御制数理精蕴下编卷三十九

御制数理精蕴下编卷三十九

末部九比例规解【平分线，分面线，更面线，分体线，更体线，五金线】

比例规解比例尺代算，凡防线、面、体乘除、开方，皆可以规度而得，然于画图制器，尤所必需，诚算器之至善者焉。究其立法之原，总不越乎同式三角形之比例。葢同式三角形，其各角各边皆为相当之率。今张尺之两股为三角形之两腰，其尺末相距即三角形之底，遂成两边相等之三角形。于中任截两边相等之各三角形，则其各腰之比例必与各底之比例相当也。一曰平分线，以御三率；一曰分面线，一曰更面线，以御面羃；一曰分体线，一曰更体线，以御体积；一曰五金线，以御轻重；一曰分圆线；一曰正▯线；一曰正切线；一曰正割线，以御测量并制平仪诸器。凡此十线，或总归一器，或分为数体，任意为之，无所不可。今将各线之分法及用法并着于篇。此外又有假数尺，即用对数及正▯、割、切诸线之对数为之，用于三率比例测量尤为简捷，亦详其法于后。

平分线自甲枢心至乙丙两股之末，作甲乙、甲丙二线，依《几何原本》十二卷十九节之法，将甲乙、甲丙二线俱平分为二百分，即为平分线也。尺之长短，任意为之，尺短则平分一百分，尺长则平分四五百分，或一千分，亦可分愈多，而用愈便也。设如一丁戊线，欲加五倍，问得几何？法以比例尺平分线第十分之己庚二防依丁戊线度展开勿令移动。次取平分线第五十分之辛壬二防相离之度作丁癸线，即丁戊线之五倍也。葢十分之防为己与庚，而甲己庚为两边相等之三角形，甲己甲庚为腰，己庚相距为底。又五十分之防为辛与壬，而甲辛壬为两边相等之三角形，甲辛甲壬为腰，辛壬相距为底。此两三角形为同式形，故甲庚与己庚之比同于甲壬与辛壬之比，而甲庚与甲壬之比亦同于己庚与辛壬之比。甲壬既为甲庚之五倍，则辛壬必为己庚之五倍，而丁癸亦为丁戊之五倍可知矣。若欲将丁戊线加十五倍，则仍以丁戊线度于十分上定尺，取平分线第一百五十分之子丑二防相离之度作寅卯线，即为丁戊线之十五倍也。若欲将丁戊线加三分之二，则将平分线第三十分之辰巳二防依丁戊线度展开勿令移动，而取平分线第五十分之午未二防相离之度作申酉线，即为丁戊线加三分之二也【以丁戊线为三分而加二分共得五分，因三与五之防近枢难用，故用三十与五十，其比例同也】若有丁癸丁戊二线欲定其比例之分数，则将平分线第一百分之戌亥二防依丁癸线度展开勿令移动，次取丁戊线度寻至平分线第二十分之干坎二防，其相离之度恰符，即定为一百分之二十，约为五分之一，即丁癸丁戊两线之比例也。要之用尺之法不外于三率求四率，如以一率为腰，二率为底而定尺，则三率复为腰，而其底即四率也。以一率为腰，三率为底而定尺，则二率复为腰，而其底亦即四率也。若以一率为底，二率为腰而定尺，则三率复为底，而其腰则四率也。诸线之用虽各不同，其比例之理则一也。设如一丁戊线，欲分为六分，问每分几何？法以比例尺平分线第六十分之己庚二防，依丁戊线度展开，勿令移动。次取平分线第十分之辛壬二防相离之度，截丁戊线于癸，则丁癸即丁戊线六分之一也。葢六十分之防为己与庚，而甲己庚为两边相等之三角形，甲己、甲庚为腰，己庚相距为底。又十分之防为辛与壬，而甲辛壬亦为两边相等之三角形，甲辛、甲壬为腰，辛壬相距为底。此两三角形为同式形，则甲庚与甲壬之比同于己庚与辛壬之比。甲壬既为甲庚六分之一，则辛壬必为己庚六分之一，而丁癸亦为丁戊线六分之一可知矣。若欲分丁戊线为七分，则将平分线第七十分之子丑二防，依丁戊线度展开，勿令移动。

次取平分线第十分之辛壬二防相离之度，截丁戊线于寅，则丁寅即丁戊线七分之一也。又若丁戊线欲取七分之三，则仍以丁戊线度于七十分上定尺，而取平分线第三十分之卯辰二防相离之度，截丁戊线于己，则丁己即丁戊线七分之三也。设如，有十三人，每人给银七两，问其银几何？法以比例尺平分线第十分之丁戊二防，依分厘尺七厘之度展开，勿令移动。次取平分线第一百三十分之己庚二防，相离之度于分厘尺上量之，得九分一厘，即得共银为九十一两也。葢十分之防为丁与戊，而甲丁戊为两边相等之三角形，甲丁、甲戊为腰，丁戊相距为底。又一百三十分之防为己与庚，而甲己庚亦为两边相等之三角形，甲己、甲庚为腰，己庚相距为底。此两三角形为同式形，故甲戊十分与甲庚一百三十分之比，同于丁戊七厘与己庚九分一厘之比也。又以十分当一人，故以一百三十分当十三人；以七厘当七两，故九分一厘即为九十一两。葢十分与一人之比，同于一百三十分与十三人之比，而七厘与七两之比，亦同于九分一厘与九十一两之比也。设如每官一员，每月给公费钱二千二百文，共给钱八千八百文，问官员几何？法以比例尺平分线第二十二分之丁戊二防，依分厘尺一分之度展开，勿令移动。次取平分线第八十八分之己庚二防相离之度，于分厘尺上量之得四分，即得官四员也。葢二十二分之防为丁与戊，而甲丁戊为两边相等之三角形，甲丁、甲戊为腰，丁戊相距为底。又八十八分之防为己与庚，而甲己庚为两边相等之三角形，甲己、甲庚为腰，己庚相距为底。此两三角形为同式形，故甲戊二十二分与甲庚八十八分之比，同于丁戊一分与己庚四分之比也。又以二十二分当钱二千二百，故以八十八分当钱八千八百，以一分当官一员，故四分即为官四员。葢二十二分与二千二百之比，同于八十八分与八千八百之比，而一分与一员之比，亦同于四分与四员之比也。设如原有粟五斗，易布二疋。今有粟三石，问易布几何？法以比例尺平分线第二十分之丁戊二防【四倍五斗之数，因五分近枢难用，故用四倍之数也】依分厘尺二分之度展开，勿令移动。次取平分线第一百二十分之己庚二防相离之度【四倍三石之数，三石为三十斗，故四倍之得一百二十也】于分厘尺上量之得一寸二分，即得布十二疋也。葢二十分之防为丁与戊，一百二十分之防为己与庚，而甲丁戊与甲己庚为同式两三角形，故甲戊二十分与甲庚一百二十分之比同于丁戊二分与己庚一寸二分之比也。又以二十分当五斗为四倍之数，故以一百二十分当三石亦为四倍之数，以二分当二疋，故一寸二分即为十二疋。

葢二十分与五斗之比同于一百二十分与三石之比，而二分与二疋之比亦同于一寸二分与十二疋之比也。设如，有二十七及十八之两数，问其相连比例之三数几何？法以比例尺平分线第二十七分之丁戊二防，依分厘尺一分八厘之度展开，勿令移动。次取平分线第十八分之己庚二防，相离之度于分厘尺上量之，得一分二厘，即相连比例之第三数为十二也。葢二十七分之防为丁与戊，十八分之防为己与庚，而甲丁戊与甲己庚为同式三角形，故甲戊二十七与甲庚十八之比，同于丁戊十八与己庚十二之比也。丁戊与甲庚既同为十八，即连比例之中率，则己庚十二为连比例之第三率无疑矣。设如，有勾五尺，股十二尺，问▯几何？法以比例尺平分线甲丁四十分，甲戊三十分，之丁戊二防。依本线五十分之度展开，勿令移动。次取平分线甲庚五十分【当勾数】甲己一百二十分【当股数】之己庚二防相离之度，于本线上量之为一百三十分，即得▯十三尺也。葢勾三，股四，▯五，为勾股▯之定数。今以甲戊三十，甲丁四十为两腰，而丁戊五十为底，则其两腰相交之甲角必为直角。故以今有之勾股数为两腰，而取其底，即为所求之▯数也。若有勾五尺，有▯十三尺，而求股，则取本线一百三十分之度，自五十分之庚防寻至一百二十分之己防，其相离之度恰符，即得股十二尺矣。设如，有圆径三十五寸，问圆周几何？法以比例尺平分线第二十一分之丁戊二防【径率七之三倍也，因七分近枢，故用三倍之数】依分厘尺三分五厘之度展开，勿令移动。次取平分线第六十六分之己庚二防相离之度【周率二十二之三倍也，因径率用三倍，故周率亦三倍之】于分厘尺上量之得一寸一分，即一百一十寸为所求之圆周也。葢二十一分之防为丁与戊，六十六分之防为己与庚，而甲丁戊与甲己庚为同式三角形，故甲戊二十一与丁戊三分五厘之比，同于甲庚六十六与己庚一寸一分之比。而甲戊与甲庚既为径与周之比例，则丁戊与己庚亦必为径与周之比例矣。又甲戊为径率之三倍，故甲庚亦用周率之三倍，而丁戊以一厘当一寸，故己庚亦以一厘当一寸，其比例俱相当也。

分面线自甲枢心至乙丙两股之末，作甲乙、甲丙二线，依《几何原本》十二卷二十一节之法分之，即为分面线也。或设正方面界一百厘，其积数一万厘，以二因之，得二万厘，开平方得一百四十一厘，为积二万厘之根；又以三因之，得三万厘，开平方得一百七十三厘，为积三万厘之根。照此屡倍积数开平方，将所得之数于分厘尺上取其度，按度截比例尺之甲乙、甲丙二线，即成分面线也。设如，有甲、乙、丙三正方形。甲形每边一寸，其积数之比例，甲为一分，乙为六分，丙为九分。今欲作一大正方形，与甲、乙、丙三正方形之积等，问其边几何？法以比例尺分面线第一分之两防【因甲方之积为一分，故用一分也】依甲正方形每边一寸之度展开，勿令移动。乃并三正方面积共十六分，即取分面线第十六分两防相距之度，于分厘尺上量之得四寸，即所求大正方形之每一边。用其度作正方形，其积与甲、乙、丙三正方形之共积等也。葢十六分所作正方形，原比一分所作正方形大十六倍，则十六分相距之度所作正方形，亦必比一分相距之度所作正方形大十六倍矣。一分相距之度，即甲正方形之一边，其积为一分，则以十六分相距之度所作正方形，其积必为十六分，与三正方形之共积相等也。设如，有大小等边三角形，小形每边一寸，大形每边四寸。今欲将两面积相减，取其余积作同式等边三角形，问其边几何？法以比例尺分面线，第一分之两防，依小形每边一寸之度展开，勿令移动。次以大形每边四寸之度，于分面线上寻至第十六分之两防，其相距之度恰合，即大形与小形之比例为十六与一，相减余十五为较积。即取分面线第十五分两防相距之度，于分厘尺上量之，得三寸八分七厘，即较形之每一边也。葢大小同式多边形之比例，同于相当界所作正方形之比例【见几何原本八卷第九节】今十六分所作正方形与一分所作正方形之比例为十六与一，则十六分相距之度所作正方形与一分相距之度所作正方形之比例，亦为十六与一矣。夫大小两距度，即大小两三角形之相当界，其所作两正方形之比例既为十六与一，则大小两三角形之比例亦必为十六与一矣。既得两形之比例，乃相减以得较；既得较积之比例，复用积以求边，即得所求之边数也。设如，有五等边形，每边二尺，欲三倍其积，作同式五等边形，问其每边几何？法以比例尺分面线，第一分之两防，依分厘尺二寸之度展开，勿令移动。次取第三分两防相距之度，于分厘尺上量之，得三寸四分五厘，即三尺四寸五分为所求大形之每一边。用其度作五等边形，其积与原形之三倍等也。葢大小同式形之比例，同于相当界所作正方形之比例【见几何原本八巻第九节】今一分所作正方形与三分所作正方形之比例为一与三，则一分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为一与三矣。

夫一分相距之度即原形之界，则以三分相距之度为大形之界，其积为原形之三倍可知矣。又以二寸当原形之边二尺，故三寸四分五厘即为三尺四寸五分也。设如有六等边形每边三尺欲取其积四分之三作同式六等边形问其每边几何法以比例尺分面线第四分之两防依分厘尺三寸之度展开勿令移动。次取分面线第三分两防相距之度于分厘尺上量之得二寸六分。即二尺六寸为所求小形之每一边。用其度作六边形。其积即为原形四分之三也。葢大小同式形之比例同于相当界所作正方形之比例。今四分所作正方形与三分所作正方形之比例为四与三。则四分相距之度所作正方形与三分相距之度所作正方形之比例亦必为四与三矣。夫四分相距之度即原形之界。则以三分相距之度为小形之界。其积为原形四分之三可知矣。又以三寸当原形之边三尺。故二寸六分即为二尺六寸也。设如，有三率相连，比例数，首率二尺，末率八尺，问中率几何？法以比例尺分面线第二分之两防依分厘尺二寸之度展开勿令移动。次取分面线第八分两防相距之度于分厘尺上量之得四寸。即四尺为相连比例之中率也。葢相连比例三率其首率所作正方形与中率所作正方形之比同于首率与末率之比。今首率为二尺末率为八尺。则首率所作正方形与中率所作正方形之比例即如二与八之比例。故以二分相距之度为首率之数。则八分相距之度必为中率之数可知矣。又首率用二寸当二尺。故中率四寸即为四尺也。设如有正方面积一千六百尺，问每一边几何？法以比例尺分面线，第一分之两防，依分厘尺一寸之度展开，勿令移动。乃以一寸之十分作十尺，自乘得一百尺，与积数一千六百尺相较，其比例如一与十六，即取分面线第十六分两防相距之度，于分厘尺上量之得四寸，即四十尺，为所求正方之每一边也。葢一分之积既为一百尺，则十六分之积必为一千六百尺，而一分相距之度既为方积一百尺之每一边，则十六分相距之度必为方积一千六百尺之每一边矣。又以一寸当十尺，故四寸即为四十尺也。设如有正方面积九千零二十五尺，问每一边几何？法以比例尺分面线，第一百分之两防，依分厘尺一寸之度展开，勿令移动。乃以一寸之一百厘作一百尺，自乘得一万尺，与积数九千零二十五尺相较，其比例如一百与九十有余，即取分面线第九十分有余相距之度，于分厘尺上量之，得九分五厘，即九十五尺，为所求正方之每一边也。葢一百分之积既为一万尺，则九十分有余之积必为九千余尺，而一百分相距之度既为方积一万尺之每一边，则九十分有余相距之度必为方积九千余尺之每一边矣。又以一寸当一百尺，故九分五厘即为九十五尺也。

更面线自甲枢心至乙丙两股之末，作甲乙、甲丙二线。设积数一亿，用面部内面积相等，边线不同之定率比例，得各形之边线。其方边一万，圜径一万一千二百八十四；三等边一万五千一百九十七；五等边七千六百二十四；六等边六千二百零四；七等边五千二百四十六；八等边四千五百五十一；九等边四千零二十二；十等边三千六百零五。将各形边数于分厘尺上取其度，按度截比例尺之甲乙、甲丙二线，即成更面线也。设如，有甲圆形，径一尺二寸，欲作一正方形，其积与圆积等，问每边几何？法以比例尺更面线圆号之两防依分厘尺一寸二分之度展开，勿令移动。次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之，得一寸零六厘，即一尺零六分为正方形之每一边。用其度作正方形，其积与圜积等也。葢圆号与方号之比例原为同积之圆径与方边之比例，则其两距度之比例亦必为圆径与方边之比例。今圆号相距之度既为圆径，则方号相距之度必为方边无疑矣。又以一寸二分当圆径一尺二寸，故一寸零六厘即为方边一尺零六分也。设如，有甲三边形，每边一十五尺，又有乙五边形，每边十尺，欲并作一正方形，问每边几何？

法以比例尺更面线三边号之两防依分厘尺一寸五分之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得九分八厘七豪即九尺八寸七分为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲三边形积等也又以五边号之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动次取方号之两防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分一厘即十三尺一寸为方正形之每一边用其度作正方形其积与乙五边形积等也乃将两正方形用分面线求其积之比例以分面线第十分之两防依小方边九分八厘七豪之度展开勿令移动复以大方边一寸三分一厘之度于分面线上寻至第十七分六厘之处其相距之度恰合即两方形之比例为十分与十七分六厘并之得二十七分六厘即取分面线第二十七分六厘相距之度于分厘尺上量之得一寸六分四厘即十六尺四寸为正方形之每一边用其度作正方形其积与甲乙两形之积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相加故先用更面线将甲乙两形俱变为正方形复用分面线求其比例而并之即得所求大正方形之一边也设如，有甲八边形，每边十二尺，又有乙六边形，每边六尺，今将两面积相减，用其余积作一七边形，问其边几何？

法以比例尺更面线八边号之两防依分厘尺一寸二分之度展开勿令移动次取七边号两防相距之度于分厘尺上量之得一寸三分八厘即十三尺八寸为七边形之每一边用其度作七边形其积与甲八边形积等也又以六边号之两防依分厘尺六分之度展开勿令移动次取七边号两防相距之度于分厘尺上量之得五分零七豪即五尺零七分为七边形之每一边用其度作七边形其积与乙六边形积等也乃将两七边形用分面线求其比例以分面线第十分之两防依小七边形之边五分零七豪之度展开勿令移动复以大七边形之边一寸三分八厘之度于分面线上寻至第七十八分之处其相距之度恰合即两七边形之比例为十分与七十八分相减余六十八分即取分面线第六十八分相距之度于分厘尺上量之得一寸三分即十三尺为所求七边形之每一边用其度作七边形其积与甲乙两形相减之余积等也葢甲乙两形不同类不能得其比例即不能相减故先用更面线将甲乙两形俱变为七边形复用分面线求其比例而后相减即得所求七边形之一边也设如，有十等边形，积四千四百四十五尺，问每一边几何？法先以比例尺分面线，第一分之两防，依分厘尺一寸之度展开，勿令移动。乃以一寸之十分作十尺，自乘得一百尺，与积四千四百四十五尺相较，其比例如一与四十四又九之五，即取分面线第四十四分又九之五相距之度，于分厘尺上量之，得六寸六分又三之二，即六十六尺又三分尺之二，为方形之一边。用其度作正方形，其积与十边形积等也。乃以更面线方号之两防，依方形每边六寸六分又三分之二之度展开，勿令移动。次取十边号两防相距之度，于分厘尺上量之，得二寸四分，即二十四尺，为所求十边形之每一边也。葢正方形为各面形比例之宗，故凡有积求边者，必先用分面线求得方形之边，然后用更面线使方号两防相距之度与方边等，而取所求形之号两防相距之度，即所求形之一边。自圆形、三边形以至九边形，皆同一法也。

分体线自甲枢心至乙丙两股之末，作甲乙、甲丙二线，依《几何原本》十二卷二十二节之法分之，即为分体线也。或设正方体界一百厘，其积数一百万厘，以二因之，得二百万厘，开立方得一百二十六厘，为积二百万厘之根；又以三因之，得三百万厘，开立方得一百四十四厘，为积三百万厘之根。照此屡倍积数开立方，将所得之数于分厘尺上取其度，按度截比例尺之甲乙、甲丙二线，即成分体线也。设如，有甲、乙、丙三正方体。甲形每边二寸，其积数之比例，甲为一分，乙为三分，丙为四分。今欲作一大正方体，与甲、乙、丙三正方体之积等，问其边几何？法以比例尺分体线第一分之两防，依甲正方体每边二寸之度展开，勿令移动。乃并三正方体积共八分，即取八分两防相距之度，于分厘尺上量之得四寸，即所求大正方体之每一边。用其度作正方体，其积与甲、乙、丙三正方体之共积等也。葢八分所作正方体，原比一分所作正方体大八倍，则八分相距之度所作正方体，亦必比一分相距之度所作正方体大八倍矣。一分相距之度，即甲正方体之一边，其积为一分，则以八分相距之度所作正方体，其积必为八分，与三正方体之共积相等也。设如，有大小两四等面体，小体每边一寸，大体每边三寸。今将两体积相减，取其余积作同式四面体，问其边几何？法以比例尺分体线，第一分之两防，依小体每边一寸之度展开，勿令移动。次以大体每边三寸之度，于分体线寻至第二十七分之两防，其相距之度恰合，即大形与小形之比例为二十七与一。相减余二十六为较积，即取分体线第二十六分两防相距之度，于分厘尺上量之得二寸九分六厘，即较体之每一边也。葢大小同式体之比例，同于相当界所作正方体之比例【见几何原本十卷第七节】今二十七分所作正方体与一分所作正方体之比例为二十七与一，则二十七分相距之度所作正方体与一分相距之度所作正方体之比例，亦必为二十七与一矣。夫大小两距度，即大小两体之相当界，其所作两正方体之比例既为二十七与一，则大小两四面体之比例亦必为二十七与一矣。既得两体之比例，乃相减以得较；既得较积之比例，复用积以求边，即得所求之边数也。设如，有八等面体，每边一尺，欲四倍其积，作同式八等面体，问其每边几何？法以比例尺分体线，第一分之两防，依分厘尺一寸之度展开，勿令移动。次取第四分两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸五分九厘，即一尺五寸九分为所求体之一边。用其度作八等面体，其积与原体之四倍等也。葢大小同式体之比例，同于相当界所作正方体之比例。今一分所作正方体与四分所作正方体之比例为一与四，则一分相距之度所作正方体与四分相距之度所作正方体之比例亦必为一与四矣。

夫一分相距之度即原体之界，则以四分相距之度为大体之界，其积为原体之四倍可知矣。又以一寸当原形边一尺，故一寸五分九厘即为一尺五寸九分也。设如，有圆【依】球径三尺，欲取其积五分之二，作同式圆球体，问其径几？何法以比例尺分体线第五分之两防，分厘尺三寸之度展开，勿令移动。次取分体线第二分两防相距之度，于分厘尺上量之，得二寸二分一厘，即二尺二寸一分为所求小体之一边，用其度为径作圆【依】球体其积为原体五分之二也。葢大小同式体之比例，同于相当界所作正方体之比例。今五分所作正方体与二分所作正方体之比例为五与二，则五分相距之度所作正方体与二分相距之度所作正方体之比例亦必为五与二矣。夫五分相距之度，即原体之径，则以二分相距之度为小体之径，其积为原体五分之二，可知矣。又以三寸当原体之径，三尺，故二寸二分一厘即为二尺二寸一分。也设如，有四率相连比例，数一率八尺，四率二十七尺，求二率、三率各几？何法以比例尺分体线第八分之两防分厘尺八分之度展开，勿令移动。次取分体线第二十七分之两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸二分，即十二尺，为连比例四率之第二率。既得二率，乃用平分线有一率二率求连比例第三率之法，以平分线第八分之两防依分厘尺一寸二分之度展开，勿令移动。次取平分线第十二分两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸八分，即十八尺，为连比例四率之第三率也。葢相连比例四率，其一率所作正方体与二率所作正方体之比例，同于一率与四率之比例。今一率为八尺，四率为二十七尺，则一率所作正方体与二率所作正方体之比例，即如八与二十七之比例。故以八分相距之度为一率之数，则二十七分相距之度必为二率之数，可知矣。又一率用八分当八尺，故二率一寸二分即为十二尺。至于求第三率之法，即平分线求连比例三率之理也。设如，有正方体积二万七千尺，问每一边几何？法以比例尺分体线，第一分之两防，依分厘尺一寸之度展开，勿令移动。乃以一寸之十分作十尺，自乘再乘，得一千尺，与积数二万七千尺相较，其比例如一与二十七。即取分体线第二十七分两防相距之度，于分厘尺上量之，得三寸，即三十尺，为所求正方体之每一边也。葢一分之积既为一千尺，则二十七分之积必为二万七千尺；而一分相距之度既为方积一千尺之每一边，则二十七分相距之度必为方积二万七千尺之每一边矣。又以一寸当十尺，故三寸即为三十尺也。设如，有正方体积八十三万零五百八十四尺，问每一边几何？

法以比例尺分体线第一百分之两防依分厘尺一寸之度展开勿令移动乃以一寸之一百厘作一百尺自乘再乘得一百万尺与积数八十三万零五百八十四尺相较其比例如一百与八十三有余即取分体线第八十三分有余相距之度于分厘尺上量之得九分四厘即九十四尺为所求正方体之每一边也葢一百分之积既为一百万尺则八十三分有余之积必为八十三万余尺而一百分相距之度既为方积一百万尺之每一边则八十三分有余相距之度必为方积八十三万余尺之每一边矣又以一寸当一百尺故九分四厘即为九十四尺也设如，有银正方体，每边二寸，问重几何？法以比例尺分体线第九分之两防【银正方一寸之定率为九两故用九分度】依分厘尺一寸之度展开勿令移动，次取分厘尺二寸之度于分体线上寻至第七十二分之两防，其相距之度恰合，即七十二两为银正方体之重数也。葢各体重数之比例与积数之比例等，相距之度一寸，其积为九分；相距之度二寸，其积则为七十二分。今相距一寸之九分既为正方一寸银体之重数，则相距二寸之七十二分必为正方二寸银体之重数矣。又以九分当九两，故七十二分为七十二两也。设如、有大铜【之】球体、径二寸、重三十一两四钱一分。今有小【比】铜球，体径一寸二分，问重。几何法，以比例尺分体线，第三十一分。四厘之处【例】依大球径二寸之度，展开。勿令移动【与】次取小球，径一寸二分之度，于分体线上寻至第六分七厘有余之处，其相距之度恰合，即六两七钱有余，为小铜球体之重数也。葢各体重数积数之比例等，相距之度二寸，其积为三十一分四厘；相距之度一寸二分，其积则为六分七厘。今相距一寸之三十一分四厘，既为径二寸大铜【钱】球体之重数，则相距一寸二分之六分七厘，必为径一寸二分小【也】铜球体之重数矣。又以三十一分四厘当三十一两四钱，故六分七厘即为六两七。

更体线自甲枢心至乙丙两股之末，作甲乙、甲丙二线。设积数一兆，用体部内体积相等、边线不同之定率比例，得各体之边。线其立方边一万【正】球径一万二千四百零七，四面体边二万零三百九十七，八面体边一万二千八百四十九，十二面体边五千零七十二，二十面体边七千七百一十。将各体边线数于分厘尺上取其度，按度截比例尺之甲乙、甲丙二线，即成更体线。也设如有【方】甲球体径二尺，欲作一正方体，其【体】积与球积等，问每边几何法以比例尺【其】更体线球号之两防，依分厘尺二寸之度展开，勿令移动。次取方号之两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸六分一厘，即一尺六寸一分为正方体之每一边，用其度作。积与甲【厘】球积等也【即】葢球号与方号。之比例原为同【三】积之球径与立方边之比例，则其两距度之比例，亦必为球。径与立方边之【尺】比例，今球号相距【一】之度，既为球径，则方号相距之度，必为方边无疑矣【寸】又以二寸当球径二尺，故一寸六分一厘即为一。尺六寸一分也。设如，有甲四面体，每边三尺，又有乙八面体，每边四尺，欲并作一正方。体问每边几何？法以比例尺更体线四面号之两防，依分厘尺三寸之度展开，勿令移动。次取方号两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸四分六厘，即一尺四寸六分为正方体之每一边。用其度作正方体，其积与甲四面体积等也。又以八面号之两防，依分厘尺四寸之度展开，勿令移动。次取方号两防相距之度，于分厘尺上量之，得三寸一分一一分为正方体之每一边。用其度作正方体，其积与乙八面体积等也。乃将两正方体用分体线求其积之比例。以分体线第一分之两防，依小方体每边一寸四分六厘之度展开，勿令移动。复以大方体每边三寸一分一厘之度于分体线上寻至第九分五厘之处，其相距之度恰合，即两方体之比例为一与九分五厘。并之得十分五厘，即取分体线第十分五厘相距之度，于分厘尺上量之，得三寸二分，即三尺二寸为正方体之每一边。用其度作正方体，其积与甲乙两体之积等也。葢甲乙两体不同类，不能得其比例，即不能相加，故先用更体线将甲乙两体俱变为正方体，复用分体线求其比例而并之，即得所求大方体之一边也。设如，有甲正方体，每边二尺，又有乙球体，径亦二尺，今将两体积相减，用其余积作十二面体，问其边几何？法以比例尺更体线方号之两防，依分厘尺二寸之度展开，勿令移动。次取十二面号两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸零一厘四豪，即一尺零一分四厘，为十二面体之每一边。用其度作十二面体，其积与甲正方体积等也。又以【上】球号之两防依分厘尺二寸之度展开，勿令移动。次取十二面号两防相距之度于分厘尺上量之，得八分一厘七豪，即八寸一分七厘为十二面体之每一边。用其度作十二面体，其积与【寻】乙球体积等也。乃将两十二面体用分体线求其比例，以分体线第十分之两防依小十二面体每边八分一厘七豪之度展开，勿令移动。复以大十二面体每边一寸零一厘四豪之度于分体线至第十九分，其相距之度恰合，即两十二面体之比例为十分与十九分相减余九分。即取分体线第九分两防相距之度于分厘尺上量之，得七分九厘，即七寸九分为所求十二面体之每一边。用其度作十二面体，与甲乙两体相减之余积等也。葢甲乙两体不同类，不能得其比例，即不能相减，故先用更体线将甲乙两体俱变为十二面体，复用分体线求其比例，而后相减，即得所求十二面体之一边也。设如，有二十面体，积一万七千四百五十五尺，问每一边几何？法先以比例尺分体线第一分之两防依分厘尺一寸之度展开，勿令移动，乃以一寸之十分作十尺，自乘再乘，得一千尺，与积数一万七千四百五十五尺相较，其比例如一与十七又九之五，即取分体线第十七分又九之五相距之度，于分厘尺上量之，得二寸五分九厘，即二十五尺九寸，为正方体之一边，用其度作正方体，其积与二十面体积等也。乃以更体线方号之两防依正方体每边二寸五分九厘之度展开，勿令移动，次取二十面号两防相距之度，于分厘尺上量之，得二寸，即二十尺，为所求二十面体之每一边也。葢正方体为各体形比例之宗，故凡有积求边者，必先用分体线求得方体之边，然后用更体线使方号两防相距之度与方边等，而取所求体之号两防相距之度，即所求。体之一边自【也】球体、四面体、至二十面体，皆同一法。

五金线自甲枢心至乙丙两股之末，作甲乙、甲丙二线，用各体权度比例定率数：金重十六两八钱，水银重十二两二钱八分，铅重九两九钱三分，银重九两，铜重七两五钱，铁重六两七钱，锡重六两三钱，为各体正方一寸轻重之比例【定率数有三十余种，尺不能尽载，惟此数者其用为多，故止载此】若重数相等，则其积数必不同，故又用转比例之法，求其体积之比例。命金之积为十亿，则与金同重之水银积为十三亿六千八百零七万八千一百七十五【水银重十二两二钱八分为一率，金重十六两八钱为二率，金积十亿为三率，得四率即水银积，余仿此】铅之积为十六亿九千一百八十四万二千九百，银之积为十八亿六千六百六十六万六千六百六十六，铜之积为二十二亿四千万，铁之积为二十五亿零七百四十六万二千六百八十六，锡之积为二十六亿六千六百六十六万六千六百六十六。既得各体之积数，乃开立方求其方根，则金之数为一千，水银之数为一千一百一十，铅之数为一千一百九十一，银之数为一千二百三十一，铜之数为一千三百零八，铁之数为一千三百五十八，锡之数为一千三百八十六。爰将各根数于分厘尺上取其度，按度截比例尺之甲乙、甲丙二线，即成五金线也。设如，有金【重】球，径二尺，欲作一【之】银球，其重【金】与金球等，问？径几何法，以比例尺五金线金号之两防，依分厘尺二寸之度展开，勿令移动。次取银号两防相距之度，于分厘尺上量之，得二寸四分六厘，即二尺四寸六分，为银球径。用其度作银球，即与金球重等也。葢金号与银号之比例，原为同体边与银体边之比例，则金号与银号两距度之比例，亦必为同重之金体边与银体边之比例。今金号相距之度既为金【面】球径则银号相距之度必为【体】银球径可知矣，又以二寸【其】当金球径二尺，故二寸四分六厘即为二尺四寸。六分也。设如有金正方体，每边一寸，重十六两八钱。今欲作银八面体，其重与金正方体等，问每一边几何？法先以比例尺更体线，正方体之两防依正方，每边一寸之度展开，勿令移动。次取八面体两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸二分八厘有余，即为金正方体等重之金八面体之每一边数。乃以五金线金号之两防，依金八面体每边一寸二分八厘之度展开，勿令移动。次取银号两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸五分八厘有余，即为银八面体之每一边。用其度作八重，与金正方体等也。葢两体不同类，不能得其比例，故先用更体线变正方体为八面体，而后用五金线比例之，其法与前同也。设如，有铜正方体，每边二寸，重六十两。今有铅一百。

两欲铸为　　　　　　　　【号】球体问径几何法先以分体线第六十分之两【两防原重六十两故取六】防依铜正方体每边二寸之度展开勿令移动次取分体线第一百分两防相距之【十分今重一百两故取一】度于分厘尺上量之得二寸三分七厘即重一百两之铜正方体之每一边又以更体线正方号之两防依正方每边二寸三分七厘之度，展开，勿令移动。次【百】取球号两防，相距之度，于分厘尺上量之，得二寸。九分四厘，即重一百两【分】之铜球径，复以五金线铜号之两防，依铜球径二寸九分四厘之度展开，勿令移动；次取铅相距之度，于分厘尺上量之，得二寸六。分八厘，即重一百两之铅【边】球径也。葢两重数不同，而两体又不同，不能得其比例，故先用分体线变为同重之铜正。方体又用更体线变为同重之【必】铜球体，乃用五金线，铜与铅之边线以比例之，而后得其径。数也设如银正方一寸重九两，问铜正方一寸重几何？法以五金线银号之两防，依正方一寸之度展开，勿令移动。次取铜号两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸零五厘二豪，即为重九两之铜正方边数。乃以分体线九十分之两防，依一寸零五厘二豪之度展开，勿令移动，而以今铜正方一寸之度于分体线上寻至七十五分之两防，其相距之度恰合，即七两五钱为铜正方一寸重数也。葢银重九两，其方边一寸，则铜重九两，其方为一寸零五厘二豪。又铜方边一寸零五厘二豪，其重九两，则铜方边一寸其重即为七两五钱也。设如，有银正方体，每边二寸，重七十二两。今欲作一铜二十面体，其边与正方体等，问重几何？法先以比例尺更体线正方体之两防，依正方每边二寸之度展开，勿令移动。次取二十面体两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸五分四厘有余，即为银正方体等重之银二十面体之每一边。乃以五金线银号之两防，依银二十面体每边一寸五分四厘之度展开，勿令移动。次取铜号两防相距之度，于分厘尺上量之，得一寸六分三厘有余，即为银二十面体同重之铜二十面体之每一边。复以分体线第七十二分之两防，依铜二十面体每边一寸六分三厘之度展开，勿令移动，而以今所作铜二十面体每边二寸之度于分体线上寻至第一百三十分有余之处，其相距之度恰合，即一百三十两有余，为铜二十面体之重数也。葢两体不同类，不能得其比例，故先用更体线变正方体为二十面体，又用五金线变银二十面体为铜二十面体，复用分体线有边求重之法比例之，然后得其重数也。

御制数理精蕴下编卷三十九

钦定四库全书