也。又以日増六里，折半得三里，与六里相并得九里，加于中数八十里，得八十九里，即第四日所行之数；减于中数八十里，余七十一里，即第一日所行之数也。此法以第四日、第一日行数相并折半者，为得四日之中数，既得四日之中数与一日之比，即如共数与四日之比也。又以日増之数折半而与日増之数相并，加于中数而得末日所行之数，减于中数而得初日所行之数者，其所得之中数在第二日、第三日之间，故此中数内加日増数之半，即得第三日所行之数；减日増数之半，即得第二日所行之数。故再加日増数之全而得末日所行之数，再减日増数之全而得初日所行之数也。设如一人织布，厯十三日，共织一千三百五十二寸，因日渐长，每日加功六寸，至末日比初日多织七十二寸，问初末二日各织几何？法以十三日为一率，共织数一千三百五十二寸为二率，一日为三率，推得四率一百零四寸，乃初末二日之中数，为第七日所织之数。以第七日上计初日，下计末日，俱得六分。于是以六分与日加六寸相乗，得三十六寸。乃以三十六寸于第七日之一百零四寸内减之，得六十八寸，即初日所织之数。于第七日之一百零四寸上加之，得一百四十寸，即末日所织之数也。此法虽求初末两日之数，然以十三日与总织数之比，即一日与初末两日中数之比，既得中数，按分加之，何所不得。此又递次加减法中之又一例也。

设如，有田七百二十亩，令甲、乙、丙三戸依次递减分耕，问各该几何？法以三分为甲衰，数二分为乙衰，数一分为丙衰，数相并得六分为一率，总田七百二十亩为二率，一分为三率，推得四率一百二十亩为一分，即丙所耕之数，以二分因之，得二百四十亩，即乙所耕之数，以三分因之，得三百六十亩，即甲所耕之数也。此法并总衰分为一率，总田数为二率者，是将总衰分比总田数，故六分得七百二十亩，而一分得一百二十亩也。六分中甲得三分，乙得二分，丙得一分，自甲递次至乙至丙，皆减一百二十亩，故为递减也。凡命法中不定所减分数者，即以此法为例。设如，有银九十二两，令伯仲叔季四人递减分之，问各得几何？法以四分为伯衰数，三分为仲衰数，二分为叔衰数，一分为季衰数。相并得十分为一率，总银九十二两为二率，一分为三率。推得四率九两二钱，即季所得之数。以二分因之，得一十八两四钱，即叔所得之数。以三分因之，得二十七两六钱，即仲所得之数。以四分因之，得三十六两八钱，即伯所得之数也。此法以十分比总银，即如总银分为十分也。是以十分中伯得四分，仲得三分，叔得二分，季得一分。自伯递次至季，皆减一分，故谓之递减差分也。设如，有金一十二两六钱，欲挨次递减，造套杯六个，问各重若干？法以六五、四三、二一为六杯衰分，并之得二十一分为一率，共金数一十二两六钱为二率，一分为三率，推得四率六钱，即第六杯之重。以二分因之，得一两二钱，即第五杯之重。以三分因之，得一两八钱，即第四杯之重。以四分因之，得二两四钱，即第三杯之重。以五分因之，得三两，即第二杯之重。以六分因之，得三两六钱，即第一杯之重也。此法以总分比总银，即如以一分比末一杯之重也。以上递加一分，即各杯之重矣。设如，有粮一千一百三十四石，令五等戸递减纳之。一等二十四戸，二等三十三户，三等四十二戸，四等五十一户，五等六十户。问各等每戸应纳若干？法以五、四、三、二、一为五等衰分。以五分因一等户二十四，得一百二十分；以四分因二等戸三十三，得一百三十二分；以三分因三等户四十二，得一百二十六分；以二分因四等戸五十一，得一百零二分；以一分因五等户六十，仍得六十分。总并之得五百四十分，为一率；总粮一千一百三十四石，为二率；一分为三率，推得四率二石一斗，即五等每户所纳之数。以二分因之，得四石二斗，即四等每户所纳之数；以三分因之，得六石三斗，即三等每户所纳之数；以四因之，得八石四斗，即二等每戸所纳之数；以五因之，得十石五斗，即一等每戸所纳之数也。

超位加减差分设如甲、丙、丁三人买房一所，共价八百一十两。丙比甲出银加一倍，丁比甲、丙共出银又加一倍。问：每人各出几何？法以一分为甲衰数，加一倍得二分为丙衰数，又以甲一分丙二分相并为三分，复加一倍得六分为丁衰数，相并得九分为一率，总银八百一十两为二率，以甲一分为三率，得四率九十两，即甲所出银数，加一倍得一百八十两，即丙所出银数，将甲丙共银复加一倍得五百四十两，即丁所出银数也。此法以一分为甲数，加一倍为丙数者，因丙比甲银多一倍也；又共甲丙两数加一倍为丁数者，因丁比甲丙共银又多一倍也。故以所命各人分数相并得共分数，以此共分数比共银数，即如各人分数比各人所出银数也。设如，有银五千两，买马四匹，园一区，宅一所。其园价比马价多三倍，而宅价比园价又多四倍。问各价几何？法以一分为马，衰数加三倍【为三分】得四分为园衰数。又将园四分加四倍【为十六分】得二十分为宅衰数。相并得二十五分为一率，总价五千两为二率，马一分为三率，推得四率二百两，即马四匹之价【马每匹价五十两】加三分六百两，得八百两，即园一区之价。再将园价加四分三千二百两，得四千两，即宅一所之价也。此法将马为一分而加三分为园价者，因园价比马价多三倍也。又将园价为一分而加四分为宅价者，因宅价比园价又多四倍也。是以共分之比共价，即如马四匹之一分比各色每一分之价也。设如，有粮七百六十石，以船三次运之。第一次运十分，二次运七分，三次运二分。问每次运粮几何？法：以十分、七分、二分相并，得十九分为一率；共粮七百六十石为二率；十分为三率，得四率四百石，即第一次所运之数。如以七分为三率，得四率二百八十石，即第二次所运之数。如以二分为三率，得四率八十石，即第三次所运之数也。此法，第一次之十分，二次之七分，三次之二分，即三次之衰数。分数已明，故即以运分作衰分也。设如，有铜一百八十两，依次递减，造三等仪器。上等比中等加二倍，中等比下等加一倍。问三等仪器各得铜几何？法以一分为下等衰数，二分为中等衰数，二分加二倍得六分为上等衰数，并之得九分为一率，共铜一百八十两为二率，下等之一分为三率，推得四率二十两，即下等仪器之重。加一倍得四十两，即中等仪器之重。又加二倍得一百二十两，即上等仪器之重也。此法命一分为下等数，故加倍为中等数，而得二分，复以二分加二倍为上等数，故上等数又为六分也。设如，有银七十两，买骆驼、马、驴各一匹，而价之多少不等，但知马比驼价为九分之四，驴比驼价为九分之一，问各价几何？

法以一分为驴衰数，四分为马衰数，九分为驼衰数，并之得十四分为一率，银七十两为二率，驴一分为三率，推得四率五两，即驴一匹之价。以四分因之，得二十两，即马一匹之价。以九分因之，得四十五两，即驼一匹之价。此法因驼价为九分，故即以九为衰数，且两分母俱同为九分，而马居九分之四，故即以四为马分，驴居九分之一，故即以一为驴分也。既得驴价，取其四分即马价，取其九分即驼价也。设如一人为商，三次：初次获利比原银多二倍，二次获利比初次本利共银多四倍，三次获利比二次本利共银又多三倍，共计获利并原银得九百两，问原银几何？法以一分为初商，原银衰数加二倍，得三分为初次本利共分。又比三分加四倍，得十五分为二次本利共分。又比十五分加三倍，得六十分为三次本利共分。即以此六十分为一率，三次本利共银九百两为二率，一分为三率，推得四率一十五两，即原银数也。此法初次加二倍，是原银之外加二倍也。又加四倍，是比初次本利共银之外又加四倍也。又加三倍，是比二次本利共银之外又加三倍也。故以总分比总银，即如一分之比原银也。设如，有米二十四石，分与四人：甲四分，乙五分，丙七分，丁九分。问各该几何？法以甲之四分、乙之五分、丙之七分、丁之九分相并，得二十五分为一率，共米二十四石为二率，一分为三率，推得四率九斗六升，乃每一分之数。以甲四分因之，即得甲之三石八斗四升；以乙五分因之，即得乙之四石八斗；以丙七分因之，即得丙之六石七斗二升；以丁九分因之，即得丁之八石六斗四升也。此法以一分为三率，故得每人一分之数；如以各人分数各为三率，即得各人之全分矣。设如，有银九十二两，赏二十人，分上、中、下三等。上等四人，中等六人，下等十人。其中等比下等赏加一倍，上等比中等赏加二倍。问各等每人得赏几何？法：以一分为下等衰数，乗下等十人，得十分。又将一分加一倍，得二分为中等衰数，乗中等六人，得十二分。又将二分加二倍，得六分为上等衰数，乗上等四人，得二十四分。乃以十分、十二分、二十四分相并，得四十六分为一率，总银九十二两为二率，下等一分为三率，推得四率二两，即下等每人应得之数。将二两加一倍，得四两，即中等每人应得之数。将四两再加二倍，得十二两，即上等每人应得之数。复以各等人数乗各等每人应得之数，即得上等四人共得四十八两，中等六人共得二十四两，下等十人共得二十两也。此法以下等一分为三率，故得下等每人一分之数，按分倍加而得中等、上等。如以各等众人分数各为三率，即得各等之共数矣。

设如，有米五百三十五石，赏与三等人。第一等二十名，第二等五十名，第三等一百一十名。一等比二等，每名加七斗；二等比三等，每名加五斗。问三等每名各得几何？法以二等比三等，每名多五斗，与二等五十名相乗，得二百五十斗。又以一等比二等，每名多七斗，与二等比三等，每名多五斗相加，得十二斗，与一等二十名相乗，得二百四十斗。两数相并，得四百九十斗。乃于总米五百三十五石内减之，余四百八十六石。乃以一等二十人，二等五十人，三等一百一十人相并，得一百八十人为一率，四百八十六石为二率，一人为三率，推得四率二石七斗，即三等毎一人应得之数。加五斗，得三石二斗，即二等毎一人应得之数。再加七斗，得三石九斗，即一等每一人应得之数也。此法以二等比三等，毎名多五斗，与二等五十人相乗者，是求二等比三等共多之数。又以一等比二等，毎名多七斗，并二等比三等，毎名多五斗，与一等二十人相乗者，是求一等比三等共多之数也。既得一等二等共多于三等之数，于总数内减之，所余即三等相并共一百八十人均分之数，故以一百八十人比总米四百八十六石，即第三等每一人之比二石七斗也。由此加五斗，即得第二等每一人所得之数。于第二等每一人数内，再加七斗，即得第一等每一人所得之数矣。

互和折半差分设如，有米一百八十石，令甲、乙、丙三人互和，折半分之。但知甲多丙三十六石，问各该若干？法以三人为一率，总米一百八十石为二率，一人为三率，推得四率六十石，即乙应得之数。次以甲多丙三十六石二分之，毎分得一十八石，于乙数内加之，得七十八石，即甲应得之数；于乙数内减之，得四十二石，即丙应得之数也。此法盖以三人共得之数比一人所得之数，其一人所得之数即中一人应得之数。甲多乙几何，即乙多丙几何，而甲多丙之数又为甲多乙之倍数，故以甲多丙之数分为二分，于中数内一加一减，则彼此相较之数自得均平，故谓之互和折半也。设如，有银二百四十两，令赵、钱、孙、李四人互和，折半分之。但知赵多李一十八两，问各该若干？法以四人为一率，总银二百四十两为二率，一人为三率，推得四率六十两，即钱、孙中二人相和折半之数。次取赵多李十八两之数，以三归之【以三立法者用二归，以四立法者用三归，盖以之相比而得较也】得六两，即四人递加之数，折半得三两，乃中二人相和折半数与中二人应得数之较。以此三两加于六十两，得六十三两，即钱银数；减于六十两，余五十七两，即孙银数。钱银数内再加六两，得六十九两，即赵银数；孙银数内再减六两，余五十一两，即李银数也。此法盖以四人共得之数比一人应得之数，其一人应得之数固非四人平分之数，故比例所得六十两为钱、孙二人之中数，较之钱数少三两，较之孙数多三两，故于六十两中加三两即钱数，减三两即孙数。既得钱、孙中二人数，则首末二人只按分数加之而已。设如，有兵二万三千八百，令甲、乙、丙、丁、戊五将互和，折半领之。只云戊少甲三千三百六十，问各将所领若干？法以五分为一率，兵数二万三千八百为二率，一分为三率，推得四率四千七百六十，即丙所领之数。又取戊少甲之三千三千六十，以四归之【此有五人而较为四，故用四归也】得八百四十为平分加减之数。自丙数而上递加之，得五千六百，即乙所领之数；得六千四百四十，即甲所领之数。由丙数而下递减之，得三千九百二十，即丁所领之数；得三千零八十，即戊所领之数也。设如，有稻一百九十八亩，令甲、乙、丙、丁、戊、己六人收割。但知甲比己多收三十亩，问各该收稻几何？法：以六人为一率，总田一百九十八亩为二率，一人为三率，推得四率三十三亩，即丙、丁中二人相和折半之数。次取甲多己三十亩，以五归之，得六亩，折半得三亩，加于三十三亩，得三十六亩，即丙收数。再加六亩，得四十二亩，即乙收数。再加六亩，得四十八亩，即甲收数。又以折半三亩减于三十三亩，余三十亩，即丁收数。再减六亩，余二十四亩，即戊收数。再减六亩，余十八亩，即己收数。此法因三十三亩为丙、丁二人之中数，较之丙少三亩，较之丁多三亩，故以丙与丁总差六亩折半加减之，即得也。

首尾互准差分设如甲乙丙丁四人递次分银，但知甲得六十九两，丁得五十一两，问乙丙各得银几何？

法以三分为甲多于丁之衰数【有四人故用三分如或五人则用四分六人则用五分】为一率甲六十九两与丁五十一两相减余一十八两为二率一分为三率推得四率六两即四人所得递加之数将丁银五十一两加六两得五十七两即丙应得之数再加六两得六十三两即乙应得之数也盖甲数最多丁数最少相差一十八两由丁至丙至乙至甲相隔三位则知有三差故用三分比一十八两即如一分比六两而为递加数也若三色者以首尾两数相加折半即中数其法易求故不设例设如五人递次络丝，第一人络丝四十两，第五人络丝二十四两，问中三人各络丝几何？法以四分为第一，人多于第五人之衰数为一率，第一、第五两数相减，余一十六两为二率，一分为三率，推得四率四两，即五人络丝递加之数。将第五人络丝二十四两加四两，得二十八两，即第四人所络之数；再加四两，得三十二两，即第三人所络之数；再加四两，得三十六两，即第二人所络之数也。此法用四为除法，葢第五与第一相隔四位，则知有四差，故用四为比例也。又捷法，以第一、第五两数相加，折半得三十二两，即第三人所络之数。又以第一、第三两数相加，折半得三十六两，即第二人所络之数。复以第三、第五两数相加，折半得二十八两，即第四人所络之数。此法即前互和折半之法，凡位数竒者俱可用，如三、五、七、九是也。设如七人运粮，不言总数，但知第一人、第二人共运二十三石七斗，第五人、第六人、第七人共运二十六石一斗，其递加之数俱相等，问第三人、第四人与前后五人各运几何？法以第一、第二两人共运二十三石七斗，折半得十一石八斗五升，为第一、第二两人相和折半之数。第五、第六、第七三人共运二十六石一斗，三归之得八石七斗，即第六人应运之数。乃以第一分、第二分之中数一分半与第六分相减，余四分半为一率。第一、第二两人相和折半之十一石八斗五升内减第六人之八石七斗，余三石一斗五升为二率。一分为三率，推得四率七斗，即每人递加之数。由第六人八石七斗而下减七斗，得八石，即第七人应运之数。由第六人八石七斗而上递加七斗，得九石四斗，即第五人应运之数。得十石一斗，即第四人应运之数。得十石八斗，即第三人应运之数。得十一石五斗，即第二人应运之数。得十二石二斗，即第一人应运之数也。此法盖因第一人、第二人相和折半之数，至第二人差半分，至第三人差一分半，至第四人差二分半，至第五人差三分半，至第六人则差四分半。故先以第一、第二之中数与第六相减，得其四分半之差数，而以四分半比前二人相和折半多于第六人之六石三斗，即如一分比每人递加之七斗也。

设如八人分银，不言总数，但知第一、第二、第三三人共得四十五两，第七、第八二人共得八十五两，其递加之数俱相等，问各人应得若干？法以前三人共得银数四十五两，用三归之，得十五两，即第二人应得之数。后二人共得八十五两，折半得四十二两五钱，即第七、第八两人相和折半之数。乃以第二分与第七、分第八分之中数七分半相减，余五分半为一率；第二人应得之十五两与后二人相和折半之四十二两五钱相减，余二十七两五钱为二率；一分为三率，推得四率五两，即每人递加之数。于第二人十五两内减五两，即得第一人十两；于第二人十五两外递加五两，即得第三人二十两，第四人二十五两，第五人三十两，第六人三十五两，第七人四十两，第八人四十五两之数也。此法葢因第二人至第三人差一分，至第四人差二分，至第五人差三分，至第六人差四分，至第七人差五分；至第七、第八两人相和折半之数，则差五分半。故先以第二与第七、第八之中数相减，得其五分半之差数，而以五分半比后二人相和折半多于第二人之数，即如每一分比每人递加之数也。设如八人分米，不言总数，但知第一、第二两人共得一十一石九斗，第七、第八两人共得八石三斗，其递加之数俱相等，问每人应得若干？法以第一、第二两人共数一十一石九斗，折半得五石九斗五升，即第一、第二两人相和折半之数。再以第七、第八两人共数八石三斗，折半得四石一斗五升，即第七、第八两人相和折半之数。乃以第一分、第二分之中数一分半与第七分、第八分之中数七分半相减，余六分为一率。第一、第二两人相和折半之五石九斗五升内减第七、第八两人相和折半之四石一斗五升，余一石八斗为二率。一分为三率，推得四率三斗，即每人递加之数。折半得一斗五升，加于第一、第二两人相和折半之五石九斗五升，得六石一斗，即第一人之数。以次递减三斗，即得第二人五石八斗，第三人五石五斗，第四人五石二斗，第五人四石九斗，第六人四石六斗，第七人四石三斗，第八人四石之数也。此法盖因第一、第二两人相和折半之数至第二人差半分，至第三人差一分半，至第四人差二分半，至第五人差三分半，至第六人差四分半，至第七人差五分半；至第七、第八两人相和折半之数则差六分。故先以第一、第二之中数与第七、第八之中数相减，得其六分之差数，而以六分比第一、第二相和折半多于第七、第八相和折半之数，即如每一分比每人递加之数也。又以第一、第二之中数比第一人差半分，故以一分之三斗折半得一斗五升，加于第一、第二两人相和折半之数，即得第一人之数也。

设如，有竹九节，截为九筩，盛米，递次长短不均。但知根底三节共盛米三升九合，梢上四节共盛米三升。问九节各盛米数几何？法以根底第一第二第三三节共盛米三升九合，用三归之，得一升三合，即第二节盛米之数。梢上第六第七第八第九四节共盛米三升，用四归之，得七合五勺，即第七第八两节相和折半之数。乃以第二分与第七分、第八分之中数七分半相减，余五分半为一率；第二节盛米一升三合内减第七第八两节相和折半之七合五勺，余五合五勺为二率；一分为三率，推得四率一合，即每节递加之数。自第二节盛米一升三合而上加一合，即得第一节盛米一升四合；自第二节盛米一升三合而下递减一合，即得第三节盛一升二合，第四节盛一升一合，第五节盛一升，第六节盛九合，第七节盛八合，第八节盛七合，第九节盛六合也。设如，有竹九节，截为九筩，盛米。但知根底二节盛米六升三合，梢上二节盛米二升一合。问各节所盛米数若干？法以根底二节共盛米六升三合，折半得三升一合五勺，为第一、第二两节相和折半之数。梢上二节共盛米二升一合，折半得一升零五勺，为第八、第九两节相和折半之数。乃以第一分、第二分之中数一分半与第八分、第九分之中数八分半相减，余七分为一率。第一、第二两节相和折半之三升一合五勺内减第八、第九两节相和折半之一升零五勺，余二升一合为二率。一分为三率，推得四率三合，即毎节递加之数。折半得一合五勺，加于第一、第二两节相和折半之三升一合五勺，得三升三合，即第一节盛米之数。以次递减三合，即得第二节盛三升，第三节盛二升七合，第四节盛二升四合，第五节盛二升一合，第六节盛一升八合，第七节盛一升五合，第八节盛一升二合，第九节盛九合也。设如十人按数挨次纳粮，前三人共纳一十三石八斗，后四人共纳一十三石二斗，问十人各纳粮数若干？法以前三人共纳一十三石八斗，用三归之，得四石六斗，为第二人所纳之数。后四人共纳一十三石二斗，用四归之，得三石三斗，为第八、第九两人相和折半之数。乃以第二分与第八分、第九分之中数八分半相减，余六分半为一率。第二人之四石六斗内减第八、第九两人相和折半之三石三斗，余一石三斗为二率。一分为三率，推得四率二斗，即每人递加之数。自第二人四石六斗以上加二斗，得四石八斗，即第一人所纳之数。自第二人四石六斗以下递减二斗，得四石四斗，即第三人所纳之数。得四石二斗，即第四人所纳之数。得四石，即第五人所纳之数。得三石八斗，即第六人所纳之数。得三石六斗，即第七人所纳之数。

得三石四斗，即第八人所纳之数。得三石二斗，即第九人所纳之数。得三石，即第十人所纳之数也。设如，有米二百四十石，令甲、乙、丙、丁、戊五人递减纳之。定甲、乙二人纳数与丙、丁、戊三人纳数相等。问五人各纳几何？法以四分为甲多于戊之衰数【自甲至乙至丙至丁至戊隔四位故以四分为衰数】三分为乙多于戊之衰数，并之为七分。以二分为丙多于戊之衰数，一分为丁多于戊之衰数，并之为三分。乃以三分与七分相减，余四分为前二人多于后三人之较。又以前二人与后三人相减，余一人为后三人多于前二人之较。夫前多四分，后多一人，而其数相等，则四分即为一人之数。乃以一人为一率，四分为二率，戊一人为三率，推得四率仍得四分，即定为戊一人之分数。各加毎人所多衰数，则甲得八分，乙得七分，并之得十五分；丙得六分，丁得五分，并戊之四分亦得十五分。是前后分数已同矣。乃以两总分相并得三十分为一率，总米二百四十石为二率，一分为三率，推得四率八石，即每一分之数。用甲之八分乗之，得甲之六十四石；用乙之七分乘之，得乙之五十六石，并之共得一百二十石。用丙之六分乗之，得丙之四十八石；用丁之五分乗之，得丁之四十石；用戊之四分乗之，得戊之三十二石，并之亦共得一百二十石。是甲乙二人纳数与丙丁戊三人纳数等也。设如，有银六百两，令甲、乙、丙、丁、戊、己六人递加分之。定甲、乙、丙、丁四人与戊、己二人分数相等。问六人各分几何？法以一分为乙，多于甲之衰数；二分为丙，多于甲之衰数；三分为丁，多于甲之衰数；并之为六分。四分为戊，多于甲之衰数；五分为己，多于甲之衰数；并之为九分。乃以六分与九分相减，余三分为后二人多于前四人之较；又以前四人与后二人相减，余二人为前四人多于后二人之较。夫前多二人，后多三分，而其数相等，则三分即为二人之数。乃以二人为一率，三分为二率，甲一人为三率，推得四率一分五【即一分半也】即定为甲一人之分数。各加每人所多衰数，则乙得二分半，丙得三分半，丁得四分半，并甲乙丙丁四人数得十二分；戊得五分半，己得六分半，并戊己二人数亦得十二分。是前后分数已同矣。乃以两总分相并得二十四分为一率，总银六百两为二率，一分为三率，推得四率二十五两，即每一分之数。用甲一分半乗之，得甲三十七两五钱；用乙二分半乗之，得乙六十二两五钱；用丙三分半乗之，得丙八十七两五钱；用丁四分半乗之，得丁一百一十二两五钱，并四人数共得三百两；用戊五分半乗之，得戊一百三十七两五钱；用己六分半乗之，得己一百六十二两五钱，并二人数亦共得三百两。

是甲乙丙丁四人银数与戊己二人银数等也。设如有麦一千零八亩，令七人递减分收，定前三人与后四人所得共数相同，问七人各收麦几何？法以六分为第一人比第七人所多衰数【自第一至第七隔六位，故以六为衰数】五分为第二人比第七人所多衰数，四分为第三人比第七人所多衰数，并之为十五分；三分为第四人比第七人所多衰数，二分为第五人比第七人所多衰数，一分为第六人比第七人所多衰数，并之为六分。乃以六分与十五分相减，余九分为前三人多于后四人之较；又以前三人与后四人相减，余一人为后四人多于前三人之较。夫前多九分，后多一人，而其数相等，则九分即为一人之数。乃以一人为一率，九分为二率，末一人为三率，推得四率仍为九分，即定为第七人之分数。各加每人所多分数，则第一人得十五分，第二人得十四分，第三人得十三分，并之为四十二分；第四人得十二分，第五人得十一分，第六人得十分，第七人得九分，并之亦为四十二分。是前后分数已同矣。乃以两总分相并得八十四分为一率，麦一千零八亩为二率，一分为三率，推得四率十二亩，即毎一分之数。用十五分乗之，即得第一人一百八十亩；用十四分乗之，即得第二人一百六十八亩；用十三分乗之，即得第三人一百五十六亩，并三人数共得五百零四亩；用十二分乗之，即得第四人一百四十四亩；用十一分乗之，即得第五人一百三十二亩；用十分乗之，即得第六人一百二十亩；用九分乗之，即得第七人一百零八亩，并四人数亦共得五百零四亩。是前三人亩数与后四人亩数等也。设如有粮一千零九十二石，令七次递减运送，定前二次与后五次运送之数相等，问每次运送几何？法以十八分为第一次比第七次所多之衰数【自第一次至第七次相隔六位，应以六分为衰数，是为每次递加一分，今将六分用三因之为十八分，是为每一次递加三分，故各衰五、四、三、二、一俱用三因，其比例仍同也】十五分为第二次比第七次所多之衰数，并之为三十三分，十二分为第三次比第七次所多之衰数，九分为第四次比第七次所多之衰数，六分为第五次比第七次所多之衰数，三分为第六次比第七次所多之衰数，并之爲三十分，乃以三十分与三十三分相减，余三分为前两次多于后五次之较，又以后五次与前两次相减，余三次为后五次多于前两次之较，夫前多三分，后多三次，而其数相等，则三分即为三次之数，乃以三次为一率，三分为二率，一次为三率，推得四率一分，即为第七次之分数，各加每次所多衰数，第一次得十九分，第二次得十六分，并之得三十五分，第三次得十三分，第四次得一十分，第五次得七分，第六次得四分，并第七次之一分亦得三十五分，是前后分数已同矣，乃以两总分相并得七十分为一率，总粮一千零九十二石为二率，一分为三率，推得四率一十五石六斗，即第七次一分所运之数，用十九分乗之得二百九十六石四斗，即第一次所运之数，用十六分乗之得二百四十九石六斗，即第二次所运之数，并两次共得五百四十六石，用十三分乗之得二百零二石八斗，即第三次所运之数，用一十分乗之得一百五十六石，即第四次所运之数，用七分乗之得一百零九石二斗，即第五次所运之数，用四分乘之得六十二石四斗，即第六次所运之数，并第七次所运之一十五石六斗，亦共得五百四十六石。

是前二次运送粮数，与后五次运送粮数等也。

御制数理精蕴下编卷五

钦定四库全书