御制数理精蕴上编卷二

御制数理精蕴上编卷二

几何原本一几何原本二几何原本三几何原本四几何原本五几何原本一第一凡论数度，必始于一点。自点引之而为线，自线广之而为面，自而积之而为体，是名三大纲。是以有长而无阔者，谓之线；有长与阔而无厚者，谓之面；长与阔、厚俱全者，谓之体。惟点无长、阔、厚、薄，其间不能容分，不可以数度。然线之两端即点，而线、面、体皆由此生。点虽不入于数，实为众数之本。

第二线有直、曲两种。其二，线之一端相合，一端渐离，必成一角。二线若俱直者，谓之直线角；一线直，一线曲者，谓之不等线角；二线俱曲者，谓之曲线角。

第三凡角之大小，皆在于角空之寛狭。出角之二线，即如规之两股，渐渐张去，自然开寛。是以命角，不论线之长短，止看角之大小。如丙角两线虽长，其开股之空狭，遂为小角。若丁角两线虽短，其开股之空寛，遂成大角矣。

第四凡命角必用三字为记，如甲乙丙三角形，指甲角则云乙甲丙，角指乙角则云甲乙丙，角指丙角则云甲丙乙，角是也。亦有单举一字者，则其所举之一字即是所指之角也【如单言甲角、乙角、丙角之类】

第五凡有一线，以此线之一端为枢，复以此线之一端为界，旋转一周，即成一圜。如甲乙一线，以甲端为枢，乙端为界，旋转复至乙处，即成乙丙丁戊之圜。此圜线谓之圜界，圜界内所积之面度谓之圜面。

第六凡圜界不拘长短，其分界之所即为弧线。如乙丙丁戊之圜，丙至丁，丁至戊，俱为弧线。因其形似弧，故名之。

第七凡圜自一界过圜心至相对之界，画一直线，将一圜为两平分，则为圜径。如乙丙丁戊之圜，以甲为心，自圜界乙处过甲心至丁，或自圜界丙处过甲心至戊，画乙甲丁及丙甲戊线，皆为圜径也。第八凡自圜心至圜界作几何线，皆谓之辐线。其度俱相等，因平分全径之半，故又谓之半径线。

第九凡圜界皆以所对之角而命其弧，而角又以所对之弧而命其度。葢角度俱在圜界，而圜界为角度之规也。如乙角为心，甲丙为界，则乙角相对之界即甲丙弧，而甲丙弧即乙角之度也。

第十凡角相对之弧得圜界四分之一者，此角必直，故谓之直角。如甲丁丙戊之圜，甲乙丙之径，自中心乙至圜界丁画一半径，将半圜界又分为两平分，则成甲乙丁、丙乙丁之二角。此二角各得圜界四分之一，则此二角为直角也。若自丁界过乙心至圜界戊处画一直线，又成丁乙戊之径，复得甲乙戊、丙乙戊两相等之直角矣。故凡画一直线交于别线，其所成之角若直，此线谓之垂线。葢因平分圜界为四，其四弧相对之四角必相等，而皆为直角，则其二径相交必互为垂线，可知矣。

第十一凡角相对之弧不足圜界四分之一者，谓之鋭角；若过四分之一者，谓之钝角。故自圜径中心复画一辐线而不平分半圜之界，则成一鋭角、一钝角。如甲己丙庚之圜，于甲乙丙之径，自乙心至甲己丙之半圜界不两平分，于丁处画一辐线，遂成丙乙丁一鋭角，甲乙丁一钝角。再将丁乙线引于相对圜界戊处，画一丁乙戊径线，复成甲乙戊一鋭角，丙乙戊一钝角。合前二角，总为四角矣。故凡二角两尖相对，谓之对角；二角两尖相并，谓之并角。如甲乙戊、丙乙丁二角之两尖相对，即谓之对角；丙乙戊、甲乙丁二角之两尖亦相对，故亦谓之对角也。如丙乙戊、甲乙戊之二角两尖相并而同出一线，则谓之并角矣。

第十二凡一圜内设两角，此一角相对之弧与彼一角相对之弧其限若等，则此二角之度亦必相等。如甲丁丙戊之圜，丙乙丁角相对之丙丁弧，甲乙戊角相对之甲戊弧，其限相等，故丙乙丁角，甲乙戊角，其度亦相等也。

第十三凡有一圜，其径线之中心作相并之二角，此二角之度必与二直角等。如甲丙丁之圜，自丁乙丙径线之中心作甲乙丙、甲乙丁之相并二角，此二角之度必与二直角相等也。

第十四凡一直线交于他直线，其所成之二角，或为二直角，或与二直角等。如丙乙丁直线上画一甲乙直线，至于乙处，即成甲乙丙、甲乙丁之二直角也。又或于丙乙丁直线上画一戊乙直线，亦至乙处，复成丙乙戊一鋭角、丁乙戊一钝角，此二角必与二直角相等也。再申明之，以乙为心，丙为界，旋转画一圜，则丙乙丁线为圜之径线，必将圜界平分为两平分矣。此丙乙丁径线之中心所画之甲乙线，又将半圜界平分为两平分，则此二角各相对之弧，皆为一圜界四分之一，而各为一直角可知矣。又如戊乙线将半圜界虽不两平分，而成一鋭角、一钝角，然所成二角仍在丙乙丁径线所限半圜界度，为全圜界四分之二，故与二直角相等也。

第十五凡自一心画为众线，其所成之角虽多，止与四直角相等。如自甲心至乙至丙至丁至戊至已，画众辐线，虽成众角，其各角所函之度必与四直角等。葢因甲防为心，众辐线皆立一圜之界，故众角所对之弧总不越一圜之全度。前言一圜之界仅有四直角之弧线，兹角虽多，亦未尝出一圜之界，故曰众角虽多，止与四直角等也。

第十六凡两直线相交所成二对角之度必俱相等。如甲乙丙丁二线交于戊处，成甲戊丁、丙戊乙之二对角，斯二角之度必俱相等。今以二线相交之处为心，旋转画一全圜，则甲乙丙丁二线俱为此圜之径线矣。惟其俱为径线，故将一圜为两平分，而甲戊乙之径线为甲丙乙之半圜界，丙戊丁之径线为丙甲丁之半圜界。因两半圜界俱系全圜径线，故相交成对角，其度必等。兹将甲丙乙之半圜界减去甲丙弧，即余丙乙弧；丙甲丁之半圜界亦减去丙甲弧，又余甲丁弧。凡两相等之弧减去一段相等之弧，所余之弧必相等。今甲丙乙、丙甲丁二半圜之界内减去甲丙、丙甲同体之弧，则所余丙乙、甲丁相对之弧亦必相等矣。此二弧之度既俱相等，则所对之甲戊丁、丙戊乙二角之度亦必相等可知矣。其余甲戊丙、丁戊乙亦与甲戊丁、丙戊乙同理，故其所对之角度亦必相等也。第十七凡大小圜界俱定为三百六十度，而一度定为六十分，一分定为六十秒，一秒定为六十防，一防定为六十纤。夫圜界定为三百六十度者，取其数无竒零，便于布算，即徴之经传，亦皆符合也【易曰：凡三百有六十，当期之日；邵子曰：三百六十，中分之得一百八十，为二至二分相去之数】度下皆以六十起数者，以三百六十乃六六所成，以六十度之可得整数也。凡有度之圜界，可度角分之大小，如甲乙丙角欲求其度，则以有度之圜心置于乙角，察乙丙、乙甲之相离，可以容圜界之几度，如容九十度，即是甲乙丙直角【何以知为直角？因九十度为全圜三百六十度之四分之一，前言凡角得圜界四分之一者为直角，故知其为直角也】若过九十度者，为丁乙丙钝角；不足九十度者，为丙乙戊鋭角。观此三角之度，其余可类推矣。第十八凡二线之间，寛狭相离之分俱等，则此二线谓之平行线也。

第十九欲求平行线之间相距几何？则自上一线，不拘何处，至下一线，画二纵线。则此二线为相距度分也。如甲乙丙丁二线平行，自上线甲乙二处，至下线丙丁二处，画二纵线。则此二线为相等线，其度必等。然则甲乙丙丁相对之间，其相距之远近，不已见耶？

第二十平行二线虽引至于无穷，其端必不能相合。葢二线相离之度，各处逺近俱为相等，故也。如甲乙丙丁平行二线，随意引于戊己，又自戊至己画一纵线，其度亦等于甲丙乙丁二纵线，故曰平行线虽引至于无穷，其端终不能相合也。第二十一凡平行二线，或纵或斜，画一直线交加于上，则平行线上所成之二角必俱相等。如甲乙丙丁二平行线上，画一庚辛斜线，其甲乙线之庚戊乙角，丙丁线之戊己丁角，皆相等。假使庚戊乙角大于戊己丁角，则戊乙线必离于庚戊线而向丙丁线，甲乙丙丁二线不平行矣。若甲乙丙丁二线毫无偏斜，又得庚辛直线相交成二角，则此二角必然相等矣。第二十二凡平行二线上画一斜线，则成八角。此八角度有相等者，必是对角或内外角。如庚戊乙、甲戊己一角，其度相等，因其两尖相对，谓之对角。庚戊乙、戊己丁二角，其度亦相等，因其在平行二线之内外，故谓之内外角。甲戊己、戊己丁二角，其度亦相等，因其俱在平行二线之内，而立斜线之左右，故又谓之相对错角。又如甲戊庚、度戊乙二角，其度不等，因其立一线之界，谓之并角。庚戊甲、丁己辛二角，其度亦相等，因其俱在平行二线之外，故谓之外角。乙戊己、丙己戊二角，其度亦相等，因其又俱在平行二线之内，故又谓之内角。总之，二平行线上交以斜线，所成八角，必两两相等也。第二十三平行线上一边之二内角，或一边之二外角与二直角相等。如丁己戊角与丙己戊角为并角，则此二并角与二直角等。前第十四节云：凡一直线交于他直线，所成二角必与二直角相等。则此二角同出于一直线为并角，故亦与二直角等矣。又如甲戊庚、庚戊乙，虽为外角，而亦为并角，此二并角亦与二直角等也。他如甲戊己、乙戊己二并角，丙己辛、丁己辛二并角，亦与二直角等也。第二十四有平行二线，复与一线相平行者，此三线互相为平行线也。如甲乙丙丁二线之间，有戊己线与之平行，则甲乙丙丁戊己三线互相为平行线也。照前第二十一节，在此三线上画一庚辛壬斜线，则所成之庚辛二角必相等，而辛壬二角亦必等也。三线之与斜线相交所成之角既各相等，则三线互为平行，可知矣。

几何原本二第一凡各种界所成，俱谓之形。其直界所成者，为直界形；曲界所成者，为曲界形。凡直界所成各形，未有少于三角形界者，故三角形为诸形之首。

第二凡三角形，一角直者，为直角三角形；一角钝者，为钝角三角形；三角俱鋭者，为鋭角三角形。

第三凡三角形，其三边线度等者，为等边三角形；两边线度等者，为两等边三角形；三边线度俱不等者，为不等边三角形。第四凡三角形之三角度相并必与二直角度等。如甲乙丙三角形，自乙角与甲丙线平行画一乙丁线，则成丙乙丁角与丙角为二尖交错之二角，其度必相等【见首卷第二十二节】而甲角与甲乙丁角为甲丙乙丁二平行线内一边之二内角，与二直角等【见首卷第二十三节】今于甲乙丁直角内减丙乙丁角，所余为甲乙丙角。丙乙丁角既与丙角度等，则甲乙丙、丙乙丁合成之一直角，与甲角之一直角，非二直角之度耶？

第五凡三角形，自一界线引长成一外角，此外角度与三角形内所有之二鋭角等。如甲乙丙三角形，自甲乙线引长至丁，所成之丙乙丁角，即为外角，其度与三角形内甲丙二鋭角之度等。葢甲乙丙三角形之三角度并之，原与二直角等【如本卷第四节云】而甲丁直线与丙乙直线相交所成之甲乙丙、丁乙丙内外角，亦与二直角等【如首卷第十四节云】则此内外二角所并之度，与三形内三角所并之度，亦必相等。今于内外角所并之二直角内减去甲乙丙角，则所余之丙乙丁一外角度，与甲角丙角所并之度为相等，可知矣。

第六凡两三角形，其两边线之度相等，二线所合之角又等，则二形底线之度必等，二形之式亦等，其底线之二角亦皆等也。如甲乙丙一三角形，丁戊己一三角形，此二形之甲角丁角若等，甲丙、丁戊二线，甲乙、丁己二线又互相等，则乙丙、戊己之二底线必等，其二形之三角式亦必等，而乙角己角相等，丙角戊角亦相等。若将二形之甲角丁角相合，则甲丙、丁戊二线，甲乙、丁己二线各度必等，因其俱等，故丙乙线之二角与戊己线之二角俱恰相符而无偏侧矣。若谓乙丙底与戊己底不符，必是戊己线上斜于庚，或下斜于辛，不成直线形矣。第七两三角形，其三边线之度若等，则三角之度亦必相等，而此形内所函之分亦俱等也。如甲乙丙、丁戊己两三角形之甲乙线、丁戊线、甲丙线、丁己线、乙丙线、戊己线两两相等，则甲角与丁角、乙角与戊角、丙角与己角必各相等，而甲乙丙三界所函之分、丁戊己三界所函之分亦俱相等。葢因此两三角形之各线俱恰相符，故所函之分亦俱恰相符也。第八凡两三角形有一线相等，其相等线左右所生之二角又相等，则其他线他角俱相等，而二形之分亦相等也。如甲乙丙、丁戊己两三角形之甲乙线、丁戊线若等，而此二线左边所成之甲角、丁角，右边所成之乙角、戊角亦相等，则甲丙线度与丁己线度等，丙乙线度与己戊线度等，而丙角与己角亦等，甲丙乙形所函之分与丁己戊形所函之分自然相等矣。若将甲乙线与丁戊线相较，再将甲角与丁角、乙角与戊角相较，此二线二角之度必俱相符。此二线二角既俱相符，其他线他角亦必各相符矣。若谓一线不符，则相等之角亦必不符，必其一线斜出，或一线偏入，以致各角俱不相等，角既不相等，而形式亦必不同矣。

第九三角形之两边线若等，其底线之两角度亦必等。如甲乙丙三角形，其甲乙、丙乙两边线之度等，则其甲丙底线之甲角、丙角之度亦俱等也。若以甲丙底平分于丁处，自丁至乙角画一直线，遂成甲乙丁、丙乙丁两三角形。此两形之甲乙线与丙乙线既相等，而甲丙底线平分之甲丁、丙丁线度亦等，则乙丁为两三角形所共用之各一边线。然则此两三角形之各三边线度必俱相等，可知矣。三角形之三线既各相等，则其各角之度亦必相等。因其各角之度相等，故甲角、丙角之度亦必等也。

第十有两边相等之三角形，自上角至底线画一直线，将底线为两平分，则此线为上角之平分线，又为底线之垂线也。如甲乙丙，乙两边线度相等之甲乙丙三角形，自上角乙至底线丁画一直线，将甲丙底线为两平分，则为乙角之平分线，又为甲丙底线之垂线也。葢乙丁线将乙甲丙三角形平分为甲乙丁、丙乙丁两三角形，此两三角形之各界线度必各相等，而各角之度又俱相等，则甲乙丁角、丙乙丁角将乙角为两平分矣。而甲丁乙角、丙丁乙角又为相等之两直角，因其为两直角，故乙丁线为平分甲丙底线之垂线也。

第十一凡三角形内，长界所对之角必大，短界所对之角必小。如甲乙丙三角形之乙丙界长于甲丙界，故其相对之甲角大于乙角；而甲乙界短于甲丙界，故其所对之丙角小于乙角也。试依甲丙界度截乙丙于丁，复自甲至丁作甲丁线，即成甲丙丁两界相等之三角形。夫甲丙丁丙两界度既相等，则甲丁丙、丁甲丙两角亦相等。今甲丁丙角相等之丁甲丙角原自乙甲丙角所分，则乙甲丙角必大于甲丁丙角矣。然此甲丁丙角为甲乙丁小三角形之外角，与小三角形内之甲乙二角相并之度等【见本卷第五节】既与甲乙二角之度等，则大于乙角可知矣。夫甲丁丙角既大于乙角，则乙甲丙角必更大于乙角矣。丙角之小于乙角，其理亦同。

第十二凡三角形内必有二鋭角，葢三角形之三角并之与二直角等【见本卷第四节】如甲乙丙三角形之乙角为直角，则所余甲角丙角并之始与乙角相等，二角并之仅与一直角等，则此二角独较之必小于直角矣，故此甲丙二角为鋭角也。又如丁戊己三角形之戊角为钝角，则所余之丁角己角愈小于直角而为鋭角矣。第十三凡自一防至一横线画众线，而众线内有一垂线，必短于他线，而他线与垂线相离愈逺，则愈长也。如自甲防至乙丙线，画甲乙、甲丁、甲戊几线，此内甲乙为垂线，较之甲丁、甲戊线，则其度最短，而甲戊线与甲乙线相离，既远于甲丁，故更长于甲丁线也。葢甲乙为垂线，则乙角必为直角【见首卷第十节】而甲乙丁三角形内，丁角、甲角必俱为鋭角，而小于乙角矣。因乙角大于丁角，故此乙角相对之甲丁线，必长于丁角相对之甲乙线。又甲丁戊外角，原与甲乙丁、乙甲丁二内角相并之度等【见本卷第五节】则此甲丁戊一外角，必大于甲乙丁一内角矣。甲丁戊之外角既大于甲乙丁之内角，则甲丁戊角相对之甲戊线，必长于甲乙丁角相对之甲丁线可知矣。

第十四凡三角形，将二界线相并，必长于所余之一界线。如甲乙丙三角形，将甲乙、甲丙二界线并之，则长于所余之乙丙界线也。试以丙甲线引之至丁，作丁甲线与甲乙等，则丁丙线为甲丙、甲乙二界线之共度矣。复自丁至乙，作丁乙线，成乙甲丁两界相等之三角形，其丁乙甲角与丁角等【见本卷第九节】则丁乙丙角必大于丁角。夫丁乙丙角既大于丁角，则其所对之丁丙线必长于丁角相对之乙丙线，可知矣【见本卷第十一节】

几何原本三第一凡四边线函四角者，其形有五：四边线度等而角度亦等者，为正方形；四角直而两边线短，两边线长者，为长方形；四边线度等而角度不等者，为等边斜方形；两边线长，两边线短而角度又不等者，为两等边斜方形。以上四形，俱自平行线出。如四边线不等，亦不平行，而四角度又不等者，为不等边斜方形。第二凡四平行线所成方形，其所函之角成两对角，必两两相等。如甲乙丙丁平行线方形，其甲角，度丙角，度等，而乙角，度丁角，度亦等。若以丙丁线引长至戊，作一线，成一丁外角，与甲角为二尖交错之角，其度相等【见首卷第二十二节】而丁外角与丙角又为一边之内外角，其度亦等【见首卷第二十二节】夫甲丁二角既等，丁丙二角又等，则甲角与丙角必自相等，而丁乙两对角之相等，不言可知矣。

第三凡平行四边形，自一角至相对之角作一对角线，必平分四边形为两三角形。如甲丙乙丁四边形，作甲乙对角线，即成丙甲乙、丁甲乙两相等三角形。葢此四边形之丙丁二角为对角，其度必等【见本卷第二节】而对角线所分之丙甲乙、丁乙甲二角，丙乙甲、丁甲乙二角，俱为二尖交错之角，其度又两两相等【见首卷第二十二节】夫此两三角形原自一四边形而分，各角又俱相等，则其所函之分必等，而四边形平分为两平分无疑矣。

第四凡平行线所成方形，其两两平行线度俱相等。如甲丙乙丁四边形之丙甲线与乙丁线度等，丙乙线与甲丁线度等。此即如前节作一对角线，成两三角形，而两形之各角必俱相等，则丙甲、乙丁二线，丙乙、甲丁二线，俱为各相等角所对之线，其度亦必相等矣【见二卷第八节】第五平行线方形内，两对角线其相交处必平分二线之正中。如甲乙丙丁二线相交于戊，则所成甲戊、戊乙二线，丙戊、戊丁二线俱等。葢因丙戊、乙甲、戊丁两三角形之丙乙、甲丁二线为平行线，其度等【见本卷第四节】而丙乙、戊丁、甲戊二角，乙丙、戊甲、丁戊二角皆为平行线内相对之错角，其度俱等【见首卷第二十二节】夫丙乙、甲丁二线既等，各相对之错角又等，则丙乙、戊丁、甲戊二等角相对之戊丙、戊丁二线度，与甲丁、戊乙、丙戊二等角相对之戊甲、戊乙二线度必皆相等，可知矣【见二卷第八节】

第六凡平行线方形内，于对角线上或纵或横正中截开，即将此形为两平分。如甲丙乙丁之方形，其甲乙对角线上画一戊己线，于庚处截开，则平分甲丙乙丁方形为丙戊己乙一段，甲戊己丁一段。此二段内之戊甲庚、己乙庚两三角形之甲庚、乙庚二线相等，而戊甲庚、己乙庚之两角又为平行线内二尖交错之角，其度相等，而甲庚戊、乙庚己二尖相对之角，其度又等，则此两三角形度亦必相等。又如甲乙对角线将甲丙乙丁方形为两平分，则其甲丙乙、甲丁乙两三角形度必等。将此两相等之三角形以戊己线截开，于甲丙乙形内减甲戊庚，于甲丁乙形内减乙己庚，则所余之甲庚己丁、乙庚戊丙二形度必等。今所分各形既俱两两相等，则甲丙乙丁之方形为戊己线所截，自为两平分可知矣。

第七凡四边形，于对角线不拘何处复作相交二平行线，即成四四边形。设如甲丙乙丁四边形，于对角线之戊处复作一壬戊己、一辛戊庚相交之二平行线，即成甲戊戊乙丙戊戊丁四四边形。此四形中之甲戊戊乙二形，为对角线上所成之形；丙戊戊丁二形，为对角线旁所成之形。此对角线旁所成两形必俱相等，如丙壬戊庚、戊辛丁己两形之分是己。葢甲丙乙丁之全形，因甲乙对角线平分为两平分，所成之甲丙乙、甲丁乙两大三角形之分必等。其对角线上所成之一小方形，复为甲戊对角线平分为两平分，成甲庚戊、甲己戊两小三角形，此两小三角形之分亦必等。而对角线上所成之一大方形，又为戊乙对角线平分为两平分，成戊壬乙、戊辛乙两中三角形，此两中三角形之分亦必等。今将甲丙乙、甲丁乙两大三角形内减去甲庚戊、甲己戊之两相等小三角形，再减去戊壬乙、戊辛乙之两相等中三角形，所余对角线旁所成之丙壬戊庚、戊辛丁己两四边形，此两四边形自然相等矣。

第八凡两平行线内同底所成之四边形，其面积必等。如甲己乙辛两平行线内，于乙丙底作甲乙丙丁一长方四边形，戊乙丙己一斜方四邉形。此两形虽不同，而所容之分必相等。何也？试以两三角形考之：如甲乙戊一三角形，丁丙己一三角形。此两三角形之甲乙、丁丙二线等，甲戊、丁己二线亦等【甲丁、戊己二线俱与乙丙平行，而度分相等。若于甲丁、戊己二线各加一丁戊线，即成甲戊、丁己线，其度自然相等】而戊甲乙、己丁丙二角为甲乙、丁丙平行线一边之内外角，其度又等，则此两三角形自然相等可知矣。今于两三角形内各减去丁戊庚，则所余之甲乙庚、丁戊庚丙己二形之分必等。复于此二形内毎加一庚乙丙形，则成甲乙丙丁、戊乙丙己之两四边形，其面积必然相等也。

第九两平行线内，无论作几四边形，其底度若等，则面积必俱等。如甲乙丙丁二平行线内，作甲丙己戊、庚辛丁乙两平行线四边形，其丙己辛丁两底度相等，则其积亦等。试自丙己底至庚乙画二直线，即成一庚丙己乙斜四边形。此斜四边形既与甲丙己戊四边形同出于丙己之底，即同前节两形面积俱等矣。至于庚辛丁乙与庚丙己乙，又同出于庚乙之底，故此两形面积亦俱等。观此两两相等，则甲丙己戊、庚辛丁乙两形之面积相等，明矣。

第十凡两平行线内同底所成之各种三角形，其面积俱等。如甲乙丙丁两平行线内，于丙丁底作甲丙丁一三角形，己丙丁一三角形，此两三角形之面积必等。何也？自丁至戊作一直线，与甲丙平行；再自丁至乙作一直线，与己丙平行，即成甲丙丁戊、己丙丁乙两四边形。此二形既同出于丙丁底，其面积相等；而甲丙丁、己丙丁两三角形为平分两四边形之一半，其面积亦必相等矣。

第十一两平行线内，无论作几三角形，其底度若等，其面积亦俱等。如甲乙丙丁二平行线内，作甲丙戊、庚戊己两三角形，其丙戊、戊己两底度相等，故其面积亦等。今自戊至辛作一直线，与甲丙平行；又自己至乙作一直线，与庚戊平行，即同前节成面积相等之两四边形。而此甲丙戊、庚戊己两三角形，为面积相等两四邉形之各一半，则此两三角形之面积必等，可知矣。

第十二凡有几三角形，其底若俱在一直线，而各底相对之角又共遇于一处，则其众三角形必在二平行线之间。如甲乙丙、甲丙丁、甲丁戊、甲戊己四三角形，其乙丙、丙丁、丁戊、戊己各底俱在一庚辛直线上，而各底相对之角又皆遇于甲处，则此四三角形俱同在庚辛、壬癸二平行线之间矣。

第十三凡等边等角各形内，五边者为五角形，六边者为六角形，边愈多，角愈多者，俱随其边与角而名之焉。

第十四多边多角形，自角至心作线，凡有几界，即成几三角形。设如辛七边形，自心至邉七角作七线，即成七三角形。而此各三角形之分，俱相等也。

第十五欲知众边形各边角之度，将边数加一倍，得数减四，其所余之数即为各边角度也。如辛七邉形，以七边数加一倍，共为十四，十四内减四，所余之十即为十直角数，为此七边形之各边角之总度也。何也？假如辛形自心至七角作七线，成七三角形，凡三角形之三角与二直角等【见二卷第四节】则此七三角形之各三角度共与十四直角等，其七三角形之辛心所有之七角又与四直角等【见首卷第十五节】若将十四直角内减四直角，乃余十直角，则此十直角与众边形之各边角之总度相等，可知矣。

几何原本四第一凡有直线切于圜界而不与圜界相交者，谓之切线。如甲乙丙线切于丁圜乙界，其线虽自甲过乙至丙，而与圜界不出入相交，此甲乙丙线即为圜之切线也。又如一圜与一圜界相切而不相交，则谓之切圜。假如戊圜与己圜于庚界相切，二界总未相交，故又谓之切圜也。第二凡一直线横分圜之两界，谓之▯线。其所分圜界之一段，谓之弧。此弧与▯相交所成之二角，谓之弧分角。如甲丙线横分甲乙丙丁圜界，于甲丙，则甲丙线为▯。其所分之甲丁丙一段，甲乙丙一段，皆谓之弧。而甲丙▯与甲乙丙弧相交所成之甲丙乙、丙甲乙二角，即谓之弧分之角焉。

第三凡自一圜▯线之两头复作二直线相遇于圜界之一处，其所成之角谓之圜分内角，又谓之弧分相对之界角也。如甲乙丁丙圜之甲乙丙一段，自乙丙▯线之两头各作一直线于甲处相遇，其所成之乙甲丙角，即圜分内角。然此甲角与乙丁丙弧相对，故又为弧分相对之界角也。

第四凡一圜有二辐线截弧之一段所成之三角形，谓之分圜面形。如甲圜自甲心至圜界乙丙二处，作甲乙、甲丙二辐线，所成之甲丙乙三角形，即为分圜面形也。

第五凡自圜之辐线之末与圜界相切作一垂线，则此垂线与辐线之末在圜界仅一防相切，其他全在圜外。即如甲圜之甲乙辐线，于乙末作一丙乙垂线，则此丙乙垂线与甲乙辐线俱在圜界乙处之一防相切，而此垂线之丁等处俱在圜外也。若自圜之甲心至丁作一甲戊丁线，此线必长于甲乙辐线【如二卷第十三节云】因其长于辐线，必出于圜界之外。此甲戊丁线既出于圜界之外，则丙乙线全在圜外可知矣。

第六圜▯线上，自圜心作一垂线，则将▯线为两平分。如乙丙▯，自圜心甲至▯线丁作一垂线，必将乙丙▯为两平分成乙丁、丁丙二段。若自甲心至▯线乙丙二末作二辐线，成一甲乙丙三角形。此三角形之甲乙、甲丙二线为一圜之辐线，其度必等。此二辐线既等，则甲乙丙三角形内甲丁垂线所分之乙丁、丁丙二段亦必等矣。若将垂线引长至弧界戊，作线，则又将乙丙弧界为两平分矣。第七凡自圜外一处至圜界两边作二切线，此二线之度必等。如自圜外甲至圜界乙丙两边作甲乙、甲丙二切线，此二线之度相等。今于圜心丁至圜界乙丙二切线之末作二辐线，则此二辐线为甲乙、甲丙之垂线矣【如本卷第五节云】因其为垂线，则甲乙丁、甲丙丁之二角必同为直角【见首卷第十节】再自丙至乙作一▯线，即成丁乙丙、甲乙丙两三角形。丁乙丙三角形之丁乙、丁丙二线同为圜之辐线，其度必等。因其相等，故丁乙丙、丁丙乙二角亦必等。夫甲乙丁、甲丙丁二角原相等，此二角内减去丁乙丙、丁丙乙二角，则所余之甲乙丙、甲丙乙二角亦自相等。此二角既俱相等，则甲乙、甲丙二切线为等角傍之两界线，自然相等无疑矣。

第八凡圜内两▯线若等，其分圜弧面之积必等，自心至两▯所作垂线亦必等。如甲圜之丙乙、丁戊二▯之度若等，则所分丙己乙辛、丁庚戊壬二弧面积必等。自此圜之甲心至丙乙、丁戊二▯各作甲壬、甲辛垂线，其度亦必等。何也？如自甲心至丙乙、丁戊二▯之末各作辐线，即成甲丙乙、甲丁戊两三角形。此两三角形之各界线必两两相等，则此两三角形内相等线所对之角亦必相等【见二卷第七节】角既相等，则等角相对弧界之丙己乙、丁庚戊二段亦必相等【见首卷第十二节】丙己乙、丁庚戊二弧线既等，丙乙、丁戊二▯线又等，则丁庚戊壬之弧面积与丙己乙辛之弧面积自然相符矣。又甲辛、甲壬二垂线将丙乙、丁戊二▯为两平分，则丙辛、乙辛、丁壬、戊壬之四线亦俱等。三角形之各界线既两两相等，而三角形内各角又两两相等，则平分丙乙、丁戊二▯之甲辛、甲壬之度自然相等矣。

第九凡▯线之所属有三种，一为弧之切线，一为弧之割线，一为弧之▯线。欲取弧界各角之度，用此三线求之，必得也。如甲圜之甲乙辐线，于乙末作丙乙垂线。复自圜心甲至圜界戊割出，至丙乙垂线丁，分作甲丁线。又从圜界戊至甲乙辐线，作戊己垂线，则成三种线。此三线内，丁乙线为乙戊弧之切线，甲丁线为乙戊弧之割线，戊己线为乙戊弧之正▯。凡欲得各角弧界之度，必于此三种线取之。如欲取乙甲戊角相对弧度，则自与甲角相对乙戊弧之丁乙切线取之，或自乙戊弧之甲丁割线取之，或自乙戊弧之戊己正▯取之，皆得乙戊弧之度数焉。

第十一圜界内，任于圜界一段，至圜心作二线；至圜界作二线，即成二角。在圜心者为心角，在圜界者为界角。设如甲乙丁圜，自甲乙一段至丙心，作甲丙、乙丙二线；仍自甲乙至丁界，作甲丁、乙丁二线，成甲丙乙、甲丁乙二角。其甲丙乙角为心角，甲丁乙角为界角也。

第十一圜内之心角、界角同立圜界之一段，而各角之二线所成之式，又分为三种：有界角、心角同用一线者，有界角、心角不同用一线者，有界角二线跨心角二线者。总之，此三种心角皆大于界角一倍。如有三图：圜心之甲丙乙角，皆自圜界甲乙一段作甲丙、乙丙二线；圜界之甲丁乙角，亦自圜界甲乙一段作甲丁、乙丁二线。则第一圗之甲丁乙界角之乙丁线，同立于甲丙乙心角之乙丙线上，而甲丙乙心角为甲丙丁三角形之外角，与甲丁丙、丙甲丁二内角等【见二卷第五节】其甲丙、丙丁二线，又为一圜之辐线，其度亦等。此二线既等，则甲丁丙、丙甲丁二角亦必等【见二卷第九节】今甲丙乙之外角，既与甲丁丙、丙甲丁二内角等，则甲丙乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣。如第二图，甲丁乙界角之乙丁线，不同立于甲丙乙心角之乙丙线上，而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁、丁乙二直线之外。则自丁角过圜之丙心至对界，作一丁丙戊全径线，即成甲丙戊一大心角、乙丙戊一小心角、甲丁戊一大界角、乙丁戊一小界角。其甲丙戊大心角即如第一图，必倍于甲丁戊大界角，而乙丙戊小心角亦必倍于乙丁戊小界角。于甲丙戊大心角内减去乙丙戊小心角，甲丁戊大界角内减去乙丁戊小界角，则所余之甲丙乙心角必大于所余之甲丁乙界角一倍矣。如第三图，甲丁乙界角之二线正跨于甲丙乙心角二线之上，而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁、丁乙二直线之间。则自丁角过圜之丙心至对界，作丁丙戊全径线，即成甲丙戊、乙丙戊二心角，甲丁戊、乙丁戊二界角。此甲丙戊心角必倍于甲丁戊界角，乙丙戊心角亦必倍于乙丁戊界角。以甲丙戊、乙丙戊二心角并之，乃甲丙乙一心角；以甲丁戊、乙丁戊二界角并之，乃甲丁乙一界角，今所分之二心角，既各倍于所分之界角，则此所并之甲丙乙心角，必倍于所并之甲丁乙界角矣。

第十二凡自圜之弧线一段，任作相切界角几何，其度必俱相等。如甲乙丁丙之圜，自甲乙弧线一段至圜界丙丁，作相切之甲丙乙、乙丁甲二界角，此二角之度必俱相等。试自圜之戊心至圜界甲乙作二辐线，即成甲戊乙一心角。此甲戊乙之心角与甲丙乙、乙丁甲界角俱同一圜弧线之一段，则心角必倍于界角。然则甲丙乙、乙丁甲二界角既俱为甲戊乙心角之一半，则此二角之度必等，可知矣。

第十三凡圜内心角所对弧线之度比界角所对弧线之度少一半，则二角之度必等。如甲丙戊丁圜内，有甲乙丙一心角，甲丁戊一界角，而甲乙丙心角相对甲丙弧线之度，比甲丁戊界角相对甲戊弧线之度少一半，则甲乙丙心角之度必与甲丁戊界角之度相等。试自丁角过圜之乙心至对界作丁乙己全径线，复自乙心至戊界作乙戊半径线，即成甲乙己、己乙戊二心角，甲丁己、己丁戊二界角。其甲乙己心角必倍于甲丁己界角，而己乙戊心角亦必倍于己丁戊界角。今以甲乙己、己乙戊二心角相并，甲丁己、己丁戊二界角亦相并，则甲乙己、己乙戊二心角所并之度必倍于甲丁己、己丁戊二界角所并之度矣。是以甲丁戊一界角必得甲乙己、己乙戊二心角所并之一半。夫甲丙弧线既为甲戊弧线之一半，而甲乙丙角又为甲乙己、己乙戊二心角所并之一半，则甲乙丙心角度必与甲丁戊界角之度相等矣。第十四凡圜内界角立于圜界之半者必为直角。如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角，立于甲丁丙圜界之正一半，则此甲乙丙角必然为直角也。自甲丁丙之半圜于丁界为两平分，复自丁界至圜心戊作丁戊辐线，即成甲戊丁角。其相对之甲丁弧为圜界四分之一，既为圜界四分之一，则必为直角【如首卷第十节云】夫心角相对弧线若为界角相对弧线之一半，其二角之度相等矣【如本卷第十三节云】今甲戊丁心角相对之甲丁弧线，既为甲乙丙界角相对之甲丁丙弧线之一半，则甲戊丁心角度必与甲乙丙界角度相等。且甲丁弧线既为圜界四分之一，而甲丁丙弧线又为圜界之正一半，则甲戊丁心角为直角，而甲乙丙界角亦必为直角矣。

第十五凡圜内界角其所对之弧过于圜界之半者必为钝角。如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角，其相对之甲戊丙弧大于圜界之一半，故其相对之甲乙丙角为钝角也。试将甲戊丙弧平分于戊，为甲戊、戊丙两段。复自圜心丁至甲、戊作二辐线，即成甲丁戊一心角。其甲戊丙弧分既大于半圜，则此甲戊弧线一段亦大于圜之四分之一矣。故此甲戊弧线相对之甲丁戊心角必为钝角【见首卷第十一节】夫心角相对之弧线比界角相对之弧线少一半，则二角之度必相等【如本卷第十三节云】今甲丁戊心角相对之甲戊弧线正为甲乙丙界角相对甲戊丙弧线之一半，则甲乙丙界角自然与甲丁戊心角等矣。夫甲丁戊心角既为钝角，则甲乙丙界角亦必为钝角矣。

第十六凡圜内界角，其所对之弧不及圜界之半者，必为鋭角。如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角，其相对之甲戊丙弧小于圜界之一半，故其相对之甲乙丙角为鋭角也。试将甲戊丙弧平分于戊，为甲戊、戊丙两段。复自圜心丁至甲、戊作二辐线，即成甲丁戊一心角。此心角所对之甲戊弧线，既不足圜界四分之一，则此甲丁戊心角必为鋭角矣【见首卷第十一节】此甲丁戊心角所对之弧比之甲乙丙界角所对之弧为一半，则此二角之度必等。夫甲丁戊心角既为鋭角，则甲乙丙界角亦必为鋭角矣。

第十七凡函圜各界形之各线与圜界相切而不相交，则谓之函圜切界形。如甲乙丙三角形之甲乙、乙丙、丙甲三界线，俱在庚圜界之丁、己、戊三处相切而不相交，故谓之函圜切界三角形。又若甲乙丙丁四方形之甲乙、乙丙、丙丁、丁甲四界线，俱在戊圜界之己、庚、辛、壬四处相切而不相交，则谓之函圜切界四边形。观此二图，则知函圜各界形必大于所函圜界形之分矣。

第十八凡圜内直界形之各角止抵圜界而不割出，则谓之圜内所函各边形。如甲乙丙三角形之甲角、乙角、丙角俱与丁圜界相抵而不曾割出，即谓之圜内所函三角形。又如甲乙丙丁四方形之甲角、乙角、丙角、丁角俱与戊圜界相抵而不割出，则谓之圜内所函四边形。观此二图，则知函于圜界各界形必小于圜界形之分矣。

第十九凡等边众界形，或函圜，或函于圜，其界数愈多，愈与圜界相近。如甲圜形函乙丙丁等邉三角形，又函乙己丙庚丁戊等邉六角形。以三角形之三边比之六角形之六边，则六角形之六邉与圜界相近矣。设有十二角形之十二边比此六角形之六边，则十二角之十二边又与圜界为近。若有二十四角之二十四边，则又更近于十二角之十二边矣。葢函众界形之度必大于所函之众界形度【见本卷第十七十八两节】今甲圜既函等边六角形，自大于六角形，而此六角形又函等邉三角形，亦必大于三角形。由此推之，十二角函六角，二十四角函十二角，其边愈多者，其度愈大，故与圜界愈近也。又如复有一函圜等边四角形，内又作一函圜等边八角形。此四角形既函八角形，必大于八角形，可知矣。若于八角形内复作十六角形，十六角形内又作三十二角形，其所函形愈小，邉数愈多，则与所函之圜界度愈近矣。苟设一函于圜界之多邉形为几十万邉【设函于圜界之多邉形一自六邉起算，一自四邉起算】复设一函圜界之多邉形亦为几十万邉【设函圜界之多邉形亦一自六邉起算，一自四邉起算】使此函圜之多邉形自外与圜界相比，而函于圜界之多邉形自内与圜界相比，则此二多边形之每边直界线将与圜界曲线合而为一，故圜界曲线可得直线之度，而多邉形之直线亦可得为圜界度也。

第二十函圜切界等边形，其所函圜之辐线度与一直角三角形之小边之度等，而等邉形之众界共度又与三角形之大边之度等，则三角形之面积与等边形之面积等。如丙丁戊己庚等邉五角形，其所函甲圜之甲乙辐线与辛壬癸直角三角形之辛壬小邉线度等，而五角形之丙丁戊己庚五邉线共度又与三角形之壬癸大邉线度等，则此辛壬癸三角形面积必与丙丁戊己庚等邉五角形面积等也。何以见之？若自五边形之甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙、甲丁、甲戊、甲己、甲庚五线，即分成甲丙丁类五三角形。夫辛壬癸三角形之壬癸线度既与五角形之五邉共度等，今将壬癸线平分五分，以所分之每分为底，依前所分五三角形式作甲壬丙类五正式三角形。复自所分丙丁戊己四处俱至三角形之辛角作丙辛、丁辛、戊辛、己辛四线，遂分辛壬癸一三角形为辛壬丙类五斜式三角形。再自甲壬丙类五三角形之甲角至底各作一甲乙垂线，俱与圜之辐线等，则甲壬丙相等之五三角形之髙度亦自相等矣。于是复自辛壬癸三角形之辛角与五甲角相切作一辛子线，与壬癸为平行线，则此平行线内同底所成之各种三角形之面积必俱相等矣【见三卷第十节】葢辛壬丙、甲壬丙两三角形为同底；辛丙丁、甲丙丁两三角形为同底；辛丁戊、甲丁戊两三角形为同底；辛戊己、甲戊己两三角形为同底；辛己癸、甲己癸两三角形为同底，故其面积俱相等也。且辛壬丙三角形与甲壬丙三角形既俱相等，则辛壬丙之类五斜式三角形之面积即如甲壬丙之类五正式三角形之面积矣。其所分各形之面积俱等，则其全形之面积自然相等，此所以辛壬癸直角三角形之面积与丙丁戊己庚等邉五角形之面积相等也。

第二十一圜界内函等边众界形，其圜心至众界所作中垂线，与一直角三角形之小邉之度等，而等边众界形之众界共度，又与直角三角形之大边之度等，则此三角形之面积，与等边众界形之面积等。如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角形，其圜之甲心至众界所作甲辛垂线，与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等，而六角形之乙丙丁戊己庚六邉线共度，又与三角形之癸子大邉线度等，则此壬子癸三角形面积，必与乙丙丁戊己庚等邉六角形面积等也。若依前节法将六邉形分为六三角形，复以三角形之癸子界照六邉形度分为六分，又照六边形所分六三角形作六正式三角形，复自壬子癸三角形之壬角至乙丙丁戊己五处作五斜线，成六斜式三角形。此两式三角形同底，又同在二平行线内，则其面积必两两相等。此两式六三角形之垂线，既与壬癸子直角三角形之壬癸小邉线度等，而两式六三角形之底线共度，又与壬子癸直角三角形之癸子大邉线度等，则壬癸子直角三角形之面积，必与乙丙丁戊己庚等邉六角形之面积相等矣。第二十二凡圜形之辐线与一直角三角形之小边线度等，而圜之周界与三角形之大邉线度等，则此直角三角形之面积与圜形之面积相等。如有一甲圜形，其甲乙辐线与丙丁戊直角三角形之丙丁小邉线度等，而甲圜形之乙周界又与丙丁戊三角形之丁戊大邉线度等，则此丙丁戊三角形之面积即与甲圜形之面积相等也。何以见之？甲圜之辐线与三角形之小邉等者，即如等邉众界形之中垂线与三角形之小邉等也。甲圜之周界与三角形之大邉等者，即如等邉众界形之各界共度与三角形之大邉等也。若夫函圜众界形相等之三角形，其小边虽与圜之辐线等，其大邉则长于圜之周线，故其积分亦大于圜之积分；而函于圜众界形相等之三角形，其小邉既短于圜之辐线，而大边亦短于圜之周线，故其积分亦小于圜之积分。今此甲圜形相等之丙丁戊三角形，其小边既与圜之辐线等，面三角形之大邉又与圜之周线等，则其积分与圜形之积分相等无疑矣。然圜周界曲线也，等邉众界形之界度直线也，观之似难于相通者。如以圜之内外各设多邉众界形，分为千万邉【如本卷第十九节云】则逼圜界最近将合而为一。乃依所分之段为千万正式三角形，此千万正式三角形之中垂线亦将与圜之辐线合而为一，而千万邉共界度既与圜周合而为一，则圜周之曲线亦变而为直线矣。夫千万邉正式三角形之中垂线既成圜之辐线，则与丙丁戊三角形之小边等；而千万邉正式三角形之底界共度又成圜之周度，则又与丙丁戊三角形之大边度等矣。复自丙丁戊三角形之丙角至千万正式三角形之底界各作千万斜式三角形，以比正式三角形，因其防同其分自相等，故千万斜式三角形之共积比之千万正式三角形之共积，千万正式三角形之共积，比之丙丁戊一直角三角形之面积，丙丁戊直角三角形之面积，比之甲圜形之面积，俱相等也。

第二十三有一圜形，又一众界形。此圜界度若与彼众界总度等，则圜形之面积必大于众界形之面积也。如甲乙丙丁圜形之周界与戊己庚辛等边四角形之四邉总度等，则圜形之面积必大于等邉四角形之面积矣。前言凡圜形之辐线与一直角三角形之小邉线度等，而圜之周界与三角形之大邉线度等，则三角形之面积与圜形之面积相等矣。今试以甲乙丙丁圜形周界为三角形之大邉，以甲乙丙丁圜形之甲壬辐线为三角形之小邉，作一子丑寅直角三角形。则三角形之丑寅大邉线度亦与戊己庚辛四角形之四邉总度等，而三角形之子丑小邉线度虽与圜形甲壬辐线等，却比四角形之自壬心至癸邉所作垂线为长。若将三角形之子丑小邉线照四角形之壬癸垂线度截开，则分子丑线于卯，复自卯至寅作一斜▯，即成卯丑寅一直角三角形。而此卯丑寅三角形之分与戊己庚辛四角形相等也。此卯丑寅三角形自子丑寅三角形分之，则卯丑寅形必小于子丑寅形。今甲乙丙丁圜形之面积既与子丑寅三角形之面积等，而戊己庚辛四角形之面积又与卯丑寅三角形之面积等，则戊己庚辛四角形之面积必小于甲乙丙丁圜形之面积可知矣。观此凡界度相等之形，圜界所函之分比众界所函之分必大，而众界所函之分与圜界所函之分同者，则众界之总度复比圜界度大也。

防何原本五第一平面之上所立直线，无少偏倚，其各边所生之角，必俱直，则谓之平面上所立垂线也。如甲乙之平面，正立一丙丁线，不偏不倚，此即为平面上所立之垂线矣。

第二凡两平面相对，其所立众垂线度俱各相等，则此相对之平面谓之平行面也。如甲乙丙丁二平面间所有戊己众垂线之度俱相等，此甲乙丙丁二平面即为平行面矣。

第三平面上复立一平面，无少偏倚，其两边所成之角必皆为直角，则谓之平面上所立直面也。如甲乙平面上所立之丙丁平面，无偏无倚，两边亦俱成直角，此即为平面上所立之直面矣。

第四凡各面相合，其每面之角所合处复成一种体，角则谓之厚角。夫厚角必自三面合之乃成，其面多者为各瓣相并所成之厚角也。如甲图，四面为四瓣相并所生之厚角；乙图，五面为五瓣相并所生之厚角。是己。

第五凡各面相并所成之厚角，如将各面计之，则其众角所合之分必不足于四直角度也。如甲图五面合成之厚角，若将其五面展开使平，作乙、丙、丁、戊、己平面之五瓣，复以甲为心作一甲圜，其乙、丙、丁、戊、己之五瓣相离处，不能满甲圜之周界矣。因其不满于圜之周界，故比四直角为不足也。或以四直角分，强欲作一厚角，则其瓣过于大，必不能成平面所合之厚角矣。

第六凡等边三面所合厚角，其三面内之两面角倂之，必大于一直角度也。如甲丙乙丁之等邉三面所合之甲厚角，将乙甲丙、丙甲丁二面倂之，必大于一直角度矣。依前节法，将甲厚角展开使平，虽不足四直角之度，而乙甲丙、丙甲丁之二而并之，则较之一直角度为大焉。何以见之？夫三面展开，其所离之虚分，仍有三面之分。以三面之实分合三面之虚分，则为六角之全形。此六角之全形得四直角度矣。六角而得四直角，则三角必得二直角。三角既得二直角，则二角相倂必大于一直角，可知矣。

第七凡平面二线交处作一垂线，正立而无偏倚。此线任在平面各处，俱为垂线。如甲乙丙丁平面上，甲丙、丁乙二线相交己处，作一戊己垂线，正立而不偏倚。则此戊己线，任在甲乙丙丁平面上某一处，俱为垂线也。假使戊己垂线不能正立而有所偏倚，则如壬己线近于辛而离于庚矣。壬己线既近于辛而离于庚，则偏向于丁丙而逺于甲乙。而壬己丁、壬己丙之二角为鋭角，壬己甲、壬己乙之二角为钝角矣。戊己既如壬己，则不得谓之甲丙、丁乙二线相交处正立之垂线矣。

第八众线交处，立一垂线。其各角若俱直，此所交各线必在一平面也。如甲丙乙丁庚辛之三线相交处，立一戊己垂线。其与众线相接各角若俱直，则此相交之三线必在一平面也。夫众线之相交，固在平面；而垂线之所立，正所以考面。或一角不直，则不得谓之平面矣。

第九平面上若立二垂线，必互为平行线。如甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂线，则此二线互为平行线也。试自辛过己至壬作一辛壬线，则戊己庚辛二垂线所立之分，必正其在甲乙丙丁平面上任指何处所生之角，俱是直角【见本卷首节】故戊己壬、庚辛己二角俱为直角而相等也。且此二角又为二线与一线相交所成之内外角，其度既等，则戊己庚辛二线必为平行线矣【如首卷第二十一节】第十有二线与一垂线平行，虽不在平面之一界，此三线亦互相为平行线也。如甲乙丙丁二线俱与戊己一垂线平行，不立于一直线上，虽不居平面之一界，此三线亦必互为平行线也。试于甲乙丙丁戊己三线之末作一庚辛平面，此平面上之戊己线为垂线，其四围平面所生之各角俱是直角矣。复自乙过己，自丁过己作相交二线，则成甲乙己戊己壬二角，丙丁己戊己癸二角。此各二角俱为平行线一邉之内外角俱为相等角矣【见首卷第二十一节】而甲乙己丙丁己二角亦俱为直角。夫甲乙丙丁二线在庚辛平面上所生之角皆直，又皆与戊己垂线所生之角等，则甲乙丙丁二线亦皆得为垂线，其与戊己线为互相平行之三线可知矣。

第十一相对二平面之间横一直线，此线在二平面上所生角，若俱直，则此相对二面互相为平行面也。如甲辛乙庚丙癸丁壬二平面之间横一戊己直线，此戊己线末所抵处，其四围俱成直角，则此二平面互相为平行面矣。试将此二平面之戊己横线所抵之处作甲乙庚辛相交二线，丙丁壬癸相交二线，则戊己横线于二平面各界所生之角俱为直角。如甲乙丙丁二线与戊己横线相抵所生之甲戊己、戊己癸二尖交错之角相等，故甲乙丙丁相当之二线为平行矣。又如辛戊己、戊己丙二尖交错之角亦相等，故庚辛壬癸相当二线亦为平行矣。相对二平面之上所有之相当各二线既俱同为平行线，则相对之二平面自然互为平行面矣。

第十二有二平行面横交一面，其相交处所生二线必平行。如甲乙丙丁平行二面上横交一戊己平面，其庚辛壬癸之相交处所生二线亦俱平行也。何以言之？庚辛壬癸平面相交处所生二缝，既在甲乙丙丁二平面之上，自然与甲乙丙丁二面之甲丑子乙、丙卯寅丁之各线同为平行线，且又在戊己一平面内，其分自然相对。故此二平面与一平面相交之缝线亦得为平行也。

第十三凡各种面内所积之实为体，而皆因其面以名之焉。如全体不成角度，止现圆之圆面，则谓之圆体，甲乙图是也。全体各面俱平，各边相等，所成各角又等，则谓之平面正方体，丙丁图是也。全体各面虽平，体长而面成两式，其相对各面仍两两相等，相对各边则又平行，角又相等，此谓之平行长方体，戊己图是也。体有曲平两面相杂而不成等边等面，则谓之底平半圆体，庚辛图是也。全体相对之各面不平行，上下两面平行，则谓之上下面平行体，壬癸图是也。体圆而上下面俱平，则谓之长圆体，子图是也。底为平面，其各面俱合于一角而成厚角，则谓之尖瓣体，底三角者谓之三瓣尖体，底四角者谓之四瓣尖体，底众角者谓之众瓣尖体，如丑寅卯三图是也。又或底面圆而渐鋭成形，则谓之尖圆体，辰图是也。

第十四凡圆体、长圆体、尖圆体俱生于圜面，故其外皮面积亦生于圜界一旋转之度分耳。如取甲乙丙丁之圆形，则以甲乙径线为枢心，将甲丙乙半圆作转式旋转，复还于原处，即成甲丙乙丁一圆形体。如取甲乙戊己平行面之长圆形，则以甲乙中线为枢心，将丙丁线界作转式旋转，复还于原处，即成甲乙戊己一长圆体。如取甲丙丁平底尖圆形，则以甲乙中线为枢心，将甲丁邉线作转式旋转，复还于原处，即成甲乙丙丁一尖圆体矣。

第十五凡各体形，其各面平行相当，则相对两边面积俱相等。如甲乙丙丁之正方体，其甲戊庚丁、甲己戊丙、甲丙乙丁六面，俱各平行，故相对二面之积，自两两相等也。

第十六凡体面式不一，而积等者，为积数相等之体；面式既同，而体积又等者，爲面式体积全等之体。如甲乙二体，为积数相等之体也；丙丁二体，为面式体积全等之体也。

第十七凡平行面之长方体，自一面之对角线平分为两三棱体，此两三棱体必爲面式体积全等之体矣。如甲乙平行面长方体，自丙丁二角至相对戊己二角分为两段，成戊丙乙丁己甲两三棱体，为面式体积全等体也。试以甲丙庚戊辛丁乙己两平面形，自戊丙丁己两对角线均分为两三角形面，则所分之戊庚丙、己乙丁、丙甲戊、丁辛己四三角形面积俱相等，而丙乙甲己、甲丁戊乙各面又互为平行，必两两相等。再对角线分成之丙丁己戊、戊己丁丙二面原在一界，所分必各相等。今所分二形之各面既各相等，则其积必等，而为面式体积全等体无疑矣。

第十八凡平行二平面之间，若同底立各平行体，其积必相等。设甲乙丙丁平行二平面之间，于戊己庚辛底立壬庚癸己二平行体，其积俱相等。何也？葢因壬戊己子丑寅平面三角形之壬戊己子面，与卯辛庚辰癸午平面三角形之卯辛庚辰面平行；而壬戊己子丑寅平面三角形之丑戊己寅面，与卯辛庚辰癸午平面三角形之癸辛庚午面平行。故其各面之度相等。其壬子辰卯之面，与丑寅午癸一面俱与戊己庚辛一面平行，其度亦必相等。此二面之度既等，则壬子寅丑卯辰午癸二面之度亦必俱等。其上下各面度既等，而平面两三角形之各面各邉度又俱等，则此壬庚癸己二平行体之积必然相等也。可知矣。第十九凡平行平面之间，所有立于等积底之各平行体，其积必俱相等。设如甲乙丙丁平行二平面之间，有戊己庚辛、壬癸子丑二等积之底，立一寅庚正靣平行体，一卯子斜面平行体。此二体之积，必相等。试自寅庚正面平行体之戊己庚辛底，至卯子斜面平行体之卯辰午未面，复作一卯庚斜面平行体。则寅庚、卯庚二体立于戊己庚辛之一底，其积相等矣【如前节所云】而卯子、卯庚二体又同立于卯辰午未之面，其积亦必相等。是以寅庚正面平行体、卯子斜面平行体，俱与卯庚平行体相等。故云：凡平行平面之间，所有立于等积底之各平行体，其积必俱相等也。

第二十平行平面之间有立于等积三角底之各三面体，其积必俱等。如甲乙丙丁平行二平面之间，有子庚丑寅癸卯等积三角底，立戊庚己辛癸壬之两三面体，此二体积必相等。何以见之？若以此二体之上边二面之戊辰、辰己二界平行，作戊未、己未二线；辛午、壬午二界平行，作辛申、壬申二线；又于此二体之下边二面之子庚庚丑二界平行作子酉酉。丑二线，寅癸，癸夘二界平行，作寅戌戌。卯二线，则二体所生。酉子庚，丑戌寅癸。卯四边平行，二底俱在子丑寅卯二对。角线其度相等【见三卷第三节】其分比三角面。各大，一倍矣。复于所作，二底边酉戌二。处作酉未一纵线，戌申一纵线，即成未。庚申，癸平行面，二方体矣。其酉子庚丑。戌寅、癸卯二底既俱相等，则所生之未。庚申癸平行面之二方体亦自相等【见本卷第十九节】此未庚申癸平行面二方体既各相等，则戊、庚、己、辛、癸、壬之三面体为。未庚申癸，二方体之正一半，其积必等。

无疑矣第二十一凡各种体形，难以图显。葢以图止一面。故也，必用木石制之，始能相肖。况此各种形体，又或有外实而内空者，必按其形以求其理，始可发明其精蕴矣。第二十二凡各面所成体形内，其各面俱平行，或上下面为平行而立于等积之底，其体之髙又等，则其体之积亦相等。如甲乙体，其各面俱平行；又如丙丁体，其上下面平行，立于等积之底，其髙又等。或又如戊己体，其上下面平行，圆面积又等，髙又等，则其两两体积必相等矣。又如庚辛壬癸之类尖体形，苟立于等积之底，其体之髙若等，则其体之积亦相等。何以见之？若将众尖体分为平行底之众小体，其所分众小体之底度、髙度必俱相等。如子丑图，其所分小体之积俱等，故其全体之积亦相等也。

第二十三凡上下面平行各体与平底尖体同底同髙者，不论平面圆面，其平底尖体皆得上下面平行体三分之一。如甲乙上下面平行之长方体，与丙丁四瓣尖体，其乙丁两底积等，甲乙丙丁两髙度又等，则甲乙长方体与丙丁尖体三形等。如戊己上下面平行之三棱体，与庚辛三瓣尖体，其己辛两厎积等，戊己庚辛两髙度又等，则戊己三棱体与庚辛尖体三形等。又如壬癸上下面平行之长圆体，与子丑尖圆体，其癸丑两底积等，壬癸子丑两高度又等，则壬癸长圆体与子丑尖圆体三形等。又如壬癸长圆体与甲乙戊己类体同底同髙，则壬癸长圆体亦与丙丁庚辛类尖体三倍所合之数等。又或子丑尖圆体与丙丁庚辛类尖体同底同髙，则子丑尖圆体三倍之乃与甲乙一体戊己一体等也。夫同底同髙上下面平行体既俱爲尖体之三倍，则尖体为上下面平行体三分之一可知矣【葢甲乙戊己壬癸各体，其式虽不同，苟底积高度相等，其积必等；而丙丁庚辛子丑各体，式虽不同，苟底积高度相等，其积亦必等。故知丙丁庚辛子丑平底尖体互爲甲乙戊己壬癸上下面平行各体三分之一也。如将上下面平行各体以木石为之，分作同底同髙之各平底尖体，用权衡以较其分量，则各体之积分自昭然可见矣】

第二十四凡长圆体外周面积与长方体底面积相等，而长圆体半径又与长方体高度相等，则长圆体积必得长方体积之半也。如甲乙丙丁长圆体，其周围外面积与戊己长方体之庚己底面积等，而长圆体之壬丁半径又与长方体之戊庚髙度等，则此甲乙丙丁长圆体积必得戊己长方体积之一半也。试将甲乙丙丁长圆体从壬癸中线至周围外面分爲千万分，则成子丑己类千万长尖体。此千万长尖体之髙与长圆体之壬子半径等，而千万长尖体之共底即长圆体之周围外面积，则此千万长尖体必爲戊己长方体之一半矣。葢寅己辛三角面爲午己长方面之一半【见三卷第三节】而此子丑己类众三角面与寅己辛三角面等【见四卷第二十节】子丑己类众三角面既与寅己辛三角面等，则子丑己类众长尖体亦必与卯辰庚辛己寅三角体等。此卯辰庚辛己寅三角体固爲戊己长方体之一半，今长圆体所分之众长尖体既与卯辰庚辛己寅三角体等，则亦必爲戊己长方体之一半。故甲乙丙丁长圆体爲戊己长方体之一半也。第二十五凡球体外面积与尖圆体之底积等，而球体之半径与尖圆体之高度等，则此球体之积与尖圆体之积等也。如甲乙丙丁球体之外面积与己庚辛尖圆体之庚子辛癸底积等，球体之甲戊半径与尖圆体之己壬高度等，则此球体之积爲与尖圆体之积等也。试将球体从中心分爲千万尖体，复将尖圆体亦分爲千万尖体，则球体所分尖体毎一分必皆与尖圆体所分尖体一分等。何也？葢球体所分尖体皆以球体之外面爲底，而以球体之甲戊半径爲高；其尖圆体所分尖体皆以尖圆体之底爲底，而以尖圆体之己壬高爲高。夫尖圆体之底积原与球体之外面积等，而尖圆体之高度又与球体甲戊半径等，故此两种千万尖体皆爲同底同高，其积相等无疑矣【见本卷第十八节】然此两种千万尖体即球体、尖圆体之所分，其所分之体既等，则原体亦必相等可知，故曰球体与尖圆体俱相等也。

第二十六凡各形外皮面积相等之体，惟圆体所函之积数大于他种各体所函之积。如甲乙丙丁外皮面积相等，各形内甲圆体所函之积必大于乙丙丁直界体所函之积也。何也？大凡圆形，其半圆周一旋转间即成圆体。此戊己庚半圆周一次旋转即成甲圆体【见本卷第十四节】又凡平面圆界所函之积必大于等邉各形所函之积【见四卷第二十三节】平面圆界所函犹大于各等邉所函之积，则圆体所函必大于各直界体所函之积，可知矣。

第二十七厚角所成等面体形有五种，各以面数而名之。其一爲四面体，每面有三角，各三角之各三界度俱等，如甲图是也。二爲六面体，毎面俱爲正方，其方面之四角俱爲直角，而各界互等，故又爲正方体，如乙图是也。三爲八面体，毎面有三角，各三角之各三界度俱等，如丙图是也。四爲十二面体，每面有五角，各五角之五界度俱等，如丁图是也。五爲二十面体，每面有三角，各三角之各三界度俱等，如戊图是也。

第二十八前节发明五种厚角所成等面体形之外，不能复生他形。葢此五种厚角体，俱是等边三角、四角、五角之平面相合所成也。凡平面自三界以下不能成面【见二卷首节】而厚角自三面以下亦不能成角，故厚角自三面始。如甲四面体，其四厚角皆三平面三角形所合而成也。乙八面体，其六厚角皆四平面三角形所合而成也。丙二十面体，其十二厚角皆五平面三角形所合而成也。然平面三角形所合过于五形，则不能成厚角。故平面六三角形合于一处，即成庚形。其甲乙丙丁戊己六角相合，与四直角等【见首卷第十五节】既与四直角等，则爲平面，不成厚角矣【如本卷第五节】六形相合尚不能成厚角，况多形乎？是故平面三角形所生厚角体，仅得四面、八面、二十面三种而已。若夫平面正方四角形所成厚角，如丁六面正方体，其八厚角皆三平面四角形所合而成。此外更无他形。若将四平面四角形合于一处，即成辛形。其甲乙丙丁四角既俱爲直角，必不能成厚角矣。故四角形所生厚角，仅有一六面正方体而已。至于平面五角形所成厚角，如戊十二面体，其二十厚角皆三平面五角形所合而成。此外更无他形也。或将四平面五角形，如癸子丑寅之四角合于壬，此四角俱爲钝角，必大于四直角。既大于四直角，在平面尚不能相合，厚角岂能成耶？是以平面五角形所成之厚角，仅有一十二面体而已。或将平面六角形之三形合于一处，爲癸，其甲。乙丙三角度与四直角等，故不成厚角。六角平面相合，既不成厚角，其七角八。角等形愈不能成厚角矣，故曰四面六。面八面十二面二十面五种体只在三角、四角、五角三种平面形所生，此外不。

能复成他形也御制数理精蕴上编卷二<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书