数学钥卷三凡例

数学钥卷三凡例

柘城杜知耕撰凡例一则设一数与甲乙两率为同名，与丙丁两率为异名。置所设之数为实，以甲乘丙除，曰同乘异除；以丙乘甲除，曰异乗同除。以丙乘甲得数乘实，曰异乘同乘【与以丙乘复以甲乘同】以丙乘甲得数除实，曰异除同除【与以丙除复以甲除同】以丙乘丁除，曰异乘异除；以甲乘乙除，曰同乘同除。

二则设一数，以一率除二率，乘；又以三率除四率，乘；又以五率除六率，乘，方得所求。变为以四率乘二率，复以六率乘之，得数乘实；以三率乘一率，复以五率乗之，得数除实，即得所求。亦曰同乘同除。

三则凡用一率除，二率乘者，则变为先以二率乘，后以一率除。凡用一率除，复用二率除者，则变为以一率乘二率，得数除实。恐归除多有畸零不尽之数也。

四则设甲乙丙三率，以甲乘乙，以乙乘丙，曰逓乘；以甲乘乙，以乙乘丙，以丙复乘甲，曰维乘；以甲乘乙，复以乙乘甲，曰互乘；以甲乘乙，复乘丙，曰遍。

五则命分数曰母，得分数曰子。母数者，子之本数；子数者，母之分数。

六则设两数，一为法，一为实。以法除实，得若干。将法实任各若干倍之，以倍法除倍实，必仍得若干，与原得数同。若以倍法除元实，则得数小于元得数之倍数，即同元法小于倍法之倍数。若以元法除倍实，则得数大于元得数之倍数，即倍实大于元实之倍数。如元实为六十，元法为五十，以五十除六十，得十二。任三倍元实为一百八十，亦三倍元法为一百五十，以一百五十除一百八十，亦得十二，与元得数同。以倍法一百五十除元实六十，得四，则四与元得数十二之比例，若元法五十与倍法一百五十也。以元法五十除倍实一百八十，得三十六，则三十六与元得数十二之比例，若倍实一百八十与元实六十也。

数学钥巻三凡例钦定四库全书数学钥巻三上目録柘城杜知耕撰粟布一则籴粜一法二则籴粜二法三则籴粜三法四则籴粜四法五则籴粜五法六则籴粜六法七则籴粜七法八则籴粜八法九则撞换一法十则撞换二法十一则撞换三法十二则盘量仓窖十三则布帛十四则银色一法十五则银色二法十六则银色三法十七则银色四法十八则银色五法十九则银色六法二十则斤两一法二十一则斤两二法二十二则斤两三法二十三则斤两四法二十四则斤两五法二十五则斤两六法二十六则权重一法二十七则权重二法【増】二十八则权重三法巻三下目録衰分一则合率差分二则折半差分三则四六差分四则三七差分五则二八差分六则逓减差分一法七则逓减差分二法八则逓减差分三法九则带分子母差分一法十则带分子母差分二法十一则互和逓减差分一法十二则互和逓减差分二法十三则匿价差分一法十四则匿价差分二法十五则二色差分十六则三色差分【四色，五色，六色附】

十七则贵贱和率差分十八则首尾和率差分附分法一则命分二则约分三则乗分四则课分五则通分数学钥巻三目録钦定四库全书数学钥巻三上柘城杜知耕撰粟布一则籴粜一法设粟三十五石，每石价银二钱五分，求共银法。曰：置粟为实，以价乘之，得八两七钱五分，即所求。

二则籴粜二法设粟三十五石，卖银八两七钱五分，求每石价。法曰：置银为实，以粟除之，得二钱五分，即所求。

三则籴粜三法设粟每石价银二钱五分，今有银八两七钱五分，求值粟法曰：置银为实，以价除之，得三十五石，即所求四则。

籴粜四法设银八两七钱五分，共买粟三十五石，求每银一两值粟若干？法曰：置粟为实，以银除之，得四石，即所求。解曰：凡以物交易，或论个，论斛，论斤，论尺之类，莫不有数有价。以价乘共物，则得共银；以价除共银，则得共物；以共物除共银，则得每一物所值之价；以共银除共物，则得每银一两，或一钱，或一分所值之物。交易常用之法，尽于此矣。

五则籴粜五法设原有粟二石六斗，卖银六钱五分。今有粟三十五石，求值银法曰：置今粟为实，以原价乘之【得二十二两七钱五分】以原粟除之，得八两七钱五分，即所求。解曰：此异乘同除也。银与粟异名，以原银乘今粟，故谓异乘；粟与粟同名，以原粟除今粟，故谓同除。若以原粟除原价，得每石价，以乘今粟；或先以原粟除今粟，再以原价乘之，俱未尝不合。但先用归除，恐遇竒零不尽之数，难用乘法，故变为先乘后除也。

六则籴粜六法设原有银三十两零七钱五分，买粟一百二十三石，今有银八两七钱五分，求值粟。法曰：置今银为实，以原粟乘之【得一千零七十六两二钱五分】以原银除之，得三十五石，即所求。

解同前七则籴粜七法设原银五钱，买米一石，每米八斗五升，换粟一石七斗。今有银八两七钱五分，求值粟法曰：以今银八两七钱五分乘粟一石七斗【得一十四两八钱七分五厘】为实，以米价五钱乘米八斗五升【得四钱二分五厘】为法，除之，得三十五石，即所求。解曰：米八斗五升，粟一石七斗，其价等。法以米价乘米，所得之四钱二分五厘，既为八斗五升之米价，亦一石七斗之粟价也。以粟乘银，以价除之，亦异乘同除法也。

八则籴粜八法设粟一石七斗换米八斗五升，每米一石价银五钱。今有粟三十五石，求值银法曰：置米八斗五升，以米价五钱乘之【得四钱二分五厘】再以今粟三十五石乘之【得一十四两八钱七分五厘】为实，以粟一石七斗除之，得银八两七钱五分，即所求。

解同前九则撞换一法设稻每石价六钱二分五厘，粟每石价二钱五分。今有稻一十四石，换粟，求粟数。法曰：置稻一十四石为实，以稻价乘之【得八两七钱五分】以粟价除之，得三十五石，即所求。

十则撞换二法设每菽三斗换黍二斗，每黍四斗换稷三斗，每稷五斗换稻四斗，每稻六斗换麦五斗。今有麦七斗换菽，求菽数。法曰：以今麦七斗乘每稻六斗【得四石二斗】再以每稷五斗乗之【得二十一石】再以每黍四斗黍之【得八十四石】再以每菽三斗乘之【得二百五十二石】为实。以换黍二斗乘换稷三斗【得六斗】再以换稻四斗乘之【得二石四斗】再以换麦五斗乘之【得一十二石】为法除之，得二石一斗，即所求。解曰：若置麦七斗为实，以换麦五斗除之，以每稻六斗乘之，得八斗四升，为麦七斗应换之稻。再以八斗四升为实，以换稻四斗除之，以每稷五斗乘之，得一石零五升，为麦七斗应换之稷。再以一石零五升为实，以换稷三斗除之，以每黍四斗乘之，得一石四斗，为麦七斗应换之黍。再以一石四斗为实，以换黍二斗除之，以每菽三斗乘之，得二石一斗，为麦七斗应换之菽。凡四除四乘，方得菽数。今逓乘为实，逓乘为法，一次归除，即得所求。非徒省力，亦免遇畸零之数难于布算耳。

十一则撞换三法设黍一石换菽三石，每黍三石换麦一石，今黍三十三石共换菽麦一十九石，求菽麦各若干？法曰：列黍三石黍一石共黍三十三石于左列麦一石菽三石共菽麦一十九石于右先以右上互乘左中【仍得一石】以左上互乘右中【得九石】两数相减【余八石】为长法。次以左中互乘右下【仍得一十九石】以右中互乘左下【得九十九石】两数相减【余八十石】以长法除之【得一十石】为短法。以麦一石乘短法，仍得十石为麦数。以黍三石乘短法，得三十石为换麦黍数。以麦数减共菽数，余九石为菽数。以换麦黍数减共黍，余三石为换菽黍数【解见三巻下十七则】

十二则盘量仓窖设直仓底长七尺，濶五尺，髙八尺，求容粟数法曰：以底濶乘长【得三十五尺】再以髙乘之【得二百八十尺】为实。取木板四块，如图错综合之，令纵广及髙各一尺，纳粟于内，令平，以升量之。假如一斗二升，即以之为法乘实得。

三十三石六斗即所求解曰仓窖形状不一求积法俱详四巻十三则布帛设原买布长四十尺，濶二尺二寸，价银七钱五分。今有布长三十六尺，濶一尺八寸，求价。法曰：置今布长三十六尺，以濶一尺八寸乘之【得六十四尺八寸】再以原价七钱五分乘之【得四十八两六钱】为实。另置原布长四十尺，以濶二尺二寸乘之【得八十八尺】为法，除实，得五钱五分二厘二毫有竒，即所求。

十四则银色一法设九三色银一两二钱，倾销足色，求银数法曰：置银一两二钱为实，以银色九三乘之，得一两一钱一分六厘，即所求。

十五则银色一法设足色银一两一钱一分六厘，改倾九三色，求银数法曰：置银一两一钱一分六厘为实，以九三除之，得一两二钱，即所求。

十六则银色三法设八五色银五两六钱，改倾九五色银，求银数法曰：置银五两六钱为实，以八五乘之【得四两七钱六分】再以九五除之，得五两零一分零五毫，即所求。

十七则银色四法设足色银七两六钱五分，倾成九两，求银色法曰：置银七两六钱五分为实，以九两除之，得八五，即所求十八则。

银色五法设足色银三十五两二钱，改倾八八色银，求加铜数法曰：置银三十五两二钱为实，以八八除之【得四十两】与原银相减，余四两八钱，即所求。

十九则银色六法设倾八八色银，用铜四两八钱，求用银数法曰：置铜四两八钱为实，以八八与一两相减，余一钱二分，为法除之【得四十两】与铜数相减，余三十五两二钱，即所求二十则。

斤两一法设物重一千四十两求斤法。曰：置物重为实以斤法十六除之，得六十五斤，即所求。

二十一则斤两二法设物重六十五斤，求两法曰：置物重为实以斤法十六乘之，得一千四十两即所求。

二十二则斤两三法设物重六十五斤四两，每斤价二钱五分，求共价。法曰：先取四两，以斤法十六除之【得二五】并六十五斤之下【成六五二五】为实，以价乘之，得一十六两三钱一分二厘五毫，即所求。

二十三则斤两四法设物每斤价二钱五分，今银一十六两三钱一分二厘五毫，求值物重。法曰：置今银为实，以价为法，除之，得六十五斤二五。取斤下二五，以斤法十六乘之，得四两，共六十五斤四两，即所求。

二十四则斤两五法设物每斤价四两，求每两价法曰：置每斤价为实，以斤法十六除之，得二钱五分，即所求。

二十五则斤两六法设物每两价二钱五分，求斤价法曰：置每两价为实，以斤法十六乘之，得四两，即所求。

二十六则权重一法设秤原锤重二十六两，遇重物不能胜，另取一物重四十六两八钱作锤，秤之得一千零七十二两。求物重真数法曰：置物重一千零七十二两为实，以借用作锤之四十六两八钱乘之【得五万零一百六十九两六钱】再以原锤二十六两除之，得一千九百二十九两六钱，即所求。解曰：借用之锤重于原锤若干倍，则借用之锤所秤之物重亦重于原锤所秤之物重若干倍。以原锤除借用之锤，得一八，是借用之锤重于原锤十分之八也。则于借用锤所秤之一千零七十二两，以十分之八加之，必得一千九百二十九两六钱，为原锤所秤之重。法先乘后除者，亦异乘同除也【本巻五则】

二十七则权重二法设秤失其锤，止有原秤。过轻重二物，重者重一千九百二十九两六钱，轻者重四十六两八钱。以轻者作锤，秤重者得一千零七十二两。求原锤重法曰：置四十六两八钱为实，以一千零七十二两乘之【得五万零一百六十九两六钱】以一千九百二十九两六钱除之，得二十六两，即所求。解曰：一千九百二十九两六钱之与一千零七十二两，若四十六两八钱之与原锤也。故以之乘除，得原锤之重。

二十八则权重三法设秤失其锤，有轻重两物不知斤两，以轻者作锤，秤重者得五十二两；以重者作锤，秤轻者得一十三两。求原锤重，法曰：置两数相乘【得六百七十六两】平方开之，得二十六两，即所求。解曰：两数之中率，即原锤之重，两数相乘，平方开之，求中率之法也【二巻十六则】○又法：以等重二物，一作锤，一作物，秤之所得之数，即原锤之重。○按：以上三法，用之于平星、提索同居一位之秤，虽有微差，尚可得近似之数。至于平星、提索不同一位，相去愈逺，其差愈多，甚至与真数悬絶，留心此道者不可不知也。《数学钥》巻三上钦定四库全书数学钥巻三下柘城杜知耕撰衰分【诸分附】

一则合率差分设有银一百二十一两一钱七分五厘，买稻、麦、菽三等粮。买稻一分，每斗价九分二厘；麦二分，毎斗价八分五厘；菽三分，每斗价三分六厘。求三色粮各若干？法曰：置共银为实，另二因麦价【得一钱七分】三因菽价【得一钱零八厘】与稻价并【共三钱七分】为法，除实，得三十二石七斗五升为稻数；二因稻数，得六十五石五斗为麦数；三因稻数，得九十八石二斗五升为菽数。解曰：稻一，麦二，菽三，共六衰。而稻为六分之一，麦为六分之二，菽为六分之三。二因麦价者，令麦二倍于稻也；三因菽价者，令菽三倍于稻也。合二与三得五，是麦菽得五而稻得一，则稻为六分之一矣。故并价除实，即得稻数也。麦原二倍于稻，故二因稻数得麦数；菽原三倍于稻，故三因稻数得菽数。○如求各银数，则以各价乘各数即得。

二则折半差分设银六百七十二两，令甲、乙、丙三等人折半纳之，求各应纳银数。法曰：置共银为实，定丙为一衰，乙倍丙为二衰，甲倍乙为四衰，并之共七衰为法，除实，得九十六两为丙数，二因丙数得一百九十二两为乙数，二因乙数得三百八十四两为甲数。解曰：所谓折半者，令乙半于甲，丙半于乙，以一为丙衰，倍一得二，为乙衰，乙倍于丙，即丙半于乙也。倍二得四，为甲衰，甲倍于乙，即乙半于甲也。并之，共得七衰，而丙为七分之一，故以七除实，得丙数，余同前解三则。

四六差分设银八百一十二两五钱，令甲、乙、丙、丁四等人四六纳之，求各应纳银数。法曰：置共银为实，先定丁为四衰，以一五乘四得六为丙衰，再以一五乘六得九为乙衰，再以一五乘九得十三衰五分为甲衰，并之共三十二衰五分为法，除实得二十五两为一衰之数。四因二十五两得一百两为丁数，六因二十五两得一百五十两为丙数，九因二十五两得二百二十五两为乙数，以十三衰五分乗二十五两得三百三十七两五钱为甲数。解曰：定衰之法，当六乘四除。今用一五乘，何也？葢四之于六，若一与一五也。以一五乘四，得六；乘六，得九；乗九，得十三五。而十三五之与九九之与六，皆若六之与四也。并四数共三十二衰，半除实所得银数，即原银三十二分五厘之一，而丁应纳者，则三十二分五厘之四。故四因一衰之数，得丁数也。余同前解四则。

三七差分设有银一千九百七十五两，令甲、乙、丙三等人三七纳之，求各应纳银数。法曰：置共银为实，先定丙为九衰，七因三归，得二十一为乙衰。再七因三归，得四十九为甲衰。并之共七十九衰为法，除实得二十五两为一衰之数。九因之，得二百二十五两为丙数。以二十一乘之，得五百二十五两为乙数。以四十九乘之，得一千二百二十五两为甲数。解曰：不以三为丙衰，而以九为丙衰者，以三为丙衰，则不能得甲衰也。何也？试定三为丙衰，七为乙衰，七因三归，则得一六三，三不尽；定九为丙衰，正为甲衰地也。若甲乙丙丁四位，则九又不可为丁衰，必三倍之，得二十七为丁衰；若五位，又三倍二十七，得八十一为戊衰。位多者，仿此。

五则二八差分设有银一千零五十两，令甲、乙、丙三等人二八纳之，求各应纳银数。法曰：置共银为实，先定二为丙衰，四因二得八为乙衰，四因八得三十二为甲衰，并之共四十二衰为法，除实得二十五两为一衰之数，二因之得五十两为丙数，八因之得二百两为乙数，三十二乘之得八百两为甲数。解曰：逓以四因定衰者，以八四倍于二也。

六则逓减差分一法设米一千一百三十四石，令五等人户逓减纳之。一等二十四戸，二等三十三戸，三等四十二戸，四等五十一戸，五等六十户。求毎等及毎戸应纳银数。法曰：置共米为实，先定五等六十戸为六十衰。二因四等戸数，得一百零二衰。三因三等戸数，得一百二十六衰。四因二等戸数，得一百三十二衰。五因一等戸数，得一百二十衰。五数并共五百四十衰为法，除实得二石一斗为第五等每戸纳数。以五等六十戸乘之，得一百二十六石为第五等共纳数。以二因二石一斗，得四石二斗为第四等毎戸纳数。以四等五十一戸乘之，得二百一十四石二斗为第四等共纳数。以三因二石一斗，得六石三斗为第三等毎戸纳数。以三等四十二戸乘之，得二百六十四石六斗为第三等共纳数。以四因二石一斗，得八石四斗为第二等每户纳数。以二等三十三戸乗之，得二百七十七石二斗为第二等共纳数。以五因二石一斗，得十石零五斗为第一等每戸纳数。以一等二十四戸乘之，得二百五十二石为第一等共纳数。

解同本巻一则七则逓减差分二法设有米二百四十石，令甲、乙、丙、丁、戊五人纳之。定甲、乙二人纳数与丙、丁、戊三人纳数等，求各应纳米数。法曰：置共米为实，先以一为戊衰，二为丁衰，三为丙衰，四为乙衰，五为甲衰。次并戊一、丁二、丙三，得六；并乙四、甲五，得九。以六减九，余三，于每人衰数各増三：戊得四衰，丁得五衰，丙得六衰，乙得七衰，甲得八衰。并之共三十衰为法，除实得八石为一衰之数。四因之得三十二石为戊数，五因之得四十石为丁数，六因之得四十八石为丙数，七因之得五十六石为乙数，八因之得六十四石为甲数。解曰：若六位令丙丁戊己四人与甲乙二人纳数等，则并己一、戊二、丁三、丙四，共十；并乙五、甲六，共十一。两数相减，余一为实。另以甲乙二人与丙丁戊己四人相减，余二人为法，归之得五。各加入每人衰数，己得一五，戊得二五，丁得三五，丙得四五，乙得五五，甲得六五。若七位令丙丁戊己庚五人与甲乙二人纳数等，并庚一、己二、戊三、丁四、丙五，共十五；并乙六、甲七，共十三。是四人衰数反多于二人衰数，前法不行矣。则置各衰自乘，庚得一，己得四，戊得九，丁得十六，丙得二十五，并之共五十五；乙得三十六，甲得四十九，并之共八十五。两数相减，余三十为实。另以甲乙二人与丙丁戊己庚五人相减，余三人为法，归之得十。各加入每人衰数，庚得十一，己得十四，戊得十九，丁得二十六，丙得三十五，乙得四十六，甲得五十九。余仿此。

八则逓减差分三法设米二百六十五石，令三等人戸纳之。上等二十戸，每戸多中等七斗；中等五十戸，每戸多下等五斗；下等一百一十戸。求各应纳米数。法曰：置共米为实，并七斗五斗【共一石二斗】乘上等尸数【得二十四石】以五斗因中等尸数【得二十五石】两数并【共四十九石】减实余二百一十六石，并三等尸数【共一百八十戸】为法除之，得一石二斗为下等纳数，加五斗共一石七斗为中等纳数，再加七斗共二石四斗为上等纳数。以每等纳数乘每等戸数，得每等共纳数。解曰：共米内减去上、中两等多于下等米数，所余即一百八十戸均平公纳之米，除实得一石二斗，即每戸均纳之数。均纳之数即下等每戸应纳之数也，故加五斗得中等每戸纳数，再加七斗得上等每戸纳数。

九则带分子母差分一法设甲、乙、丙三人纳银，令乙纳甲数六分之五，丙纳甲数四分之三，乙多丙纳银八两，求共银及各应纳银数。法曰：列母四子三于左，母六子五于右。右上互乘左下，得十八；左上互乘右下，得二十。左上、右上相乘，得二十四。以十八减二十，余二为法。另以乙多丙八两乘二十四【得一百九十二两】以法除之，得九十六两，即甲。数以八两乘二十【得一百六十两】以法除之，得八十两，即乙。数以八两乘十八【得一百四十四】。

两】以法除之得七十二两即丙数并之得二百四十八两即共银数解曰：此借比例以求真数也。二十四与二十六分之五也，二十四与十八四分之三也。六分之五之二十，较四分之三之十八多二。六分之五之乙数，较四分之三之丙数却多八两。则二十四之与甲数，二十之与乙数，十八之与丙数，其比例必皆若二与八也。故八乘二除，各得真数也。

十则带分子母差分二法设布一十二万四千四百八十五疋，给散军士，每三名给袄布七疋，每四名给裤布五疋。求军数法曰：列三名七疋于右，四名五疋于左，右上互乘，左下【得十五】左上互乘右下【得二十八】并之【共四十三】为法，另以左上右上相乘【得一十二】以乘共布【得一百四】。十九万三千八百二十疋】以法除之得。

三万四千七百四十名即所求解曰十二为三名者四当给袄布二十八疋，为四名者三，当给裤布一十五疋。是毎军士十二名，给布四十三疋也。反之，每给布四十三疋，得军士一十二名也。故十二乘四十三，除得军数也。

十一则互和逓减差分一法设米一百八十石，令甲、乙、丙三人逓减纳之。定甲多丙米三十六石，求各应纳米数。法曰：置共米，以人数归之，得六十石，为乙数。另置甲多丙数，折半【得一十八石】加乙数，得七十八石，为甲数；减乙数，得四十二石，为丙数。解曰：甲多于乙，数必为甲多于丙数之半；丙少于乙，数亦必为丙少于甲数之半。两相折凖，是甲丙共得三分之二，而乙自得三分之一。故三归之，得乙数；加减之，得甲与丙数也。

十二则互和逓减差分二法设令甲乙丙丁四人逓减纳银，定甲纳六十九两，丁纳五十一两，求乙丙应纳数及共银数。法曰：以丁数减甲数【余一十八两】三归之得六两，加丁数得五十七两为丙数，加丙数得六十三两为乙数，并之共二百四十两为共银数。解曰：甲多于乙，乙多于丙，丙多于丁，三数并与甲多于丁数等，故三归得每率逓差之数。凡四位以上，皆取首尾两数相减，五位则四归之，六位则五归之，七位则六归之，即得每率逓差之数，余同前。

十三则匿价差分一法设银一百八十两零二钱五分，买麦六十五石，菽二十五石。麦每石多菽价一两零七分，求各价。法曰：置麦以麦多菽价乗之【得六十九两五钱五分】以减元银【余一百一十两零七钱】并麦菽两数除之，得一两二钱三分，即菽价。加麦多菽价，得二两三钱，即麦价。解曰：减去麦多菽价，余银即菽九十石之共价，故以九十石归之，得菽价。

十四则匿价差分二法设稻一十八石，稷二十二石，其值适等。交换五石，则两率差银一两六钱二分五厘。求各价，法曰：置一两六钱二分五厘，以交换五石归之，得三钱二分五厘，以乗稻一十八石【得五两八钱五分】另以稻一十八石减稷二十二石，余四石为法除之，得一两四钱六分二厘五毫，即稷价。另以三钱二分五厘乗稷二十二石【得七两一钱五分】以前法除之，得一两七钱八分七厘五毫，即稻价。解曰：交换五石，两率相差一两六钱二分五厘，则一两六钱二分五厘必稻五石多，稷五石之价也。以五归之，得三钱二分五厘，即稻稷每石相差之价。稻稷既每石相差三钱二分五厘，则一十八石必差五两八钱五分矣。今稷多稻四石而价适等，是稷四石之价必五两八钱五分也。故四归之，得稷价。又稻与稷价之比例原若十八与二十二，既以三钱二分五厘乗稻一十八石，得稷每四石之价，则以三钱二分五厘乗稷二十二石，必得稻每四石之价无疑矣。故四归之，得稻价。

十五则二色差分设银六十七两五钱，共买稻菽一百石。稻毎石价八钱，菽毎石价三钱。求稻菽各若干？法曰：以菽价乗共一百石【得三十两】以减原银【余三十七两五钱】为实，以两价相减【余五钱】为法除之，得七十五石，即稻数。以减共一百石，余二十五石，即菽数。解曰：原银为稻菽共百石之价，以菽价乗百石，为菽百石之价。两率不等者，以稻贵于菽也。今稻毎石多菽价五钱，是两率毎相差五钱。百石内必有稻一石，两率相减，余银三十七两五钱。凡为五钱者七十五，故得稻七十五石也。

十六则三色差分【四色，五色，六色附】设银十两零五钱，共买稻、麦、菽一十八石。稻每石价八钱，麦每石价六钱，菽毎石价三钱。求三色各若干。法曰：置共粮，以三归之，得六石，为麦数。以麦价因之，得三两六钱，为麦共价。另以麦数减共粮【余一十二石】以菽价因之【得三两六钱】另以麦共价减原银【余六两九钱】两数相减【余三两三钱】为实。稻菽两价相减【余五钱】为法除之，得六石六斗，为稻数。以稻麦两数减共粮，余五石四斗，为菽数。解曰：若四色，则四归，共物得若干，即第二色数，亦即第三色数，以第二色价乗之，得第二色共价，以第三色价乗之，得第三色共价，以两数减共物，两共价减原银，余依二色差分法求之。五色则五归，六色则六归之，仿此。○按：三色以上亦可与共物共价相合无差，然实非一定不易之数。即前三色论之，设稻九石，共价七两二钱；麦二石，共价一两二钱；菽七石，共价二两一钱，亦与原银共粮共价皆合，而与上法所求三色之数不同。

十七则贵贱和率差分设银一百二十七两五钱，共买稻麦一百零八石，毎稻三石价四两，毎麦四石价三两五钱，求二色数及价各若干。法曰：列稻三石，麦四石，共稻麦一百零八石于右；次列稻价四两，麦价三两五钱，原银一百二十七两五钱于左。以右上互乘左中【得十两零五钱】以左上互乘右中【得一十六两】两数相减，余五两五钱为长法。次以右中互乗左下【得五百一十两】以左中互乗右下【得三百七十八两】两数相减【余一百三十二】。

两】以长法除之得二十四为短法，以稻三石乗短法，得七十二石，即稻数。以稻价乗短法，得九十六两，即稻共价。以稻数减共稻麦一百零八石，余三十六石，即麦数。以稻共价减原银一百二十七两五钱，余三十一两五钱，即麦共价。解曰：此与前二色差分同，但彼数齐，此数不齐耳。凡数之不齐者，必假一数以齐之。今稻三石，麦四石，则以十二齐之。何为必齐之十二也？十二为四倍稻三石，三倍麦四石之数也。以稻三乗麦价，即得麦十二石之价；以麦四乗稻价，即稻十二石之价。两数相减为长法者，即稻十二石多于麦十二石之银数，亦即稻四石多于麦四石之价，又三倍之之数也。以麦价乗共稻麦一百零八石，即麦四百三十二石之价，亦即一百零八石尽皆为麦，而又四倍其价之数也。以麦四乗原银，即稻麦四百三十二石之共价，亦即稻麦一百零八石之原价，而又四倍之之数也。两数相减之余，即麦四百三十二石少于稻麦共四百三十二石之价，实即稻七十二石多于麦七十二石之价，又四倍之之数也。以之为实，若以稻四石多于麦四石之价除之，必得稻七十二石。今稻四石多于麦四石之价不可得，止得稻十二石多于麦十二石之价为长法，除实得二十四。二十四者，即为稻三石者二十四也【十二石三倍多于四石，二十四三倍少于七十二石，葢法増若干倍，得数即减若干倍也】故为短法，以稻三石乗之得稻数，以稻价乗之得共稻价○若欲先得麦数，则以稻三石乗元银，以稻价乗共稻麦数，两数相减，以长法除之，得数为短法，以麦四石乗之得麦数，以麦价乗之得共麦价【解同前】○按此条当列稻三石价四两，共稻麦一百零八石于右，列麦四石价三两五钱，共银一百二十七两五钱于左，以左上互乗右中【得一十六两】以右上互乗右中【得十两零五钱】两数相减【余五两五钱】为法，次以左上右上相乗【得一十二石】以乗左下【得一千五百三十两】以左中十两零五钱乗右下【得一千一百三十四两】两数。

相减【余三百九十六两】为实以法除之，得七十二石，即稻数，似较旧法更捷。○旧法以十二倍之法除四倍之实，故止得二十四，以稻三石乗之，方得稻数；后法以十二倍之法除十二倍之实，故一除即得稻数，无须再乗也。

十八则首尾两和差分设十人挨次逓减纳银，甲乙丙三人共纳一十三两八钱，庚辛壬癸四人共纳一十三两，求各应纳银数。

法曰列三人于右上定甲九衰乙八衰丙七衰共二十四衰列于右中三人纳数列于右下次列四人于左，上定庚三衰，辛二衰，壬一衰，共六衰，列于左中四人，纳数列于左下。先以右上徧乗左行【中得一十八衰，下得三十九两六钱】次以左上徧乗右行【中得九十六衰，下得五十五两二钱】以两下对减【余一十五两六钱】为实，两中对减【余七十八衰】为法，除之得二钱【为十人挨次逓减之数】另以右上归右下，得四两六钱为乙数，加乙二钱，得四两八钱为甲数，减乙二钱，得四两四钱为丙数，减丙二钱，得四两二钱为丁数，以下各逓减二钱，得应纳银数。解曰：首三人，尾四人，两数不齐，不可相减，以求首尾相差之数，故互乗以齐之。夫左下尾四人共纳之银数也，以右上三人乗之，得三十九两六钱，即三倍尾四人为一十二人之纳数。右下首三人共纳之银数也，以左上四人乘之，得五十五两二钱，即四倍首三人亦为一十二人之纳数。对减之余，即首十二人多于尾十二人之纳数，故以为实。左中尾四人之衰数，以右上三人乗之，得十八，即三倍尾四人为一十二人之衰数。右中首三人之衰数，以左上四人乗之，得九十六，即四倍首三人亦为一十二人之衰数。对减之余，即首十二人多于尾十二人之衰数，故以为法。以法除实，所得非一衰之银数而何？一衰之银数，即十人挨次逓减之数也。以右上三人归右下纳数，即得乙数。何也？葢乙多于丙者，即甲多于乙者也。减甲之多，补丙之少，则成三平数，乙居甲丙之中，故三归之得平数，即得乙数也。

数学钥巻三下钦定四库全书数学钥巻三附柘城杜知耕撰分法一则命分设银四十两，三人分之，求毎人应分银数。法曰：置银为实，以人数除之，得一十三两，余一不尽。则以法为分母，以不尽之一为分子，命为一十三两又三分两之一。解曰：「三分两之一，即三钱三分三，三不尽。」

二则约分设以九十八为法，除实不尽者四十二，求约若干。法曰：以子四十二减母九十八【余五十六】再减之余一十四，复以母十四减子四十二【余二十八】再减之亦余一十四，谓之子母相同，即以十四为法，除母九十八得七，除子四十二得三，即命为七分之三。解曰：母数九十八，是七个十四；子数四十二，是三个十四。九十八之与四十二，若七之与三也。故命为七分之三。遇不可约之数，直以本数命之。如母九十七，子四十二，此数之不可约者也。直命为九十七之四十二。

三则乘分设一十八人分银，毎人分得三百七十六两又九分两之六，求共银法。曰：置三百七十六两为实，以母九因之【得三千三百八十四两】加入子六【共三千三百九十两】以人数乘之【得六万一千零二十两】再以母九归之，得六千七百八十两，即所求。解曰：「不以母因实，则不能加入子数，故因实以就子也。」

四则课分设有布二疋又九分疋之五，用过一疋又六分疋之一，求余布。法曰：置用过布一疋，以母六因之【仍得六】加入子一【共七】又以原布母九因之【得六十三】另置原布二疋，以母九因之【得一十八】加入子五【共二十三】又以用过布母六因之【得一百三十八】两数相减【余七十五】为实，以两母【谓九与六】相乘【得五十四】为法除之，得一疋零二十一，以约分法约之，得十八之七，即命为余布一疋又十八分疋之七。解曰：两数各带子母，不得不两因之，两因之不得不两归之。法以两母相乘除实者，与两归得数同也。五则通分设粟四十五石，毎七分石之五，值银八分两之六，求共银法。曰：置粟为实，以粟母七乘银子六【得四十二】为法，乘实【得一千八百九十】另以银母八乘粟子五【得四十】为法，除之，得四十七两二钱五分，即所求。解曰：原当置粟为实，以粟母七乘之，粟子五除之，求得共粟七分之五。再以银子六乘之，银母八除之，即得银数。然既以粟母七乘之，又以银子六乘之，不如以粟母七乘银子六以乘之也。既以粟子五除之，又以银母八除之，不如以银母八乘粟子五以除之也。

数学钥巻三附<子部,天文算法类,算书之属,数学钥》>钦定四库全书数学钥巻四凡例柘城杜知耕撰凡例一则形为体之界，在上之界曰靣，在下之界曰底。底与面有长广而无厚薄，故底面之积曰平积。

二则体之纵者曰长，衡者曰广，立者曰髙三则底面长广及髙皆等者曰立方，如第一图，底面皆方而髙不与长广等者曰方体如第二图长广及髙皆不等而角方者曰直体亦曰直方体，如第三图，底或方或直，而傍为勾股形，曰堑堵，如第四图，底或方或直，而傍为三角形，曰刍荛，如第五图，底或方或圆或多边，而上鋭至尽者，曰锥体，如第六图，凡底面相等者，即取底之形为体之名，设底六边，即为六边体，如第七图，浑然无界无棱者，曰浑体，浑圆如第八图，浑撱圆如第九图，面长杀于底长而无广者，曰鋭脊，如第十图，面之长广各杀于底者，曰鋭面，如第十一图，上下皆有长无广者，曰鼈臑，如第十二图。

四则锥及鋭面等体，自傍科量之度，非正髙；五边、七边等底中长，折半之防，非正心。

五则线之度，尺容十寸，寸容十分；形之度，尺容百寸，寸容百分；体之度，尺容千寸，寸容千分。

六则相似两形之比例，为线与线再加之比例。再加者，谓两线各自乘以为比例也。相似两体之比例，为线与线三加之比例。三加者，谓两线各自乘再乘以为比例也。两形有一度等者，同两线之比例；两体有一度等者，同两形之比例；两体有两度等者，亦同两线之比例。

七则堆止一层，曰平堆；二层以上，曰髙堆。

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