数度衍卷十二

数度衍卷十二

桐城　方中通　撰开平方【少广之七】

珠算开平方法通曰：「四算中，惟尺算不便于开方，而珠、笔、筹法亦不同，故分衍之。」式横叄百贰十肆，问平方一靣几何？曰：十八术。列实于卯辰己下，约初商一十，置子位，亦置未位为方法，左右相呼曰：一一如一，除实一百，卯位叄变二，余实二百二十四。以方法一十倍为二十，为亷法，变未位一为二，约次商八，置丑位，亦置申位为隅法，先左右二八相呼曰：二八一十六，除实一百六十，卯位实尽，辰位贰变六，余实六十四。次左右八八相呼曰：八八六十四。除实，六十四辰，己二位，实尽则所商之一十八，即方靣也。通曰：「次商与初商不同，须视实内除亷外，尚有隅之自乘否？如次商八，除二八一百六十之外，余实尚有六十四可除，隅八之自乘，故用八。若止余六十三，则不用八而用七矣。」归除开平方式，积五万四千七百五十六，问平方一靣几何？曰：二百三十四。术：置实盘中，初商二百，置实首左位，另置二百于右，左右相呼曰：二二如四，除实四万，余实一万四千七百五十六，以右二百倍作四百为法，归除之，呼曰：四一二，余二，逢四进一十，得三十为次商，置右四百之下，呼曰：三三如九，除实九百，余实一千八百五十六，又以右下三十倍作六十，共四百六十为法，归除之，呼曰：四一二，余二，逢八进二十，得四为三商，置右六十之下，呼曰：四六二十四，除实二百四十，呼曰：四四一十六，除实十六，实尽，变为二百三十四，即方面也。

笔算开平方法式积贰千壹百壹十防万捌千肆百○肆，问平方一靣几何？曰：四千六百○二。术：列实八位，从末位肆下作防，隔位一防，共四▯，知有四回商数也。实首防在次位，以贰壹相连作二十一者，然也。应用自乘，有几十几数者为商。今初商用四，注初防下亦纪格，右相呼四四一十。六于实贰千壹百，内除一千六百。抹去贰，壹变伍。完首叚矣，余实伍。百壹十防万捌千肆百○肆第二。叚实至次▯止曰：「伍壹防先立亷。」法倍初商四为八，注实壹下空，次。防一位以待，隅法乃商伍十壹内。【作五十一】有六囬八，即用六为次商，纪初商四，右亦注六于次防下为隅法，如八十六者然也。乃与次商相呼，先呼六八除实四百八十，抹去伍壹，变叄，又呼六六除实三十六万，抹去叄防，变壹，完第二叚矣。余实壹万捌千肆百○肆，第三叚实至三防，止曰壹捌肆，其格右四六倍作九十二为亷法，注九于实壹下，二于实捌下，空三防一位以待隅法，壹内不可除九，遇此则知商有○位，竟作○于商数四六之右，以作第三商，完第三叚矣。余实如故，第四叚实至四防，止曰壹捌肆○肆，其格右四六○作四百六十，倍作九百二十为亷法，注九于实捌下，二于实肆下，○于实○下，空四▯一位以待隅法，乃商壹十捌内【作一十八】有二囬九，即用二为四商，纪商数四六○之右，亦注二于四防下为隅法，如九千二百○二者然也。乃与四商相呼，先呼二九除实一万八千，抹去壹捌，又呼二二除实四百，抹去肆，又呼二二除实四数，抹去肆，实尽，完四叚矣。则格右之四六○二即方面四千六百○二也。通曰：「初商防在实首者，三以前用一，八以前用二，九则当用三。防在实首，次位者，十五以前用三，二十四以前用四，三十五以前用五，四十八以前用六，六十三以前用七，八十以前用八，九十九以前用九，满百则防又在实首矣。」用命分式，术倍前商数加一为母，余实为子，依法命之。如设积六十，开方初商七，除实四十九，余实十一。今倍前商七作十四，加一得十五为母，以余实十一为子，命曰七又一十五之一十一。而缩试并初商及分数自之，用竒零整带零与整带零乗法【详笔算下】得二二五之一三四五六。以一三四五六为实，以二二五为法，除去四十九囬，二二五余二四三一，得四十九又二二五之二四三一也。其二四三一之内尚有十囬二二五，如亦归整，并四十九为五十九又二二五之一八一，则不及原积六十矣，故曰缩。若倍初商不加一为母，命为十四之十一，试自之得六十又一九六之一四一，则又过原积而盈矣，举成数可也。又术，如开方不尽实，又欲得其小分，则通为小数，须于余积之右加两○，化一为百也，如法开之，得根数当命为一十分之几分也。或加四○，化一为万，开得根数，命为一千分之几分也。如设积六十，巳商七，不尽实十一，欲得其细分，于右加六○，是十一化为一千一百万也，如法开之，又得商七四，当命为一千分之七十四也。竒零开平方式。术，凡开方不尽，实用命分，第一术，又不尽者，用盈不足对稽可也。如实二十者，初商四，除实十六，余实四，依命分法，立子母，化初商，用整带零与整带零乘法，得八十一之一千六百，以小除大，当以八十一除一千六百也，除得一十九零八十一之六十一【一千六百内有十九囬八十一余六十一】又不尽者，八十一之二十，必须另立一法【满八十一则归整一数，止得六十一，尚余二十】用盈不足对稽，如前用四自乘盈四，用五自乘又不足五也，以不足五对前四，又九九之四【前四者初商也，九之四者倍初商加一为母，九余实为子，曰九之四】而以少减多【以五为原数，以四又九之四为减数】用竒零整内减整及零法，余九乏五，乃以前四零九之四倍之为八零九之八，并入减余九之五，除去整八在外。以九之五与九之八相并，用竒零同母加法，归整得一。

零九之四乃以在外之整八并入一为九得九零九之四也又以此九零九之四为除数，以前余未尽八十一之二十【余实也】为原数，用竒零整带零除零法除，得六千八百八十五之一百八十也，又以此除得数与前九之四十相并【九之四十者，倍初商四，加一共九为母，余实四为子曰九之四，又用化法以初商四乘母九，得三十六，再并子四得四十，是以四零九之四化为九之四十也】用竒零异母加法子母互乗并母并子得六万一千九百六十五之二十七万七千○二十也，归整以少除多，母数少为法，除二十七万七干○二十得四，尚余二万九千一百六十，是为四零六一九六五之二九一六○也，约之得十七分之八，乃知实二十者，开方得四零十七分一之八也。通曰：「以开方得四，化之每一数作十七，共化为六十八。」又并入八，得七十六，为平方一面。之数也，自乗得五千七百七十六。为方积实二十，亦化之。每一数作。十七之自乗，共化为五千七百八十，较之方积则多四也。即以初商四，后之余实四，化为一千一百五十六，以二亷及隅较之。先并八与十七相乗之数八，得一千○八十八。又并八自乗，共得一千一百五十二，又少四也。则余实有终不能尽者矣。又术以四开二十，不尽。今用四零二之一以求之，倍初商四得八为母，以不尽实四为子，曰四零八之四，约之。

得四零二之一化之得二之九【以四乗母二得八加子一共九故化为二之九】母子各自乗得四之八十一，归整以母四除，子八十一，得二十零四之一，则实不足矣。另置四之一为实，将前四零二之一倍数得九为法，除之，以九立一为母，曰一之九，倒位曰九之一，与四之一相乗，母乗母，子乗子，得三十。六之一，又将三十六之一与前二之九相并，两母相乗，得共母七十二，母子互乗，得各子一，曰七十二之二，一曰七十二之三。百二十四又相减，于三百二十四内减二，余三百二十二，是七十二之三百二十二也。再以七十二为法，除三百二十二归整，得四零七十二之三十四，约为四零三十六之一十七。

筹算开平方法【见前筹算】

平方积较和开法平方长濶不等者，以长濶相乗为实积，以长濶相减为较，以长濶相并为和。积和求较，式积八百六十四，长濶和六十，问长多濶几何？曰：十二。术：以和六十自乗，得三千六百，四因积，得三千四百五十六，相减余一百四十四，平方开之，得一十二，为长多于濶之较。通曰：积者，勾股相乗之直积也。此乃积与勾股和，求勾股较之法。积较求和式，积八百六十四，濶不及长十二，问长濶和共几何？曰：六十。术：四因积，得三千四百五十六；不及十二，自乗得一百四十四；相并得三千六百，平方开之，得六十，为长濶和。通曰：「此乃积与勾股较，求勾股和之法。衍此二式，以起后法。」

平方积较求濶积与较求濶者，其长之积多于濶，若非加法以带除，其长当于实积内抽减其长之积，故其法有二：一以较为纵方，并纵入方，曰带纵开平方；一以较为减积，以方乗减，曰减积开平方。

一带纵开平方法式直积捌百陆十肆，濶不及长壹十贰，问濶几何？曰：二。十四术列实定防，以带纵壹十贰随。实首列之初，商二纪格右，亦列首防。下并纵首，壹为三抹，二壹而注，三相。呼二三，除实六，首位实捌，变二又呼。

二贰除实四次位实陆变二完首▯余实二百二十肆倍初商二为四作亷法列次位实下此退位列也亦退位列带纵以亷四并纵壹为五抹四壹而注五次商四纪格右亦注末防下为隅法以隅四并纵贰为六抹四贰而注六相呼五四除实二十抹首位余实二又呼四六除实二十四次位余实二三位实肆皆抹去实尽所商二四即濶二十四也又式术如：实贰十叄万○肆百，纵防百贰十。初商可用四，但纵首防并四为十一。实首贰叄，无四十四可除。遇此须减商作二【三亦多故用二】纪格右亦注。首防下，并纵防为九抹二七，而注九。相呼二九，除实一十八，抹贰叄，变五。又呼二贰除实，四五变，四○变，六完。首叚余实四万六千肆百倍，初商二，作四为亷法，列实○下，又列纵于亷下，次商四，纪格右，亦注次防下为隅法，以亷四并纵防为十一，抹四防而注一左位，又注一【此十也】以隅四并纵贰为六，抹四贰而注六，乃以次商四呼首一曰一四除实四，抹四又呼次一曰一四除实四六变二，又呼四六除实二十四，二肆皆抹去，实尽尚有末防未开，当于格右纪○以作三商，则知直方濶二百四十，长九百六十也。

通曰以濶并纵得长也又式术：若实数首位寡而带纵数多，不能开者，虽防▯在首位，亦退一位列商纵，而减一商也。如实壹万陆千壹百贰十捌，带纵防十贰数多，即减一商【三防止两商也】退列纵于次防下，起初商九，纪格右亦注次防下，并纵防为十六，抹九防而注六，左位注一，相呼一九除实九，抹首壹陆变七，又呼六九除实五十。四七变一，壹变七，又呼贰九除实。一十八，七变五，贰变四，完首▯倍。九得一十八，为亷法。列之，退列纵。

次商六纪格右亦注末防下为隅法以亷八并纵防为十五抹八防而注五左位进一并亷一为二以隅六并纵贰为八如法呼除实尽得濶九十六长一百六十八又式　术其实首数多带纵数少可以开除者仍照所防叚位开之如实叄万捌千肆百带纵贰百首位叄自为一叚初商一纪格右注首位下并纵贰为三呼一三除实叄完首▯倍一作二为亷注次位并纵贰为四次商二纪右注次防下为隅呼除实尽尚剩一防未开商后加一○得濶一百二十长三百二十又式术若防▯开位少而带纵位反多【加三防该百而带纵至千之类】以初商置首防下，以带纵大数进左列之【必首叚系二位者方有此例】如实壹十玖万捌千带纵壹千伍百叄十，遇此则列纵亦须以百随百而进千矣。初商一纪右注首防下。次纵伍当随一下列之【初商一百也，次纵伍亦百。也】首纵壹进列首位下以初商一并纵伍为六，先与纵壹呼。一壹除实，壹。再呼一六，除实六；再呼一三，除实三。完首，▯倍初商一，作二，为亷注三，位实下带纵壹退，从次位起列伍于亷二下，并为七，次商二，纪右注次防下，并纵叁为五，依法与次商呼除，又加一○，得濶一百二十，长一千六百五十。又式，术带纵，并商数有共一十者，进位再并可也。如实防万贰千纵肆百捌十防在首位初商一纪右注首防下纵首随列以一并纵肆为五呼除毕余实一万四千，倍初商作二为亷。注次位纵亦次列，并二肆为六，次商二。纪右注次防下，先呼二六除十二，首位余实一，抹去次位余四，变二。然后以商二为隅者，并纵八为一十，进位注一。本位注○，乃呼一二除二，实尽。又加一○得濶一百二十，长六百。通曰：旣列次商，带纵先以亷二并纵肆为六，又以隅二并纵捌为一十，进一于所并六下，以一六并为七，然后以次商二与七相呼，二七除一十四，抺首位，余实一，次位余实四，亦便。又式术：若实数、纵数、商数俱多者，襍糅易淆，务须先将带并之数逐一归并，各注本位之下，乃以呼除，始不紊乱如实壹十陆万陆千肆百陆十肆纵壹千○捌十捌初商一纪右注初防下三防知初商系百位以纵百位，○随列初商下列纵壹千于进位。初商一与纵○无并，仍是一。先以右一与纵壹呼一，壹除一。又以右一与商一呼一，一除一。又以右一与纵捌呼一，捌除八。又以右一与纵尾捌呼一，捌除八。完首▯余实四万七千六百陆十肆。倍初商得二，为亷。注三位实下退列纵数以相并。亷二与纵○无并，仍是二。次商三，纪右注。次防下并纵捌为一十一，改三捌为一进位○下注一。又改二○一为三，并毕。须以最下横列之壹三一捌为主，皆与右三相呼除实也。除毕完次叚，余实八千一百二十肆。倍前商一三作二十六，为亷。空末防位以待隅注。而以六注第五位实下二，注第四位实下退列纵数以相并。先以亷六并纵捌得一十四，注四于捌下进位注一。又以亷首二并所进一得三，改二○一为三。三商六，纪右注。末防下并纵末捌得一十四，改六捌为四进位四加一改作五，并毕。以最下横列之壹三五四为主，皆与右六相呼除实也。除毕实尽，得濶一百三十六，长一千二百二十四。通曰：「凡图，最上为余实，最下为并纵。并纵者，并亷隅纵，为开方之法数也。右七式，用前积较求和之法，得和减纵半之，即濶。然其变不可不知耳，求长亦然。」

二减积开平方法减积者，于实内减股之积，以就其方也【股即长也】式直积捌百陆十肆，濶不及长壹十贰，问濶几何？曰二。

十四术列实防位另将不及壹十贰为减积以商数乗之而列乗数初商二纪右注首防下乗减积得贰十肆，随位列之，相对减原积，首位实捌减贰余六，次位实陆减肆余二，余实六百二十肆。然后以初商呼除，二二除四，首位余实六变二，完首叚，余实二百二十肆。倍初商二得四，为亷。注次位实，下次商四，纪右注末防下为隅。以隅乗减积得肆十捌，亦随位列之，相对减余实，首次两位余实二十二减肆，首位二变一，次位二变八，次三両位余实八十肆减捌，次位八变七，三位肆变六，共余实一百七十六。然后以次商与亷隅呼除，四四除一十六，抺首位余实一，次位七变一，又呼四四除一十六，抺次位一，三位六实尽，得濶二十四。通曰：凡定商数，须减积后余实，视有商数之自乗否，勿以原实定商也。初商列初防下，初乗首数亦随初防下列之。二叚亷退初商一位，则次乗亦退一位也。

平方积较求长积与较求长者，其濶之积少于长，若非益积以补濶，则当损其法之长也。求法有二：以较为负纵乗上商，以添积曰负纵益积，开平方；以较为减纵，而以负纵减方法，曰带减纵开平方。

一负纵益积开平方法式直积捌百陆十肆，濶不及长壹十贰，问长几何？曰：三。

十六术列实防位另列不及壹十二为负纵而初商则约所増负纵之乗商之如首位捌开法宜用二因有负纵之乗乃商三纪右注首位下为方法，而以乗负纵得叄十陆，注叄于首位，陆于次位，以并原积捌陆【作八十六】得一二二【作一百二十二】次位陆变二，首位捌变二，进位置一【实首左位】益积得一千二百二十肆。乃以方法呼除，三三除九，完首叚，余实三百二十肆。倍三作六为亷。注次位次商六，纪右以乗负纵得防十贰，退位列之【退初乗位】以并余积三二肆【作三百二十四】得三百九十六。末位肆变六，次位二变九，另置一算为负隅，以次商六乗之，仍得六为隅法。乃以次商呼除，六六除三十六，又呼六六除三十六，实尽，得长三十六。

通曰甲戊己丁形原积八百六十四也戊乙丙己形益积四百三十二也甲戊濶二十四甲乙长三十六戊、乙乃长濶之较，十二合成甲、乙、丙、丁，形乃股羃也，股。

即长也初商三十自乗得九百二亷濶六长三十又各相乗得一百八十隅六自乗得三十六又式　术直积贰十叄万○肆百长濶较防百贰十列实防位列较、为负、纵初、商九【九百】纪右注。

首防下为方法以乗负纵得陆肆捌【六万四千八百】以益积，随首列之共加得实为八七八肆○○，以方法呼九九除八十一完首叚，余实六八肆○○，倍九得一十八为亷，注八于次防之进位，注一于首防，下次商六【六十】亦乗负纵得肆叄贰【四千三百二十】以益余积，退位列之共加得余实为一一一六○○，又以次商六乗负隅一，仍得六，注本叚防下为隅法，乃呼一六除六六，八除四十八，六六除三十六，实尽尚余一防作○，得长九百六十二带减纵开平方法式直积捌百陆十肆，濶不及长壹十贰，问长几何？曰：三十六。术：列实，另列不及壹十贰为负纵。初商三【三十】纪右，以负纵减之余一十八，挨注首防下为方法。先呼三八除二十四，八上陆，变二进位，捌变六，后呼一三。除三一上六变三【先呼一三亦可】余实三百二十肆，乃于另列初商三，右加○【作三十】以并方法得四十八为亷。注次位，次商六，纪右注末防下为隅，而并入亷内得五十四。六八并，改四进位，四改五，乃呼次商五，六除三十四，六除二十四，实尽，得长三十六。若商数减后，首位多于实首，亦照例退位。通曰：初商三十，减纵得十八，相乗除积五百四十。次商六，并方法为亷四十八【二亷共长四十八也】相乗除积二百八十八。隅六，自乗除。

积三十六又式有两方共积若干，第云以小方之一靣乗大方之一面共若干，问两方面各几何者？如大小二方共积六千五百二十九，以小方大方各一边相乗得叄千壹百贰十，先倍两方乗积得六千二百四十，以减共积，余二百八十九，平方开之得较壹十防，乃列二方乗数为实，以较为负纵，初商六【六十】纪右，以负纵减之余四十三，注初防下为方法，呼初商四六除二十四，三六除。一十八，余实五百四十。又于初商六右加○【作六十】以并方法得一百○三为亷。注下【以末三齐次防止】次商五。纪右注尾防为隅，并入亷内共一百○八。乃呼次商一五，除五五八，除四十，实尽。得大方面六十五，以较一十七减之，得小方面四十八。通曰：「甲乙丙丁，大方形也。丁壬戊癸，小方形也。以丙丁边乗丁癸边，得丙丁癸己形，倍之得庚辛己癸形，以减共积乙壬戊癸甲，磬折形则以丙壬戊己形补甲子丑庚形而」后减之余，乙子丑辛，形为较羃也。甲乙六十五，减甲子四十八，余乙子一十七。

一带纵益隅开平方法式直积捌百陆十肆，长濶和陆十，问濶几何？曰：二十四。术：列实，以和为带，纵初商二【二十】纪右。注首防下自乗得四百，为负隅以益。积共加得实一千二百陆十肆，乃以初，商呼带纵曰：“二陆除实一千二百。”余实陆十肆倍方得四，为亷。注次位，次商四。纪右注尾防为隅，以次商乗亷四十，得一百六十。又以次商乗隅四，得一十六。皆并入余实，共加得余实二百四十。乃以次商呼带纵曰四陆，除实二百四十，实尽得濶二十四。

通曰甲乙丙丁形原积也丁丙己戊形益隅方积也子方初商二十自乗得四百丑寅二亷各长二十，与次商四相乗，各得八十，共为一百六十。卯隅四，自乗得十六，共益积五百七十六也。戊庚二十，庚己四，戊至己共二十四为濶。乙丙三十六为长，乙至己共六十为和。又式，术。又如直积贰万壹千陆百肆十捌，长濶和贰。

百玖十陆列实防位置和为带纵初商一【一百】列右为初方。

法注首防下自乗得一万以益积首位贰变三乃以初方法呼带纵除实一贰除二首位三变一一玖除九次位壹变二进抺一一陆除六三位陆变○余实二千○肆十捌倍方得二为亷注退位次商三纪右为次方法注次防下为隅亷隅共二百三十以乗次方法三十得六千九百益入余积三上○变九二上二变八共加得余实八千九百肆十捌乃以次方法呼带纵贰三除六二上八变二三玖除二十七三上九变二进抺二三陆除一十八四位肆变六进抺二余实六十捌又倍次方法得六为次亷注退位【第四位也】并入前亷二百得二百六十三商二纪右为三方法注尾防下为隅次亷隅共二百六十二以乗三方法二得五百二十四益入余积尾捌变一进位六变九又进位加五共加得余实五百九十二乃以三方法呼带纵二贰除四二上五变一二玖除一十八六上九变一进抺一二陆除一十二实尽得濶一百三十二二带纵负隅减纵开平方法式直积捌百陆十肆，长濶和陆十，问濶几何？曰：二十四。术：列实，防位，置和为纵，方初商二纪。右注首防下，以乗负隅，一仍得二为。方法以减纵陆○余四○随首位注。之呼初商二四，除八抺捌，余实陆十肆，倍方二得四，为亷。注退位亦乗负隅一，仍得四【四十】以减纵陆○，余二○。注下次商四纪右。注末防下为隅，又以隅四减余纵二十余一十六。附注乃与次商相呼，一四除四四，六除二十四，实尽得濶二十四。或初商除实讫，即以初商再减余纵，以所余为纵方，以次商再减为下法，亦可。盖倍初商为亷，以减原纵，与以初商减余纵之余数相同，即可不立亷矣。通曰：「甲乙癸子，全形乃和，与濶相乗之形也。内甲乙丙」

己戊丁磬折形为原积此外皆负积也初叚减壬癸纵二十次叚减丙辛纵二十又减辛壬纵四，余乙丙纵十六，乃原积形内之数，故不减。今以原积形内之干形补原积形外之坤形，而成甲乙辛寅形，得濶二十四，长三十六。又式术列实陆万玖千叄百陆十，长濶和防百捌十贰，为纵。初商一【一百】乗负隅一，仍得一，以减纵防，余六。随首列余纵六捌贰，与初商相呼，一六除六，一捌除八。一贰除二余实一千一百陆十倍方得。二为亷【二百】注退位以减纵余五捌贰。退位附列，而纵余五，多于实余一，遇。此纪○于右作次商倍方一○得二。为亷【二百】注次防下，以减纵余五捌贰，退位附列三商二注尾防为隅，以余纵与次商相呼，二五除一十二，捌除一十陆，实尽得濶一百二十。通曰：「纵尾贰，须先以隅二减之，纵余止五捌○也。」又式：术若以积与虚长濶共若干，而欲求其濶及长者，如直积捌百陆十肆，三长五濶共二百二十八，求濶者，以三乗直积，得贰千伍百玖十贰为实【三长原有三积，故以三乗】五为负。

隅【暗添五濶之积】以共贰百贰十捌为带纵列实防位初商二乗负隅五得一十【一百】以减纵首贰余一随首列余纵一贰捌与初商相呼一二除贰二贰除四二捌除一十六余实三十贰又以初商二乗负隅五得一十【一百】减余纵首一止余纵贰捌【即倍方为亷也】次商四乗负隅五得二十再减余纵贰十止余捌注末防下以呼次商四捌除三十贰实尽得濶二十四如右式求长者以五乗直积得肆千叄百贰十为实以三为负隅以共贰百贰十捌为带，纵初商三，以乗负隅三，得九【九十】以减纵，余纵一百三十捌。挨注首位下，与初商相呼，一三除三，三三除九，三捌除二十四，余实一百八十。复以初商三乗负隅三，得九【九十】以减余纵止，余四十捌。次商六，亦乗负隅三，得一十八，以减余纵止，余三十。注余实下，与次商相呼，三六除一百八十，实尽，得长三十六。又式，术又有以积与虚长濶和较共若干，求濶及长者，如直积八百六十四，一长二濶三和四较，共叄百壹。

十贰数乃约三和自具三长三濶以并一长二濶共四长五濶又以四较益濶为四长共得八长而余一濶，求濶者，以八长乗直积，得陆千玖百壹十贰为实，以一濶为负隅，以共数为带纵，初商二，以乗负隅一，仍得二【十也】以减纵，余纵二百九十贰，列实下，以呼初商二，二除四二九，除一十八二，贰除四，余实一○七贰，又以初商二乗负隅一，得二十，以减余纵，止余二百七十贰，次商四，又乗负隅一，得四，以减余纵，止余二百六十八，列余实下，与次商相呼除实尽，得濶二十四。求长者，以一濶乗直积为实，以八长为负隅也，当用翻法详后。又式，术又有以虚长虚濶，约其子母，共若干与积若干，求长濶者。如直积二千三百五十二，只云长取八之五，濶取三之二，并得六十三，以两母互乗三八，得二十。

四以乗并得之六十三得壹千伍百壹十贰为带纵而以长母八乗濶子二得十六为濶率以濶母三乗长子五得十五为长率则知此带纵数内具有长十五濶十六也，求濶者以长一十五乗直积得叄万伍千贰百捌十为实，以濶一十六为负隅，初商四【十也】乗负隅得六百四十，以减纵余纵八百七十贰。注实下与初商相呼，四八除三十二，四七除二十八，贰四除八，余实四百。又以初商所乗隅算之六百四十减余纵，止余二百三十贰。次商二乗负隅得三十二，亦减余纵，止余二百。列余实下与次商相呼，二二除四，实尽得濶四十二。以除直积二千三百五十二得长五十六。通曰：「以长十五乗积为实，有三防而直积之二三五二，止两防，仍以直积定商位，故知初商为十也。余纵列位，常随实首，今纵八多于实首三，故照例退位。」

平方积和求长积与和求长者，原积有长濶相乗而无长自乗，宜损濶以益长，故以和为纵方，而置一算为负隅，稍赢其商以减其纵，用减余者以除积，而积常不足，则翻以积减纵而余为负积，或再商命隅以减纵，而纵反不足，亦翻以纵减商而余纵，三者俱负，乃以负纵约余负积，商命负隅开之，是为带纵负隅减纵翻法开平方也。

带纵负隅减纵翻法开平方法式直积捌百陆十肆，长濶和陆十，问长几何？曰三十六。术：列实，以和为纵，方一为负隅。初商三，乗负隅，仍得三十，以减纵，余三十。列实下与初商相呼，三三应除九百。【三十其三十也】而实数不足，遇此则翻列九。百于原积之上，而以原积捌百陆十。肆减之余，负积三十六，即为余实，再以初商乗负隅之三十，减余纵，减尽，乃约余实，得次商六。以乗负隅一，仍得六。注尾防呼次商六，六除三十六。

实尽得长三十六通曰：「己丙丁戊，形初商余，纵相乗之。」九百也，内减去己壬庚辛丁戊，磬折。形原积八百六十四，余壬丙辛庚形。三十六，在原积之外也。以子形移至丑形，成甲乙癸戊形，得濶二十四，长三十六。又式，术如直积叄千肆百伍十陆，长濶和壹百贰十。求长者列实以和为纵，一为负隅。初，商七乗，负隅，仍得七十，减纵余。五十与初商相呼，五七应除三千。五百而原积不足，乃翻以三千五。百列上而以原积减之余四十四为余实，又以初商所乗之七十减余纵，而余纵亦不足，乃翻以余纵五十减初商乗数七十，余二十为亷，注三位下，而纵又为负，次商二，注尾防为隅，亷隅共二十二，呼次商除之，实尽，得长七十二。

又式　术有虚立长濶和较求长者如直积捌百陆十肆一长二濶三和四较共叄百壹十贰依前法衍得八长一濶以一濶乗直积为实捌长为负隅共数为纵方列实初商三乗隅捌得二百四十以减纵，余七十贰，列实下，呼初商三七，应除二千一百六十，而积不足，乃翻以二一六列上【二乃千数故进位】而以积减之余，负积一千二百九十六，即为余实，又以初商所乗之二百四十减余纵，而余纵亦不足，亦翻以余纵七十贰减之余，负纵一百六十八，次商六乗负隅捌得四十八，又并入负纵一百六十八得二百一十六，列实下，以呼次商除之，实尽，得长三十六。通曰：「凡减法，原以小减大，故宜用翻法也。」

平方带纵诸变纵方之术，所以通平方之变；而翻法一术，又所以通纵方之穷。此外，有积与二濶较及长濶较求濶者，皆以错综为用，以取其条理也。衍之于左。

一带纵减积开平方法式三广田积贰千肆百陆十伍歩，云中广不及南广八。歩亦不及，北广三十六歩，又不及。正长六十七歩，问三广各几何？长几何曰：中广十八歩，南广二十六。歩北广五十四歩，正长八十五歩。术列积为实，并不及二广共四十四，以四除之，得壹十壹为带纵，以不及长陆十防为减积，初商一【十也】并带纵得二十壹，随首防列之为方法，以乗减积，得一千四百○七，依千百位列实下，先以此呼初商一一除一一，四除四，一七除七，余实一○五八，次以方法二壹呼初商一二除二，一壹除一，完首叚，余实八四八，倍初商一作二为亷，并带纵壹十壹及减积陆十防共九十八为方法，注退位，次商八，注末防，并方法得一百○六，列下呼次商一八除八六，八除四十八，实尽，得中广一十八，各加不及，合问。通曰：「初叚以乗减积数，依列位并方法为一六一七，呼除亦便。」二减积，带纵负隅，并纵开平方法。式大小二方共积七千五百九十二，大方面较小方面。

多二十八问大小方面各几何曰大方面七十四小方靣四十六术较自乗得七百八十四以减积余陆千捌百○捌为实，倍较得伍十六为带纵，二为负隅，初商四，乗负隅二得八十，并纵共一百三十六为方法，注积下，呼初商一四除四三，四除一十二，四六除二十四，余实一三六捌，倍初商作八十，并初方一三六共二百一十六为亷，注退位，次商六，亦乗负隅二得一十二为隅，并入亷内共二百二十八，呼次商除之，实尽得小方靣四十六，加较得大方靣七十四又式，术如大小三方共积四千七百八十八，大方面。

多小方靣三十中方面多小方面十二【大方面多，中方面十八也】求各面者以较三十自乗得九百以较十二自乗得一百四十四，相并得一千○四十四，以减共积，余叄千防百肆十肆为实，并二较得四十二，倍得捌十肆为纵，以三为负隅，初商二乗负隅三得六十，并纵共一百四十四为方法，列实下呼初商一二除二二四除八，又二四除八，余实八百六十肆，倍初乗隅六十得一百二十为亷，并纵得二百○四，注退位为方法，次商四乗负隅三得一十二为隅，并方法共二百一十六，呼次商除实尽，得小方靣二十四，加较十二得中方面三十六，又加较十八得大方面五十四。通曰：「负隅用二者，二方故也；用三者，三方故也。」

三隅算开平方法凡圆者之四，可当方者之三，并方圆之率为七。用七为隅算，以求之。式方，圆共积二千二百六十八，方，面圆径相等，问靣径。

俱几何曰方面圆径俱三十六术四乗原积得玖千○防十贰为实列七为隅算初商三乗隅算七得二百一十，为方法。呼初商二三，除六一三，除三，余实二七。防贰倍初商得六十，为亷。次商六乗隅算七得四十二，为隅。又以次商六乗亷六十得三百六十，并隅得四百○二。又并入亷六十，共四百六十二。呼次商除实尽，得方面圆径俱三十六。又术，以四乗原积得九千○七十二，并方四圆三得七为法，除之得一千二百九十六为实，平方开之得三十六。更防四带纵隅益积开平方法式方不知积，但以长乗一，长二，濶三，和四，较之共数得肆万肆千玖百贰十捌，长濶较贰十肆，问长几何？曰：七。

十二术列所乗共数为实置较为益纵约三和得三长三濶以并一长二濶得四长五濶又并四较取四濶为长总得八长一濶共九叚以九为负隅初商七乗负隅九得六百三十为隅法又以初商七乗益纵二十四得一千六百八十注实下以益积共加得实肆万六千六百○捌却以隅法六百三十注实退位与初商相呼六七除四十二三七除二十一余实二五○捌乃倍隅法六百三十得一千二百六十为方法注实退位次商二又乗负隅九得一十八为隅法另以次商二乗益纵二十四得四十八并入余实共加得余实二五五六却以方隅并得一千二百七十八与次商相呼除实尽得长七十二五带纵负隅减纵开平方法同右法，或损长以就之，则用此也。式一长二濶三和四较，以长乗之，得肆万防千贰百壹十贰，长濶较二十八，问长几何？曰七十四。术列实较。为纵如右式推得九为负隅初商七乗负隅九得六百三十为方法内减带纵二十八余六百○二退位注呼初商六七除四十二二七除一十四，余实五○七。贰倍方法六百三十，得一千二百六十。内减带纵二十八，余一千二百三十二，为亷。列余实，下次商四，乗负隅九，得三十六，为隅法。并亷共一二六八，呼次商除实尽，得长七十四。

六减积带纵隅益积开平方法又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较之共数得若干求长者用此式设有一长二濶三和四较之共数，以濶乗之，得二万。

九千九百五十二其较二十四问长几何曰七十二术以较自乗得五百七十六以减原乗积余贰万玖千叄百防十陆为实，较为益纵六为隅算，初商七乗隅算六得四百二十为隅法。注实下，又以初商七十乗益纵二十四得一千六百八十，以益原实得三万一千○五十陆。乃以隅法呼初商四七除二万八千，二七除一千四百，余实一千六百五十陆。倍隅法四百二十得八百四十为亷，次商二乗隅算六得一十二为隅法。另以次商二乗益纵得四十八，以益余实得一千七百○四。乃并亷隅二法共八百五十二。注余实下呼次商除实尽，得长七十二。七带纵，负隅，减纵，益积，开平方法。

通曰右式亦可以此法求之式设有一长二濶三和四较之共数，以濶乗得贰万玖。

千叄百肆十捌长濶较二十八问长几何曰七十四术列实较为纵九为负隅【如前法】初。

商七乗负隅得六百三十为方法内减纵二十八余六百○二注实下又以乗纵得一万六千八百五十六以益原实得四万六千二百○四为实乃以初商与余方法六百○二相呼六七除四万二千二七除一百四十余实四千○六十四倍方法六百三十得一千二百六十减纵余一千二百三十二为亷次商四乗负隅得三十六为隅法以乗纵得一千○八以益余实得五千○七十二为余实并亷隅二法共一千二百六十八与次商相呼除实尽得长七十四八带纵亷开平方法式一长二濶三和四较，以濶乗得贰万玖千玖百伍十贰，长濶较二十四，问濶几何？曰四十八。术列实，减较之半得一十二为纵亷，而以初商乗之。初商四十为方法，以乗纵亷得四百八十，又并初商得五百二十，退位注实下，呼初商五四，除贰万二四，除八百余实玖千一百伍十贰，倍所乘纵亷四百八十为九百六十，倍方法四十。为八十相，并得一千○四十，为方法。次商八为隅，以乗纵亷十二，得九十六。再并入方隅，共一千一百四十四。注实下，呼次商除实尽，得濶四十八。

九带纵亷负隅开平方法通曰右式亦可以此法求之式一长二濶三和四较，以濶乗，得贰万玖千叄百肆十。

捌长濶较二十八问濶几何曰四十六术列实推得共八较九濶用九为负隅以八乗较得二百二十四为纵亷初商四乗负隅九得三百六十，为方法，并纵亷共五百八十四。注实下呼初商五，四除贰万四，八除三千二百，四四除一十六，余实五千九百八十捌。倍方法三百六十为七百二十，为亷，并纵亷共九百四十四。次商六乗负隅九得五十四，为隅，再并入亷并纵亷之九百四十四得九百九十八。注实下呼次商除实尽，得濶四十六。

十带纵方亷开平方法式一长二濶三和四较，以长乗得肆万肆千玖百贰十。

捌长濶较二十四问濶几何曰四十八术列实以较为纵方推得八长一濶共九▯倍九为一十八作纵亷初商四十为方法，乗纵亷十八，得七百二十，并入方法四十，共七百六十，又并入纵方二十四，共七百八十四。注实下呼初商四，七除二万八千，四八除三千二百，四四除一百六十余，实一万三千五百六十。捌倍纵亷乗并之七百六十，为一千五百二十，并入纵方二十四，共一千五百四十四，为亷。次商八乗纵亷十八，得一百四十四，为隅。乃将次商八，亷一千五百四十四，隅一百四十四，共并得一千六百九十六。注实下呼次商除实尽，得濶四十八。十一带纵亷负隅乗纵减实开平方法。式一长二濶三和四较，以长乗得肆万防千贰百壹十。

贰长濶较二十八问濶几何曰四十六术列实推得八长九▯用八乗较得二百二十四为纵亷用九为负隅又以较二十八为减，纵方初商四十，乗负隅九得三百六十为方法，并入纵亷共五百八十四为下法，以乗减纵二十八得一万六千三百五十二，以减实，余三万○八百六十为实。乃以下法五百八十四列下，呼初商五四，除二万，四八除三千二百，四四除一百六十，余实七千五百。倍方法三百六十得七百二十，并纵亷二百二十四共九百四十四为亷。次商六乗负隅九得五十四为隅，又以乗减纵二十八得一千五百一十二，以减余实，余五千九百八十八为余实。乃将亷九百四十四，隅五十四共并得九百九十八列下，呼次商除实尽，得阔四十六。通曰：「正积可以防定位，乗积亦可以防定位。故列乗积三防，而商止二位耳。盖乗积虚増，而非实有也。」

开平圆【少广之八】

积求外周法式圆积二千三百五十二，问外周几何？曰：一百六十八。术：置积，以十二乗之，得二万八千二百二十四，为实，平方开之，得一百六十八，为外周也。

积求内径法式圆积二千三百五十二，问内径几何？曰：五十六。术：置积，以四乗之，得九千四百○八；以三除之，得三千一百三十六，为实。平方开之，得五十六，为内径也。

数度衍巻十二<子部,天文算法类,算书之属,数度衍》>钦定四库全书