九章録要卷六

九章録要卷六

松江屠文漪撰少广法古九章四曰：少广，以御积、幂、方、员。开平方法。平方开除，先列实，视实有几位【凡实之大数，从千起者四位，从万起者五位，葢实尾虽止于十而无以下小数，亦存一虚位；止于百而无以下小数，亦存两虚位，一定不可易也】即知须几开而尽【凡经再开者，开得平方大数从十起；三开者百，四开者千；或实尾一开虚拟而未经开者，即开得数终于十而无以下小数也】率实两位而一开，逆从实尾向左数之【尾在右也】至实首则一位亦一开也。其开之法有三，曰方，曰亷，曰隅【方法亦谓之商，意中商量而定之也；隅即次商，三商而又自有隅法】初开视实首位以起方法，实首一位开者【一位之实多不过九】取三及以下数自乗；两位开者【两位之实少不下十一】取三及以上数自乗。所取以自乗之数，初商也。列实首之左【亦有不列于左而即借实首位列之者，説详于后】自乗所得数用以减实，是为初开余实。须再开则用亷法。亷法者，倍前方法以之除实，得次商，相随列初商之右，即以次商为隅法，自乗得数用减实讫【于亷法下一位减之，观后假例自明】是为再开。自三开以后俱仿此。【或问亷隅之义曰：初开已成平方形矣。再开欲增广其前方，则不必四边俱加，而但于两边各加一亷。其长如前方之数，亷有二，故倍之也。此未及亷之广以除实，得次商。次商乃亷之广数，而所加二亷其长各如前方之数，则二亷相防之一角犹缺一小平方，其四边皆与亷之广等，故又以次商为隅法而自乗以足之也】假如实一万五千一百二十九，列甲乙丙丁戊五位，此须三度开而实。首只甲一位开也，甲数一则取一为初商，列甲之左，而以一自乗，仍得一，即于甲位去一，此初开也。再开，倍前方一得二【前方是一百，倍之为二百，而此且勿论也，但谓之一，谓之二可耳】为亷法，以二除乙之五【乙丙两位为再开之位，而亷法当于乙位除，隅法当于丙位除也】则于乙减四，存一，于甲空位列二为次商，而以隅二自乗得四，于丙位减之，则去乙之一，加丙一为七，此再开也。三开，倍前方一十二得二十四【前方一下复有二，则且谓之一十二矣，不计其为一百二十也，虽更多亦然】为亷法，先以二除丙之七【丁戊两位为三开之位，则亷法当于丁位除，而亷法有二十四，即二当于丙位除四，乃于丁位除也】则于丙减六，存一，于乙空位列三为三商，次以四与三相乗得一十二，于丙丁两位减之【亷之四当于丁位除，而与商乗得一十二，即一又当于丙位除矣，隅法亦然】则并去丙之一，丁之二，又以隅三自乗得九，于戊位减之，适尽，得方一百二十三。

又如实四十五万九千六百八十四列甲乙丙丁戊己六位此亦须三度开而实首乃甲乙两位开也甲乙数四十五【甲四乙五并而计之则曰四十五而不必问其为四十五万也】且取六为初商列甲之左而以六自乗得三十六于甲乙两位减之则去甲之四加乙五为九此初开也再开倍六得一十二为亷法先以一除乙之九则于乙减七存二于甲空位列七为次商【不用　者以八开之则实不足也】次以二与七相乗得一十四于乙丙两位减之则减乙二为一丙九为五又以隅七自乗得四十九于丙丁两位减之则去丙之五加丁六为七此再开也三开倍六十七得一百三十四为亷法先以一除乙之一【戊己两位为三开之位则亷法之一当于丙位除而乙位当列三商矣今乙位有实则亦以除丙之法除之葢乙丙同除犹实首之两位并开也除同而所以除不同假使乙位空而丙位有一则以亷一除丙当去丙之一而列一于乙为三商今以除乙之一则为见一无除改作九而下添一也三商在乙位自不可易耳】则改乙一为九加丙空为一而其下实不足除即又减乙九为八为三商而加丙一为二【乙之一丙之十也试列十于丙而以亷一除之与此同则除乙犹之除丙耳】次以三与八相乗得二十四于丙丁两位减之则去丙之二减丁七为三次以四与八相乗得三十二于丁戊两位减之则去丁之三减戊八为六又以隅八自乗得六十四于戊己两位减之适尽得方六百七十八又如实六百七十六，列甲乙丙三位，此只须两度开，而实首系甲一位开也。甲数六，且取二为初商，列甲左，而以二自乗得四，即于甲减四，存二，此初开也。再开，倍二得四为亷法，以四除甲之二，则改甲二为五，又以四除乙之七，则于乙减四，存三，于甲加一为六，为次商【此甲乙同除，如前第二例，第三开之乙丙同除也。前例只是以亷一除丙之十，此例只是以亷四除乙之二十七，合观二例，其义益明】乃以隅六自乗得三十六，减乙丙实并尽，得方二十六。开方得数审空位例，假如实六十五万四千四百八十一，列甲乙丙丁戊己六位，此须三度开，而实首系甲乙两位开也。甲乙数六十五，且取八为初商，列甲左，而以八自乗得六十四，于甲乙两位减之，则去甲之六，减乙五为一，此初开也。再开，倍八得一十六为亷法，先以一除乙之一，而其下实不足除，知再开值空位矣【丙丁为再开之位，则亷之六当于丙位除，一当于乙位除，而除得次商当在甲位，今若去乙之一而列一于甲为次商，即丙位无六可除，此当为见一无除，改作九而下添一，然则商乃在乙位，而甲位空矣，可知无次商，宜便接三开也】三开，倍八十得一百六十【前方八下有空位，则谓之八十也，若更有空位亦递进之】为亷法，仍先以一除乙之一【戊己为三开之位，则亷法当于戊位除，而亷法有一百六十，即六当于丁位除，一当于丙位除，今乙位有实，又须以除丙之法除之，葢除乙犹之除丙，其説已详前二例矣三商自当在乙位也】则改乙一为九为三商，而加丙四为五，次以六与九相乗得五十四，于丙丁两位减之，则并去丙之五，丁之四，又以隅九自乗得八十一，于戊己两位减之，适尽，得方八百零九。

开方初商列位法，凡初商列于实首位之左者，为多而不尽然也。须知实首两位开，而初商数不满五者，必当借实首甲位列之，何也？实首甲一位开，则乙丙为次开之位，而乙属亷，丙属隅也。亷法于乙位除，即除得次商，当在甲位，而初商不得不列甲之左矣。实首两位开，则丙丁为次开之位，而丙属亷，丁属隅也。亷法于丙位除，而初商系五倍之为十，遇十进位，乃当于乙位除，即除得次商，亦当在甲位，而初商不得不列甲之左矣【五以上更不必言】若实首既以两位开，而初商系四倍之为八，只当于丙位除，然则除得次商当在乙位，而初商当列甲位，又何疑乎【四以下更不必言】且如实二千四百零一，列甲乙丙丁四位，当取四为初商，而减甲乙实一十六，则先去甲之二，加乙四为八，乃以初商四列甲位，再开倍四得八为亷法，以除乙之八，则改乙八为九为次商，加丙空为八，而以隅九自乗得八十一，减丙丁实并尽，得方四十九。倘以初商四列甲左，竟似四百零九，其误甚矣。葢开得商数中间应有空位与否，信手布算，即自然而见，本不烦拟议也。但审定初商位置，则无空者不致误而成空，而以后俱任其自然之数可耳。又按右例，若以初商列甲，左次以亷八除乙之八，或去乙之八，列一于甲为次商，而以隅一自乗减丁之一，亦尽，乃得方四十一，岂非误之尤甚者乎？葢丙丁为次开之位，而亷法止有八，则当于丙位除，除得次商当在乙位，虽乙位有实，而以除丙之法除乙，然次商毕竟仍在乙位，断无进到甲位之理，不辨于此，且致大误，故详论之。而初商若便列在甲位，亦自无此弊矣。开方余实，命分法。开方余实仅及所开方数一倍以下，则命分。命分者，倍方加一数以命之【倍方者，亷法；加一数者，隅法】假如实五十五，开得方七，而余实六，即倍七又加一数得一十五以为母，而以六为子，命之曰一十五分之六，并整为七零一十五分之六也。开方求零分密法。开方余实欲除令尽，即所得方数必带零分。而若以所命之分为方数，试以自乗见积，颇朒于原实，则法犹疎也。且如实二十，开得方四，而余实四，依命分法为九之四，并整为四又九之四。乃化整俱为零，曰九之四十。母子各自乗以见方积，母得八十一【此原实一之方积也，葢一实而纵横俱分为九，则其中应有方积八十一矣】子得一千六百【此总方积也】以母积除子积归整，得实一十九又八十一之六十一，则朒于原实八十一之二十。当更有法以开之，其法倍九之四十【倍之为亷法也】为九之八十，以除朒八十一之二十，得七百二十之二十，约为三十六之一，与前方九之四十相并，得三百二十四之一千四百四十九，约为三十六之一百六十一。

以母除子归整，得方四又三十六之一十七，仍化整俱为零，母子各自乗以见方积，母得一千二百九十六，子得二万五千九百二十一。以母积除子积归整，得实二十又一千二百九十六之一，虽盈于原实一千二百九十六之一，然比之朒于原实八十一之二十，则其法已密矣。

又法如实二十开得方四而余实四但倍方为分母不复加隅而以余实为子曰八之四约为二之一并整为四又二之一乃化整俱为零曰二之九母子各自乗以见方积母得四子得八十一以母积除子积归整得实二十又四之一则盈于原实四之一亦更有法以开之其法倍二之九为一之九【本欲倍其子而半其母则子自倍矣不须更用约法】以除盈四之一得三十六之一与前方二之九相减【此与前法正同而盈朒并减有辨葢前方朒于原实则以亷法除所朒之数而与之相并前方盈于原实则以亷法除所盈之数而与之相减也】得七十二之三百二十二约为三十六之一百六十一以下各数并与前法同【按二法所得数其归正同葢偶同耳他处则往往小异也】右二法开方自乗得积，并盈于原实一千二百九十六之一，必欲除尽，依法再开之。以四又三十六之一十七复化为三十六之一百六十一，倍之为一十八之一百六十一，以除盈一千二百九十六之一，得一万一千五百九十二之一，与前方三十六之一百六十一相减，得四十一万七千三百一十二之一百八十六万六千二百七十六，约为一万一千五百九十二之五万一千八百四十一。以母除子归整，得方四又一万一千五百九十二之五千四百七十三。仍化整俱为零，母子各自乗以见方积，母得一亿三千四百三十七万四千四百六十四，子得二十六亿八千七百四十八万九千二百八十一。以母积除子积归整，得实二十又一亿三千四百三十七万四千四百六十四之一。此则盈于原实为数甚微矣，欲除尽，依法再开。又法，开方不尽，实则增开数以求之。凡增一开者，化实之一为百，而开得方数当十而一；增二开者，化实之一为万，而开得方数当百而一。假如实二十四，化为二千四百，开之得四十九，是为一十之四十九，以母除子，归整得方四又一十之九，仍化整俱为零，自乗以见方积，得一百之二千四百零一，以母积除子积，归整得实二十四又一百之一，乃盈于原实一百之一也。或增二开、三开者，仿此。零分开方法。原实系整数而开之，带零分者，前法已详矣。若原实先系零分而欲开方者，法以母自开得数为母，子自开得数为子，其大端也。如实九之四，开得方三之二，是已。更有开得数复成零分，乃须分别算之。如实九之二十，母开得三，子开得四，又九之四化为九之四十【此只依命分之数，聊示其法耳，未及密率也】此当用整除零分法，以三乗九为母，以四十为子，得方二十七之四十也。如实二十之九，母开得九之四十，子开得三，此当用零分除整法，以四十为母，以九乗三为子，得方四十之二十七也。又如实七之二十，母开得二又五之三，化为五之一十三，子开得九之四十，此当用零分除零分法，以一十三乗九为母，以五乗四十为子，得方一百一十七之二百也。葢原实之母本法也，原实之子则实也，故右三例用法分别如此。前零分篇中，于开方法未详，兹乃尽其变云。长方以积与长广较求长广，法以四乗积，并较，实开方得长广和，和较相并，半之得长，相减，半之得广。长方以积与长广和求长广，法以四乗积减和实开方得长广较。按四乗积者，以四长方两纵两横列四隅，合为大平方，则四边各兼长广之数，而中央不满者，正较自乗之小平方，故知和实中有四积一较实也【二法亦见句股章，彼以八乗积者，句股之积半长方积也】右二法可该下文纵方七法，而七法更不可不讲者，葢变化无穷之用出焉，固非右二法所能及矣。具详于左。带纵并方亷开平方法，长方以积与较求广者，其长之积多于广，当加法以带除。其长积名带纵，并方亷开平方，依常列实定开位，以较为带纵，初开稍朒其商，以带纵并之为方法【常法以方与商为一，此以方与商为二】乃以乗商减实，再开倍前商，亦以带纵并之为亷法，以除实得次商，其隅法如常。假如长方积八百六十四，列甲乙丙三位，其长广较一十二，求广者，初商得二，列甲左，而以纵并商得三十二【须知初商之二是二十，故并纵得三十二也，凡商与纵并者，以十随十，以百随百，并之，相减亦然】为方法，乃以方法乗商，以三乗二得六【此处只作二与三，且勿论其为二十与三十可也】于甲位减之【依常法商二自乗当于甲位减，今与方法三相乗亦同也】则减甲八为二，次以二乗二得四，于乙位减之【六于甲位减，则四当于乙位减，故初开而减及次开之亷位也】则减乙六为二，此初开也。再开，倍前商二得四，并纵得五十二【倍商是四十也倍商不倍纵】为亷法，先以五除甲之二【倍商之四当于乙位除，因带纵首之一而成五，亦同除得次商当在甲位，今甲位有实，故以除乙之法除甲，而次商仍在甲位，非因五十而进一位也，此五只作五，若倍商四纵首六并成一十，乃当进一位耳】则改甲二为四，为次商，次以二乗四得八，于丙位减之【五于乙位除，则二当于丙位除，故亷法而减及隅位也】则减乙二为一，加丙四为六，又以隅四自乗得一十六，减乙丙两位实尽，得广二十四【并较得长三十六】

又如实二十三万零四百列甲乙丙丁戊己六位【戊己为虚位】带纵七百二十初商得二【若商三则并纵首之七为一十又与商乗得三十而实首只二十三不足除故用二】列甲左【不列甲位者带纵故也】而以纵并商得九百二十为方法乃以方法乗商以九乗二得一十八于甲乙两位减之则去甲之二加乙三为五次以二乗二得四于丙位减之则减乙五为四加丙空为六此初开也再开倍前商二得四并纵得一千一百二十为亷法先以一除乙之四【倍商之四当于丙位除因并纵首之七而成一十一则此一当进而于乙位除除得次商当在甲位矣初商不列甲位正为此也】则去乙之四于甲空位列四为次商次以一乗四得四于丙位减之则减丙六为二次以二乗四得八于丁位减之则减丙二为一加丁四为六又以隅四自乗得一十六减丙丁实并尽得广二百四十【并较得长九百六十】又如实一万九千四百四十列甲乙丙丁戊五位带纵七十二初商得一列甲左而以纵并商得一百七十二为方法乃以方法乗商以一乗一仍得一于甲位减之则去甲之一次七仍得七于乙位减之则减乙九为二次二仍得二于丙位减之则减丙四为二此初开也再开倍前商一得二并纵得二百七十二为亷法先以二除乙之二而其下实不足除知再开值空位矣【倍商之二当于乙位除除得次商当在甲位今若去乙之二而列一于甲为次商即丙丁两位无七与二可除当为见二无除改作九而下添二然则商乃在乙位矣既退一位知是三商非次商也】三开倍前商一十得二十【此一与二皆百也谓之十者依常法】并纵得二百七十二为亷法仍先以二除乙之二【倍商之二十当于丙位除乙位有实，故以除丙之法除乙也】则改乙二为九，加丙二为四，而其下实又不足除，即又减乙九为八，为三商，而加丙四为六，次以七乗八，得五十六，于丙丁两位减之，则去丙之六，加丁四为八，次以二乗八，得一十六，于丁戊两位减之，则减丁八为六，加戊空为四，又以隅八自乗，得六十四，减丁戊实并尽，得广一百零八【并较得长一百八十】又如，实一万六千一百二十八，列甲乙丙丁戊五位，带纵七十二。此当减一开，而实首取三位并开之【若初商一则，并纵得一百七十二，而乙丙两位无七与二可除也】初商得九【此当借列实首甲位】而以纵并商得一百六十二为方法。乃以方法乗商，以一乗九得九，于乙位减之【初商之九当于丙位减，因并纵首之七而成一十六，则此一当进而于乙位减】则去甲之一，加乙六为七。次以六乗九得五十四，于乙丙两位减之，则减乙七为一，加丙一为七。次以二乗九得一十八，于丙丁两位减之，则减丙七为五，加丁二为四。此初开也。再开，倍前商九得一十八，并纵得二百五十二为亷法。

先以二除乙之一【倍商之一十八当于丙丁两位减，并纵首七而成二十五，其位亦同。今乙位有实，故以除丙之法除乙也】则改乙一为五。又以二除丙之五，则于丙减二，存三，于乙加一为六，为次商。次以五乗六得三十，于丙位减之，则去丙之三。次以二乗六得一十二，于丁戊两位减之，则减丁四为三，戊八为六。又以隅六自乗得三十六，减丁戊实并尽。得广九十六【并较得长一百六十八】又如，实一十六万六千四百六十四，列甲乙丙丁戊己六位，带纵一千零八十八。初商得一【初商是百，而纵乃至千，故只可用一】列甲左，而以纵并商得一千一百八十八为方法。乃以方法乗商，以一乗一，仍得一，于甲位减之【方一百之一，当于乙位减，此是纵首一千之一，故进一位】则去甲之一次，一仍得一，于乙位减之，则减乙六为五，次八仍得八，于丙位减之，则减乙五为四，加丙六为八，次八仍得八，于丁位减之，则减丙八为七，加丁四为六，此初开也。再开，倍前商一得二，并纵得一千二百八十八为亷法。先以一除乙之四【倍商之二，当于丙位减，此是纵首之一，故进一位也，下三开仿此】则于乙减三存一，于甲空位列三为次商。次以二乗三得六，于丙位减之，则减丙七为一。次以八乗三得二十四，于丙丁两位减之，则去乙之一，加丙一为九，减丁六为二。次以八乗三得二十四，于丁戊两位减之，则去丁之二，减戊六为二。又以隅三自乗得九，于丁位减之，则减丙九为八，加丁空为一，此再开也。三开，倍前商一十三得二十六，并纵得一千三百四十八为亷法。先以一除丙之八，则于丙减六存二，于乙空位列六为三商。次以三乗六得一十八，于丙丁两位减之，则去丙之二，加丁一为三。次以四乗六得二十四，于丁戊两位减之，则去丁之三，加戊二为八。次以八乗六得四十八，于戊己两位减之，则减戊八为三，加己四为六。又以隅六自乗得三十六，减戊己实并尽，得广一百三十六【并较得长一千二百二十四】带纵减积开平方法。长方积较求广，或于实内减长积以就其方，名带纵减积开平方。列实定位，以较为带纵初开，亦稍朒其商。先以带纵乗商减实，乃以商自乗减实，再开倍前商为亷法，约计当得次商若干。亦先以带纵乗商减实，乃以亷法除实，合次商。其隅法如常。假如长方积八百六十四，列甲乙丙三位，较一十二。初商得二，列甲左，而先以纵乗商，以一乗二得二，于甲位减之【此纵之一商之二皆十也，依常法商二自乗于甲位减，今以纵一乗商二亦同，葢凡十与十百与百相乗皆于本位减，必相乗又得十乃进一位，若商系十而乗纵之百则当进一位，商系百而乗纵之十则当退一位，次商三商其理不殊，各以所商应除之位为本位而进退之也，负纵益积仿此】则减甲八为六，次以二乗二得四，于乙位减之，则减乙六为二，乃以商二自乗得四，于甲位减之，则又减甲六为二，此初开也。

再开倍前商二得四为亷法，约计次商当得四【约计减积之余尚有商亷相乗及隅自乗之数也】亦先以纵乗商，以一乗四得四，于乙位减之【次商即再开之隅，隅本位在丙，然隅四只是四数，而所与乗之纵一则是一十，故进一位也，若以比初开所除之位则为退一位，至三开即比再开又退一位矣】则减甲二为一，加乙二为八，次以二乗四得八，于丙位减之，则减乙八为七，加丙四为六，乃以亷四除甲之一，则改甲一为二，加乙七为九，又以四除乙之九，则于乙减八存一，于甲加二为四，为次商，又以隅四自乗得一十六，减乙丙实并尽，得广二十四。又如，实一万九千四百四十，列甲、乙、丙、丁、戊五位，带纵七十二。初商得一，列甲左，而先以纵乗商，以七乗一，仍得七，于乙位减之，则减乙九为二次二。仍得二，于丙位减之，则减丙四为二。乃以商一自乗得一，于甲位减之，则去甲之一。此初开也。再开，倍前商一得二，为亷法。约计次商不足除，知再开值空位【乙位实二，试拟一为次商，而以纵首之七相乗，当比初开退一位，于丙位减之，则丙实只有二，必减及于乙，而亷已不足除，未暇论其他矣，故知再开值空位也】三开，倍前商一十得二十，为亷法。约计三商当得八，亦先以纵乗商，以七乗八得五十六，于丙、丁两位减之，则减乙二为一，加丙二为六，丁四为八。次以二乗八得一十六，于丁、戊两位减之，则减丁八为六，加戊空为四。乃以亷二除乙之一，则改乙一为五，又以二除丙之六，则去丙之六，于乙加三为八，为三商。又以隅八自乗得六十四，减丁、戊实并尽，得广一百零八。按积较求广，虽有二法，只如一法耳。前法并纵于方亷以除实，此法分纵与方亷先后减实，异而不异也。分作两度减，固不如并作一度除之便，然必备识诸法，而后可以尽其变化之用，不容废云。负纵减方亷开平方法。长方以积与较求长者，其广之积少于长，当损其法之长，名负纵减方亷开平方。列实定开位，以较为负纵初开，稍盈其商，以负纵减之为方法。乃以乗商减实，再开倍前商，亦以负纵减之为亷法，以除实得次商，其隅法如常。假如长方积八百六十四，列甲乙丙三位，较一十二，求长者。初商得三，列甲左，而以负纵减商得一十八为方法。乃以方法乗商，以一乗三得三，于甲位减之，则减甲八为五。次以八乗三得二十四，于甲乙两位减之，则减甲五为三，乙六为二。此初开也。再开倍前商三得六，减负纵得四十八为亷法。先以四除甲之三，则改甲三为七，于乙加二为四，而其下实不足除，即又于甲减一存六为次商，而于乙加四为八。次以八乗六得四十八，于乙丙两位减之，则减乙八为三，加丙四为六。

又以隅六自乗得三十六，减乙丙实并尽，得长三十六【减较得广二十四】又如，实一万九千四百四十，列甲乙丙丁戊五位，负纵七十二。初商得一，列甲左，而以负纵减商，得二十八为方法。乃以方法乗商，以二乗一，仍得二，于乙位减之【商系百而乗方之十，故退一位也】则减乙九为七，次八仍得八，于丙位减之，则减乙七为六，加丙四为六。此初开也。再开倍前商一得二，减负纵得一百二十八为亷法。先以一除甲之一，则改甲一为九，于乙加一为七，而其下实不足除，即又于甲减一，存八为次商，而于乙加一为八。次以二乗八得一十六，于乙丙两位减之，则减乙八为七，去丙之六。次以八乗八得六十四，于丙丁两位减之，则减乙七为六，加丙空为四，去丁之四。又以隅八自乗得六十四，减乙丙实并尽得长一百八十【减较得广一百零八】负纵益积，开平方法，长方积较，求长或益积，以补广，而就其方，名负纵益积。开平方，列实定位，以较为负纵，初开亦稍盈其商。先以负纵乗商，益实，乃以商自乗减实，再开，倍前商为亷法，约计当得次商若干。亦先以负纵乗商，益实，乃以亷法除实，合次商，其隅法如常。假如长方积八百六十四，列甲乙丙三位，较一十二，初商得三【此当列甲左第二位，因有益积故也，初开毕不妨从甲左第二位移入甲左，凡纵方诸例，其商位每不可拘，善算者自了然于心手之间耳】而先以负纵乗商，以一乗三得三，于甲位加之，则于甲左空位列一，而减甲八为一，次以二乗三得六，于乙位加之，则加甲一为二，减乙六为二，乃以商三自乗得九，于甲位减之，则去甲左之一，加甲二为三，此初开也。再开，倍前商三得六为亷法，约计次商当得六，亦先以负纵乗商，以一乗六得六，于乙位加之，则加乙二为八，次以二乗六得一十二，于乙丙两位加之，则加乙八为九，丙四为六，乃以亷六除甲之三，则改甲三为五，又以六除乙之九，则于乙减六存三，于甲加一为六，为次商，又以隅六自乗得三十六，减乙丙实并尽，得长三十六。又如实一十六万六千四百六十四，列甲乙丙丁戊己六位，负纵一千零八十八，此当增一开【负纵至千而依实位，初商只是百数，无是理也】初商得一，列甲左第二位，而先以负纵乗商，以一乗一仍得一，于甲左空位加之【甲左空位是商千应除之本位也，商千乗纵千当于本位加】则列一于甲左，次八仍得八，于乙位加之，则加甲一为二，减乙六为四，次八仍得八，于丙位加之，则加乙四为五，减丙六为四，乃以商一自乗得一，于甲左空位减之，则去甲左之一，此初开也。再开，倍前商一得二为亷法，约计次商当得二，亦先以负纵乗商，以一乗二得二，于甲位加之，则加甲二为四，次以八乗二得一十六，于乙丙两位加之，则加乙五为七，去丙之四，次以八乗二得一十六，于丙丁两位加之，则加丙空为二，去丁之四，乃以亷二除甲之四，则去甲之四，于甲左空位列二为次商，又以隅二自乗得四于乙位减之，则减乙七为三，此再开也。

三开倍前商一十二，得二十四为亷法，约计三商当得二，亦先以负纵乗商，以一乗二得二，于乙位加之，则加乙三为五。次以八乗二得一十六，于丙丁两位加之，则加丙二为三，丁空为六。次以八乗二得一十六，于丁戊两位加之，则加丁六为八，减戊六为二。乃以亷二除乙之五，则于乙减四存一，于甲空位列二为三商。次以四乗二得八，于丙位减之，则去乙之一，加丙三为五。又以隅二自乗得四，于丁位减之，则减丁八为四，此三开也。四开倍前商一百二十二，得二百四十四为亷法，约计四商当得四，亦先以负纵乗商，以一乗四得四，于丙位加之，则加丙五为九。次以八乗四得三十二，于丁戊两位加之，则加丁四为七，戊二为四。次以八乗四得三十二，于戊己两位加之，则加戊四为七，己四为六。乃以亷二除丙之九，则于丙减八存一，于乙空位列四为四商。次以四乗四得一十六，于丙丁两位减之，则去丙之一，减丁七为一。次以四乗四得一十六，于丁戊两位减之，则去丁之一，减戊七为一。又以隅四自乗得一十六，减戊己实并尽，得长一千二百二十四。按积较求长二法不同，论负纵以并方亷为便，而使负纵多初商少，乃宜用益积也。别拟取防之术，凡负纵减商而商不足，则以所负商数为负方【亦可称余负纵也】以负方乗商益积，即初开毕矣。自再开以后，减亷固无碍耳。带纵负隅益积开平方，法长方以积与和求广者，用和为带纵【此与用较为带纵又别，用较为带纵者，以纵并方亷而乗商减实用和为带纵者，直以纵乗商减实耳。然且患纵多积少，而须益积及减纵二法矣】则已兼长广，而积有长广相乗，无广自乗，故置负隅法以益积，而以带纵开之，名带纵负隅益积开平方。列实定开位，以和为带纵，别置一算为负隅，初开稍朒其商，以乗负隅【一为负隅，则可不必置算，亦不必乗，而必言置算言乗者，此法施之他处，即负隅或不止于一也，观后各例自见】为方法，先以方法乗商益实，乃以带纵乗商减实，再开倍前商以乗负隅为亷法，约计当得次商若干，以乗负隅为隅法，先以亷法乗商益实，又以隅法乗商【隅乗商云者，因有负隅之乗，故又分隅与商为二也，然负隅若止于一则直云商自乗或隅自乗亦可耳】益实，乃以带纵除实合次商。假如长方积八百六十四，列甲乙丙三位，其长广和六十，求广者，初商得二【此当列甲左第二位】而以乗负隅，仍得二为方法，先以方二乗商二，得四，于甲位加之，则于甲左空位列一，而减甲八为二，乃以纵六乗商二，得一十二，于甲左及甲两位减之，则去甲左之一，甲之二，此初开也。再开，倍前商二得四，以乗负隅，仍得四为亷法，约计次商当得四，以乗负隅，仍得四为隅法，先以亷四乗商四，得一十六，于甲乙两位加之，则加甲空为二，减乙六为二，又以隅四乗商四，得一十六，于乙丙两位加之，则加乙二为四，去丙之四，乃以纵六除甲之二【以纵除与以亷除其位同，此纵之六与亷之四皆十也，以十随十当于亷本位乙位除之，除得次商当在甲位，今甲位有实则甲乙同除也至此宜将初商仍移入甲左矣】则改甲二为三，于乙加二为六，又以六除乙之六，则去乙之六，于甲加一为四，为次商得广二十四。

带纵负隅，减纵开平方。法：长方积和求广，或减负隅于纵，而以余纵开之，名带纵负隅减纵开平方。列实定位，以和为带纵，别置一算为负隅。初开，亦稍朒其商，以乗负隅为方法，以方法减纵。乃以余纵乗商减实，再开，倍前商，以乗负隅为亷法，约计当得次商若干，以乗负隅为隅法。以亷法减纵，又以隅法减纵，乃以余纵除实，合次商。假如长方积八百六十四，列甲乙丙三位和六十。初商得二，列甲左，而以乗负隅，仍得二为方法。以方法减纵，余四十。乃以纵四乗商二，得八，于甲位减之，则去甲之八，此初开也。再开，倍前商二得四，以乗负隅，仍得四为亷法。约计次商当得四，以乗负隅，仍得四为隅法。以亷法减纵，余二十；又以隅法减纵，余一十六。乃以纵一除乙之六，则于乙减四，存二，于甲空位。列四为次商，次以六乗四，得二十四，减乙丙实并尽，得广二十四。又如，实一十六万六千四百六十四，列甲乙丙丁戊己六位，带纵一千三百六十。初商得一，列甲左，而以乗负隅，仍得一为方法。以方法减纵，余一千二百六十。乃以纵乗商，以一乗一，仍得一，于甲位减之，则去甲之一次，二仍得二，于乙位减之，则减乙六为四。次六仍得六，于丙位减之，则去丙之六。此初开也。再开，倍前商一得二，以乗负隅，仍得二为亷法。约计次商当得三，以乗负隅，仍得三为隅法。以亷法减纵，余一千一百六十。又以隅法减纵，余一千一百三十。乃以纵一除乙之四，则于乙减三，存一，于甲空位列三为次商。次以一乗三得三，于丙位减之，则去乙之一，加丙空为七。次以三乗三得九，于丁位减之，则减丙七为六，加丁四为五。此再开也。三开，倍前商一十三得二十六，以乗负隅，仍得二十六为亷法。约计三商当得六，以乗负隅，仍得六为隅法。以亷法减纵，余一千一百。又以隅法减纵，余一千零九十四。乃以纵一除丙之六，则去丙之六，于乙空位列六为三商。次以九乗六得五十四，于丁戊两位减之，则去丁之五，减戊六为二。又以四乗六得二十四，减戊己实并尽。得广一百三十六。按积和求广二法，以减纵法为优。葢初开以后，欲约得续商之数，比益积为差易。但先以亷减纵，而以余纵求之。如第一例，余实六十四，且作四与十六相乗之数，而余纵二十析之，亦得四与十六两数，即四为次商，为隅法，以再减余纵得一十六，而以纵除实正得次商矣。如第二例，直以亷减余之纵，约余实得次商。三商虽得商后，须再以隅减纵，而纵多商少，隅减之余与亷减之余当不至大相悬也。然此特谓积和求广之本法，止以一为负隅者。若施之他处，负隅不止于一，则因续商有负隅之乗，理当小异，不得仅如右二説。

且开除往往遇负积更须参用下文翻法耳。带纵负隅减纵翻法开平方法。长方以积与和求长者，积有长广相乗，无长自乗法，当损广以益长，故以和为带纵，别置一算为负隅。初开稍盈其商，以乗负隅为方法，以方法减纵，以余纵乗商减积，而积常不足，则翻，以所负积数为积，再开。倍前商以乗负隅为亷法，以亷法减纵，而纵又常不足，亦翻，以所负纵数为纵。既隅积纵三者俱负，乃以负纵除负积得次商，又以次商乗负隅为隅法，以乗商减负积，名带纵负隅减纵翻法开平方。假如长方积三千四百五十六，列甲乙丙丁四位，和一百二十，求长者初商得七【此虽列甲左，而除得次商乃在乙位，则又当借列甲位也】而以乗负隅，仍得七为方法，以方法减纵，余五十，乃以纵五乗商七，得三十五，于甲乙两位减之，而积不足四十四，则去甲之三，乙之四，丙之五，丁之六，而列四于丙，列四于丁为负积，此初开也。再开，倍前商七得一十四，以乗负隅，仍得一十四为亷法，以亷法减纵，而纵不足二十，即以负纵二除丙之四，则去丙之四于乙空位列二为次商，又以次商乗负隅，仍得二为隅法，以乗商二得四，减丁位负积适尽，得长七十二。

又如实一十六万六千四百六十四列甲乙丙丁戊己六位带纵一千三百六十此当增一开初商得一【若初商九百或八百商愈少则负积且愈多故知当为一千也】列甲左第二位而以乗负隅仍得一为方法以方法减纵余三百六十乃以纵乗商以三乗一仍得三于甲位减之【商千之位在甲左商千乗纵百则退一位故当于甲位减】以六乗一仍得六于乙位减之而积不足一十九万三千五百三十六则去甲之一乙之六丙之六丁之四戊之六己之四而列一于甲列九于乙列三于丙列五于丁列三于戊列六于己为负积此初开也再开倍前商一得二以乗负隅仍得二为廉法以亷法减纵而纵不足六百四十即以负纵六除甲之一【倍商之二是千也依常法当于甲位除除得次商当在甲左此负纵之六是百也则当于乙位除而甲位有负积故甲乙同除除得次商乃在甲位葢非次商应列之位特因负纵数朒故耳】则于乙加四为十三又以六除乙之十三则于乙减六存七于甲加一为二为次商【此当于再开毕后移列甲左葢三开则负纵亦盈至千与常法倍商数等矣】次以四乗二得八于丙位减之则减乙七为六加丙三为五又以次商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四于乙位减之则减乙六为二此再开也三开倍前商一十二得二十四以乗负隅仍得二十四为亷法以亷法减纵而纵不足一千零四十即以负纵一除乙之二则去乙之二于甲空位列二为三商次以四乗二得八于丁位减之则减丙五为四加丁五为七又以三商乗负隅仍得二为隅法以乗商二得四于丁位减之则减丁七为三此三开也四开倍前商一百二十二得二百四十四以乗负隅仍得二百四十四为亷法以亷法减纵而纵不足，一千零八十，即以负纵一除丙之四，则去丙之四于乙空位列四为四商。次以八乗四，得三十二，于丁戊两位减之，则去丁之三，减戊三为一。又以四商乗负隅，仍得四为隅法，以乗商四，得一十六，减戊己负积，并尽，得长一千二百二十四。按积和求广，初开后必有余积【若遇负积，即初商是长非广也，此亦指一为负隅者而言】求长则初开常负积，其大凡也。若求长用益积法，则初开所负之积不妨于再开所益积内减之【再开所负于三开所益减】但欲约次商，患其茫然无绪可寻，故只仿减纵法，葢减纵则纵常不足，因即以负纵除负积而得商，此翻法所以为良也。其间更有变例不可不知者，别详于左。一求长而初开后乃有余积，此其初商必与求广相同者也。既有余积，则以亷减纵，亦必有余纵【若积余纵负，乃是商数过盈，非所求之长，当改商就朒】且如实一万九千四百四十，和二百八十八，初商得一百【求广求长同】而余积六百四十，再开以亷减纵，余八十八，约余积为八与八十相乗之数，而余纵析之亦得八与八十两数，此若求广，即再开为空位，以八为三商，以再减余纵得八十，而以除积正得三商为广一百零八。

若求长，即以八十为次商，以再减余纵得八，而以除积正得次商为长一百八十。葢只用减纵法而广长皆得，可不须翻法也。又如实二万零九百四十四，和二百九十，初商得一百，而余积一千九百四十四，再开以亷减纵，余九十，约余积一千九百【其下小数且置不算也】为四十与五十相乗之数，则朒为三十与六十相乗之数，则盈，而余纵析之亦得四十与五十两数及三十与六十两数。此若求广，则取盈数【宜有余积也】以三十为次商【广不合有一百六十故不用六】以再减余纵得六十，而以除积一千八百得次商，仍余积一百四十四，三开以亷减纵，余三十，约余积为六与二十四相乗之数，而余纵析之亦得六与二十四两数，即以六为三商，以再减余纵得二十四，而以除积正得三商为广一百三十六。若求长，则取朒数【宜负积也】以五十为次商【长不合止一百四十故不用四】以再减余纵得四十，而以除积二千合次商积负五十六，三开以亷减纵，纵负一十，以负纵除负积四十得四为三商，而以隅四自乗得一十六，减负积尽为长一百五十四。葢始终用减纵法以得广，始于减纵终于翻法以得长，非可执一云【右一条及下四条所举假例皆以一为负隅故例中不言负隅。之乗取省文便览也。又自此以下，凡积纵商亷诸数百则，曰百千则，曰千，而不复着甲乙之位。非前后互异，正取参观以相发明耳】一负积当以负纵除而以亷减纵适尽者约负积得次商，以乗负隅为隅法，以乗商减负积【既无负纵则独用隅法减负积也，或以负隅除负积，以常法平方开之亦可】如实八百六十四，初商三十而负积三十六，再开以亷减纵适尽，即约负积得次商六为隅法，自乗得三十六，减负积尽为长三十六。又如实九千三百七十五，和二百，初商一百而负积六百二十五，再开以亷减纵适尽，即约负积得次商二十为隅法，自乗得四百，减负积三开，以亷减纵纵负四十，乃以负纵除负积二百得五为三商，而以隅五自乗得二十五，减负积尽为长一百二十五【负积六百二十五常法开平方亦得二十五，平方再开亷法之四十犹翻法三开负纵之四十也，葢纵亷相减负纵即是余亷，而在负隅法中方亷隅皆负也，纵乃正也，以相减则负纵固是余负亷也】一以亷减，纵有余，纵不可以除负积者，约计当得次商若干，以乗负隅为隅法，再减余纵，纵负则以负纵除负积，合次商【负纵与隅法皆所用以除负积者也，无负纵则独用隅法，有余纵则以隅法相减】如实一千六百六十六和八十三，初商四十，而负积五十四，再开，以亷减纵，余三，即约九为次商，以再减余纵，纵负六，乃以负纵除负积，合次商为长四十九也。

一以亷减纵有余纵不可以除负积再以隅减纵适尽者此为有商无除【隅与纵相减并尽既无负纵即无余隅矣无可用以除负积者也】而其负积则续商以除之如实五万五千五百七十五和四百八十初商二百而负积四百二十五再开以亷减纵余八十即以八十为次商【若以九十为次商则减纵而纵负一十矣然以一十除负积欲合次商之九十当有负积九百乃足除耳今只四百二十五是负积又负于法不得行也】以再减余纵适尽无可除三开以亷减纵纵负八十乃以负纵除负积四百得五为三商而以隅五自乗得二十五减负积尽为长二百八十五一以亷减纵有余纵再以隅减纵仍有余纵者以余纵乗商益负积【余纵以减积负纵以减负积然则余纵当以益负积矣】而续商以除之如实一万六千一百二十八和二百六十四初商一百而负积二百七十二再开以亷减纵余六十四即以六十为次商【不以七十为次商者犹前例不可以九十为次商也】以再减余纵仍余四则以余纵乗商得二百四十以益负积得五百一十二三开以亷减纵纵负五十六乃以负纵除负积四百四十八得八为三商而以隅八自乗得六十四减负积尽为长一百六十八右自带纵并方亷开平方至此凡有纵方七法六法所以御平方之变而翻法又所以通纵方之穷也此外更有隅算开平方一法其以商亷相乗与负隅同而负隅则以益积及减带纵隅算则以除积而并带纵葢隅有正负犹纵有正负也【若以一为隅算则与无隅算同商亷固即是隅算之一也】以此八法为纲领而错综变化其用不穷矣隅算法前未有例于后见之云平方以斜径求方，法以斜径自乗为实，以二为隅算，开方。假如方田斜径七十步，求方者，以斜径自乗得四千九百为实，以二为隅算，初商四十，以乗隅算得八十为方法，以方法乗商得三千二百，减实，再开，倍前商得八十，以乗隅算得一百六十为亷法，以亷法除实一千四百四十得九为次商，又以次商乗隅算得一十八为隅法，以隅法乗商得一百六十二，减实不尽九十八，倍商加隅，仍乗隅算，以命分为一百九十八之九十八，约为九十九之四十九，得方四十九零九十九之四十九也。按斜径自乗之实，倍方积，故以二为隅算开之【或不用隅算，以斜径实半之开方亦得】旧説率方五斜径七，然方五则斜七而强，斜七则方五而弱，未可为密率，不若方斜积率，方一斜二，无黍丝差也。平方以方求斜径，法倍方积开方。大小两方以共积及两方互乗数求大小方，法倍两方互乗数减共积，开方得两方较，乃以两方互乗数为实，以较为带纵，用带纵并方亷开之【言并方亷而或用减积，可知不待言也，他仿此】得小方；或以较为负纵，用负纵减方亷开之，得大方。又法，倍两方互乗数，并共积，开方得两方和，乃以两方互乗数为实，以和为带纵，一为负隅，用带纵负隅减纵开之得小方，或用翻法开之得大方【按此葢以句股法通之，大方股也，小方句也，共积▯实也，两方互乗数句股相乗长方积也，故倍互乗数则与共积相并，减而开方可得和与较也，或和或较，但得其一，即以互乗数为实用纵方开之，自见大小方矣，若兼求和与较以见大小方，不用纵方之法亦可耳】大小两方以共积及两方较求大小方，法以较实减共积，余为实，以二为隅算，倍较为带纵，用隅算带纵并方亷开之，得小方；或倍较为负纵，用隅算负纵减方亷开之，得大方。

假如大小两方田共积七千五百九十二步，两方较二十八步，求大方者，以较自乗得七百八十四，以减共积得六千八百零八为实，以二为隅算，倍较得五十六为负纵，初商七十，以乗隅算得一百四十为方法，先以负纵乗商得三千九百二十，益实，乃以方法乗商得九千八百，减实，再开倍前商得一百四十，以乗隅算得二百八十为亷法，约计次商当得四，以乗隅算得八为隅法，先以负纵乗商得二百二十四，益实，乃以亷法除实一千一百二十，合次商，又以隅法乗商得三十二，减实尽，得大方七十四【此以隅算负纵益积法为例，余可类推】大小两方以共积及两方和求大小方。法以和实减共积，余为实，以二为负隅，倍和为带纵，用带纵负隅减纵开之，得小方，或用翻法开之，得大方【按右二条但倍共积以减较实开方得两方和，以减和实开方得两方较，兼和较以见大小方，最为便易。然欲仿此意而推之三方以上，则格而难通矣。若以较和实减共积为实，倍较和为带纵负纵，则推之三方以上，总用此法，不过递增其隅算负隅之数及中方，以较较为纵微不同耳。合下二条观之，乃知法之妙也】大小三方以共积及三方之两较求各方。法以两较实减共积，余为实，以三为隅算，而视其较：若系大与小、中与小之两较，则倍两较为带纵，用隅算带纵并方亷开之，得小方；系大与中、大与小之两较，则倍两较为负纵，用隅算负纵减方亷开之，得大方；或系大与中、中与小之两较，而大与中之较盈于中与小之较【可知中方近小方也】则倍两较之较为带纵，用隅算带纵并方亷开之；大与中之较朒于中与小之较【中方近大方也】则倍较较为负纵，用隅算负纵减方亷开之；大与中之较、中与小之较等，则直用隅算开之，得中方。大小三方以共积及三方之两和求各方。法以两和实减共积，余为实，以三为负隅，倍两和为带纵，用带纵负隅减纵开之，得中方及小方，或用翻法开之，得大方【按：并两和实，其数自多，虽以共积减之，犹多也，以此为实，则除之常有余实矣。并两和又倍之，其数亦复不少，以此为纵，则减之常有余纵矣。故举大与中与小之两和，往往只用负隅减纵法，即得大方，不须翻法也。惟大方与中小二方盈朒迥殊者，乃间用翻法耳】右四条，以较求方，以和求方，其法两两相对，由二方以推之，三方更推之，多方皆可以一理贯也。但较有带纵、负纵之分，和则惟有带纵而已。又中方以较较为纵，与大小方固殊，而以和和为纵，则与大小方不异。故以较求者，其绪繁；以和求者，其术简也。且如甲、乙、丙、丁、戊五方，举甲与戊、乙与戊、丙与戊、丁与戊之四较，即先求戊方，以四较实减共积，余为实，以五为隅算，倍四较为带纵，用隅算带纵并方亷开之。

求甲方者，用负纵【若四较皆以甲方为主，即先求甲方也甲大戊小】并如右法，至于求乙、丙、丁三方者，当倍较较为纵，而欲得较较，固自有説。假使求乙方，即并乙与丙与丁与戊之三较，而以甲与乙之较减之余，则较较也。葢以大于乙之较与小于乙之较相减，既得较较，且可知乙方为近大方，为近小方，而较较为带纵为负纵矣【乙下于甲一等，似近大方，而较较当为负纵，然使并乙与丙、丁、戊之三较不及甲与乙一较之数，即乙近小方，而当为带纵也，并三较与一较之数等者，但用隅算开之】丙、丁仿此。其以和求者，只如

右法云三广田以积与三广之两较及长广较求长广。法以中广与长之较为带纵【必以中广为主，此算三广之定法。既称长广，则中广必朒于长，故直称带纵，而下文立法皆就带纵言之也。然亦或有中广反盈于长者，自当为负纵耳】以中广与南北广之两较并而四除之为旁纵【长既有纵广，不当又称纵而广之有较亦纵也，故谓之旁纵】而中广朒则为旁带纵，中广盈则为旁负纵，又有不同。旁带纵者，用双带纵并方亷兼减积开之【带纵法以并方亷为便，而两纵分属长广两边，则初开未可皆并入方，故兼用减积法。至再开或减积或并亷者，亷固统长广两边，不妨并两纵也】旁负纵者，用带纵并方亷兼负纵益积减亷开之【带纵既用并方亷法，而两纵分属长亷两边，则初方不可一并一减，故负纵必用益积法。至再开或益积或减亷者，亷统长广两边，不妨且并且减也】得中广。假如三广田积二千四百六十五步，中广朒于南广八步，朒于北广三十六步，朒于长六十七步，求三广及长者。以长广较六十七为带纵，以两广较并而四除之得一十一为旁带纵。初商一十，并带纵得七十七为方法。先以方法乗旁带纵得八百四十七，减积。乃以方法乗商得七百七十，减积。再开倍前商得二十，并带纵得八十七为亷法。约计次商当得八为隅法。先以隅法乗旁带纵得八十八，减积。乃以亷法除积六百九十六，合次商。又以隅八自乗得六十四，减积尽，得中广一十八【各加较得南广二十六，北广五十四，长八十五】或再开以旁带纵并入亷法得九十八，以除积七百八十四得八为次商，而以隅法减积尽，尤简捷。又如三广田积二千四百六十五步，中广盈于南广一十五步，盈于北广九步，朒于长五十步，求长广者：以长广较五十为带纵，以两广较并而四除之，得六为旁负纵初商三十，并带纵得八十为方法。先以方法乗旁负纵，得四百八十，益积。乃以方法乗商，得二千四百，减积。再开，倍前商得六十，并带纵得一百一十为亷法。约计次商当得五为隅法。先以隅法乗旁负纵，得三十，益积。乃以亷法除积五百五十，合次商。又以隅五自乗得二十五，减积尽，得中广三十五【各加减较得南广二十，北广二十六，长八十五】或再开，以旁负纵减亷法得一百零四，以除积五百二十，得五为次商，而以隅法减积尽，尤便【按右条之法，亦可以纵为旁纵，以旁纵为纵也。虽纵有带负之分，而带纵兼旁负纵者，易为负纵兼旁带纵于算亦通。然长广之较自当为纵，广与广之较自当为旁纵，理固如此耳。且如下文各条例中，其法更加隅算及负隅者，纵与旁纵断不可移易也】方长带偏斜田，以积及四边之三较求长广。

法以一边为主，若主东一边，即以东长与南北广之两较俱盈俱朒者并而半之，一盈一朒者相减而以所余盈朒之数半之为纵，以东西之较半之为旁，纵其为带纵负纵，并以东一边之盈朒分之，先求东长如前三广田法。假如偏斜田积四千一百四十八步，东长盈于南广十步，朒于北广四步，朒于西长八步，求各长广者，以东与南北两较相减得盈六，半之得三为负纵，以东西较半之得四为旁，带纵初商六十，减负纵得五十七为方法，先以方法乗旁带纵得二百二十八，减积，乃以方法乗商得三千四百二十，减积，再开倍前商得一百二十，减负纵得一百一十七，并旁带纵得一百二十一为亷法，以亷法除积四百八十四得四为次商，而以隅四自乗得一十六，减积尽，得东长六十四【各加减较得南广五十四，北广六十八，西长七十二】又如偏斜田积一万一千四百步，东长盈于南广一百三十步，盈于北广一百一十步，朒于西长二十步，求长广者，以东与南北两较相并，半之得一百二十为负纵，以东西较半之得一十为旁带纵，初商一百【此因负纵多而初商少，兼用益积法】先以负纵乗旁带纵，得一千二百益积【凡带纵皆用之减积也，此旁带纵何以益积？葢以方法相乗则减积耳，方法之中有商有带纵，方也商也，带纵也，皆正也，两正相乗宜减积，一正一负相乗宜益积也】次以商乗旁带纵，得一千减积，又以负纵乗商，得一万二千益积，乃以商自乗，得一万减积，再开倍前商，得二百减负纵，得八十，并旁带纵得九十为亷法，以亷法除积七千二百，得八十为次商，而以隅八十自乗，得六千四百减积尽，得东长一百八十【南广五十，北广七十，西长二百】又如偏斜田积八千一百步，东长盈于南广一百二十五步，盈于北广一百一十五步，盈于西长一十六步，求长广者，以东与南北两较相并，半之得一百二十为负纵，以东西较半之得八为旁负纵，初商一百，先以负纵乗旁负纵，得九百六十，减积【凡负纵皆用之益积，此旁负纵何以减积？葢一正一负相乗宜益积，则两负相乗又宜减积也，两负如无负也】次以商乗旁负纵，得八百，益积，又以负纵乗商，得一万二千，益积，乃以商自乗，得一万，减积，再开，倍前商得二百，减负纵得八十，又减旁负纵得七十二，为亷法，以亷法除积五千零四十，得七十为次商，而以隅七十自乗，得四千九百，减积尽，得东长一百七十【南广四十五，北广五十五，西长一百五十四】按右三例，第一例以负纵减方亷兼带纵减积并亷也，其第二例、第三例亦是负纵兼旁纵，而初开以负纵减商，商皆不足，当以所负商数各二十为负方，第二例以负方乗旁带纵得二百益积，又以负方乗商得二千益积，第三例以负方乗旁负纵得一百六十减积，又以负方乗商得二千益积，即初开各毕矣，前着例颇详者，欲使其中条理显然而防径自出也。

三广田以积与三广和两广较及长广较求长广。法以四乗积为实，以和为带纵，一为隅算【凡三广必倍中广，并边两广而四除之以为广，今四乗积则可以当四除矣，乃以三广和为带纵，而犹少一中广，即以一隅算并纵，隅算固所求之中广也】以中广与长之较为旁带纵【如中广反盈于长，则为负也】用隅算双带纵，并方亷兼减积开之得中广【以加长广较得长，以减三广和得南北二广和，欲知南北各广数，以两广较推之，其较非必南北之较，而皆可以次第推也按此以长广较为旁纵者，和不得为旁纵也，凡和为带纵必加隅算及负隅，而隅算负隅势不得在旁也，此隅算只一，犹与无隅算同，纵与旁纵可以互换，非负隅之比，负隅虽只一，其纵亦不可移耳】方长带偏斜田，以积与三边和及长较、广较求长广法：以二乗积为实，以和为带纵，一为负隅【以三边和为带纵，非有二长即有二广，故以二乗积而有二长者，一为负隅以求广，因以减纵中之广；有二广者，一为负隅以求长，因以减纵中之长】以长较或广较半之为旁纵【求长则取长较，求广则取广较】其为带纵负纵，以所求一边之盈朒分之，乃用带纵负隅减纵兼旁纵开之，得一边长广。假如偏斜田积四千一百四十八步，东南北三边和一百八十六步，东长朒于西八步，南广朒于北一十四步，求各长广者：以二乗积得八千二百九十六为实，以一为负隅，以和一百八十六为带纵，以东西较半之得四为旁带纵。初商六十，以乗负隅仍得六十为方法，以方法减纵余一百二十六。先以余纵乗旁带纵得五百零四，减实；乃以余纵乗商得七千五百六十，减实。再开倍前商得一百二十，以乗负隅仍得一百二十为亷法，约计次商当得四，以乗负隅仍得四为隅法。以亷法减纵余六十六，又以隅法减纵余六十二。乃先以隅法乗旁带纵得一十六，益实【在负隅法中，方亷隅皆负也，旁带纵以正而与负乗，故宜益实也】而以余纵减实二百四十八，合次商得东长六十四【以减和更以广较推之得南广五十四，北广六十八，以长较见西长七十二】或再开，以旁带纵乗负隅仍得四【凡纵不与隅算及负隅二者相乗，而旁纵自再开以后欲与亷纵相并减，则必与二者相乗也，前以隅法乗之而益积，隅法固已先乗负隅矣】以减纵余五十八【带纵而乗负隅故以减纵】而以除实二百三十二，合次商亦便。又如偏斜田积三千二百五十步，东南北三边和一百七十四步，东长朒于西一十二步，南广朒于北六步，此须用带纵负隅减纵翻法【倍积为实，则除实宜有余实，一长二广为纵，则减纵宜有余纵，而或须用翻法者，必其田狭长之甚也】而兼旁纵开之，以二乗积得六千五百为实，以一为负隅，以和一百七十四为带纵，以东西较半之得六为旁带纵，初商一百【若商八十或九十，则负积愈多，而八十且有余纵无以置之，九十虽有负纵其数甚少不能除尽负积，故定商一百】以乗负隅仍得一百为方法，以方法减纵余七十四，先以余纵乗旁带纵得四百四十四减实，乃以余纵乗商得七千四百减实，实负一千三百四十四，再开倍前商得二百，以乗负隅仍得二百为亷法，以亷法减纵纵负二十六，约计次商当得二十，以乗负隅仍得二十为隅法，先以隅法乗旁带纵得一百二十减负实，乃以负纵除负实五百二十合次商，又以隅法乗商得四百减负实，三开倍前商得二百四十，以乗负隅仍得二百四十为亷法，以亷法减纵纵负六十六，约计三商当得四，以乗负隅仍得四为隅法，先以隅法乗旁带纵得二十四减负实，乃以负纵除负实二百六十四合三商，又以隅法乗商得一十六减负实尽，得东长一百二十四【南广二十二，北广二十八，西长一百三十六】或再开以旁带纵乗负隅仍得六，以并负纵得三十二，以除负实六百四十得二十为次商，而以隅法减负实四百，三开以旁带纵乗负隅仍得六，以并负纵得七十二，以除负实二百八十八得四为三商，而以隅法减负实尽，尤便。

按算术固不能尽言，即如偏斜田设举积及东南和、东北和、东西较，则并两和为带纵，以二为负隅，而依前半较为旁纵，倍积为实，开之得东长或举积及东南和东北和东西和，则以四乗积为实，以东西和除之，得南北和；而并东南和、东北和，以南北和减之，半其余得东长。如三广田，举积与三广之两较及长广和，则以和为带纵，一为负隅，并两较而四除之为旁纵，以开积得中广。神而明之，法随问变，岂可限也？兹因偏斜田而引伸其説，凡诸条例，莫不皆然。请以俟通人之自悟焉。长方以重长重广共步及积求长广，法以共步为带纵而求长，则以长数【重几长则为几数也，下广数同】为负隅，以广数乗积为实；求广，则以广数为负隅，以长数乗积为实，用带纵负隅减纵及翻法开之【不论求长求广，但负隅数少乗积数多者，积与纵常有余，往往用带纵负隅减纵法；负隅数多乗积数少者，积与纵常不足，往往用翻法；惟田形狭长之甚者，则不然，临算当自知之，不可预定耳】假如长方积八百六十四步，二长五广共一百九十二步为带纵，以五乗积得四千三百二十为实【五乗积则得长乗广之数五，而可以五广为带纵也】以二为负隅【实中无长自乗之数，而带纵有二长，故以二为负隅，不益实即减纵也】用带纵负隅减纵开之，得长三十六；或以二乗积得一千七百二十八为实，以五为负隅，用翻法开之，得广二十四。更有重长重广重和重较共步及积求长广者，如积八百六十四步，一和二较三长四广共二百八十八步，法先约一和得一长一广，并三长四广得四长五广，又以二较益广为长，共得六长三广，乃如前求之。若重较数多，既益广尽为长，而尚有余较者，此则不可求长，但可求广【原积无长乗较之数，故不可求长；原积有广自乗及广乗较之数各一，故可求广】且如积八百六十四步，一和六较三长四广共三百三十六步，约一和三长四广得四长五广，又以六较之五益广为长，共得九长而余一较，则以九长减较为广，乃得九广十较，而以十乗积得八千六百四十为实，以一为隅算【十乗积则得广自乗及广乗较之数各十，而带纵少一广，故以一为隅算并纵也】以共步为带纵，用隅算带纵并方亷开之，得广二十四。长方以长广母子分数之共步及积求长广。法以长母乗广子为广率为广数，以广母乗长子为长率为长数，以两母相乗为总率，以乗共步为带纵，乃如前重长重广例求之。假如长方积八百四十步，五分长之二，四分广之一，共二十步，求长广者，以五乗一得五为广率为五广，以四乗二得八为长率为八长，以五与四乗得二十为总率，以乗共步得四百为带纵，而此带纵之数凡有八长五广也。

乃以八乗积得六千七百二十为实，以五为负隅，用带纵负隅减纵开之，得广二十四，或以五乗积得四千二百为实，以八为负隅，用翻法开之，得长三十五。长方匿原积，以长乗重，长重广积步及较，或以广乗重，长重广积步及较，求长广。法以乗积为实，并长广数为隅算，而长乗求长，则以广数乗较为负纵，用隅算负纵减方亷开之；广乗求广，则以长数乗较为带纵，用隅算带纵并方亷开之；若广乗求长，则以广数乗较为负纵，又以较为旁负纵，用隅算双负纵减方亷兼益积开之；长乗求广，则以长数乗较为带纵，又以较为旁带纵，用隅算双带纵并方亷兼减积开之。假如长方匿其原积，而以广乗六，长三广得六千。九百一十二步，其长广较一十二步，求长者，以乗积六千九百一十二为实，以九为隅算，以三乗较得三十六为负纵，又以较一十二为旁负纵。初商三十，以乗隅算得二百七十，减负纵得二百三十四为方法。先以方法乗旁负纵得二千八百零八，益实。乃以方法乗商得七千零二十，减实。再开，倍前商得六十，以乗隅算得五百四十，减负纵得五百零四为亷法。约计次商当得六，以乗隅算得五十四为隅法。先以隅法乗旁负纵得六百四十八，益实。乃以亷法除实三千零二十四，合次商。又以隅法乗商得三百二十四，减实尽，得长三十六。或再开，以旁负纵乗隅算得一百零八，以减亷法得三百九十六，以除实二千三百七十六，得六为次商，而以隅法减实尽，尤捷。右法更有以长乗重长、重广、重和、重较，或以广乗之，而以其积步及较求长广者，并先约和较为长广，不待言矣。若以较益广尽为长，而尚有余较，如前九长一较之比者，别自有法。且如九长一较法，以九为隅算，而长乗求长，则以一乗较为带纵；广乗求广，则以十乗较为带纵【九广十较也】广乗求长，则以一乗较为带纵，又以较为旁负纵；长乗求广，则以十乗较为带纵，又以较为旁带纵。依例开之。长方匿原积以长乗重长重广积步及和或以广乗重长重广积步及和求长广。此与前一条相似而不同。以长乗者但可求长。以广乗者但可求广【隅算及负隅无旁加者势不能也故长乗不便于求广广乗不便于求长矣】法亦以乗积为实。而长乗求长则以广数乗和为带纵。广乗求广则以长数乗和为带纵。又以长广数相减余数为隅算。不足数为负隅。求长取长。求广取广为之。乃用隅算带纵并方亷或用带纵负隅减纵及翻法开之。如六长三广。长乗求长则以三乗和为带纵。以三为隅算【六长三广相减长余三以为隅算之数葢并三长于带纵得六长三广也】广乗求广则以六乗和为带纵。以三为负隅【六长三广相减广不足三以为负隅之数葢减三广于带纵亦得六长三广也】开之是也。

右法长广所乗若更兼重和重较者先约和较为长广而约得余较如前九长一较之比亦别有法。且如九长一较长乗求长则以一乗和为负纵。以十一为隅算【减一长一广于隅算得九长一较也】广乗求广则以十乗和为带纵。以十一为负隅【减十一广于带纵亦得九长一较也】依例开之。

九章録要卷六<子部,天文算法类,算书之属,九章录要》>钦定四库全书