御制数理精蕴表卷一上

御制数理精蕴表卷一上

八线表八线表説八线之用，关于数理者甚大。立表愈宻，则为用愈精。西洋旧表设半径为十万，用以推测步算秒微，或有不合。既而又有新表设半径为一千万，取数较精，但逐分列表，用中比例以求秒数，止可用于正▯余▯若切线、割线至六十度以后，其递増之数不均，用中比例尚不能宻合。兹又用本法细推【法见割圜】每十秒递折求零秒，则用比例所差无多，检用亦便。用表之法并列如左：列表之法，○度至四十四度列于右方之上，其分秒顺列右行，自上而下，检得某度某分秒，对上层各线之数用之。若有各线之数求度分秒者，则对上层各线行内检得某数，横对至右行，即得某度分秒。四十五度至八十九度列于左方之下，其分秒逆列左行，自下而上。检得某度某分秒，对下层各线之数用之。若有各线之数，求度分秒者，则对下层各线行内检得某数，横对至左行，即得某度分秒。

凡查零秒用中比例如检一度三分十三秒之正▯则以一度三分十秒与一度三分二十秒相减余十秒为一率一度三分十秒之正▯一八三七三四与一度三分二十秒之正▯一八四二一九相减余四八五为二率三秒为三率求得四率一四五与一度三分十秒之正▯相加得一八三八七九即一度三分十三秒之正▯盖多十秒则正▯多四八五今多三秒则正▯应多一四五为比例四率也如检一度三分十三秒之余▯则仍以十秒为一率一度三分十秒之余▯九九九八三一二内减一度三分二十秒之余▯九九九八三○三余九为二率三秒为三率求得四率三与一度三分十秒之余▯相减余九九九八三○九即一度三分十三秒之余▯盖多十秒则余▯少九今多三秒则余▯应少三为比例四率也　如有正▯一八三八七九求度分秒与一度三分十秒之正▯相较则多与一度三分二十秒之正▯相较则少即知在十秒二十秒之间乃以一度三分十秒与一度三分二十秒之正▯相减余四八五为一率十秒为二率今有之正▯内减一度三分十秒之正▯余一四五为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖多四八五则多十秒今多一四五则应多三秒为比例四率也如有余▯九九九八三○九求度分秒则以一度三分十秒之余▯内减一度三分二十秒之余▯余九为一率十秒为二率一度三分十秒之余▯内减今有之余▯余三为三率求得四率三秒与一度三分十秒相加即得一度三分十三秒盖少九则多十秒今少三则应多三秒为比例四率也八线内有正矢、余矢二线。正矢即半径减余▯之数，余矢即半径减正▯之数。故表内虽不列正矢、余矢，而其【数已寓矣】

<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴,表卷一上》><子部,天文算法类,算书之属,几何论约》>钦定四库全书　　　　　子部六几何论约天文算法类二【算书之属】提要【臣】等谨案几何论约七卷国朝杜知耕撰。知耕字临甫，号伯瞿，柘城人。是编取利玛窦与徐光启所译《几何原本》，复加删削，故名曰《论约》。考光启于《几何原本》之首，冠杂议数条，有云：“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改；有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。”知耕乃刋削其文，似乎蹈光启之所戒。然读古人书者，往往各有所会心，当其独契，不必喻诸人；人并不必印诸著书之人。《几何原本》十五卷，光启取其六巻，萨几里得以絶世之萟，传其国，递校之秘法。其果有九巻之冗赘，待光启去取乎？亦各取其所欲取而已。知耕之取所欲取，不足异也。梅文鼎算术造微，而所着《几何摘要》，亦有所去取于其间，且称知耕是书足以相证。则是书之删繁举要，必非漫然矣。乾隆四十六年九月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总　校　官【臣】陆费墀原序凡物之生，有理，有形，有数。三者妙于自然，不可言合。何有于分？顾从来语格物者，毎详求理，而略形与数。其于数，虽有九章之术，求其精确，已苦无▯书。至论物之形，则絶无及者。孟子曰：“继之以规矩凖绳，以为方圆平直，不可胜用。”意古者公输、墨翟之流，未尝不究心于此，而特未及勒为一家之言与？然不可考矣。尝窃论之：理为物原，数为物纪，而形为物质。形也者，理数之相附以立者也。得形之所以然，则理与数皆在其中。不得其形，则数有穷时，而理亦杳▯而不安。非理之不足恃，盖离形求理，则意与象暌，而理为无用；即形求理，则道与器合，而理为有本也。防何原本一书，创于西洋欧吉里斯，自利玛窦携入中国，而上海徐元扈先生极为表章，译以华文，中国人始得读之。其书囊括万象，包罗诸有，以为物之形，有短长，有濶狭，有厚薄。短长曰线，濶狭曰面，厚薄曰体。以三者提其大纲，而曲直相参，斜正相求，方员相凖，多寡相较，轻重相衡，以虚例实用，小该大，自近测逺，参之伍之，错之综之，物之形得而无阂数，无遁理矣。顾其书虽存，而习者卒鲜。即稍窥其籓，亦仅以为厯学一家之言，不知其用之无所不可也。友人杜子端甫，束发好学，于天文、律厯、轩岐诸家，无不该览，极深湛之思，而归于平实。非心之所安，事之所騐，虽古人成説，不敢从也。其于是书九，沛然有得，以为原书义例条贯，已无可议，而解论所系，间有繁多，读者难则知者少矣。

于是为之删其冗复，存其节要，解取诂题，论取发解。有所未明，间以已意附之。多者取少，迂者取径，使览者如指掌列眉，庶人不苦难，而学者益多。既成，征序于予。予谫陋，何能为役？然念先君子尝精研此书，弗释巻。不肖总角时，毎闻其略，今愧不能绍前业，读杜子书而附名末议，尤所欣愿者，故为述其大。意以应杜子之请，而因为之言曰：今艺学之榛荒乆矣。即以律厯论，二者虽同出于数，然各有本末，不必强同。汉魏以来，务为牵合，了无确义。至天文一家，尤多穿凿。凡日月交食，五星凌犯，有所弗通，不咎推歩之失，反诬天行之错，以致批根人事，除翦无辜，翕张政刑，不可殚述。盖不徒时刻愆期，分秒失算而已，是岂非学而不实之过哉？若舍去一切傅会揣合之説，而以防何之学求之，则数以象明理，因数显涣然氷释，无往不合。即推而广之，凡量髙测逺，授土工治，河渠以及百工技艺之巧，日用居室之防，无一之可离者。然则此书诚格致之要论，艺学之津梁也。今夫释迦之学，亦来自西域，中更刘宋、萧梁诸人，翻演妙谛，转渉悬▯，然终属搏沙，无禆实用。中国人犹嗜之，不啻饥渴。防何一书，絶非其伦。徐、利二公，一本平实，杜子所述，更归防简。学者辍其章句词赋之功，假十一于千百，数日间可得之，亦何惮而不一观与？杜子先有《数学钥》六巻，已行于世，正与防何家相为表里。合二书评之，皆洁浄精实，防于不能损益一字。语不云乎：「言之无文，行之不逺。」吾以为言之不简，不可为文；简而不该，不可为简。请以此语賛两书。读之者，既得其简，即得其该，其于是道也，庶防哉！吴学颢序原序几何原本》者，西洋欧吉里斯之书。自利氏西来，始▯其学。元扈徐先生译以华文，厯五载，三易稿，而后成。其书题题相因，由浅入深，似晦而实显，似难而实易，为人不可不读之书，亦人人能读之书。故徐公尝言曰：“百年之后，必人人习之。”即又以为习之晚也。书成于万厯丁未，至今九十余年，而习者尚寥寥无防其故何与？盖以毎题必先标大纲，继之以解，又继之以论，多者千言，少者亦不下百余言。一题必绘数圗一圗必有数线。读者须凝精聚神，手志目顾，方明其义。精神少懈，一题未竟，已不知所言为何事。习者之寡，不尽由此，而未必不由此也。若使一题之蕴，数语辄尽，简而能明，约而能该，篇幅既短，精神易括，一目了然，如指诸掌，吾知人人习之，恐晩矣。或语余日子盍约之？”余曰：“未易也。以一语当数语，聪頴者所难，而况鲁钝如余者乎？”虽然，试为之。于是就其原文，因其次第，论可约者约之，别有可发者，以已意附之。

解已尽者，节其论；题自明者，并节其解，务简省文句，期合题意而止。又推义比类，复缀数条于末，以广其余意。既毕事，爰授之梓，以就正四方。倘摘其谬，删其繁，补其遗漏，尤余所厚望焉。杜知耕序钦定四库全书几何论约巻一之首柘城杜知耕撰界説三十六则【凡造论，先当分别解説论中所用名目，故作界説】

一界防无长短广狭厚薄二界线有长短，无广狭厚薄【线有曲有直】

三界线之界是防四界直线止有两端，两端之间上下更无一防。

五界面有长短广狭而无厚薄六界靣之界是线七界平面一面平在界之内八界平角，两直线于平靣纵横相遇处，如甲乙、乙丙两线所作，不以线之大小较论【凡言角连用三字，中间一字为所指之角，如称甲乙丙角，乃指乙角而言也】九界直线相遇作角，为直线角。本书中所论皆是直。

线角角有三等一直线角二曲线角三杂线角十界甲乙，纵线加丙丁，横线上乙左右作两角相等。而直【角方中矩曰直】则甲乙为丙丁之垂线。

十一界凡角大于直角曰钝角【如甲乙丙角】

十二界凡角小于直角曰鋭角【如前图甲乙丁角】十三界。界者，一物之始终。今所论有三界：防为线之界，线为面之界，面为体之界。体不可为界。十四界形或在一界【如平圎立圎等形】或在多界之间【如平方立方及平立三角六角八角等形】十五界圜，自界至心，任作几许直线，俱等。

十六界圜之中处为心十七界自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径，径分圜为两平分。十八界径线与半圜界所作形为半圜。十九界在直线界中之形为直线形。二十界在三直线界中之形为三边形。二十一界，在四直线界中之形为四边形。二十二界在多直线界中之形为多边形。二十三界，三边形，三邉线等为平边三角形。二十四界三边形，两邉线等，为两边等三角形。二十五界，三邉形，三边俱不等，为三不等三角形。二十六界，三邉形，有一直角，为三邉直角形。二十七界三边形，有一钝角，为三边钝角形。二十八界三边形三角皆鋭，为三边鋭角形【凡三边形，恒以在下者为底，两旁者为腰】二十九界，四边形，四边俱等，而角直，为直角方形。三十界，直角形，其角皆直，其边两两相等。三十一界，斜方形，四边等，而非直角。三十二界长斜方形，其邉两两相等，而非直角。三十三界已上，四种谓之有法四邉形。四种之外，他方形皆谓之无法四邉形。三十四界，两直线【如甲乙丙丁两线】于同面行至无穷不相。离亦不相逺，而不相遇，为平行线。

三十五界一形，每两边有平行线【甲丙与乙丁平行，甲乙与丙丁平行】

为平行方形三十六界凡平行方形于对角作直线，又于两边纵横各作平行线，遇对角线于壬，即分此形为四平行方形，其两形有对角线者【己辛庚戊两形】为角线方形，其两形无角线者【丁、壬、壬、乙两形】为余方形【甲、乙、丙、丁方形，今止称为丁、乙方形，省文也】求作四则【求作者不得，言不可作】一求自此防至彼防，求作一直线。二、求一有界直线，求从一界引长之，成一直线。三求不论大小，以防为心，求作圜。四求设一度于此，求作彼度，较此度或大或小【凡言度者，或线，或面，或体，皆是】公论十九则【公论者，不可疑】一论设有多度，彼此俱与他等，则彼与此自相等。二论有多度等，若所加之度等，则合并之度亦等。三论有多度等，若所减之度等，则所存之度亦等。四论有多度不等，若所加之度等，则合并之度不等。五论有多度不等，若所减之度等，则所存之度不等。六论有多度俱倍于此度，则彼多度俱等。七论有、多度俱半于此、度则彼多度俱等。八论有二度自相合【谓以此度加于彼度之上而自相合】则两度必等。九论全大于其分。

十论直角俱相等十一论有甲乙丙丁两横线，任作一戊己纵线，或正或偏。若戊己线旁同方两角俱小于直角，或两角并小于两直角，则两横线愈长愈相近。

必有相遇处十二论两直线不能为有界之形。十三论两直线止能于一防相遇。十四论有甲乙丙丁两度等，若于甲乙加乙戊，于丙丁加丁己，所加两度不等，则合并之差与所加之差等，谓甲戊之大于丙己，与乙戊之大于丁己，同一戊庚也。十五论有戊乙丁己两度不等，若于戊乙加乙甲，于己丁加丁丙，所加两度等，则合并所赢之度。与元所赢之度等，谓戊甲之大于己丙，与戊乙之大于己丁，同一庚戊也。十六论：有甲、乙、丙、丁两度等。若于甲、乙减戊，乙于丙、丁减己，丁所减两度不等，则余度所赢之度。与减去所赢之度等，谓乙戊之大于己丁，与丙己之大于甲戊同一庚戊也。十七论有甲戊丙己两度不等，若于甲戊减甲乙，于丙己减丙丁，所减两度等，则余度所赢之度。与元所赢之度等，谓乙戊之大于丁己，与甲戊之大于丙己，同一庚戊也。

十八论全与诸分之并等十九论有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较【相减之余曰较】亦倍于彼较【设此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七】

钦定四库全书