御制数理精蕴上编卷五

御制数理精蕴上编卷五

算法原本一算法原本二算法原本一第一一者，数之原也。众一相合而数繁焉。不能无大小多寡之不齐，而欲知其所以分合之故，必有一定之法，始可以得其准。若夫累积小数与大数等者，此小数即度尽大数之准也【如大数有八，小数有二，四倍其二与八必等，则二即为度尽八之准】苟累积小数不能与大数等者，此小数即非度尽大数之准也【如大数有八，小数有三，二倍其三为六，小于八矣；二倍其三为九，又大于八矣。若此者，即为非度尽大数之准】要之，小数为大数之平分者，即能度尽大数；而小数非大数之平分者，即不能度尽大数。是故以小度大，以寡御多，求其恰符而毫无舛者，惟在得其平分之法而已。

第二数之目虽广，总不出奇偶二端。何谓偶？两整平分数是也。何谓奇？不能两整平分数是也。如二、四、六、八、十之类，平分之俱为整数，斯谓之偶数矣。若三、五、七、九、十一之类，平分之俱不能为整数，斯谓之奇数矣。又如小偶数分大偶数，得偶分，则谓之偶分之偶数【如小偶数四分大偶数三十二，得八平分，是为偶分，其三十二即为偶分之偶数】小偶数分大偶数，得奇分，则谓之奇分之偶数【如小偶数六分大偶数三十，得五平分，是为奇分，其三十即为奇分之偶数】又如小奇数分大奇数，得奇分，则谓之奇分之奇数矣【如小奇数五分大奇数十五，得三平分，是为奇分，其十五即为奇分之奇数】

第三乘者，两数相因而成也。葢有两数，视此一数有几何，彼一数有几何，将此一数照彼一数加几倍，则两数积而复成一数，故谓之相因而成。然不用加而用乘者，何也？葢加湏层累而得，乘则一因即得，此立法之精，而理则实相通也。如有六与十两数，以十为主而加六次得六十，以六为主而加十次亦得六十。今以十为主而以六乘之，或以六为主而以十乘之，皆得六十，其数无异，而比加捷矣。

第四凡两数相乘为平方数，如四与六相乘得二十四是也。试将四六两数作防排之，纵立四防为甲乙，横列六防为甲丁。将此六防累四次，即成甲乙丙丁平方数矣。又若相等两数相乘得数，则为正方数，如五与五乘得二十五是也。苟将五数纵横各列五防，或依纵数，或依横数累五次，即成戊已庚辛正方数矣。第五凡数之相乘，可用线以表之。然线虽无广，分如依一线之长，分广为小方面，看此线所有方面若干，将彼线所有方面加作几倍，或看彼线所有方面若干，将此线所有方面加作几倍，则二线相积而成面矣。设如有甲乙二线，甲线之分为三，乙线之分为四，将此二线相乘，则依甲线三分之一分作广，分为甲丙；依乙线四分之一分作广，分为乙丁。其甲丙有三小方形，乙丁有四小方形。若依甲丙所有之数，将乙丁加为三倍，或依乙丁所有之数，将甲丙加为四倍，俱成函十二小方形之乙丙甲丁之二直角形矣。葢面为线之积，以一线为横，一线为纵，纵横相因而成，故测面者必于线知，线即可以知面也。

第六凡二线彼此各分不均而有零分者，其相乘所成方面亦有零分也。设有甲乙二线，甲线为三分，今将甲线依三分之一分作广，分为三小方形，并无余积；而乙线照甲线分，则为四分有零。亦将乙线依甲线一分作广分，则为四小方形，而余戊一小形。以所作甲丙为横，乙丁为纵，则成一丁甲四方形。而此形之内必有十二小方形，仍有三小戊形附于十二方形，乃为二线相乘之总积也。又如此类，一线有零分者，其余分在一边；若二线俱有零分者，则其余分亦在二边矣。

第七凡三数递乘为立方数，如二与三相乘得六，又以四乘之得二十四，是也。试将二、三、四之三数作防排之纵列，二防为甲丁，横列三防为甲乙，将此三防累二次成丁乙平方数，又直立四防为丙丁，依丙丁数将丁乙平方数累四次，即成丙乙立方数矣。又若相等三数递乘得数，则为正立方数，如三与三乘得九，再以三乘得二十七，是也。试将三数纵横各排三防，平列三次成庚已平方数，又直立三防将庚己平方数累三次，即成戊已正立方数矣。

第八凡数之递乘为体，可用面以表之。葢面虽无厚，分如依一面之积分广爲小方体看，面所有积分得线之长，分若干将面所有小方体加作几倍，则线面因之而成体矣。设如有甲乙面之分为四，丙丁线之分为三，将此面线相乘，则依甲乙面四分之一作厚，分为四小方体，乃依丙丁线分数将甲乙加为三倍，即成函十二小方体之丙乙直角立方体矣。葢体为面之积，而面为线之积，故线可以测面，并可以测体也。

第九除者，两数相较而分也。葢视大数内有小数之几倍，将大数照小数减几次，则大数分而复为一小数，故谓之相较而分。然不用减而用除者，何也？葢减必递消其分，除则一归而即得。除之与减，即犹乘之与加，正相对待者也。如有大数十二，小数四，若用十二以四减之，三次而尽，即知十二为四之三倍。若用除法则三倍其四，与十二较，其数适等，即知十二为四之三倍矣。此除之与减，理相通而用较捷也。

第十凡两数相乗之平方数，以一数除之，必得其又一数也。设如甲乙五，乙丙六，两数相乘之甲乙丙丁平方数三十，若以甲乙五除之，即得乙丙六；或以乙丙六除之，即得甲乙五。葢此三十中有五之六倍，六之五倍，如作防排之，五防为横，则纵排六次；六防为横，则纵排五次，皆成方数。故两数不等，平方面知其一数，或知两数相差之较，始能得其两边线也。又若正方数，则其纵横皆同，如戊己庚辛之正方数二十五，其纵横皆五，是巳故。凡正方面有积数，即可得其每边者，葢因其纵横两边皆等故也。

第十一凡以线乘线，即成面，而以线除面，亦复得线，故数之乘者可用线以表之，而除者亦可用线以表之也。设如有甲乙丙丁一方面积，一十二，以甲乙线四分除之，得乙丙线之三分，或以乙丙线三分除之，亦得甲乙线之四分。试将甲乙、乙丙二线作广分，则甲乙线成四小方形，乙丙线成三小方形。若依甲乙线所有数以分甲乙丙丁面，即每分得三小方形；如乙丙线依乙丙线所有数以分甲乙丙丁面，即每分得四小方形。如甲乙线葢除之与乘，犹分合之相对，以线合者，仍以线而分返本还原之义，有不爽矣。

第十二凡有零分不均二线相乘之方面，以整分线除之，必得零分线；以零分线除之，必得整分线也。设如甲线三分，乙线四分有零，相乘成丁甲面。若以甲线三分除之，即得乙线四分有零；或以乙线四分有零除之，亦得甲线三分。试将甲线作广，分成三小方形为甲丙；乙线作广分，则成四小方形为乙丁，余戊一小形。若依甲丙线所有数以分丁甲面，即每分得四小方形一戊小形；如乙丁线，或依乙丁线所有数以分丁甲面，即每分得三小方形如甲丙线矣。此为二线一整一零相乘之总积，故以整线除之得零，以零线除之得整。若二线俱有零分者，彼此除之，必俱得零分也。

第十三凡三数递乘之立方数，以两数递除之，始得其又一数也。设如甲乙四，乙丙二，丙丁三，递乘得甲丁立方数二十四。若以甲乙四除之，得乙丁平方数六；再以乙丙二除之，始得丙丁三。葢乙丁平方中有三之二倍，而甲丁立方中有六之四倍。如作防排之二防为纵横排，三次直累四次，即成方体。故三数不等立方体，知其两数，或知其三数相差之较，始能得各边也。又若正立方体，其纵横厚度皆为一数，即以一数递除二次，则其原数自得。如戊己正立方数二十七，其纵横厚皆三，是巳。故凡正立方体有积数，即可得其每边者，正为其纵横厚度皆等故也。

第十四凡以线除体，即得面；而以面除体，亦复得线。故线可以除面，而面亦可以除体也。设如，有丙乙体积一十二，以丙丁线三分除之，得甲乙面之四分；或以甲乙面四分除之，亦得丙丁线之三分。试将甲乙面作厚分，则成四小方体。若依丙丁线所有数以分丙乙体，即每分得四小方体；如甲乙面依甲乙面所有数以分丙乙体，即每分得三分如丙丁线。葢体本以线面相乗而得，故可以线面相除也。

第十五凡大数用小数可以度尽者，此大数必为此小数之所积也。然所谓小数可以度尽大数者，复有几种。有大数惟一数可以度尽者，如四、九、二十五、四十九之类，惟用二可以度四，三可以度九，五可以度二十五，七可以度四十九，是也。有大数用两数、三数俱可以度尽者，如八与十二之两数，用二、用四俱可以度尽八；用二、用三、用四俱可以度尽十二，是也。有两大数，或三大数，用一小数俱可以度尽者，如十二、十六之两数，或一十、十五、二十之三数，用四可以度尽十二、十六之两数；用五可以度尽一十、十五、二十之三数，是也。又有一小数可以度尽几大数，将此几大数相加为一总数，此小数亦可以度尽此总数，如四可以度尽十二、十六两数，若将十二、十六相加为二十八，则此四亦可以度尽此二十八也。又或一小数可以度尽几大数，将此大数不拘几分分之，此小数可以度尽一分，亦必可以度尽其余几分也，如三可以度尽十五，将十五分为六、九两数，此三可以度尽六，亦必可以度尽九也。又如六与九两数，用三俱可以度尽，若将六与九相乘得五十四，此小数三仍可以度尽此五十四也。凡此类者，皆为彼此有度尽之数也。

第十六凡大数用小数不可以度尽者，此大数必非此小数之所积也。然用一以度之，无不可以度尽者，葢一为数之根，诸数皆自一而积之故也。所谓度不尽者，亦复有几种：有大数无小数可以度尽者，如五、七、十一、十三之类，任用二、用三、用四俱不能度尽也。有两大数，或三大数，用小数彼此不可以度尽者，如十五与八之两数，用二、用四可以度尽八，而不能度尽十五；用三、用五可以度尽十五，而不能度尽八。又如四、六、九之三数，用二可以度尽四、六，而不能度尽九；用三可以度尽六、九，而不能度尽四也。又有彼此不能度尽之数，或将一数自乘，或将两数俱自乘，彼此仍俱不可以度尽也。如五与六之两数，彼此不能度尽，亦无一小数可以度尽此两数即将五自乘为二十五，或将六自乘为三十六，则六仍不能度尽二十五，而五仍不能度尽三十六，即二十五亦不能度尽三十六也。又如三、七两数与二、五两数，俱为彼此不能度尽之数或将三与七相乘得二十一，将二与五相乘得一十，此一十与二十一之两数，仍为彼此不能度尽之数也。凡此类者，皆为彼此无度尽之数也。

第十七凡两数互转相减，未至于一而即可以减尽者，此减尽之最小数，即可以度尽此两数也。设如有甲乙十六，丙丁六之两数，将丙丁六与甲乙十六减二次，余戊乙四。将此戊乙四转与丙丁六相减，余己丁二。又将此已丁二转与戊乙四相减二次，即无余，则此已丁二即可以度尽甲乙十六及丙丁六矣。葢八倍其二与十六等，三倍其二与六等也。又如十六与十二与八，此三数亦为彼此有度尽之数，何也？葢十六与十二相减，余四。以四转与十二相减三次而尽，则四可以度尽十六与十二矣。又二倍其四即与八等，则四又可以度尽八。然则十六、十二与八之三数为彼此有度尽之数，可知矣。

第十八凡两数互转相减，至于一始可以减尽者，一之外别无他小数可以度尽此两数也。设如有甲乙十二，丙丁七之两数，将丙丁七与甲乙十二相减，余戊乙五。将此戊乙五转与丙丁七相减，余已丁二。将此已丁二又转与戊乙五相减，余庚乙三。又将庚乙三转与己丁二相减，余辛乙一。既至于一，始可以度尽甲乙丙丁两数。而一之外，如二三四虽可以度尽十二，而不能度尽七也。又如九与十三及二十之三数，亦为彼此无度尽之数。何也？葢将九与十三互转相减，必至于一。即用十三与二十转减，或用九与二十转减，亦皆至于一。则除此一之外，皆无可以彼此度尽此三数之小数矣。

第十九凡有大数，约为相当比例之最小数，以从简易，则为约分法也。然数有可约、不可约之分，可约者，度尽之数；不可约者，度不尽之数也。设如有九与十二之两数，欲约为相当比例之最小数，乃用求小数度尽大数法，以九与十二互转相减，得减尽之数为三，则三为度尽九与十二之数矣。以三除九得三，以三除十二得四，此三、四两数，即为九与十二相当比例之最小数也。又如有六、四、八之三数，欲约为相当比例之最小数，乃以六与四互转相减，得减尽之数为二，又以二与八相减四次而尽，则二为度尽六、四、八之小数矣。以二除六得三，以二除四得二，以二除八得四，此三、二、四三数，即六、四、八相当比例之最小数也。此皆数之可约者也。若夫数之不可约者，互转相减，必至于一，而不可以度尽也。如有五、七两数，以五减七，余二，复以二减五二次余一，既余一则自一之外，必无可以度尽之数，而不可约矣。

第二十凡有大分，以分母乘之，通为小分，则为通分法也。然不曰乘而曰通者，何也？葢乘则积少成多，其得数溢于原数之外；通则变大为小，其得数仍函于原数之中也。如有大分十二，其分母为四，欲得其小分，则以分母四乘大分十二，得小分四十八，是已。试作甲乙方形以明之，其中所函方形十二，即大分也。若将中函之方形每分俱分为四小方，则十二方形共分为四十八小方形矣。其数虽比原大数加四倍，然其每分之分只得原数之四分之一，故仍函于甲乙方形之内，而未尝溢出原数之外也。又如有大分九，其分母为九，欲得其小分，则以分母九乘大分九，得小分八十一，是已。试作丙丁方形以明之，其中所函方形九，即大分也。若将其中函之方形每分俱分为九小方，则九方形共分为八十一小方形矣。其数虽比原大数加九倍，而仍函于丙丁方形之内者，以其每分之分只得原数之九分之一也。由此推之，其每分之母或为八，或为十二，或为数十，亦皆仿此。通之，其所通之数虽至千万，而要皆未有溢于所通原分之外者矣。

第二十一凡有几小数欲求俱可以度尽之大数，则以此几小数连乘之得数，始为此几小数度尽之一大数也。设如有四五两小数，欲求用四、用五俱可以度尽之一数，则以四与五相乘得二十，即为四五两数俱可度尽之一大数矣。又如有三四五之三小数，欲求用三、用四、用五俱可以度尽之一数，则以三与四相乘得十二，又以五乘十二得六十，即为三四五俱可度尽之一大数矣。葢小数为大数之根，始能度尽大数。如四五可以度尽二十者，二十乃四之五倍，亦即五之四倍也。三四五可以度尽六十者，六十乃十二之五倍，而十二乃三之四倍也。第二十二凡有两数，彼此互乘所得之数，与原数比例必同也。葢数有多寡，而分又有大小，则纷纭难御，故必依此数之分，将彼数加为几倍；又依彼数之分，将此数加为几倍，则两分数既同，而比例亦同矣。如甲乙二数，甲为三分之二，乙为四分之三，欲辨其孰大，则依甲数将乙数加三倍，为十二分之九；依乙数将甲数加四倍，为十二分之八。如是则所加之两大分同为十二，而所生之两小分相比，即同于原甲数与乙数之相比矣。何也？甲数本三分之二，而为十二分之八者，乃加四倍之比例【十二为三之四倍，八为二之四倍】而十二分之八之比例，仍同于三分之二之比例也。乙数本四分之三，而为十二分之九者，乃加三倍之比例【十二为四之三倍，九为三之三倍】而十二分之九之比例，仍同于四分之三之比例也【此即互乘同母之法，如甲为三分之二者，三即母数，二即子数也；乙为四分之三者，四即母数，三即子数也。因两母数不同，故用互乘以同之】

第二十三凡子母分有几数，而子数同为一者，先以各母求俱能度尽之一数，次以各母除之，则爲各子数也。如甲乙丙三数，甲为二分之一，乙为三分之一，丙为四分之一，则先以三母数连乘得二十四，为甲乙丙之共母数。又以二除共母数得十二，为甲之子数；以三除共母数得八，为乙之子数；以四除共母数得六，为丙之子数。葢甲本二分之一，子母各加十二倍，即为二十四分之十二，而二十四与十二之比例，仍同于二与一之比例也。乙本三分之一，子母各加八倍，即为二十四分之八，而二十四与八之比例，仍同于三与一之比例也。丙本四分之一，子母各加六倍，即为二十四分之六，而二十四与六之比例，仍同于四与一之比例也。

第二十四凡子母分有几数，而子母数俱不等者，亦先以各母求俱能度尽之一数，次以各母除之，得数复以各子数乘之，即为各子数也。如有甲乙丙三数，甲为三分之二，乙为四分之三，丙为五分之四，则先以三母数连乘得六十，为甲乙丙之共母数。次以三除共母数得二十，以乘子数二得四十，为甲之子数。又以四除共母数得十五，以乘子数三得四十五，为乙之子数。又以五除共母数得十二，以乘子数四得四十八，为丙之子数。葢甲本三分之二，子母各加二十倍，即为六十分之四十，而六十与四十之比例仍同于三与二之比例也。乙本四分之三，子母各加十五倍，即为六十分之四十五，而六十与四十五之比例仍同于四与三之比例也。丙本五分之四，子母各加十二倍，即为六十分之四十八，而六十与四十八之比例仍同于五与四之比例也。

算法原本二第一凡有几小数与几大数相比，其比例若同，则小数相加所得之总数与大数相加所得之总数相比，仍同于原数之比例也。设如有一小数六，一小数四，一大数十八，一大数十二，其小数六为大数十八之三分之一，而小数四亦为大数十二之三分之一，将两小数六、四相加得一十，将两大数十八、十二相加得三十，此一十与三十之比，即如六与十八、四与十二之比，皆为三分之一之比例也。又如三小数二、三、四与三大数六、九、十二相比，皆为三分之一，将二、三、四相加得九，将六、九、十二相加得二十七，其比例亦为三分之一也。又或四小数四，大数相加，其总数之比例亦皆同，如三与十二，四与十六，五与二十，六与二十四，俱为四分之一，将三、四、五、六四小数相加得十八，将十二、十六、二十、二十四四大数相加得七十二，其比例仍为四分之一矣。

第二凡有几小数与几大数之比例若同则小数相减所得之余数与大数相减所得之余数相比仍同于原数之比例也。设如有一小数十一，小数六，一大数三十，一大数十八。其小数十为大数三十之三分之一，而小数六亦为大数十八之三分之一。将两小数十与六相减，余四；将两大数三十与十八相减，余十二。此四与十二之比，即如十与三十六与十八之比，皆为三分之一之比例也。又如三小数八、四、三，与三大数二十四、十二、九相比，皆为三分之一。将四、三与八递相减，余一；将十二、九与二十四递相减，余三。其比例亦为三分之一也。又或四小数四大数相减其余数之比例亦皆同。如十八与七十二为四分之一，而三与十二，四与十六，五与二十俱为四分之一。将小数三、四、五与十八递相减，余六；将大数十二、十六、二十与七十二递相减，余二十四。其比例仍为四分之一矣。

第三凡有一数乘两数，其所得两数相比，仍同于原两数之相比也。设如一数六，与八与一十两数相乘，以六乘八得四十八，以六乘一十得六十。此四十八与六十相比，即同于原数八与一十之相比矣。夫八与四十八，一十与六十，皆为六分之一。故一与六之比同于八与四十八之比，而一与六之比亦同于十与六十之比也。然则八与四十八之比例必同于十与六十之比例，而四十八与六十之比例亦必同于八与一十之比例可知矣。

第四凡有一数除两数，其所得两数相比，仍同于原两数之相比也。设如一数三除十二与十五之两数，以三除十二得四，以三除十五得五，则此四与五相比，即同于原数十二与十五之相比矣。夫十二与四，十五与五，皆为三分之一，故一与三之比同于四与十二之比，而一与三之比亦同于五与十五之比也。然则四与十二之比例必同于五与十五之比例，而四与五之比例亦必同于十二与十五之比例，可知矣。

第五凡相当比例四数，其第一数与第四数相乘，第二数与第三数相乘所得之数等者，何也？葢两方面以其纵横界互相为比之比例，若等则两方积必等【见几何原本七卷第三节】今以第一数与第四数相乘，即如以第一数为纵，第四数为横，成一方数；而第二数与第二数相乘，即如以第二数为纵，第三数为横，成一方数，其积必相等也。设如有二与六、三与九相当比例四数，将第一数二为纵，第四数九为横，相乘得十八，为甲丙一方数；将第二数六为纵，第三数三为横，相乘亦得十八，为戊庚一方数。夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之二，而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三分之二，其比例相等，故两方数亦等。此两方数既等，则相当比例四数，其第一数与第四数相乘，第二数与第三数相乘所得之数相等无疑矣。

第六凡相连比例三数，其首数与末数相乘与中一数自乘所得之数等者，何也？葢两方面相等者，其纵横界之互相比例必等【见几何原本七卷第三节】今将首数与末数相乘，即如以首数为纵，末数为横，成一方数；而中数自乘，即是以中数为纵，复以中数为横，成一方数，其积必相等也。设如有四、六、九相连比例三数，将首数四为纵，末数九为横，相乘得三十六，为甲丙一方数；将中数六为纵，仍复为横，相乘即是自乘，亦得三十六，为戊庚一方数。夫甲丙方之甲丁横界比戊庚方之戊辛横界大三分之一，而戊庚方之戊己纵界比甲丙方之甲乙纵界亦大三分之一，其比例相等，故两方数亦等。此两方数既等，则相连比例三数，其首末两数相乘与中数自乘所得之数相等无疑矣。

第八凡有两数除一数，其所得之两数内有一数与原两数内一数相等者，则所得之两数与原两数互转相比，即成相连比例之数也。设如有一数三十六，以四、六两数除之，四除三十六得九，六除三十六仍得六，与原数六相等，则此九与六两数之比，即同于原数六与四之比也。葢四与六，六与九为相连比例之四数，以四为首数，九为末数，相乗，以六为中数，自乘，皆得三十六。今以四除三十六得九，即如以首数除中数自乘之数而得末数也。以六除三十六复得六，即如以中数除首末两数相乘之数而仍得中数也。夫相连比例数，其末数与中数之比，原同于中数与首数之比，则首数四除三十六所得九与中数六除三十六所得六相比，即同于中数六与首数四之相比也。

第九凡相当比例四数，其第一数度尽第二数，则第三数亦必度尽第四数也。如有二、六、三、九相当比例四数，其第一数二可以度尽第二数六，则第三数三亦可以度尽第四数九矣。夫相当比例四数，第一与第二之比必同于第三与第四之比。今第一为二，第二为六，乃加三倍之比例，则第四与第三亦必为加三倍之比例。故三倍其二可以度尽六者，三倍其三即可以度尽九也。

第十凡相连比例三数，其第一数度尽第二数，亦必度尽第三数也。如有二、四、八相连比例三数，其第一数二可以度尽第二数四，亦必可以度尽第三数八矣。夫相连比例三数，第一与第二之比同于第二与第三之比。今第一数为二，第二数为四，乃加倍之比例，则第二与第三亦必为加倍之比例，而第一与第三则为再加一倍之比例。故一倍其二可以度尽四者，再倍其二即可以度尽八也。第十一凡依次递加取四数，其第一、第四两数相加与第二、第三两数相加之数等也。如一、二、三、四递加之四数，将第一数一与第四数四相加得五，以第二数二与第三数三相加亦得五。又如一、三、五、七递加之四数【一、三、五、七为隔一数以递加者也】将第一数一与第四数七相加得八，以第二数三与第三数五相加亦得八也。又如二、五、八、十一递加之四数【二、五、八、十一为隔二数以递加者也】将第一数一与第四数十一相加得十三，以第二数五与第三数八相加亦得十三。由此推之，或隔三数，或隔四数，或隔五、六数，以至极多数，但依次递加取四数，无有不如此也。

第十二凡依次递加取三数，其首末两数相加与中数加倍之数等也。如二三四递加之三数，将首末二四相加得六，以中数三倍之，亦得六。又如二四六递加之三数【二四六隔一数以递加者也】将首末二六相加得八，以中数四倍之，亦得八也。又如三六九递加之三数【三六九隔二数以递加者也】将首末三九相加得十二，以中数六倍之，亦得十二。由此推之，或隔三数，或隔四数，或隔五六数，以至极多数，但依次递加取三数，无有不合者也。

第十三凡依次递加三数，以第二、第三两数相加，减去第一数，即得挨次之第四数也。如二、三、四之三数，以第二数三，第三数四相加得七，内减去第一数二，得五，即是第四数。又如二、四、六隔一数递加之三数，以第二数四，第三数六相加得一十，内减去第一数二，得八，即是第四数，亦为隔一数。又如三、六、九隔二数递加之三数，以第二数六，第三数九相加得十五，内减去第一数三，得十二，即是第四数，亦为隔二数矣。葢此即四率相当比例之理，四率中两率相乘，与首末两率相乘之数等，故中两率相乘，以首率除之，即得末率；而此则中两数相加，与首末两数相加之数等，故以首一数减之，即得末一数，其义一也。

第十四凡依次递加两数，以第二数倍之，减去第一数，即得挨次之第三数也。如二、三两数，将第二数三倍之，得六，内减去第一数二，余四，即是第三数。又如二、四隔一数之两数，将第二数四倍之，得八，内减去第一数二，余六，即是第三数。四与六亦为隔一数也。又如三、六隔二数之两数，将第二数六倍之，得十二，内减去第一数三，余九，即是第三数。九与六亦为隔二数也。葢此即三率相连比例之理。三率以中率自乘与首末两率相乘之数等，故中率自乘以首率除之，即得末率。而此则中数倍之与首末两数相加之数等，故以首数减之，即得末数。于此见加减乘除之相对待，而加减可以代乘除之理，亦可从此推矣。

第十五凡有彼此可以度尽两数，欲求相连比例之数，则以一数自乘，以一数除之，即得相连比例之第三数也。如有四、八两数，欲求第三数，如四与八之相连比例，乃以八自乘得六十四，以四除之得十六，此十六即为四与八相连比例之第三数。葢八者四之二倍，而十六又为八之二倍，则八与十六之比例必同于四与八之比例矣。如有三数，求第四数，仍如四与八之比例，则以第三数十六自乗得二百五十六，以第二数八除之得三十二，即为四、八、十六相连比例之第四数。葢十六者四之四倍，而三十二者八之四倍，则十六与三十二之比例必同于四与八、八与十六之比例矣。如欲求连比例之第五数，或第六数，即以相近两数依前法算之，由此递生，可至于无穷焉。然此皆四与八之比例，或四与十六，或三与六、五与十之类，凡有彼此度尽之数，欲求相连比例几数者，亦皆如此求之，无不可得矣。

第十六凡有彼此不可以度尽之两数，欲依此两数比例求相连比例之数，则以一数自乘为第一率，而以又一数自乘为第三率，以两数互乘为第二率，即为相连比例之三数也。如有三、五两数，欲求相连比例三数，皆如三与五之比例，乃以三自乘得九，以五自乘得二十五，以三与五相乘得十五，此九与十五、十五与二十五之三数，即如三与五之相连比例三数。葢九为三之三倍，而十五为五之三倍，则九与十五为三与五之比例矣。而十五为三之五倍，二十五为五之五倍，则十五与二十五亦为三与五之比例矣。又或已有三数，欲求第四数，皆如三与五之连比例，则以三乘九得二十七，以三乘十五得四十五，以三乘二十五得七十五，复以五乘九得四十五，五乘十五得七十五，五乘二十五得一百二十五。此所得六数内，四十五、七十五各得二，今止用其一，故二十七、四十五、七十五、一百二十五之四数，即如三与五之相连比例数也。葢二十七者三之九倍，而四十五者五之九倍，则二十七与四十五之比例同于三与五之比例矣。又四十五者三之十五倍，而七十五者五之十五倍，则四十五与七十五之比例同于三与五之比例矣。又七十五者三之二十五倍，而一百二十五者五之二十五倍，则七十五与一百二十五之比例亦同于三与五之比例矣。如欲求连比例之第五数，或第六数，以原一数递乘先得之几数，复以又一数递乘先得之几数，去其相同者，所余即成相连比例之数。由此求之，亦可至于无穷也。然此皆三与五之比例，或三与七、四与九、五与八之类，凡彼此不可以度尽之数，欲求相连比例几数者，亦皆仿此求之而即得矣。

第十七凡相当比例四数，其前两数之间有相连比例二数，其后两数之间亦必有相连比例二数也。设如有甲二十四，乙八十一，丙三十二，丁一百零八，相当比例之四数。甲数二十四与乙数八十一之间有戊三十六、己五十四之相连比例两数，则丙数三十二与丁数一百零八之间亦必有庚四十八、辛七十二之相连比例两数也。试将甲、戊、己、乙四数求其相当比例之至小数，则得壬八、癸十二、子十八、丑二十七之四数。其甲与乙之比即同于壬与丑之比，而丙与丁之比原同于甲与乙之比，则丙与丁之比亦必同于壬与丑之比矣。其比例既同，则壬可以度尽丙，丑亦可以度尽丁，而癸与子亦必可以度尽庚与辛【壬、癸、子、丑各四倍之，即与丙、庚、辛、丁等，是四次可以度尽也】是丙、庚、辛、丁四数之比皆与壬、癸、子、丑四数之比相同也。夫壬、癸、子、丑原为甲、戊、己、乙连比例相当之小数，今丙、庚、辛、丁之比既与之相同，则丙、庚、辛、丁亦为相连比例之四数矣。既俱为相连比例数，则戊、己为甲、乙两数间之连比例数，庚、辛为丙、丁两数间之连比例数无疑矣。

第十八凡相连比例三数，其第一数与第二数之间有相连比例一数，则第二数与第三数之间亦必有相连比例一数也。设如有甲二，乙十八，丙一百六十二，相连比例之三数，其甲数二与乙数十八之间有相连比例之丁数六，则乙数十八与丙数一百六十二之间亦必有相连比例之戊数五十四也。葢甲与乙之比同于乙与丙之比，今丁六为甲二之三倍，戊五十四亦为乙十八之三倍，则甲与丁之比同于乙与戊之比，而丁六为乙十八之三分之一，戊五十四亦为丙一百六十二之三分之一，则丁与乙之比亦同于戊与丙之比。因其比例皆同，故甲丁乙戊丙为相连比例之五数，而丁戊两数为甲与乙、乙与丙三数间之相连比例数，可知矣。

第十九凡相连比例三数，其首数与末数有用一数可以度尽者，有用一数不可以度尽者。如四、八、十六相连比例之三数，其首数四与末数十六为彼此有一数可以度尽之数也。如四、六、九相连比例之三数，其首数四与末数九为彼此无一数可以度尽之数也。然此两种相连比例虽有度尽、度不尽之分，因其首数与中数之比同于中数与末数之比，故总谓之相连比例之数焉。葢末数可用首数平分，即为有度尽之连比例数；末数不可用首数平分，即为无度尽之连比例数也。且首末两数彼此有一数可以度尽者，此三数非相当比例之至小数；若首末两数彼此无一数可以度尽者，此三数即为相当比例之至小数也。如四、八、十六之三数，其首末两数为彼此有一数可以度尽之数，而中数亦必为此一数可以度尽之数。试用二以度之，则得二、四、八之连比例三数；或用四以度之，则得一、二、四之连比例三数，皆与四、八、十六之比例相同，而比四、八、十六之数为小，故四、八、十六非相当比例之至小数也。如四、六、九之三数，其首末两数为彼此无一数可以度尽之数，故中数亦为无一数可以度尽之数。既无一数可以彼此度尽，则为相当比例数内之至小数也，明矣。

第二十凡同式两平方数，其间必有相连比例一数也。如有甲乙丙丁六，戊己庚辛二十四，同式两平方数，此两数之间必有壬十二为相连比例之一数焉。葢甲乙丙丁戊己庚辛既为同式平方数，则其每边皆可为比例如，甲乙二与甲丁三之比同于戊己四与戊辛六之比，而甲乙二与戊己四之比亦同于甲丁三与戊辛六之比也。今以甲丁三与甲乙二相因得六，甲丁三与戊己四相因得十二，则六与十二之比同于甲乙二与戊己四之比矣。又戊己四与甲丁三相因得十二，戊辛六与戊己四相因得二十四，则十二与二十四之比同于甲丁三与戊辛六之比矣。夫甲丁三与戊辛六之比原同于甲乙二与戊己四之比，则六与十二之比亦必同于十二与二十四之比矣。又若两正方数之间，亦必有相连比例之一数也。如有甲四，丙九，两正方数，此四与九两数之间必有乙六为相连比例之一数焉。葢两正方数，其式既同，故必有相连比例一数，且两正方数之比例同于其两边所作连比例隔一位之比例【见几何原本七卷第五节】今甲方边为二，丙方边为三，求其与二三相当连比例之第三数，则以二自乘得四，以三自乘得九，以二乘三得六，此四与六，六与九之三数，即为与二三相当之连比例数，而其首数四与末数九既与甲丙两方数等，则中数六亦必为甲丙两方数间之连比例数矣。

第二十一凡同式两平方数相乘，得数为正方数也。如有甲乙丙丁六，戊己庚辛二十四，为同式两平方数相乘，得一百四十四，即为正方数矣。葢同式两平方数之间原有相连比例一数，今此六与二十四之间必有十二之一数，且连比例三率，以首末两率相乘，与中率自乘之数等，则此六与二十四两平方数相乘所得之一百四十四，即为中率十二自乘之数矣。又若两正方数相乘，得数亦仍为正方数，其方根即原两方根相乘之数也。如有甲四，丙九，两正方数，此两数相乘得三十六，仍为正方数，其方根为六，亦即甲方根二与丙方根三相乘之数也。葢此两方数俱为正方，即为同式两平方数矣，因其式同，故相乘亦仍得正方数也。凡数有先各自乘而后相乘者，有先相乘而后自乘者，其理无异，故其得数皆等。今以二自乘得四，以三自乘得九，复以四九相乘得三十六，此先各自乘而后相乘也。以二与三相乘得六，复以六自乘得三十六，此先相乘而后自乘也。且四与九积也，积与积乘仍得积；二与三根也，根与根乘仍得根，此亦理之必然者也。

第二十二凡两正立方数之间必有相连比例之两数也。如有甲八、丁二十七两正立方数，此八与二十七之间必有乙十二、丙十八为相连比例之两数焉。葢两正立方之比例同于其两边所作连比例隔二位之比例【见几何原本十卷第四节】今甲方边为二，丁方边为三，求其与二、三相当连比例之第三、第四数，则以二自乘得四，以三自乘得九，以二与三相乘得六，此四、六、九为连比例三数。又以二递乘此四、六、九三数得八、十二、十八之三连比例数。复以三递乘四、六、九三数得十二、十八、二十七之三连比例数。除相同者不计，其二十七即连比例之第四数，则八与十二、十二与十八、十八与二十七皆为与二、三相当之连比例数。而其首数八与末数二十七既与甲、丁两立方数等，则其中数之十二、十八为甲、丁两立方数间连比例之两数，可知矣。

第二十三凡两正立方数相乘，得数仍为正方数，而其方根即原两立方根相乘之数也。如有甲八、丁二十七两正立方数，此两数相乘得二百一十六，仍为正立方数，而其方根为六，亦即甲立方根二与丁立方根三相乘之数也。葢此两立方数俱为正方，即为同式两立方数矣。因其式同，故相乘亦仍得正立方也。凡数有先自乘、再乘而后以所得之数相乘者，有先以两数相乘而后以所得之数自乘、再乘者，其得数皆等。故二自乘再乘得八，三自乘再乘得二十七，复以八与二十七相乘得二百一十六，此先各自乘再乘而后以所得之数相乘也。以二与三相乘得六，复以六自乘再乘亦得二百一十六，此先以两数相乘而后以所得之数自乘再乘也。且八与二十七积也，以积乘积仍得积；二与三根也，以根乘根仍得根。此又理之自然者也。第二十四凡两平方数，若一边相等，则此两平方之比例同于其不等边之比例也。如有甲丙戊庚两平方数，其甲丙平方之甲乙边为四，而戊庚平方之戊已边亦为四；甲丙平方之乙丙边为六，而戊庚平方之己庚边为八。则此两平方数二十四与三十二之比，即同于其不等边六与八之比也。葢甲乙平方数二十四者，四之六倍；而戊庚平方数三十二者，四之八倍也。然则二十四与三十二之比，即同于六与八之比矣。二十四与三十二之比，既同于六与八之比，则两平方数之比例同于其不等边之比例可知矣。

第二十五凡两立方数，其底积相等，则此两立方之比例同于其髙之比例也。如有甲乙丙丁两立方数，其甲乙立方之戊乙底为六，而丙丁立方之己丁底亦为六。甲乙立方之甲戊髙为四，而丙丁立方之丙己髙为五。则此两立方数二十四与三十之比，即同于其两立方之高四与五之比也。葢甲乙立方数二十四者，六之四倍，而丙丁立方数三十者，六之五倍也。然则二十四与三十之比，即同于四与五之比矣。二十四与三十之比既同于四与五之比，则两立方数之比例同于其髙之比例可知矣。

第二十六凡两线两面两体用一度【如尺寸之属】可以度尽者，此类之线面体皆为有整分可以度尽者也。设如有甲乙两线，甲线分为五分，乙线如甲线度分之得七分无余，则此二线即为一度，彼此可以度尽者矣。若将此二线各为正方面，各为正方体，则其两面两体亦皆为整分，彼此可以度尽者也。至如两线两面两体不可以一度度尽者，此类之线面体皆为无整分可以度尽者也。如丙丁戊己方面，其丙丁边线为五分，而丙戊对角线则为七分有余，乃为彼此无度尽之数矣。葢以丙丁边之五分为度，则丙戊线得七分有余；或将丙戊线为七分整，而以其分为度，则丙丁线得五分不足。凡此类之线面体皆为无整分彼此可以度尽之数也。

第二十七凡正方一边线与对角线无一度可以彼此度尽者，葢以本方积与对角线所成方积比之，必有一数非正方数也。夫对角线自乘所作之方数，为本方积之二倍，如本方积一，则对角线所作之方为二；本方积四，则对角线所作之方为八。此一与二、四与八之间，无相连比例之整数，故一为正方数，则二非正方数；四为正方数，而八亦非正方数。二与八既非正方数，则边必有零余而不能尽矣。或对角线所作方积为四，则本方积为二；对角线所作方积为十六，则本方积为八。此四与二、十六与八之间，亦无相连比例之整数，故四为正方数，而二非正方数；十六为正方数，而八又非正方数。然则对角线所作方积固为正方数，而本方积复不能成正方数，其边必有零余而不能尽矣。故凡正方边线与对角线，断无一度可以彼此度尽之理也。

第二十八凡正方面与平圆面同径者，其积之比例同于其周围边线之比例也。如甲乙丙丁正方面，戊己庚辛平圆面，其戊壬庚之径相等，则此方积与圆积之比例同于方周于圆周之比例也。何以见之？以正方面之壬庚半径为髙，甲乙乙丙丙丁丁甲之全周为底，作一子甲直角长形方，则此长方形之积比正方形之积必大一倍。又以壬庚半径为髙，庚己己戊戊辛辛庚全周为底，作一壬庚直角长方形，则此长方形之积比平圆形之积亦必大一倍。凡直角三角形之小边与圆形之半径等，而三角形之大边与圆形之全周等者，三角形之积与圆形之积等也。今此长方形与三角形同底同髙，其积比三角形必大一倍，然则壬庚长方形比圆形大一倍可知也。夫壬庚子甲两长方形既同以壬庚为髙，则一边数等，一边相等，则其积之比例必同于其不等边之比例，而全与全之比例原同于半与半之比例，故两长方形之比例必同于庚庚与甲甲之比例，而方与圆之比例亦必同于庚庚与甲甲之比例矣。甲甲即方周，而庚庚即圆周，然则方周与圆周之比例岂非方积与圆积之比例乎？

第二十九凡有不知之一大数，用两小数度之，不尽而一有余，一不足者，其一多一少之数相并，以两小数之较度之，即得其度几次之分与大数之几何也。如有一大数，用小数五度之，多一数；用小数六度之，又少四数。则以多一与少四相加得五，以六与五两小数相减余一为较数除之，仍得五，即知两小数各度五次也。试排防以明之，其甲乙五即小数五，丙丁六即小数六。以甲乙五累五次，则为甲乙己丙正方二十五，多一为丁。以丙丁六累五次，则为甲戊丁丙长方三十，少四为戊庚。于甲戊丁丙长方三十内减去少数戊庚四为二十六，于甲乙己丙正方二十五加入多数丁一亦为二十六，是知大数有二十六，用此五六两小数各度五次之分也。以丁一与戊庚四相加为丁戊五，以小数甲乙五与丙丁六相减余一，以一除丁戊五仍得五，与甲丙相等，故甲丙为庚大数二十六之五次数也。若以比例言之，其小数五与六相减所余一者，乃度一次之较，而一多一少相并之戊丁五者，又为度五次之较，故以所余一与度一次之比，即同于戊丁五与度五次之比，其比例既同，故其数亦相等也。

第三十凡有不知之一大数，用两小数度之，不尽而俱有余，或俱不足者，其两有余或两不足之数俱相减，以两小数之较度之，即得其度几次之分与大数之几何也。如有一大数，用小数六度之，多五；数用小数七度之，仍多一。数则以两多数相减，余四；以六与七两小数相减，余一为较数除之，仍得四，即知两小数各度四次也。试排防以明之，其甲乙六即小数六，丙丁七即小数七。以甲乙六累四次，则为甲乙庚丙方二十四，多五为戊丁己。以丙丁七累四次，则为甲戊丁丙方二十八，多一为己。于甲乙庚丙方二十四加入多数戊丁己五，得二十九；于甲戊丁丙方二十八加入多数己一，亦得二十九。是知大数有二十九，用此六七两小数各度四次之分也。以己一与戊丁己五相减，余戊丁四；以小数甲乙六与丙丁七相减，余一；以一除戊丁四，仍得四，与甲丙相等，故甲丙为度大数二十九之四次数也。若以比例言之，其两小数相减所余之一，乃度一次之较；两多数相减所余之戊丁四，乃度四次之较。故以一与度一次之比，即同于戊丁四与度四次之比也。又如有不知之一大数，用小数八度之，少二；数用小数九度之，少六。数则以两少数相减，余四；以八与九两小数相减，余一为较数除之，仍得四，即知两小数各度四次也。今作防排之，其甲乙八即小数八，丙丁九即小数九。以甲乙八累四次，则为甲乙己丙方三十二，内少二数为乙庚。以丙丁九累四次为甲戊丁丙方三十六，丙少六数为乙庚丁戊。于甲乙己丙方三十二内减去少数乙庚二，为三十；于甲戊丁丙方三十六内减去少数乙庚丁戊六，亦为三十。是知大数有三十，用此八九两小数各度四次之分也。以乙庚二与乙庚丁戊六相减，余戊丁四；以小数甲乙八与丙丁九相减，余一；以一除戊丁，四仍得四，与甲丙为相等，故甲丙为度大数三十之四次数也。其比例亦以两小数相减，所余之较比度一次之分，即同于两少数相减，所余之较比度几次之分也。复有不知之一大数，用两小数度之一小数度之而尽，一小数度之而不尽【或有余，或不足】即以不尽之数【或有余之数，或不足之数】用两小数之较度之，即得其度几次之分与大数之几何。其理皆相同也。

第三十一凡数自少至多递加之而各有定率者，谓之平加比例数也。夫平加之数，有毎次递加一者，为挨次递加之数，如一二三四之类是也。有每次递加二者，为超位平加之数，如一三五七之类是也【或递加三，或递加四，或递加五六，皆是一理】有每次増一加者，为按位相加之数，如一三六十之类，其第二次加二，第三次加三，第四次加四，是也。有每次増二加者，为按位自乘之数，如一四九十六之类，其第二次加三，第三次加五，第四次加七，是也。复有一种倍加者，为挨次倍加之数，如一二四八之类，每次皆加二倍；又如一三九二十七之类，每次皆加三倍，是也。递加之数虽多，按其条理求之，大抵不出此数端，今各列数分析于后。

第三十二凡挨次递加之数，将首数与末数相加，以位数乘之，所得之数折半，即为总数也。如一、二、三、四、五、六、七、八、九之九数，其毎次所加之数为一，将首数一与末数九相加得十，以位数九乘之得九十，折半得四十五，即是此九数之总数也。何也？夫挨次递加之数为等边三角平面形，而两数相乘即成四方形。今以位数九为髙，末数九为底，相乘所得之正方形，其数八十一，较之总数则多，较之总数加倍之数又少。此所少即一行之数。爰知位数与底数相乘所得之数，比总数加倍之数少一行之数矣。既知挨次递加之数为三角形，而位数与底数相乘之数为正方形，又知位数与底数相乘之数几等于总积加一倍之数，则合两三角形之数，适当总积加一倍之方数矣。两三角形所合，其底数必比高数大一数，故末数九为底数者，加首数一与髙相乘，始成两三角形所合之一方形焉。试将此九数作防排之，自上而下，上一，下九，作为直角三角形。复将此九数另作一直角三角形，合于原三角形之侧，则成一长方形，其高即位数，其底即末数与首数相加之数，其积即为总数加一倍之数也。然则首数末数相加与位数相乘，为总数之倍数，可知矣。又如四、五、六、七、八、九之六数，欲知其总数，亦以首数四与末数九相加得十三为底，以位数六乘之得七十八为长方形，折半得三十九为总数，其理与前同。若但知首数为四，末数为九，不知位数，则视首数四以上至一虚几位，今虚三位，故以三与末数九相减，余六即位数也。何也？凡自一递加之数，其末数即位数，今首数为四，计自一是少三位矣，故用三即为所少之位数，于末数内减去所少之位，即为今之所有之位数也。第三十三凡超位平加之数，亦将首数与末数相加，以位数乘之，得数折半为总数也。如一、三、五、七、九、十一之六数【每次皆加二数】将首数一与末数十一相加，得十二，以位数六乘之，得七十二，折半得三十六，为此六位之总数也。葢此超位平加之数，与挨次平加之理无异，其以首末两数相加与位数相乘者，总欲得此总数之倍数，以便折半取之也。试将此六位之数作六层排之上，一下十一，以首末数相加得十二，而以位数乘之，则六层皆为十二矣。上层本首数一加末数十一而成十二，下层本末数十一加首数一而成十二，是首数末数俱加倍矣。二层本第二数三加第五数九而成十二，五层本第五数九加第二数三而成十二，是第二数第五数俱加倍矣。三层本第三数五加第四数七而成十二，四层本第四数七加第三数五而成十二，是第三数第四数亦俱加倍矣。其每位之数皆倍，则相乘所得之数，岂非此总数之倍数乎？由此推之，毎次加三、加四，或加五、加六，以至加七、加八、加九之类，凡系超位平加之数，其理无不相同也。

第三十四凡毎次按位相加之数，将位数加二与末数相乘，取其三分之一，即为总数也。如一三六一十十五之五数，其每次皆按位加之【如第二位于第一位一上加二为三，第三位于第二位三上加三为六是也】将位数五加二与末数十五相乘，得一百零五，以三除之，得三十五，即是此五数之总数也。如或止有位数，或止有每一边数求总数，则以位数加一与位数相乘得数，复以位数加二乘之，取其六分之一，即得总数也【若止有每一边数，即以每一边数加一与每边数相乘得数，复以边数加二乘之，取其六分之一得数亦同】葢毎次按位相加之数层叠排之，其式成等边三角体，其末一数即三角体底面数，而位数即毎一边之数。今以位数加二为髙，末数为底，相乘即成平行面之三棱体。凡同底同髙之平行面体为尖体之三倍，则此平行面三棱体内必有等边三角体之三倍，故以三除之即得也。然必以位数加二为髙者何也？以三三角体相凑乃成上下相等之平行面体，其髙必比原有之位数多二层【两三角面相合比原位数多一层，今三三角体相合故必比原位数多二层也】如止以位数为高，即少二层之数而不足三三角体之分，故必以位数加二乘之也。其止有位数或每一边数求总数，以位数加一与位数相乘，复以位数加二乘之，而用六除者何也？葢位数即底面之每边数，而底面又为等边之三角面。今以边数加一与边数相乘成长方面，为三角体底面之倍数，即如前挨次递加数之两三角面相合所成之长方形也。凡等髙之体底数倍者，积数亦倍。彼以位数加二乘三角体之底所成之平行面三棱体，既为等边三角体之三倍矣。今以位数加二乘三角体之倍底所成之平行面长方体，又必为等边三角体之六倍矣【以两三棱体相合即成长方体，一三棱体为三角体之三倍，则两三棱体必为三角体之六倍矣】故以六除平行面长方体之数，而得等边三角体之数也。又或但知首数末数，而不知位数，则以末数倍之，用一为较数，开▯纵平方，即得位数焉。葢末数倍之者，即两三角面所合之长方也，其阔即三角每边数，其长比阔多一数，故用一为较，开带纵平方，则得三角毎边之数。既得每边数，即得位数矣。

第三十五凡每次按位自乘相加之数，将位数折半与末数相加，复以位数加一乘之，取其三分之一，即为总数也。如一四九十六二十五之五数，其每位之数皆按位自乘之数【如第二位之四，即二自乘数；第三位之九，即三自乘数也】将位数五折半为两个半，与末数二十五相加，得二十七个半，复以位数五加一为六乘之，得一百六十五，以三除之，得五十五，即为此五数之总数也。如止有位数，或止有每一边数求总数，则以位数加半个与位数相乘得数，复以位数加一乘之，取其三分之一，即得总数也【若只有每一边数，即以每一边数加半个与每一边数相乘得数，复以每边数加一乘之，取其三分之一得数亦同】葢按位自乘相加之数层叠排之，其式成方底四角尖体，其末一数即四角尖体底面数，而位数即毎一边之数。今以位数折半与末数相加，则成长方面为底，再以位数加一为髙乘之，即成平行面之长方体。凡同底同髙之平行靣体为尖体之三倍，则此平行面长方体内必有四角尖体之三倍，故以三除之即得也。然必以位数折半与末数相加为底，复以位数加一为髙者何也？葢三四角尖体相凑，乃成上下相等之长方体，其底比正方面必多半行，其髙必比原有之位数多一层【三等边三角体相合，比三角体原位数多二层；今三方底四角尖体相合，比原位数止多一层，葢因方底比三角底式大一倍，故四角体髙比三角体髙所加之数减一半也】如止以末数为底，则底必少半行之数；止以位数为髙，则髙复少一层之数，必不足三四角尖体之分，故以末数加位数之半，而以位数加一乘之，适足三四角尖体之分也。其止有位数，或每一边求总数，以位数加半个与位数相乘，复以位数加一乘之，而用三除之者。何也？葢位数即底靣之毎边数，而底面又为正方面。今以边数加半个与边数相乘，成长方面，比正方止多半行之分。其理即如求三角体总数，以边数加一与边数相乘，为三角体底之倍数也。以位数加一与底面相乘，成长方体，比方底四角尖体大三倍。即如求三角体总数，以位数加二与倍底相乘，为三角体之六倍也。彼三角体底倍之为长方，此四角体底数加半行即为长方。彼三角体总数六倍爲同边长方体，此四角体总数三倍为同边长方体。故三角体以边数加一与边数相乘者，今四角体以边数加半与边数相乘；而三角体以位数加二为髙与倍底相乘者，今四角体以位数加一与本底加半行相乘。总之，四角体底式比三角体底式大一倍，故立法时三角体加数几何，而此四角体皆用其半也。又或但知首数末数而不知位数，则以末数开平方即得位数焉。葢末数本为正方数，故开方即得毎边数，既得毎边数，则得位数矣。

第三十六凡每次倍加之数，将末数与加倍之数相乘，减去首数，复以所加之分数除之，即得总数也。如二、四、八、十六四数，为毎次以二倍之之数，欲求其总数，则以末数十六用二乘之【因以二倍之故用二乘】得三十二，减去首数二为三十，复以其所加分数一除之，仍得三十，即此四数之总数也。葢以二加倍之数，其末一数比前几位之总数止多一首数，故二乘末数则比末数多一分，仍多一首数，故减去首数二而以一除之，即得总数也。又如三、九、二十七、八十一四数，为毎次以三倍之之数，欲求其总数，则以末数八十一用三乘之【以三倍之故用三】得二百四十二，减去首数三为二百四十，复以其所加分数二除之，得一百二十，即为此四数之总数也。葢以三加倍之数，其末一数为前几数之倍数而仍多一首数，今三乘末数则比末数多二分，仍多一首数【三乘末数八十一则为八十一者有三除本数八十一仍为多二分也】故必减去首数三而以二除之，即得总数也。又如四、十六、六十四、二百五十六四数，为毎次以四倍之之数，欲求总数，则以末数二百五十六用四乘之【以四倍之故用四】得一千零二十四，减去首数四为一千零二十，复以其所加分数三除之，得三百四十，为此四数之总数也。葢以四加倍之数，其末一数为前几数之三倍而仍多一首数，今四乘末数则比末数多三分，仍多一首数【四乘末数二百五十六则为二百五十六者有四除本数二百五十六仍为多三分也】故必减去首数四而以三除之，即得总数也。凡此倍加之数，不论加倍几何，皆为相连比例之数，故其比例皆同。如递加二倍之数，其四与八之比同于二与四之比，即八与十六之比亦皆同于二与四之比也。又如递加三倍之数，其九与二十七之比，同于三与九之比。即二十七与八十一之比，亦皆同于三与九之比也。即递加四倍之数，其十六与六十四之比，同于四与十六之比。即六十四与二百五十六之比，亦皆同于一与四之比也。总之，以二倍加者，皆一与二之连比例；以三倍加者，皆一与三之连比例；以四倍加者皆一与四之连比例，即推之以五倍。加六倍，加者其理亦无不相同也。

御制数理精蕴上编卷五<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴》>钦定四库全书