数学钥卷六
数学钥卷六
柘城杜知耕撰勾股一则勾股求▯设勾六尺，股八尺，求▯法曰：置勾股各自乗【勾得三十六尺，股得六十四尺】两数并【共一百尺】平方开之，得十尺，即所求。解曰：不论勾股相等与否，勾上方形及股上方形并。
必与▯上方形等如甲乙丙勾股形甲乙勾与丙乙股等试作乙丁等髙同底方形其边与甲乙等必为勾上方又与丙乙等亦必为股上方再作戊巳外切方形，其边与甲丙等，即为▯。上方若于形内减去乙丁方形，余甲乙戊等四三角形并之，复等一乙丁方形【一卷十一则】以乙丁为勾方，以等乙丁之四三角形为股方，并之不等于戊巳▯方乎？又如庚辛壬勾股形庚辛短辛壬长勾与股不相等者于庚辛勾辛壬股庚壬▯上各作方形为庚癸辛子辛丑次作辛寅辛癸辛辰壬丑庚子五线几何原本云：庚辛壬与庚辛午，既皆方角，即午辛辛壬是一直线。依显庚辛辛巳亦一直线。又壬庚辰与辛庚丑，既皆方角，而每加一辛庚壬角，即辛庚辰与壬庚丑两角亦等。依显辛壬癸庚壬子两角亦等。又庚辛辰三角形之辛庚庚辰两边与庚壬丑三角形之丑庚庚壬两边等辛庚辰与壬庚丑两角复等则对等角之辛辰与壬丑两边亦等而此两三角形亦等矣夫辛丑方形倍大于同庚丑底同在平行线内之庚壬丑三角形【一卷八则，既谓直形等于平行线内同底之象目形，则必能倍大于平行线内同底之三角形】而辰卯直形亦倍大于同庚辰底同在平行线内之庚辛辰三角形，则辛丑方形不与辰卯直形等乎？依显，辛子方形与癸卯直形等，则癸庚一形与辛子、辛丑两形并等矣。法以勾股各自乗，求勾股上两方形也。两形并则为▯上之方积，故平方开之得▯也。二则勾▯求股设勾六尺，▯十尺，求股。法曰：置勾，▯各自乗【勾得三十六尺，▯得一百尺】两数相减【余六十四尺】平方开之，得八尺，即所求。解曰：▯上方积，当一勾，一股上方积，于▯积内减去勾积，所余非股积而何？故平方开之得股。
三则股▯求勾设股八尺，▯十尺，求勾。法曰：置股、▯各自乗【股得六十四尺，▯得一百尺】两数相减【余三十六尺】平方开之，得六尺，即所求。解曰：▯积内减去股积，所余必勾积，故平方开之得勾。
四则勾股积及勾股较求▯设勾股积二十四尺，勾股较二尺，求▯法曰：置勾股积，四因之【得九十六尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百尺】平方开之，得十尺，即所求。
解曰甲乙丙勾股形与戊巳甲丁庚戊乙辛丁三勾股形等甲丙为甲乙丙形之股，甲巳为戊巳，甲形之勾，于甲丙截甲巳，余己丙，则勾股较也。丙辛，辛庚，庚巳各与己丙等，是己辛为勾股较上方形。又甲乙为甲乙丙形之▯，而丁乙，戊丁，甲戊各与甲乙等，是甲丁为▯上方形。今并五形成一甲丁方形，则是一▯上方形与四勾股积一，勾股较上方积并等矣。故四因勾股积，并入勾股较自乗。之积平方开之得▯也。又如壬子癸，勾股形，壬子勾与子癸股等，四。形并即成，一壬丑▯上方，形而无余。凡遇勾股相等之勾股形，四因积平方开之，即得▯度。
五则▯及勾股较求勾股积设▯十尺，勾股较二尺，求勾股积。法曰：置▯与勾股较各自乗【▯得一百尺，勾股较得四尺】两数相减【余九十六尺】以四归之，得二十四尺，即所求。解曰：▯上方积减去勾股较上方积，必余四勾股积，故四归之，得一勾股积。
六则▯及勾股积求勾股较设▯十尺，勾股积二十四尺，求勾股较。法曰：置▯自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之，得二尺，即所求。解曰：「▯上方积减去四勾股积，所余必勾股较上方积，故平方开之，得勾股较。」
七则▯及勾股和求勾股较设▯十尺，勾股和一十四尺，求勾股较。法曰：置▯自乗，【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股和。自乗【得一百九十六尺】两数相减【余四尺】平方开之，得二尺，即所求。
解曰甲巳方形内凡八勾股形而皆等乙戊为戊丁乙形之股甲乙，为乙丙甲形之勾甲乙，乙戊并得甲戊，乃勾股和也。余三边皆等于甲戊，是甲己为勾股和上方形。又丙丁为▯上方形，辛壬为勾股较上方形【本卷四则】夫▯上方形内得勾股形。
四及勾股较上方形一勾股和上方形内得勾股形八及勾股较上方形一是一勾股和上方形当▯上方形二而少一勾股较上方形也故倍▯羃减勾股和自乗之积，平方开之，得勾股较八，则勾股和及勾股积求▯设勾股和一十四尺，勾股积二十四尺，求▯法曰：置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数相减【余一百尺】平方开之，得十尺，即所求。解曰：勾股和上方，大于▯上方者，四勾股积也。故相减，开方得▯。
九则勾股和及勾股积求勾股较设勾股和一十四尺，勾股积二十四尺，求勾股较。法曰：置勾股和自乗【得一百九十六尺】另置勾股积八因之【得一百九十二尺】两数相减【余四尺】平方开之，得二尺，即所求。解曰：勾股和上方大于勾股较上方者，八勾股积也，故相减开方得勾股较。
十则▯及勾股较求勾股和设▯十尺勾股较二尺求勾股和法曰置▯自乗【得一百尺】倍之【得二百尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数相减【余一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求解曰：倍▯上方积，大于勾股和上方积者，勾股较上方积也。故相减，开方得勾股和。
十一则勾股积及勾股较求勾股和设勾股积二十四尺，勾股较二尺，求勾股和。法曰：置勾股积，八因之【得一百九十二尺】另置勾股较自乗【得四尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之，得一十四尺，即所求。解曰：即九则法反用之。
十二则▯及勾股积求勾股和设▯十尺勾股积二十四尺求勾股和法曰置▯自乗【得一百尺】另置勾股积四因之【得九十六尺】两数并【共一百九十六尺】平方开之得一十四尺即所求解曰即八则法反用之十三则勾▯和股▯和求勾股▯设勾▯和一十六尺，股▯和一十八尺，求勾股▯法曰：置勾▯和，股▯和相乗【得二百八十八尺】倍之【得五百七十六尺】平方开之，得二十四尺，为勾股▯和与勾▯和相减。
余八尺即股与股▯和相减余六尺即勾与二勾一股相减余十尺即▯解曰甲乙直形为勾▯和股▯和矩内形乙丁乙丙皆与▯等丁戊，与勾等丙庚，与股等，则己乙必为▯，方巳戊必▯勾矩内形，己庚必▯股矩内形，甲巳必勾股矩内形，辛壬方形为勾股▯和上方形，壬癸、壬子皆与▯等，癸丑、子寅皆与股等，丑卯、寅辰皆与勾等，则巳壬必为▯方午巳必为股方辛午必为勾方未癸申子必皆股▯矩内形酉丑戌寅必皆勾▯矩内形，午酉午戌必皆勾股矩内形。今以辛壬方形与甲乙直形较，则未癸申子并倍于己庚，酉丑戌寅并倍于巳戊，午酉午戌并倍于甲巳。又午巳股方与辛午勾方并，与己壬▯方等。是己壬、午巳、辛午三形并复倍于己乙分形。既倍大于分形，全形亦必倍大于全形。是勾股▯和上方形一，与勾▯和、股▯和矩内形二并等矣。故以勾▯和乗股▯和，倍而开方得勾股▯和也。于勾股▯和内减去一▯一股所余必勾减去一▯一勾，所余必股；减去一勾一股所余必▯也。
十四则股及勾▯较求勾与▯设股八尺，勾▯较四尺，求勾▯。法曰：置股自乗【得六十四。
尺】另置勾▯较自乗【得一十六尺】两数相减【余四十八尺】折半【得二十四尺】以勾▯较除之得六尺，即勾加勾▯较，得十尺，即▯。解曰：甲乙为▯，上方形；丙丁为勾，上方形；戊巳为勾▯较，上方形。于甲乙▯方内减去丙丁勾方，所余必股上方积，成一辛壬癸磬折形。再减去勾▯较上方形，所余必甲庚、庚乙二直形。而以甲丙、乙丁为濶，丙庚、庚丁为长。甲丙、乙丁即勾▯较也；丙庚、庚丁为勾上方形之边，即勾也。法以两数相减，所余者即二直形也。折半者，取二直形之一也。以勾▯较除之得勾者，即以濶除积得长也。○或以两数相减之四十八尺为实，倍勾▯较除之，亦得勾。○或以股自乗为实，以勾▯较除之，得数减勾▯较折半，亦得勾。
十五则勾及股▯较求股与▯设勾六尺，股▯较二尺，求股▯。法曰：置勾自乗【得三十六】尺】另置股▯较自乗【得四尺】两数相减【余三十二尺】折半【得一十六尺】以股▯较除之，得八尺，即股。
加股▯较共十尺即▯解曰甲乙▯方内减去丙丁股方戊巳股▯较方所余必甲庚庚乙两直形折半则得一直形，故以股▯较除之，得股十六，则股羃及勾▯较求勾▯和设股羃六十四尺，勾▯较四尺，求勾▯和。法曰：置股羃为实以勾▯较除之得一十六尺即所求解曰十四则辛壬癸磬折形其甲乙元与▯等丙丁元与勾等若移癸于戊则成，辛壬戊直，形以勾▯较，为濶勾▯和，为长矣。故以勾▯较除股羃，得勾▯和。
十七则勾羃及股▯较求股▯和设勾羃三十六尺股▯较二尺求股▯和法曰置勾羃为实以股▯较除之得一十八尺即所求解曰：十五则辛壬癸磬折形，其甲乙元与▯等，丁丙元与股等。若移癸于戊，亦成辛壬戊直形。以股▯较为濶，股▯和为长矣。故以股▯较除勾羃，得股▯和。十八则股羃及勾▯和求勾▯较设股羃六十四尺，勾▯和一十六尺，求勾▯较。法曰：置股羃为实，以勾▯和除之，得四尺，即所求。
解曰即十六则法反用之十九则勾羃及股▯和求股▯较设勾羃三十六尺，股▯和一十八尺，求股▯较。法曰：置勾羃为实，以股▯和除之，得二尺，即所求。
解曰即十七则法反用之二十则勾▯较股▯较求勾股▯设勾▯较四尺，股▯较二尺，求勾股▯。法曰：置勾▯较，股▯较相乗【得八尺】倍之【得一十六尺】平方开之【得四尺】加股▯较得六尺，即勾；加勾▯较得八尺，即股。加勾▯较股▯较得十尺即▯解曰甲乙为▯方丁乙为勾方甲丙为股方以丁乙勾方甲丙股方错综加于甲乙▯方之上必缺戊巳庚辛二直形而重一丁丙方形然丁丙方形必能补二直形之缺而与之等，何也？丁乙勾方，甲丙股方，并等于甲乙▯方。若丁丙方形或大或小于二直形，则是勾方股方并不与▯方等矣。夫勾方股方并既与▯方等，则二直形并亦必与丁丙方形等。法以两较相乗而倍之者，求二直形也【二直形以戊壬癸辛勾▯较为长，以壬巳癸庚股▯较为濶】平方开之者，求丁丙方形之一边也。以一边加股▯较之癸庚，得癸丁；即勾加勾▯较之戊壬，得丙壬；即股加一勾▯较之戊壬，一股▯较之癸庚，得癸丁及戊壬，即▯。
二十一则相连之勾股求▯设圆柱髙二十尺，周三尺，以索绕柱七周，与柱适齐。
求索长法曰置柱周三尺以索绕七周因之【得二十一尺】自乗【得四百四十一尺】另置柱髙自乗【得四百尺】两数并【共八百四十一。
尺】平方开之得二十九尺即所求解曰索绕柱七周即七叚勾股也。柱髙二十尺，为七股；七周二十一尺，为七勾。索长为七▯也。此条元当七归柱髙，取七股之一，用勾股求▯法，得数七因之为▯长。然七归二十尺，乃畸零不尽之数，不得不七因勾以就股也。以柱髙为股，即并丁戊等七小股成一丙乙大股；以七周为勾，即并甲戊等七小勾成一甲乙大勾。夫七小勾小股并，既同于大勾大股，而总求一甲丙大▯，有不同于甲丁等七小▯并乎？故求甲丙大▯为索长也。二十二则相连之股▯求勾设圆柱髙二十尺，索长二十九尺，绕柱七周，索与柱齐，求柱周。法曰：置柱索各自乗【柱得四百尺，索得八百四十一尺】两数相减【余四百四十一尺】平方开之【得二十一尺】以索绕七周归之，得三尺，即所求。
解同前二十三则相连之勾▯求股设圆柱周三尺，索长二十九尺，绕柱七周，索与柱齐，求柱髙。法曰：置柱周七，因之【得二十一尺】自乗【得四百四十一尺】另置索自乗【得八百四十一尺】两数相减【余四百尺】平方开之，得二十尺，即所求。
解同二十一则二十四则勾股形求对角之垂线设勾六尺，股八尺，▯十尺，求对角垂线法。曰：置勾股相乗【得四十八尺】以▯除之，得四尺八寸，即所求。解曰：勾股相乗，必得丁丙直形与甲戊直形等。何也？丁丙直形倍大于甲乙丙勾股形，甲戊直形亦倍大于甲乙丙勾股形故等也以▯除积得垂线即以长除积得濶也二十五则勾股形于▯上求自角至垂线之度。设勾三尺，股四尺，▯五尺。求自角至垂线之度，法曰：
置勾自乗【得九尺】以▯除之得一尺八寸即乙角至垂线之度与▯相减，得三尺二寸，即甲角至垂线之度。解曰：甲乙▯，上方形，以对角戊丁线分之，必成二直形，而丁乙其一也。丁乙直形与勾上方形等【本卷一则】以乙巳除之，必得戊乙之度。法以▯除者，葢甲乙▯与乙巳等也。○若欲先得甲戊，则以▯除股羃。又法曰：置▯为实，以勾羃九尺乗之【得四十五尺】并勾股羃二十五尺除之，亦得一尺八寸。解曰：凡两形等髙，形与形之比例若线与线【一卷四十五则】甲丁戊巳两形既等髙【图同前】则其比例必若甲戊与戊乙。又甲丁与股羃等，戊巳与勾羃等，则股羃与勾羃之比例亦若甲戊与戊乙矣。此借两羃之比例，因全▯以求戊乙也。○若欲先得甲戊，则以股羃乗▯，并两羃除之。又法曰：并勾股【共七尺】以勾股较乗之【仍得七尺】以▯除之【得一尺四寸】与▯相减【余三尺六寸】折半亦得一尺八寸。解曰：此三角形求对角垂线法也【一卷三十一则】○若欲先得甲戊，以一尺四寸与▯相并，折半即得。
二十六则勾股求容方一法设勾六尺，股一十二尺，求容以角切▯之方形。法曰：置勾股相乗【得七十二尺】以勾股相并【共一十八尺】除之，得四。
尺即容方之边解曰甲乙丙勾股形分甲丙▯于丁令丁甲与丁丙之比例若勾与股自丁作丁乙线必分勾股形为甲丁乙、乙丁丙两三角形，一以勾为底，一以股为底。又两分形之比例亦若勾与股【防何原本云：凡两形等髙者，形与形之比例若底与底，反之。凡形与形之比例若底与底者，两形之高必相等】令两分形各倍积，求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊，一得丁巳，两线必相等。何也？两垂线即两形之正髙，两形之髙既等，故两垂线必等也。两线既等，而又为为勾及股之垂线，复切▯于丁，则己戊形必为勾股所容之方，而丁戊、丁巳即容方之边也。然分求之如是，合求之亦必如是。若并两形之倍积为实，并两底除之，亦得容方之边与丁戊【或丁已】等。夫两形之倍积即勾与股相乗之积也，两分形之底即勾与股也，故置勾股相乗，并勾股除之，即得容方之度也。
二十七则勾股求容方二法设▯一十五尺，对角垂线五尺，求容以角切勾与股之方形。法曰：置垂线为实，以▯乗之【得七十五尺】以垂线并▯除之得三尺七寸五分即容方之边解曰甲乙丙勾股形丙丁为对角垂线分垂线于戊令丙戊与戊丁之比例，若丙丁与甲乙，则戊丁即所求之方边。防何原本云：「作庚戊己线与甲乙平行，次作庚壬、己辛两线，各与丙丁平行。己庚既与甲乙平行，即甲丁与丁乙若己戊与戊庚也。合之即甲乙与丁乙若己庚与戊庚也。又丁乙与丙丁若戊庚与丙戊，平之即甲乙与丙丁若己庚与丙戊也。又丙丁与甲乙若丙戊与戊丁，平之即甲乙与甲乙若己庚与戊丁也。甲乙与甲乙同线，必等，即己庚与戊丁必等。而己庚与辛壬又等，戊丁与己辛、庚壬亦等，则辛庚形必勾股所容之方形，而戊丁即方边之度。法以▯乗垂线而并▯与垂线除之者，借甲乙与丙丁之比例，因丙丁以求戊丁也。」
二十八则勾股求容圆设勾二十七尺，股三十六尺，▯四十五尺，求容圆法。曰：置勾股相乗【得九百七十二尺】为实，并勾股▯【共一百零八尺】除之，得九尺，即容圆之半径。倍之得一十八尺，即全径。解曰：甲乙丙勾股形，自三角各出一线，平分各角相遇于丁即分勾股形为甲丁乙乙丁丙丙丁甲三三角形一以全形之勾为底一以股为底一以▯为底各角既平分而复有一边同线则三形必等髙，令三形各倍积，求对角之垂线【本卷二十四则】一得丁戊，一得丁已，一得丁庚。三垂线必等，何也？三垂线即三形之正髙，三形既等髙，故垂线必等也。三线既等，其相遇处必容圆之心【几何原本云：凡圆内出三线至界而皆等者，其防必是圆心】而三线皆半径也。然分求之如是，合求之亦必如是。若并三形之倍积为实，并三底除之，亦得容圆之半径与丁戊【或丁已，或丁庚】等。夫三分形之倍积，即勾与股相乗之积也。三分形之底，即勾股▯也。故置勾股相乗，并勾股▯除之，得容圆之半径也。
二十九则勾股求外切圆设勾股▯长二十八尺，求外切圆周法曰：置▯二十二，乗七除，得八十八尺，即所求。解曰：此圆径求周法也【二卷一则】今以之求勾股外切圆。
形何也凡圆内以径为底任作三角形皆成勾股如甲乙丙形丙为方角甲乙丁形丁为方角甲乙戊形戊为方角反之以▯为径作圆必外切勾股形之方角三十则容方之勾股，以余勾、余股求方边及全勾、全股。设容方之余勾二尺余股八尺，求方边及全勾股。法曰：置余勾、余股相乗【得一十六尺】平方开之，得四尺，即方。
边以四尺加余勾得六尺即全勾以四尺加余股得一十二尺即全股解曰甲乙丙勾股形容壬巳方形自甲作甲丁线以丙丁线联之成乙丁直形复于己庚壬庚两线引之至戊至辛，必分乙丁直形为四形。其甲庚、庚丙同依甲丙对角线为两角线形，其乙庚、庚丁为两余形。两余形之容必相等。防何？原本云：甲丙对角线必分乙丁全形为丁甲丙乙丙甲相等两勾股形，亦分庚丙角线形为辛庚丙巳丙庚相等两勾股形，亦分甲庚角线形为戊甲庚壬庚甲相等两勾股形。试于乙丙甲形内减去己丙庚形，于丁甲丙形内减去辛庚丙形。乙丙甲、丁甲丙两形既等，减去之己丙庚、辛庚丙两形复等，则所余之甲乙庚、巳甲丁庚辛两斜方形必相等。再于甲乙庚己形内减去甲庚壬形，于甲丁庚辛形内减去戊甲庚形。两斜方既等，减去之甲庚壬、戊甲庚两形复等，所余戊辛直形与壬巳方形安得不等？夫甲乙丙勾股形之甲乙勾减去壬巳方形之壬乙边，余甲壬即余勾；丙乙股减去己乙边，余丙巳即余股。辛庚与余股等，戊庚与余勾等，则戊辛直形之容必即余勾余股相乗之积。而戊辛直形又与壬巳方形等，则壬巳方形之容亦必余勾余股相乗之积也。故置余勾股相乗，平方开之，得容方边也。
三十一则容方之勾股，以余股及方边求余勾。设容方之余股八尺，方边四尺，求余勾。法曰：置方边自乗【得十六尺】以余股除之，得二尺，即所求。解曰：壬己方形，既等于戊辛直形【图同前】而直形以余股为长，以余勾为濶，故以余股除积，得余勾。
三十二则容方之勾股，以余勾及方边，求余股。设容方之余勾二尺，方边四尺，求余股。法曰：置方边自乗【得一十六尺】以余勾除之，得八尺，即所求。
解同前三十三则日晷测高设物不知髙，止得物景一十二尺，立表八尺，表景二尺四寸，求物髙。法曰：置物景为实，以表髙乗之【得九十六尺】以表景除之，得四十尺，即所求。解曰：物髙与物景，表高与表景，各以日光联之，必皆成勾股形而体势等凡两形体势等者其比例必等物髙与物景之比例，必若表髙之与表影也。又表影与物景之比例，必若表髙之与物髙也。今物景既五倍于表景，因知物高亦必五倍于表髙矣。法以表髙乗物景，而以表景除之者，借表景与物景之比例，因表髙以求物髙也。
三十四则一表测髙设物不知髙，距物二十五尺，立表十尺，又退行五尺，立窥表四尺，自窥表望之，物末与表末相齐，成一直线，求物髙。法曰：置表距髙物二十五尺为实，以窥表减表【余六尺】乗之【得一百五十尺】以退行五尺除之，得三十尺为表外之髙，加表髙，共四十尺，即物髙。解曰：癸丁为物髙，壬子为表髙，乙丑为窥表，乙丁对。
角线为视线戊壬为表距髙物之二十五尺壬辛为窥表减表所余之六尺乙辛为退行之五尺也甲丙一形分为四形其辛巳戊庚为两角线形其甲壬壬丙为两余形两余形之容，必相等【本卷三十则】法。
以窥表减表以乗距髙物之度必得甲壬余形之积甲壬既等于壬丙，则甲壬余形之积，亦即壬丙余形之积矣。故以退行五尺除之，得庚壬。庚壬与丁戊等，丁戊则物髙于表之度也。是以加表得物之全髙。
三十五则一表测逺设物不知逺，立表四尺，退二尺五寸，立窥表四尺五寸，自窥表望之，物脚与表末相齐，成一直线。求物逺法曰：置表髙为实，以退二尺五寸乗之【得十尺】以表减窥表【余五寸】除之得二十尺。
即表距逺物之度觧曰以退二尺五寸乗表髙必得辛巳余形之积然辛己与戊庚等则辛己余形之积亦即戊庚余形之积矣故以表减窥表所余之五寸，除之得壬戊。壬戊与辛甲等，辛甲则表距逺物之度也。
三十六则一表测广设邑不知广，立窥表于甲，甲距邑丁角五百尺，立表于壬。自甲视邑之丙角与表相齐，成一直线。次移前表于戊，令戊壬与邑平行。自甲视邑之丁角，亦与表相齐，成一直线。自甲至戊二尺，戊至壬六尺，求邑广。法曰：置窥表距丁角五百尺为实，以戊至壬六尺乗之【得三千尺】以甲至戊二尺除之，得一千五百尺，即邑广。解曰：戊庚辛己两余形既等，每加一辛戊角线，形成甲庚甲己两直形两形之容必亦等何也两余形既等所加者复等故也法以戊壬乗甲丁必得甲庚直形之积甲庚直形之积即甲己直形之积也故以甲戊除之得戊巳，戊巳与丁丙等。丁丙则邑广也。
三十七则一表测深设井不知深井面濶八尺自井边退二尺立表六尺自表末视水面甲角与壬边相齐成一直线求井边至水面之深法，曰：置面濶八尺为实，以表髙乗之【得四十八尺】以表至井边二尺除之，得二十四尺，即所求。解曰：以表髙乗井濶，即以丙己乗戊壬，所得必戊庚余形之积。戊庚余形之积，即辛己余形之积，故以表距井边之壬己除之，得壬辛。壬辛即井深也。
三十八则重表测髙远设物不知髙及逺，立表十尺，退行五尺，立窥表四尺，自窥表望之，物末与表末相齐，成一直线。自表退行一十五尺，复立表十尺，又退行八尺，复立窥表四尺，自窥表望之，物末亦与表末相齐，成一直线。求髙及逺法曰：置窥表减表，余六尺为实，以两表相距一十五尺乗之【得九十尺】以前窥表距前表五尺减后窥表距后表八尺，余三尺除之，得三十尺，即表外之髙，加表高共四十尺，即物髙。又置前窥表距前表五尺为实，以两表相距一十五尺乗之【得七十五尺】亦以两窥表距两表之度相减，余三尺除之，得二十五尺，即物逺。解曰：自窥表末及表末作丙丁甲乙两平行线，以戊乙戊己两视线联之必成六勾股形其丙庚戊形为甲己戊之截形两形之比例必等辛己庚形亦甲己戊之截形两形之比例必亦等丙庚戊与辛巳庚两形之比例既皆等于甲巳戊是辛己庚丙庚戊两形之比例亦等矣壬乙丁形与丙丁戊形亦同此论夫辛己庚形之比例既同于丙庚戊壬乙丁形之比例既同于丙丁戊则丙庚与辛己必若丙丁与壬乙又丙丁与丙庚必若壬乙与辛己也。今丙丁与丙庚之较，为庚丁；壬乙与辛己之较，为癸乙。癸乙与庚丁两较之比例，必俱等于相当各线之比例。若是，则丙庚与辛己，戊丙与辛庚，皆若庚丁与癸乙矣。法置余表六尺为实，以十五尺乗之，三尺除之，是借癸乙与庚丁之比例，因辛庚以求丙戊也。置窥表距表之五尺为实，以十五尺乗之，三尺除之，是借癸乙与庚丁之比例，因辛己以求丙庚也。丙戊为表外之髙，丙庚则物逺也。三十九则重表测广深设谷不知深及广自谷边退行六尺立窥表五尺从窥表望之底角与边角相齐成一直线复于谷边立表一十五尺将前窥表接髙一十八尺共二十三尺从窥表望之底角与表末相齐成一直线求深及广法曰：置前窥表五尺为实，以表髙一十五尺乗之【得七十五尺】以表【一十五尺】并前窥表【五尺○共二十尺】减后窥表【二十三尺】余三尺除之，得二十五尺，即谷深。又置退行六尺为实，以表髙一十五尺乗之【得九十尺】亦以三尺除之，得三十尺，即谷广。解曰：「与测髙逺同，但有纵衡之殊耳。」
四十则测逺之逺设甲至乙八百步，甲至丙七百步。今自甲向乙行七十二步立表于丁从甲望之乙与表齐自甲向丙行六十三步立表于戊从甲望之丙与表齐俱成直线丁至戊五十四步求乙至丙之逺法曰置甲至丙七百步为实，以丁至戊五十四步乗之【得三万七千八百步】以甲至戊六十三步除之，得六百步，即所求。解曰：六十三步之与七百步，七十二步之与八百步，其比例等，因知丁戊与乙丙两线必平行。凡三角形以与底平行线分之，其分形之比例必等于全形。甲丁戊既为甲乙丙之分形，而丁戊乙丙又平行，则甲戊与戊丁必若甲丙与丙乙也。又乙丙与戊丁必若甲丙与甲戊也。法置七百步为实，以五十四步乗之，六十三步除之者，借甲戊与丁戊之比例，因甲丙以求丙乙也。○又截法，如甲丙七百步，则取七步为庚；甲乙八百步，则取八步为己。巳庚六步，乙丙必六百【步与乙步之比例也】。《数学钥》卷六】
步何也皆百<子部,天文算法类,算书之属,数度衍》>钦定四库全书 子部六数度衍。天文算法类二【算书之属】提要。【臣】等谨案：数度衍二十四卷。国朝方中通撰。中通字位伯，桐城人。明检讨以智之子也。以智博极羣书，兼通算数。中通承其家学，着为是书。有数原、律衍、几何约、珠算、笔算、筹算、尺算诸法。复条列古九章名目，引御制《数理精蕴》法，推阐其义。其《几何约》篇，本前明徐光启译本。其珠算，仿程大位《算法统宗》；笔算、筹算、尺算，采《同文算指》及《新法算书》。惟《数原》、《律衍》未明所自，大抵裒缉诸家之长，而增减润色，勒为一编者也。其尺算之术，梅文鼎谓其三尺交加取数，故只能用平分一线。其比例规解之本法，惜仅见其弟中履，但称中通得旧法于豫章，而不知其法何如，并未获与中通深论。又称见嘉兴陈荩谟尺算用法一卷，亦只平分一线。岂中通所据之法与荩谟同出一源欤？盖不可考矣。乾隆四十六年十月恭校上。总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅总 校 官【臣】陆费墀钦定四库全书数度衍卷首上桐城方中通 撰数原勾股原图説一 股▯较即勾股较二 勾▯较三 勾四 股五 ▯六 股▯较与▯和七 勾▯较与▯和即勾股和八 勾▯和九 股▯和通曰：「九数出于勾股，勾股出于河图，故河图为数之原。」《周髀》曰：「勾广三，股修四，径隅五。」天数二十有五，▯之开。
方也，河图之数五十有五，中五不用，用其五十。合勾自之，股自之，▯自之之数也。勾三，阳数也，居左，和▯而为八，故八与三同位。股四，隂数也，居右，和▯而为九，故九与四同位。▯五，勾股所求之数也，居中。勾▯较得二，居上；股▯较得一，居下。勾▯较与▯和为七，故七与二同位；股▯较与▯和为六，故六与一同位。▯居中，倍为十，而倍之之数不可用，故洛书不用十也。勾股左右両较，上下四和四围，岂偶然哉？勾不尽于三而始于三，股不尽于四而始于四，▯不尽于五而始于五，较不尽于一二而始于一二，和不尽于六七八九而始于六七八九，此勾股之原也。
加减乘除原图加减乘除原説通曰：不用十而用九。河图变为洛书，加减乘除之数，皆从洛生，而九数之用备焉。加者，并也。一隂一阳相并而生，阳为用，故一并六为七，七并二为九，九并四为十三，去十不用，所生为三。三并八为十一，去十不用，所生为一。数始于阳，阳故统隂，此加之原也。减者，去也。隂中去阳，则六去一为五，八去三为五；阳中去隂，则九去四为五，七去二为五。边去中存，此减之原也。乘者，积也；除者，分也。一无积分，相对而为乘除者，仍为九焉。二与八对。
二其八，八其二，所积皆十六，截东南三四九之数合矣。二分十六得八，八分十六得二，此二与八之互见也。三与七对，三其七，七其三，所积皆二十一，不用三下之八，七下之六，而一二四五九之数合矣。三分二十一得七，七分二十一得三，此三与七之互见也。四与六对，四其六，六其四，所积皆二十四，三八亦积二十四，不用三八，而一二五七九之数合矣。四分二十四得六，六分二十四得四，此四与六之互见也。五宜与十对，而洛书无十，故以中五乘四隅所积之数，必止于十而无余。五乘二为一十，是为两方之数【四正四隅两方相对皆十】五乘四为二十，是为四方之数【四正合为二十四，隅亦合为二十，两正两隅亦合为二十】五乘八为四十，是为八方之数【四正四隅合为四十】五除十得二，五除二十得四，五除三十得六，五除四十得八。二除十，四除二，十六除三，十八除四十，皆五，此即五与十之互见也。洛书无十，而十藏于中矣。足后反无余不足，然后足，此乘除之原也。
九章皆勾股説通曰：九数，曰方田，御田畴界域；曰粟布，御交质变易；曰差分，御贵贱禀税；曰少广，御积幂方圆；曰商功，御功程积寔；曰均输，御逺近劳费；曰盈朒，御隐襍互见；曰方程，御错糅正负；曰勾股，御髙深广逺。《周礼》保氏注也，《周髀》周之算经也。陈子曰：髀者股也，正晷者勾也，以勾为首，以髀为股。又曰：髀者表也。然《周髀》独明勾股，不及《九章》何哉？偃矩以望髙，覆矩以测深，卧矩以知逺，勾股之自为用也。环矩以为圆，合矩以为方，方数为典，以方出圆，勾股之所生也。数有可见者，有▯而不得见者，有互见者，有旁见者，其变无穷，藏于圎方，少广圎方所出也。方田、商功皆少广所出一方一圎，其间不齐，始出差分，而均输对差分之数，盈朒者借差求均，又差分、均输所出，而以方程济其穷。度也，量也，衡也，原于黄钟，粟布出焉。黄钟出于方圎者也，三分益一，圎周变为方周，四分用三，圎积变自方积，故勾股之容圎方不同，方田、少广生焉。折半以平，粟布、均输生焉。盈朒、方程生于诸和，商功、差分生于诸较。勾股岂非九数之原乎？设为九章者，便用耳。田畴界域，或见于勾股、少广、方田，统之矣。交质变易，或见于差分、均输，粟布统之矣。故九章以用而分，不以数而分也。秦西立十八法，盈朒曰叠借互征，方程曰杂和较乘分，少广为九而开方诸法，有其七，其二曰逓加倍加，勾股有其畧，差分仍为差分，粟布、商功见于三率，均输见于重准，测名异理同，究无同异也。加减乘除出于洛，亦成于勾股。和者，勾股▯之相并也；较者，勾股▯之相较也。并以成加，较以成减。勾股自之而为▯积，则乘成▯积；开方而为▯，则除成。有河即有洛，有勾股即有加减乘除，何往非图书引触哉？
四算说通曰：「古法用竹，径一分，长六寸，二百七十一而成，六觚为一握，即少广圎以六包也。后世有珠算，而古法亡矣。泰西之笔算、筹算，皆出九九，尺算即比例规，出三角筹尺，虽不备加减，其用甚便。葢乘莫善于筹，除莫善于笔，加减莫善于珠，比例莫善于尺。用加为减，用加减为乘除，借此知彼，无往而非比例也。好学深思，可以通而几矣。」
九九图説此九九全图即相乘相除图也【相乗者一一得一一】二得二之类相除者，九除八十一，得九八。
除六十四得八之类】
此自乘图也【一一得一二二得四三三得九之类】
此各并图也【三与六并九四与八并十二之类】
此隔一位并图也【四与十二并十六，五与十五并二十之类】隔二位并【五与二十并二十五，六与二十四并三十之类，其隔中又并者，五之左，十二十之右，十五，亦并二十五也。余仿此】隔三位并，隔四位并，隔五位并。隔六位并【无不合，隔中挨次而并，亦无不合】
此相减生阳图也【四去一而生三，六十四去一，而生六十三，九去。四而生五，四十九去四而生四十五之类。右而左者，自少而多，即据见数减之，左而右者，自多而少，当除十而减，其余也。除皆。阴数始除八十，次除六十，次除四十，次除。
二十】
此相减生隂图也【六去二而生四，五十六去二而生五十四，十二。去六而生六，四十二；去六而生三十六之。类自左而右者，亦除十余，皆阳数，始除七。
十次除五十次除三十】
【并首尾之一九为十，并一与十六为十七，并一与二十五为二。以九乘之，得九十；折以十六乘之，得二百十六；以二十五乘之，半得四十五为实。以七十二折半得一百，得六百五十折半得三为法，除之得十五。三十六为实，以四为；三百二十五为实，以故纵横皆十五也，法除之得纵横皆三五，为法除之得纵横，此用少广章顺加求十四，皆六十五积法得实】
【并一与三十六为三十七，以三十六乘之，得一千三百三】【十二折半得六百六十六为并，一与四十九为五十，以四十九实，以六为法除之，得纵横皆乘之，得二千四百五十，折半得一。一百一十一，千二百二十五为实，以七为法，除之，得纵横皆一百七十五。并一与六十四为六十五，以六十四乘之，得四。千一百六十，折半得二千零八十，为实，以八为法除之得纵横】
【皆二百六十，并一与八十一为八十二，以八十一乘之得六千六百四十二，折半得三千三百。
二十一为实以九为法除】
【并一与一百为一百零一，以一百乘之，得一万零一百，折半得五千零五十，为实，以十为法除之得纵横】
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,卷首上》>【六十四子顺逆安置，用横行八位为一阵。首行数居北之右，八行数居北之左，二行数居南之左，七行数居南之右，三行数居东之上，五行数居东之下，四行数居西之下，六行数居西之上。其求积法如前，八八图每阵得二百六十，每阵各取半面四子积一百三十，合而俱成一阵，数无不同。如截坎东四子、艮西四子，共得二百六十；截干南四子、兑北四子，亦得二百六十。用七十二子为图，并一与七十二，得七十三。以七十二乘。之得五千二百五十六，折半得二千六百二十八，为实，以九为法除之，得每环八子，为一阵，各二百九十二，以九阵。
化为十三阵也】
通曰：「商髙曰：圎出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。」赵君卿曰：「九九者，乘除之原也。乘之九九见乎外，除之九九藏乎内，故为乘之原，即为除之原也。夫九九者，生生之谓也。人知夫数始于一，而不知数始于九；人知夫数终于十，而不知数终于九。葢九与九遇，始以继终，终以继始，旋相为用，而无始无终，此所谓生生也。一、三、五、七为阳，而九统之；二、四、六、八为隂，而九统之。阳故不统阳而统隂，阳者也。如右诸图，靡不适合。然犹一定位次，至错综变化，无方无体，而中天然之节，藏往知来，宁独九九而已哉！」
倚数图说通曰：「易曰：『参天两地而倚数』。无倚不生，则无数也。有中倚焉，有偏倚焉。数始于一二，何自来乎？一之自并也。三何自来乎？一与二并也。四何自来乎？二之自并也，一与三并也。推至京垓，亦无不然。两相倚而生者，中也；以此倚彼而生者，偏也。不特生为然也，即用亦有倚焉。积小知大，则用中倚；由博反约，则用偏倚。中可互用，偏惟専成。裒多益寡，则偏中皆用。葢用之无节，虽中亦偏；用之当位，虽偏亦中。存乎其人耳。数故可倚而不可倚，不可倚而后可倚者，若夫相追而合，有偶合不可为率者，有巧合可为准者；相距而合，有不合而适合者，有似合而非合者。故参两之倚，可以神遇，不可尽以言传。苟非黙悟防通，未免倚彼失此，倚此失彼。逐物者，中无所主。」
自恃者，有所不见，此不可以入数，即不可以入理也。
今之五量用数图说十百，万千百十，○分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠【或作微尘渺漠埃纎】沙或作防，佥或作纎，尘沙渺漠茫】权衡，十斤，两，钱，分【凡分以下，俱同前】
十两钱分升，斛，十石，斗，升，合，勺，抄，撮，圭，粟，粒，颗【或作粒黍防糠粃，或作颗粒】尺，丈，十丈，尺，寸，分。里步，十里，百十步分【三百六十步为里】十畆分【或用万千百十顷，十畆分；百畆为顷】十弓分【二百四十弓为畆，弓与▯同】通曰：《家语》黄帝设五量，曰权衡，曰升斛，曰尺丈，曰里步，曰十百。不以升斛独为量也。度量衡同律，皆以黍生。里歩不通量衡，十百可通五量。故今之五量用有非一则者，数有相通者。十之上，分之下，皆同十百之名。惟升斛无分名耳，皆遇十则升。而权衡里步稍有不同。斤法十六，里法三百六十。故也。权衡之用有二，或用斤，或止用两。里步之用有三，或用里，或用畆，或用弓。十百之用无穷矣。度之通于量也，二尺五寸为斛法。衡之通于量也，百二十斤为石法。曰亿，曰兆，曰京，曰垓，曰秭，曰穰，曰沟，曰涧，曰王，曰载。此十等数也。而其用分上中下。数下数者，十十变之，十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京，至载皆以十进。中数者，万万变之，万万曰亿，万亿曰兆，万兆曰京之类也。上数者，数穷则变，万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京之类也。虽然，数不可以名拘。河洛有数无名，圣人因其数而名之，曰一，曰二，亦物谓之而然也。
数度衍巻首上钦定四库全书数度衍卷首下桐城 方中通 撰律衍隔八相生图说通曰：「黄钟、太蔟、姑洗、防賔、夷则、无射，六律为阳；林钟、南吕、应钟、大吕、夹钟、中吕，六吕为隂。隔八相生者，黄钟生林钟，隔子至未八位也。娶妻生子者，黄钟一阳复，娶一隂姤，生二隂遯，为林钟也。先王父《周易》时论曰：『宫与商，商与角，征与羽，相去各一；角与征，羽与宫，相去各二。故比征少下，曰变征；少髙于宫，曰变宫。』」
通曰六律居子寅辰午申戌不动六吕皆取冲位未居丑为十二月酉居夘为二月之类是也凡阳生隂谓之下生用三分损一求之凡隂生阳谓之上生用三分益一求之葢相生则以子午分隂阳不以律吕分隂阳也详后诸家推算黄钟九寸，积八十一分【长九寸，围九分，相乘得八十一分】子一「分【分」去声，以九寸为一段也】三分前律寸数为法，下生者倍其法，上生者四其法，实一十七万七千一百四十七数【通曰：以八十一分自之，得六千五百六十一，又以三乘九寸得二十七为法乘之，即得子实。三厯十二辰，亦合】
管子遇损用益遇益用损法郑▯杜佑先倍先四前律寸数法【通曰：先倍而后三分之，与先三分之而后倍同；先四之而后三分之，与先三分之而后四之同。葢先乘后除与先除后乘数无二也】十度八寸一分【以积八十一分即作八寸一分也】新法五寸三分一厘四毫四丝一忽【通曰：以九化积八十一分为七百二十九厘，又九化为六千五百六十一毫，又九化为五万九千零四十九丝，又九化为五十三万一千四百四十一忽，以十度即作五寸三分一厘四毫四丝一忽也】林钟六寸，积五十四分【以黄钟九寸而三分之，段得三寸于黄钟寸内损，段得六寸也。以黄钟积八十一分而三分之，毎段得二十七分于林钟积内损一段得五十四分也。以九分为寸归整得六寸也】丑三分二【三其子之一为三分，两其子之一为二也。前图林钟在未，今取冲位居丑也。六吕皆然。】通曰：三其二为六寸也】下生用倍【三分黄钟九寸得三寸为法，倍其法得六寸也】实一十一万八千零九十八数【分子实为三段，毎段得五万九千零四十九，丑得二段为实通曰得二段即损一段也】管法【于黄钟积八十一分，外益一段二十七分，共得一百零八分，而半之得五十四分，亦合】郑法【先倍黄钟九寸为十八寸，而三分之，毎段得六寸，即是】十度五寸四分【以黄钟八寸一分而三分之，每段得二寸七分，于黄钟寸内损一段，得五寸四分也】新法三寸五分四厘二毫九丝四忽【通曰：以九化积五十四分为四百八十六厘，又九化为四千三百七十四毫，又九化为三万九千三百六十六丝，又九化为三十五万四千二百九十四忽，以十度即作三寸五分四厘二毫九丝四忽也】三分损一亦合【通曰：以子五寸三分一厘四毫四丝一忽而三分之，毎段得一寸七分七厘一毫四丝七忽，丑当损一段，正合三寸五分四厘二毫九丝四忽也】太蔟八寸，积七十二分【以林钟六寸而三分之，每段得二寸，于林钟寸外益一段得八寸也。以林钟积五十四分而三分之，毎段得十八分，于林钟积外益一段得七十二分也。以九分为一寸归整，得八寸也】寅九分八【三其丑之三为九，四其丑之二为八也。通曰：八与八寸相合】上生用四【三分林钟六寸得二寸为法，四其法得八寸也】实一十五万七千四百六十四数【三分丑实，毎段得三万九千三百六十六，寅当益一段为实通曰分子实为九段，毎段得一万九千六百八十三，寅得八段为实】管法【以林钟一百零八分而三分之，毎段得三十六，于林钟数内损一段，得七十二分，亦合】郑法【先以四乘林钟六寸为二十四寸，而三分之，毎段得八寸，即是】十度七寸二分【以林钟五寸四分而三分之，每段得一寸八分，于林钟寸外益一段，得七寸二分也】新法四寸七分二厘三毫九丝二忽【通曰：以九化积七十二分为六百四十八厘，又九化为五千八百三十二毫，又九化为五万二千四百八十八丝，又九化为四十七万二千三百九十二忽，以十度即作四寸七分二厘三毫九丝二忽】三分益一亦合【通曰：以丑三寸五分四厘二毫九丝四忽而三分之，毎段得一寸一分八厘零九丝八忽，寅当益一段，正合四寸七分二厘三毫九丝二忽也】南吕五寸三分，积四十八分【太蔟八寸不可三分，乃以九乘八寸，化为七十二分，然后三分之，每段得二十四分，于太蔟积内损一段，得四十八分也。以九分为一寸归整，得五寸零三分也】夘二十七分十六【取冲位，三其寅之九为二十七，两其寅之八为十六也。通曰：三其十六为四十八分也】下生用倍【三分太蔟积七十二分得二十四分，以九分为一寸归整得二寸六分，为法倍其法得四寸一十二分，而归整得五寸三分也】实一十万零四千九百七十六数【三分寅实，每段得五万二千四百八十八，夘当损一段为实。通曰：分子实为二十七段，每段得二千五百六十一，夘得十六段为实】管法【于太蔟积七十二分，外益一段二十四分，共得九十六分，而半之得四十八分，亦合】郑法【先倍太蔟八寸为十六寸，此数不可三分，乃以十六寸九化为一百四十四分而三分之，每段得四十八分，即是】十度四寸八分【以太蔟七寸二分而三分之，每段得二寸四分，于太蔟寸内损一段得四寸八分也】新法三寸一分四厘九毫二丝八忽【通曰：以九化积四十八分为四百三十二厘，又九化为三千八百八十八毫，又九化为三万四千九百九十二丝，又九化为三十一万四千九百二十八忽，以十度即作三寸一分四厘九毫二丝八忽也】三分损一亦合【通曰：以寅四寸七分二厘三毫九丝二忽而三分之，每段得一寸五分七厘四毫六丝四忽。夘当损一段，正合三寸一分四厘九毫二丝八忽也】姑洗七寸一分，积六十四分【以南吕积四十八分而三分之，毎段得十六分】于南吕外益一段，得六十四分也。以九分为一寸，归整得七寸零一分也】辰八十一分六十四【三其夘之二十七为八十一，四其夘之十六为六十四也。通曰：六十四与六十四分相合】
上生用四【三分南吕积四十八分得十六分以九分为一寸归整得一寸七分为法四其法得四寸二十八分而归整得七寸一分也】实一十三万九千九百六十八数【三分夘实，每段得三万四千九百九十二辰，当益一段为实。通曰：分子实为八十一段，每段得二千一百八十七辰，得六十四段为实】管法【以南吕九十六分而三分之，每段得三十二分，于南吕数内损一段，得六十四分，亦合】郑法【先以四乘南吕积四十八分为一百九十二分，而三分之，每段得六十四分，即是】十度六寸四分【以南吕四寸八分而三分之，每段得一寸六分，于南吕寸外益一段，得六寸四分也】新法四寸一分九厘九毫零四忽【通曰，以九化积六十四分为五百七十六厘，又九化为五千一百八十四毫，又九化为四万六千六百五十六丝，又九化为四十一万九千九百零四忽，以十度即作四寸一分九厘九毫零四忽也】三分益一亦合【通曰：以夘三寸一分四厘九毫二丝八忽而三分之，毎段得一寸零四厘九毫七丝六忽，辰当益一段，正合四寸一分九厘九毫零四忽也】应钟四寸六分六厘，积三百八十四厘【姑洗六十四分，又不可三分，乃以九化之为五百七十六厘，然后三分之，毎段得一百九十二厘，于姑洗化厘内损一段得三百八十四厘也。以九厘为一分归整，得四十二分零六厘，又以九分为一寸归整，得四寸零六分六厘也】巳二百四十三分一百二十八【取冲位，三其辰之八十一为二百四十三，两其辰之六十四为一百二十八也。通曰：三其一百二十八为三百八十四厘也】下生用倍【三分姑洗化积五百七十六厘，得一百九十二厘，归整得二寸三分三厘，为法；倍其法得四寸六分六厘也】实九万三千三百一十二数【三分辰实，毎段得四万六千六百五十六，巳当损一段为实通曰：分子实为二百四十三段，每段得七百二十九，巳得一百二十八段为实】管法【于姑洗化积五百七十六厘，外益一段一百九十二厘，共得七百六十八厘，而半之得三百八十四厘，亦合】郑法【先倍姑洗化积五百七十六厘为一千一百五十二而三分之，毎段得三百八十四厘，即是】十度四寸二分六厘【以姑洗六寸四分存一厘不入算，止作六寸三分九厘而三分之，每段得二寸一分三厘，于六寸三分九厘内损一段得四寸二分六厘也】新法二寸七分九厘九毫三丝六忽【通曰：以九化积三百八十四厘，为三千四百五十六毫，又九化为三万一千一百零四丝，又九化为二十七万九千九百三十六忽，以十度即作二寸七分九厘九毫三丝六忽也】三分损一亦合【通曰：以辰四寸一分九厘九毫零四忽而三分之，每段得一寸三分九厘九毫六丝八忽，巳当损一段，正合二寸七分九厘九毫三丝六忽也】防賔六寸二分八厘，积五百一十二厘【以应钟积三百八十四厘而三分之，每段得一百二十八厘，于应钟积外益一段，得五百一十二厘也。以九厘为一分归整，得五十六分零八厘；又以九分为一寸归整，得六寸零二分八厘也】午七百二十九分五百一十二【三其巳之二百四十三为七百二十九，四其巳之一百二十八为五百一十二也，通曰五百一十二与五百一十二厘相合】
上生用四【三分应钟积三百八十四厘得一百二十八厘归整得一寸五分二厘为法四其法得四寸二十分八厘而归整得六寸二分八厘也】实一十二万四千四百一十六数【三分巳实，毎段得三万一千一百零四，午当益一段为实通曰分子，实为七百二十九，毎段得二百四十三，午得五百一十二段为实】管法【以应钟七百六十八厘而三分之，毎段得二百五十六厘。于应钟数内损一段，得五百一十二厘，亦合】
郑法【先以四乘应钟即三百八十四厘为一千五百三十六厘而三分之每段得五百一十二厘即是】十度五寸六分八厘【以应钟四寸二分六厘而三分之每段得一寸四分二厘于应钟寸外益一段得五寸六分八厘也】新法三寸七分三厘二毫四丝八忽【通曰：以九化积五百一十二厘，为四千六百零八毫，又九化为四万一千四百七十二丝，又九化为三十七万三千二百四十八忽，以十度即作三寸七分三厘二毫四丝八忽也】三分益一亦合【通曰：以巳二寸七分九厘九毫三丝六忽而三分之，毎段得九分三厘三毫一丝二忽。午当益一段，正合三寸七分三厘二毫四丝八忽也】大吕八寸三分七厘六毫，积六千一百四十四毫【防賔五百一十二厘，又不可三分，乃以九化之，为四千六百零八毫，然后三分之，毎段得一千五百三十六毫，于防賔化毫外益一段，得六千一百四十四毫也。以九毫为一厘归整，得六百八十二厘零六毫；又以九厘为一分归整，得七十五分零七厘六毫；又以九分为一寸归整，得八寸零三分七厘六毫也】未二千一百八十七分一千二十四【取冲位，三其午之七百二十九为二千一百八十七，两其午之五百一十二为一千零二十四也。通曰：六其一千零二十四为六千一百四十四毫也】
上生用四【三分防賔化积四千六百零八毫得一千五百三十六毫归整得二寸八厘六毫为法四其法得八寸三十二厘二十四毫而归整得八寸三分七厘六毫也】实一十六万五千八百八十八数【三分午实，毎段得四万一千四百七十二，未损一段得八万二千九百四十四，又倍之为实。通曰：未当益一▯，正合实数。今顺次益后，用损倍之，亦合也。分子实为二千一百八十七段，毎段得八十一，未得一千零二十四段为实，八万二千九百四十四，又倍之合实。此因防賔又上生大吕，重一益数，故须又倍也。后遇上生，皆倍】
管法【于防賔化积四千六百零八毫内损一段一千五百三十六毫得三千零七十二毫而倍之得六千一百四十四毫亦合】郑法【先以四乘防賔化积四千六百零八毫，为一万八千四百三十二毫，而三分之，每段得六千一百四十四毫，即是】
十度七寸五分六厘【以防賔五寸六分八厘又存一厘不入算止作五寸六分七厘而三分之每段得一寸八分九厘于五寸六分七厘外益一段得七寸五分六厘也】新法四寸九分七厘六毫六丝四忽【通曰：以九化积六千一百四十四毫为五万五千二百九十六丝，又九化为四十九万七千六百六十四忽，以十度即作四寸九分七厘六毫六丝六忽也】三分益一亦合【通曰：以午三寸七分三厘二毫四丝八忽而三分之，每段得一寸二分四厘四毫一丝六忽，未又当益一段，正合四寸九分七厘六毫六丝四忽也】夷则五寸五分五厘一毫，积四千零九十六毫【以大吕积六千一百四十四毫，而三分之，每段得二千零四十八毫，于大吕积内损一段，得四千零九十六毫也。以九毫为一厘，归整得四百五十五厘零一毫；又以九厘为一分，归整得五十分零五厘一毫；又以九分为一寸，归整得五寸零五分五厘一毫也】申六千五百六十一分四千九十六【三其未之二千一百八十七为六千五百六十一，四其未之一千零二十四为四千零九十六也】，通曰：四千零九十六与四千零九十六毫相合】
下生倍用【三分六吕积六千一百四十四毫得二千零四十八毫归整得二寸七分二厘五毫为法倍其法得四寸一十四分四厘一十毫而归整得五寸五分五厘一毫也】实一十一万零五百九十二数【三分未之八万二千九百四十四，毎段得二万七千六百四十八，申于八万二千九百四十四外，益一段为实。通曰分子实为六千五百六十一段，每段得二十七，申得四千零九十六段为实】管法【以大吕三千零七十二毫，而三分之，每段得一千零二十四毫，于大吕数外，益一段，得四千零九十六毫，亦合】郑法【先倍大吕积六千一百四十四毫为一万二千二百八十八毫，而三分之，毎段得四千零九十六毫，即是】十度五寸零四厘【以大吕七寸五分六厘而三分之，每段得二寸五分二厘，于大吕寸内损一段，得五寸零四厘也】新法三寸三分一厘七毫七丝六忽【通曰：以九化积四千零九十六毫为三万六千八百六十四丝，又九化为三十三万一千七百七十六忽，以十度即作三寸三分一厘七毫七丝六忽也】三分损一亦合【通曰：以未四寸九分七厘六毫六丝四忽而三分之，每段得一寸六分五厘八毫八丝八忽，申当损一段，正合三寸三分一厘七毫七丝六忽也】
夹钟七寸四分三厘七毫三丝积四万九千一百五十二丝【夷则四千零九十六毫又不可三分乃以九化之为三万六千八百六十四丝然后三分之每段得一万二千二百八十八丝于夷则化丝外益一段得四万九千一百五十二丝也以九丝为一毫归整得五千四百六十一毫三丝又以九毫为一厘归整得六百零六厘零七毫三丝又以九厘为一分归整得六十七分零三厘七毫三丝又以九分为一寸归整得七寸零四分三厘七毫三丝也】酉一万九千六百八十三分八千一百九十二【取冲位三其申之，六千五百六十一为一万九千六百八十三两，其申之四千零九十六为八千一百九十二也。通曰六其八千一百九十二为四万九千一百五十二丝也】
上生用四【三分夷则化积三万六千八百六十四丝得一万二千二百八十八丝归整一寸七分七厘六毫三丝为法四其法得四寸二十八分二十八厘二十四毫一十二丝而归整得七寸四分三厘七毫三丝也】实一十四万七千四百五十六数【三分申实，每段得三万六千八百六十四，酉损一段得七万三千七百二十八，又倍之为实。通曰分子实为一万九千六百八十三段，每段得九，酉得八千一百九十二段为实，七万三千七百二十八，又倍之合实】管法【于夷则化积三万六千八百六十四丝，内损一段一万二千二百八十八丝，得二万四千五百七十六丝，而倍之得四万九千一百五十二丝，亦合】郑法【先以四乘夷则化积三万六千八百六十四丝，为一十四万七千四百五十六丝，而三分之，每段得四万九千一百五十二丝，即是】十度六寸七分二厘【以夷则五寸零四厘而三分之，每段得一寸六分八厘，于夷则寸外益一段，得六寸七分二厘也】新法四寸四分二厘三毫六丝八忽【通曰：以九化积四万九千一百五十二丝为四十四万二千三百六十八忽，以十度即作四寸四分二厘三毫六丝八忽也】三分益一亦合【通曰：以申三寸三分一厘七毫七丝六怱而三分之，每段得一寸一分零五毫九丝二忽，酉当益一段正合四寸四分二厘三毫六丝八忽也】无射四寸八分八厘四毫八丝，积三万二千七百六十八丝【以夹钟积四万九千一百五十二丝而三分之，每段得一万六千三百八十四丝。于夹钟积内损一丝，得三万二千七百六十八段也。以九丝为一毫归整，得三千六百四十毫零八丝。又以九毫为一厘归整，得四百零四厘零四毫八丝。又以九厘为一分归整，得四十四分零八厘四毫八丝。又以九分为一寸归整，得四寸零八分八厘四毫八丝也】戍五万九千四十九分三万二千七百六十八【三其酉之一万九千六百八十三为五万九千零四十九，四其酉之八千一百九十二为三万二千七百六十八也。通曰：三万二千七百六十八与三万二千七百六十八丝相合】下生用倍【三分夹钟积四万九千一百五十二丝，得一万六千三百八十四丝，归整得二寸四分四厘二毫四丝为法，倍其法得四寸八分八厘四毫八丝也】实九万八千三百零四数【三分酉之七万三千七百二十八，毎段得二万四千五百七十六，戌于七万三千七百二十八外益一段为实。通曰分子实为五万九千零四十九段，毎段得三，戌得三万二千七百六十八段为实】管法【以夹钟二万四千五百七十六丝而三分之，每段得八千一百九十二丝。于夹钟数外益一段，得三万二千七百六十八丝，亦合】郑法【先倍夹钟积四万九千一百五十二丝，为九万八千三百零四丝，而三分之，毎段得三万二千七百六十八丝，即是】十度四寸四分八厘【以夹钟六寸七分二厘而三分之，每段得二寸二分四厘，于夹钟寸内损一段，得四寸四分八厘也】新法二寸九分四厘九毫一丝二忽【通曰：以九化积三万二千七百六十八丝为二十九万四千九百一十二忽，以十度即作二寸九分四厘九毫一丝二忽也】三分损一亦合【通曰：以酉四寸四分二厘三毫六丝八忽而三分之，每段得一寸四分七厘四毫五丝六忽，戌当损一段，正合二寸九分四厘九毫一丝二忽也】
中吕六寸五分八厘三毫四丝六忽积三十九万三千二百一十六忽【无射三万二千七百六十八丝又不可三分乃以九化之为二十九万四千九百一十二忽然后三分之每段得九万八千三百零四忽于无射化忽外益一段得三十九万三千二百一十六忽也以九忽为一丝归整得四万三千六百九十丝零六忽又以九丝为一毫归整得四千八百五十四毫零四丝六忽又以九毫为一厘归整得五百三十九厘零三毫四丝六怱又以九厘为一毫归整得五十九分零八厘三毫四丝六忽又以九分为一寸归整得六寸零五分八厘三毫四丝六忽也】亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六【取冲位三其戌之五万九千零四十九为一十七万七千一百四十七此即黄钟之实也两其戌之三万二千七百六十八为六万五千五百三十六也】通曰六其六万五千五百三十六为三十九万三千二百一十六忽也】上生用四【三分无射化积二十九万四千九百一十二忽，得九万八千三百零四怱，归整得一寸五分八厘七毫五丝六怱为法。四其法得四寸二十分三十二厘二十八毫二十丝二十四忽，而归整得六寸五分八厘三毫四丝六怱也】实一十三万一千零七十二数【三分戌实，每段得三万二千七百六十八，亥损一段得六万五千五百三十六，又倍之为实，通曰分子，实一十七万七千一百四十七段，每段得一，亥得六万五千五百三十六段，又倍为实】管法【于无射化积二十九万四千九百一十二忽，内损一段九万八千三百零四忽，得一十九万六千六百零八忽，而倍之得三十九万三千二百一十六忽，亦合】郑法【先以四乘无射化积二十九万四千九百一十二忽，为一百一十七万九千六百四十八忽，而三分之，每段得三十九万三千二百一十六忽，即是】
十度五寸九分六厘【以无射四寸四分八厘又存一厘不入算止作四寸四分七厘而三分之每段得一寸四分九厘于四寸四分七厘外益一段得五寸九分六厘也】新法三寸九分三厘二毫一丝六忽【通曰：以积三十九万三千二百一十六忽，十度即作三寸九分三厘二毫一丝六忽也】三分益一亦合【通曰：以戌二寸九分四厘九毫一丝二忽而三分之，毎段得九分八厘三毫零四忽，亥当益一段，正合三寸九分三厘二毫一丝六忽也】通曰：「黄钟为宫，生林钟为征；林钟生太蔟为商。三者皆寸数，故曰三统。京房所衍，用宫、征、商者，此也。太蔟生南吕为羽，南宫生姑洗为角。二者皆分数，故曰五音。姑洗生应钟为变宫，应钟生防賔为变征。二者皆厘数，故曰七调也。独寸得三律，自寸化分以下，则皆厯二而变。故防賔生大吕，大吕生夷则。二者皆毫数；夷则生夹钟，夹钟生无射。二者皆丝数；无射生中吕，则忽数也。黄钟以三为法，以九为度，用竒成数，故遇三、遇五、遇七、遇九、遇十一皆变也。损益乘除，三率法耳。诸家推算数，皆符合，惟十度存三厘未当。通今列诸家于前，以忽数准寸，而用十度立新法于后，使长短易较。用十度以合九度，岂以十度废九度哉？更明比例多寡，则三分损益皆可置之也。」
比例图约李、瞿经纬説【李文利、瞿九思】三十九分者，黄钟之律，阳之始也。由是四十八分为大吕，又五十七分为太蔟，又六十六分为夹钟，又七十五分为姑洗，又八十四分为中吕。九十分者，防賔之律，阳之极也。由是八十一分为林钟，七十二分为夷则，六十三分为南吕，五十四分为无射，四十五分为应钟。子午者，隂阳之府也。黄钟生阳，防賔消阳。二律纵为经，十律横为纬。太▯曰：「东西为纬，南北为经。经以隂阳之升降言也。子午得天地之中，左右律之升降皆不能过也。」但律吕之数，纪阳不纪隂，故于防賔以下六律，不言隂之生，但纪其阳之降耳。黄钟长三寸九分，以九六升阳，至防賔而极其长。防賔长九寸，以九六归阳，至黄钟而极其短。二律特其两端，左右莫不受法于二律，则经纬见矣。十律为纬，亦有二义。自其相对者言之，丑与亥对，寅与戌对，夘与酉对，辰与申对，巳与未对。葢左五律纪阳之升，左皆为阳，左比右各多三分者，阳道常饶也。右五律纪阳之降，右皆为隂，右比左各少三分者，隂道常乏也。左右相对，虽差三分，而皆以同类为偶，如丑亥皆四寸有竒，寅申皆五寸有竒，夘酉皆六寸有竒，辰申皆七寸有竒，巳未皆八寸有竒，是也。左律分寸之数皆十二，如丑律四八之类，皆本于黄钟之三九也。右律分寸之数皆九，如未律八一之类，皆本于防賔之九也。非纬而何？此是言其对待者。自其相冲者言之，寸数俱一百二十分，数俱九，共成一百二十九分。丑未二律一百二十九分，寅申二律一百二十九分，夘酉二律一百二十九分，辰戌二律一百二十九分，巳亥二律一百二十九分者，即黄钟防賔之律。黄钟卅九，防賔九十，合之共一百二十九。可见二律为经之义。此是言其错综者，皆自然而然，不待安排。夫子午为经，左右为纬，是以隂阳之消长而言一定之理也。若夫旋宫之制，按月用律，则十二律皆可为经。如以黄钟为宫，则隔八相生，以林钟为征，太蔟为商，南吕为羽，姑洗为角，应钟为变宫，防賔为变征，则为经。征商羽角皆左右往来以为之纬也。律为经，莫不皆然，是又流行之用，而不可以执一论也【十二律虽分经纬，要之一黄钟足以该之。黄钟三寸，以三因之，十二律无非三也。黄钟九分，以九因之，十二律无非九也。丑四十八分，五九而余其三也，三之则为十六矣。寅五十七分，六九而余其三也，三之则为十九矣。夘六十六分七九而余，其三也，三之则为二十二矣。辰七十五分八九而余，其三也，三之则为二十五矣。巳八十四分九九而余，其三也，三之则为二十八矣。自丑至巳，以三约之，皆无余分；以九约之，毎多三分者，左益三分也。未八十一分九其三也，三之则为二十七矣。申七十二分九其八也，三之则为二十四矣。酉六十三分九其七也，三之则为二十一矣。戌五十四分九其六也，三之则为十八矣。亥四十五分九其五也，三之则为十五矣。自未至亥，以三约之，亦无余分；以九约之，比左少三分，右损三分也。此黄钟之三九，所以为十一律之本也】通曰：凡物凡理，莫不具有经纬二端。黄钟防賔为经，十律为纬。而黄钟更自有经纬也。长度为经，围度非纬乎？可知十二律互相为经纬，又各自为经纬也。经亦可以为纬，纬亦可以为经也。然而无别不立，无交不成。经非纬，纬非经，此别也。非经无纬，非纬无经，此交也。
旋相为宫图通曰：「礼运」曰：「五声六律十二管，还相为宫者五，其十二而成六十。黄钟始之，南宫终之也。然始终亦不得已，而究无始终，而无非始，无非终也。」
一 黄钟【宫】 林钟【征】 太蔟【商】 南吕【羽】 姑洗【角】二 林钟【宫】 太蔟【征】 南吕【商】 姑洗【羽】 应钟【角】三 太蔟【宫】 南吕【征】 姑洗【商】 应钟【羽】 防宾【角】四 南吕【宫】 姑洗【征】 应钟【商】 防宾【羽】 大吕【角】五 姑洗【宫】 应钟【征】 防宾【商】 大吕【羽】 夷则【角】六 应钟【宫】 防宾【征】 大吕【商】 夷则【羽】 夹钟【角】七 防宾【宫】 大吕【征】 夷则【商】 夹钟【羽】 无射【角】八 大吕【宫】 夷则【征】 夹钟【商】 无射【羽】 中吕【角】九 夷则【宫】 夹钟【徴】 无射【商】 中吕【羽】 黄钟【角】十 夹钟【宫】 无射【征】 中吕【商】 黄钟【羽】 林钟【角】十一 无射【宫】 中吕【征】 黄钟【商】 林钟【羽】 太蔟【角】十二 中吕【宫】 黄钟【征】 林钟【商】 太蔟【羽】 南吕【角】
京房六十律通曰：「京房五音用三者，取宫、征、商皆寸数为三统，故也。黄钟、太蔟、姑洗皆阳居阳，林钟、南吕皆隂居隂，五者皆得位也。得位者生五子，共生二十五子。大吕、夹钟、仲吕皆隂居阳，夷则、无射皆阳居隂，五者皆失位也。失位者生三子，共生十五子。应钟、防賔处隂阳交际之间，不得不失，皆生四子，共生八子。以四十八子并十二母为六十律也。」列于后。【得位】黄钟【宫】子】林钟【征】太蔟【商】一日律九寸。【一子】色育，谦待，未知，六日律八寸九分微强【二子】执始，去灭，时息，六日律八寸八分小分八弱【三子】丙盛，安度，屈齐，六日律八寸七分小分六微弱【四子】分勲，归嘉，随期，六日律八寸六分小分四强【五子】质未，否与，刑晋，六日律八寸五分小分二强。
【失位】大吕【宫丑】夷则【征】夹钟【商】八日律八寸四分小分三弱【一子】分否，解刑，开时，八日律八寸三分小分一强【二子】陵隂，去南，侯嘉，八日律八寸二分一少弱【三子】少出，分积，争南，六日律八寸小分九强【得位】太蔟【宫寅】南吕【征】姑洗【商】一日律八寸【一子】未知，白吕，南授，六日律七寸九分小分八强【二子】时息，结躳，变虞，二日律七寸八分小分九强【三子】屈齐，归期，路时，七日律七寸七分小分九强【四子】随期，未夘，刑始，六日律七寸六分小分八强【五子】刑晋，夷汗，依行，六日律七寸五分小分八弱【失位】夹钟【宫夘】无射【征】中吕【商】六日律七寸四分小分九强【一子】开时 闭掩 南中 七日律七寸三分小分九微弱【二子】侯嘉 邻齐 内负 七日律七寸一分小分九微强【三子】争南 期保 总应 七日律七寸一分小分九强【得位】姑洗【宫辰】应钟【征】防賔【商】一日律七寸一分小分九微强【一子】南授【一子】分乌【一子】南事 六日律七寸小分九大强【二子】变虞【二子】迟内【二子】盛变 六日律七寸小分一强【三子】路时【三子】未育【三子】离躳 六日律六寸九分小分一微强【四子】刑始【四子】迟时【四子】制时 五日律六寸八分小分三弱【五子】依行 色育 谦待 七日律六寸七分小分三大强通曰色育不宜入应钟子行谦待不宜入防賔子行【失位】中宫【宫巳】执始【防】去灭【商】八日律六寸六分小分大弱【一子】南中 丙盛 安度 七日律六寸五分小分七微弱【二子】内负 分勲 归嘉 八日律六寸四分小分八强【三子】总应 质未 否与 七日律六寸三分小分九强【不得不失】防賔【宫午】大吕【征】夷则【商】一日律六寸三分小分二微弱【一子】南事【上生穷无征商不为宫】七日律六寸三分小分一弱【二子】盛变。分否。解刑。七日律六寸二分小分三大强【三子】离躳。陵隂。去南。七日律六寸一分小分五微强【四子】制时。少出。分积。八日律六寸小分七弱。
【得位】林钟【宫未】太蔟【征】南吕【商】一日律六寸。【一子】谦待，未知，白吕，五日律五寸九分小分九弱【二子】去灭，时息，结躳，七日律五寸九分小分二弱【三子】安度，屈齐，归期，六日律五寸八分小分四弱【四子】归嘉，随期，未夘，六日律五寸七分小分六微强【五子】否与，刑晋，夷汗，五日律五寸六分小分八强【失位】夷则【宫申】夹钟【征】无射【商】八日律五寸六分小分二弱【一子】解刑，开时，闭掩，八日律五寸五分小分四强【二子】去南，侯嘉，邻齐，八日律五寸四分小分六大强【三子】分积，争南，期保，七日律五寸三分小分九强【得位】南吕【宫】酉】姑洗【征】应钟【商】一日律五寸三分小分三强【一子】白吕「南授」分乌「五日律五寸三分小分二强【二子】结躳「变虞」迟内「七日律五寸二分小分六强【三子】归期「路时」未育「六日律五寸一分小分九微强【四子】未夘「刑始」迟时「六日律五寸一分小分二微强【五子】夷汗「依行」色育「五日律五寸小分五强」通曰「色育入应钟子行凡二见谦待入防賔子行凡一见葢中吕无射皆失位生子三并母为四截去黄钟林钟各首子余四子始可配位此亦不得不然也」
【失位】无射【宫戌】中吕【征】执始【商】八日律四寸九分小分九强【一子】闭掩 南中 丙盛 八日律四寸九分小分三弱【二子】邻齐 内负 分勲 七日律四寸八分小分六微弱【三子】期保 总应 质未 八日律四寸七分小分九微强【不得不失】应钟【宫亥】防賔【征】大吕商一日律四寸九分小分四微强【一子】分乌 南事【此无商则不为宫】七日律四寸七分小分三微强【二子】迟内 盛变 分否 八日律四寸六分小分八弱【三子】未育 离躳 陵隂 八日律四寸六分小分一微强【四子】迟时 制时 少出 六日律四寸五分小分五弱六十律生次，自黄钟至中吕，十二母照常，其四十八子自中吕。【上生】执始【黄次，下子，生】去灭【林次，上子，生】时息【太次子，下生】结躳【南次，上子，生】变虞【姑次，下子，生】迟内【应次子，上生】盛变【防次，上子，生】分否【大长，下子，生】解刑【夷长子】
【上生】开时【夹长下子生】闭掩【无长上子生】南中【中长子】【上生】丙盛【黄三下子生】安度【林三上子生】屈齐【太三子】【下生】归期【南三上子生】路时【姑三下子生】未育【应三子】【上生】离躳【防三上子生】陵隂【大次下子生】去南【夷次子】【上生】侯嘉【夹次下子生】邻齐【无次上子生】内负【中次子】【上生】分勲【黄四下子生】归嘉【林四上子生】随期【太四子】【下生】未夘【南四上子生】刑始【姑四下子生】迟时【应四子】【上生】制时【防四上子生】少出【大三下子生】分积【夷三子】【上生】争南【夹三下子生】期保【无三上子生】总应【中三子】【上生】质未【黄五下子生】否与【林五上子生】刑晋【太五子】【下生】夷汗【南五上子生】依行【姑五下子生】色育【黄长子】【上生】谦待【林长上子生】未知【太长下子生】白吕【南长子】【上生】南授【姑长下子生】分乌【应长上子生】南事【防长子】
七调图一宫 黄【正】 林【正】 太【正】 南【正】 姑【正半】 应【正】 防【正】二宫 林【正】 太【正半】 南【正】 姑【正半】 应【正】 防【正半】 大【正半】三宫 太【正】 南【正】 姑【正】 应【正】 防【正】 大【正半】 夷【正】四宫 南【正】 姑【正半】 应【正】 防【正半】 大【正半】 夷【正半】 夹【正半】五宫 姑【正】 应【正】 防【正】 大【正半】 夷【正半】 夹【正半】 无【正】六宫 应【正】 防【正半】 大【正半】 夷【正半】 夹【正半】 无【正半】 中【正半】七宫 防【正】 大【正半】 夷【正】 夹【正半】 无【正】 中【正半】 黄【变半】八宫 大【正】 夷【正】 夹【正】 无【正】 中【正】 黄【变半】 林【变】九宫 夷【正】 夹【正半】 无【正】 中【正半】 黄【变半】 林【变半】 太【变半】十宫 夹【正】 无【正】 中【正】 黄【变半】 林【变】 太【变半】 南【变】十一宫无【正】 中【正半】 黄【变半】 林【变半】 太【变半】 南【变半】 姑【变半】十二宫中【正】 黄【变半】 林【变】 太【变半】 南【变】 姑【变半】 应【变】
琴度通曰：「四十五度三分，用一为十五度十二。」度二分益一，为十八度，二十四度二分益。一为三十六度，又以三十六度三分损一。为二十四度，十八度三分损一为十二度。十五度三分者九，为四十五度，故黄钟以三为法，以九为度，而琴以三始，九终也。琴分三百六十度为十四段，自临岳至四徽。得四段，自五徽至九徽，得四段，自十徽至。龙龈得四段，其四徽至五徽，与九徽至十。徽之二段不入损益，而三十度又独为损益者，三分十八度而益二分，为三十度；四分二十四度而益一分，为三十度。皆以六度为一分也。三大段，二小段，不离五也。且倍十五即成三十，倍十二即成二十四，倍十八即成三十六，此亦加倍法耳。后半变加为减矣。大约七徽为琴之中分，百八十度者二，四徽为临岳，七徽之中，十徽为七徽龙龈之中分，九十度者四，而一徽又为临岳四徽之中，十三徽又为十徽，龙龈之中也。
箫笛七调升降图説通曰：合言之，自极低以至极髙，总为一调。每孔有上中下三声耳。分言之，正宫为中调，三升三降而成七也。自正宫渐降而低为六字调，再降而低为凡字调，再降而低为凄凉调也。自正宫渐升而髙为乙字调，再升而髙为梅花调，再升而髙为闭工调也。闭乙凡字为南调，用乙凡字为北调，而南北各调中又皆有子母调，是所谓二十八调也。中径广者其声低，中径小者其声髙，成五十六调矣。长者其声逺，短者其声近，又成百有一十二调。若细剖之，可至无竆。然而调则不逾乎七，音则不过乎五者，何也？南成其为南之七调，北成其为北之七调，髙成其为髙之七调，低成其为低之七调，逺成其为逺之七调，近成其为近之七调，非于七调外更增一调也，不过于中重重剖之耳。葢音止于五，乃天然之节也。如南调合四上尺工为五音，六即髙合字，五即髙四字，因而防悟。凡八音与夫人禽一切有声之物，皆隔五必合音，安得而不止于五耶？乙凡者二变也，北调用之为合乙四上尺工凡，亦止七也。黄钟之五正二变，适符箫笛之七调，此岂人力思量所能及哉！惜乎以俗乐目之，不能以今证古耳【髙字有定而无定也，笛孔犹可，箫之合式者始不移，其不合式者必须变孔以合之】
横调直调说通曰：气交而成声，声交而成调，调亦不得巳之名也。同此调也，剖之为七：曰凄凉，曰凡字，曰六字，曰正宫，曰乙字，曰梅花，曰闭工。此以髙下分为直调也。同此直调也，再剖之为十三：曰黄钟，曰正宫，曰大石，曰小石，曰仙吕，曰中吕，曰南吕，曰双调，曰越调，曰商调，曰商角，曰般涉，曰子母。此以曲名分为横调也。然声之髙下，复有直有横。如合与六，四与五，本一孔而因气之缓急分髙下者，此横髙下也。正宫之四即乙字之合，乙字之四即梅花之合，本一字而因孔之升降分髙下者，此直髙下也。正如琴之十三徽为横，七弦为直耳。至于曲名分调，有阶级升降循次而转者，有逺近升降隔二隔三而转者，有髙字多而低字少者，有低字多而髙字少者，有急者，有缓者。此虽横调，亦未尝不因髙下而分也。始知声音之理，无出于清浊髙下升降缓急之外者。同符河洛，音本天然，不过随时安名字耳。又何疑乎？今乐非古乐哉！
数度衍巻首下钦定四库全书