卷三十四 志第一

译本朝宣城人梅文鼎、婺源人江水，都深通数理。他们指出《授时历》在制定时大致有几处疏漏：第一，是岁余和岁差的增减。一年的小余，古代较大，今天较小；一方面是由于太阳本轮直径的差异，另一方面是由于最卑点的移动。《授时历》考察古代时，增加岁余而减少岁差；推算未来时，则增加岁差而减少岁余。其实并没有找到其中的根本原因，只是迁就成法来处理。表面上似乎严密，实际却很疏略，不足以作为准则。第二，是岁实的消长。天体运行有盈有缩，进退都是逐渐发生的，不可能突然增加或突然减少。《授时历》规定每百年消长一分，这就意味着一百年之内都没有误差，超过一年便突然增减一分；再积一百年又把这部分差额平均掉一分，超过一年又突然增减一分。这种推算法并不存在。第三，是二十四节气采用恒气。当时把高冲点与冬至看作同度，把最高点与夏至看作同度；以冬至作为盈的开始，以夏至作为缩的开始，把这些作为盈缩的固定界限。因此把两个冬至相距的日数平均分成二十四节气，认为这符合天体运行的平均数。假如五十多年以后，高点和低点各向东移动一度，那么平冬至便会和定冬至不相合；到了极端，平冬至和定冬至相差两天，难道还能够把两个定冬至相距的日数平均分作二十四节气吗？况且，《授时历》推求冬至，是从丙子年立冬以后开始的。按照每天测得的日影，取冬至前后日影差相同的日期作为标准，得出丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻；又定戊寅年冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯年冬至在戊申日夜半后五十七刻，庚辰年冬至在癸丑日夜半后八十一刻，辛巳年冬至在己未日夜半后六刻。推求岁余，自宋代大明年间以来，得到冬至时刻实测准确数值的共有六次，以这些冬至相互间隔的时间计算，各自得到应当采用的岁余，考验四年，彼此相符而没有差错。又从大明壬寅年到现在相距八百一十九年，按每年应得三百六十五日二十四刻二十五分计算，比大明历术减少十二秒；其中二十五分，就是今天历法应采用的岁余数。根据这两件事考察，《授时历》当年确定的岁实已经有细微误差。再查考史书，也有许多相互抵牾之处。一年的小余是二十四刻二十五分，积累四年应得九十七刻。丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻，那么辛巳年冬至应当在己未日夜半后五刻，不应是六刻。如果以辛巳年的六刻为正确，那么丁丑年的冬至应当在九刻，也不应是八刻半。这四年的数据既然都是实测所得，已经相差半刻以上了。可是却说彼此相符而没有差错，这是什么缘故？又考查大明五年十一月三日乙酉日夜半后三十二刻七十分辰初三刻的冬至。大明壬寅年到至元辛巳年相距八百一十九年，按《授时历》的岁实累积，共为二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分；而从乙酉日辰初三刻到己未日丑初二刻，共为二十九万九千一百三十三日九十二刻，相差多出三十三刻。既然说从大明壬寅年到今天每年应得这个数，又是什么缘故？又说比大明历术减少十一秒。考查大明历术所记的法数，一周年的小余是二十四刻二十八分一十四秒；《授时历》减去的是三分一十四秒，并不是十一秒。再说，古代太阳本轮与均轮半径的差，大于今天，所以均数的加减也应当更大，冬至岁实也应当更多。至元辛巳年间，高冲点大约与冬至同度，因此岁实尤其大，小余刻以下的分数约有三十分；可是《授时历》定为二十五分。这样看来，丁丑到辛巳这四年之间本来就应有年刻的差异，而郭守敬没有察觉。以上这些问题，都足以订正《授时历》的错误。现在撮取其中的大意写在这里，以供研究历法的人参考。至于《授时历》用平方、立方来求盈缩迟疾差，这仍是开方一类的旧方法；又用天元一术从弧矢推算数值，以圆周率三、直径一为基础，也失于粗疏。如果用弦和矢求弧背，前后所得的误差不均：象限以内误差偏大，象限以外误差偏小。这一点也不能替前人隐讳。《历经》《历议》都是郭守敬撰写的。世祖征召李谦撰写《历议》，不过是润色他的书而已，李谦不能独自创作。《札马鲁丁万年历》实际上就是明代人使用的回回历，《明史》中已有详细记载，这里不再论述。蒙古起初没有历法。太祖十五年，驻跸在撒马尔干城，回鹘人上奏说五月十五日会发生月食。中书令耶律楚材用《大明历》推算，认为月亮应亏损二分，食甚在子正时刻；可是还没有过初更，月亮已经发生月食了。这一年二月和五月初一，西南方都出现了细月。耶律楚材认为旧历不验，于是另行制定《庚午元历》。他以《大明历》为基础，减去周天七十三秒，岁差也减去七十三秒。以中元庚午年，即国家军队南伐、天下大致平定之年，推上元庚午年天正十一月壬戌朔日子时的冬至，作为太祖受天命的符瑞。又因为西域和中原相距超过万里，按照唐代僧人一行所说的里差，加以增减修正。东西各地的测候，不再采用同一套形式。于是上表驻地说：“汉、唐以来，历法经元创制的已有不止百家；各地气候有早有晚，朔望有快有慢，日月二曜有盈有亏，五星有出有没、伏有起有落，疏密没有定准，先后也不相同。这大概是由于都城所在地各不相同，或者历法年代逐渐久远，不得不有所差异。唐代历法改了八次，宋代历法改了九次，金代《大明历》一百年才改一次。如今这里距离中原万里，用过去的情况衡量现在，过去精密而现在疏略，东边的差异小而西边的差异明显。“如今二月、五月初一，月牙出现在西南方；与历法推算相比，月相都提前出现了。”自汉、唐以来，关于历法和计算的书籍已经很完备，却都没有这种说法。这一年正月、四月虽然都是小尽月（只有二十九天），但初一也没有出现月亮。当时太祖正在西域用兵，这部历书最终没有颁行使用。耶律楚材曾说，西域历法对五星的推算比中原精密；他又作《麻荅历》，如今已经失传。楚材的父亲耶律履在金朝末年作《乙未元历》，楚材更加依据其中的文字撰成一书，改名为《庚午元历》。

译世祖至元四年，西域人札马鲁丁采用回回历法撰成《万年历》，世祖稍加采用。这种历法是默特纳国王马哈麻制定的。元代从西域阿刺必年开始，即与隋开皇己未年相应，不设置闰月，以三百六十五日为一年。一年分为十二宫，每宫有闰日；一百二十八年共闰三十一日。以三百五十四日为一周，一周分十二个月，每月有闰日；三十年共闰十一日。历经一千九百四十一年，宫、月、日、时辰重新会合。这就是它制定历法的大概情况。至元十三年，世祖平定宋朝，下诏让前中书左丞许衡、太子赞善王恂、工部郎中郭守敬设立机构，改订新历。在此以前，太保刘秉忠认为《大明历》被辽、金沿用已久，逐渐出现推算落后的情况，曾建议修订。不久刘秉忠去世，这件事就搁置了。到这时，世祖想采用他的建议，于是命王恂和郭守敬率领南北各地的日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨源、王素、岳铉、高敬等人，分别负责测验和推步；又因许衡能够推究阐明历法原理，便让他参与其事。郭守敬首先说：“历法的根本在于测验，而测验所用的器具，没有比仪表更重要的。如今司天台的浑仪，是宋代皇祐年间在汴京制造的，与这里的天度不相符合；比较南北两极，大约相差四度。表高一百年便深陷地下，而且又倾斜不正，不能使用。” 于是把它的各种弊病全部考察清楚，迁移并重新安置。随后又另选地势明爽高敞之处，用木材搭建重层台棚，创制简仪和高表，用来相互测量校验。又认为天枢星附着于极点而运行，古人曾经伸管仰望，却没有得到准确结果，于是制造候极仪。极星的位置确定以后，天体的方位就可以校正，于是制造浑天象。浑天象虽然形状相似，却没有适当的用途，于是制造玲珑仪。用表测量天体的正圆，没有比以圆求圆更合适的，于是制造仰仪。古代有固定不动的经纬仪器，郭守敬则改造它，制造立运仪。太阳有中道，月亮有九道，郭守敬把它们合并考察，制造证理仪。表高而影虚，模糊的影象不是真实结果，于是制造景符。月亮虽然有光，但观察月影很困难，于是制造窥几。历法是否准确，关键在于日月交会，于是制造日月食仪。天上有赤道，用圆轮来对应它；南北两极有高低，用标记来指示它，于是制造星晷定时仪。以上共十三类。又制造正方案、九表、悬正仪、座正仪，共四类，供四方巡行测量使用。又制造仰规、覆矩图、异方、浑盖图、日出入永短图，共五类，与前述各仪器相互参照。至元十六年，改机构为太史院，以太子赞善王恂为太史令，郭守敬为同知太史院事，授予印章，正式设置官府。这一年，上奏呈进仪器和表的式样，郭守敬面对皇帝指陈其中的原理，逐一说明，周详完备。从早朝一直到天色已晚，皇帝也没有感到疲倦。郭守敬上奏说：唐代一行在开元年间命令天下测量日影，书中记载的共有十三处。如今疆域比唐代更大，如果不在远方测验，日月交食的分数和时刻会不同，昼夜长短会不同，日月星辰距离天顶的高低也会不同。可以先在南北各地竖立表，取得直线测量的日影数据。”皇帝批准了他的奏议。于是设置监候官十四人，分赴各道，相继出发。先测得：南海，北极出地十五度；夏至日影在表南，长一尺一寸六分；白昼五十四刻，黑夜四十六刻。衡岳，北极出地二十五度；夏至日到表端没有影子；白昼五十六刻，黑夜四十四刻。岳台，北极出地三十五度；夏至日影长一尺四寸八分；白昼六十刻，黑夜四十刻。和林，北极出地四十五度；夏至日影长三尺二寸四分；白昼六十四刻，黑夜三十六刻。铁勒，北极出地五十五度；夏至日影长五尺一分；白昼七十刻，黑夜三十刻。北海，北极出地六十五度；冬至、夏至的日影都长六尺七寸八分；白昼八十二刻，黑夜十八刻。后来又测得：上都，北极出地四十三度不足。大都，北极出地四十二度有余；夏至日影长一丈二尺三寸六分；白昼六十二刻，黑夜三十二刻。益部，北极出地三十七度不足。登州，北极出地三十八度不足。高丽，北极出地三十八度不足。西京，北极出地四十度不足。太原，北极出地三十八度不足。安西府，北极出地三十四度半有余。兴元，北极出地三十三度半有余。成都，北极出地三十一度半有余。西凉州，北极出地四十度有余。东平，北极出地三十五度多。大名，北极出地三十六度。南京，北极出地三十四度多。阳城，北极出地三十四度。扬州，北极出地三十三度。鄂州，北极出地三十一度半。吉州，北极出地二十六度半。雷州，北极出地二十度多。琼州，北极出地十九度多。至元十七年，新历编成。郭守敬上奏说：

译臣等私下听说，帝王的政事没有比制定历法更重要的。自黄帝观测太阳、推演历数，帝尧设置闰月以确定四时、形成一年，舜观察璇玑玉衡以校齐日月五星七政。到了夏、商、周三代，历法还没有固定的规则，周、秦之间，闰余次序错乱。西汉制定《三统历》，经过一百三十年，是非才开始确定。东汉制定《四分历》，七十多年后仪器制度才完备。又过一百二十一年，刘洪制定《乾象历》，才认识到月亮运行有迟有速。又过一百八十年，姜岌制定《三纪甲子历》，才认识到可以用月食冲的位置来检验太阳所在的宿度。又过五十七年，何承天制定《元嘉历》，才认识到可以用朔、望和上下弦来确定大小余。又过六十五年，祖冲之制定《大明历》，才认识到太阳有岁差之数，北极星距离不动的位置有一度多。又过五十二年，张子信才认识到日月运行的交道有内外之别，五星有迟速、留止和逆行。又过三十三年，刘焯制定《皇极历》，才认识到太阳运行有盈缩。又过三十五年，傅仁均制定《戊寅元历》，大量采用旧有仪器制度，才开始使用定朔。又过四十六年，李淳风制定《麟德历》，认为古历以章蔀为元首、分度不齐，于是开始使用总法，采用进朔来避免晦日早晨看见月亮。又过六十三年，僧人一行制定《大衍历》，才认识到朔日有四个大月、三个小月，并确定九服各地日月交食的差异。又过九十四年，徐昂制定《宣明历》，才认识到日食有气差、刻差、时差三种差异。又过二百三十六年，姚舜辅制定《纪元历》，才认识到食甚时刻还有泛余差数。以上共一千一百八十二年，历法著作有七十种，改变创制方法的共有十三家。从这以后又过一百七十四年，恭敬地思念圣朝统一天下、开始创建华夏制度，于是专门命令臣等改订新历。臣等创制简仪、高表，根据实测所得的数值考订和订正了七件事：第一是冬至。自丙子年立冬以后，按照每天测得的日影，逐日比较，取冬至前后日影差相同的日期为准，得出丁丑年冬至在戌日夜半后八刻半。又测定丁丑年夏至在庚子日夜半后七十刻。又确定戊寅年冬至在癸卯日夜半后三十三刻；己卯年冬至在戊申日夜半后五十七刻半；庚辰年冬至在癸丑日夜半后八十一刻半。各项都减去大明历十八刻，远近都与阳历相合，前后也符合标准。第二是岁余。自刘宋《大明历》以来，凡是通过测量日影、验证节气而得到冬至准确时刻的，共有六次；用它们相互间隔的时间计算，都得到应采用的岁余。现在考验四年，彼此相符而没有差错。又从宋代大明壬寅年到今天相距八百一十年，每年应得三百六十五日二十四刻二十五分，其中二十五分就是今历应采用的岁余数。第三是日躔。用至元丁丑年四月癸酉望日的月食来推求太阳的位置，得到冬至日太阳位于赤道箕宿十度，黄道箕宿九度有余。又依据每天测得的太阳运行度数，或依据星宿测月，或依据月亮测太阳，或直接依据星度测太阳，制定推算方法。从丁丑年正月开始，到己卯年十二月结束，共三年，得到一百三十四项数据，太阳都运行在箕宿，与月食结果相符。第四是月离。自丁丑年以来直到今天，根据每天逐时测得的太阴运行度数进行推算变化，从黄道上求出月亮进入交点后运行最快以及平行的位置，前后共十三次交转。总计五十一项数据，除去不真实的以外，得到三十项。由此得出大明历中月亮入转以后运行落后的情况；又经考验日月交食，把大明历增加三十刻，便与天道相合。第五是入交。自丁丑年五月以来，根据每天测得的太阴距极度数，与推定的黄道距极度数相比较，得到月道与黄道相交的情况，共有八项。又依照日食的法度推求，都能得到食分和发生的时刻，与大明历的差异并不大。第六是二十八宿距度。自汉代最初的历法以来，各宿距度有所不同，彼此都有增减。《大明历》在度数下面附加太半少等余分，都是凭主观意图牵强安排，从未实测这些数值。如今新制仪器把周天的度分刻画得很细，每度分为三十六分，用距线代替以管窥测宿度余分，并且完全依据实测，不凭主观意图牵强附会。第七是日出入和昼夜刻数。《大明历》关于日出、日入和昼夜刻数，都是以汴京为标准，其刻数与大都不同。如今改为根据当地北极出地的高低以及黄道出入地平线内外的度数，制定方法推求每天的日出、日入和昼夜刻数。得到夏至白昼最长时，日出在寅正二刻，日入在戌初二刻，白昼六十二刻，黑夜三十八刻；冬至白昼最短时，日出在辰初二刻，日入在申正二刻，白昼三十八刻，黑夜六十二刻；永远以此作为定式。新创制的方法共有五项：第一是太阳盈缩。用春分、秋分、冬至、夏至四个正点确定节气，建立升降差的计算规则，再用招差法求出太阳每天运行分数在起点和终点的最大差额及其累积度数，比古法更加精密。第二是月亮运行的迟速。古代历法都采用二十八限，如今把一日的万分之八百二十分作为一限，共分为三百三十六限，依照层层累积的招差法，求出月亮转周度数的进退；月亮运行迟速的度数还可以逐时推算，这是过去从未有过的方法。第三是黄道、赤道的差数。旧法把一百零一度相减相乘。如今依据算术中勾股、弧矢、方圆、斜直之间的关系，求得度率、积差和差率，确实与天道相吻合。第四是黄道、赤道的内外度数。根据多年实测，内外最大度数为二十三度九十分，以圆容方、直矢接勾股的方法求每天距极的度数，和实测结果相符。第五是白道交周。旧法由黄道变化推求白道，用斜线求斜线。如今采用竖立浑仪比量，得到白道与赤道正交，并且距离春分、秋分两个黄赤道交点十四度六十六分，把它作为计算标准。推算每月白道与二十八宿相交的度分，在道理上已经完备。诏令赐名为《授时历》。至元十八年，把新历颁行天下。至元十九年，郭守敬认为推步的方法和立成表中的数值都没有定稿，于是撰写《推步》七卷、《立成》二卷、《历议拟稿》三卷、《转神选择》二卷、《上中下三历注式》十二卷，上表呈进。至元二十年，又下诏让太子谕德李谦根据郭守敬的《历议稿》重新加以修订，以阐明新历顺应天道、求得符合的原理。

译大德三年八月初一，按新历推算，巳时将有日食二分多；到了这个时刻却没有发生，台官都很害怕。保章正齐履谦说：“应当发生日食而没有发生，古代就有这种情况。何况现在接近正午，阳气旺盛、阴气微弱，应该会出现应食而不食的情况。”于是考查唐代开元以来应当发生日食却没有发生的事，共十例，上报朝廷。大德六年六月初一，按新历推算，戌时将有日食五十七秒，众人认为交点很浅，而且接近浊限，想隐瞒不报。齐履谦说：“我所掌管的是通常的数值，至于发生不发生日食，则取决于上天。”只有他独自据实上报。到了那个时刻，果然发生了日食。大概天体高远难以穷究的事情，必须经过长时间、反复的验证，才能看出端倪。《授时历》推算日食的方法，比前代十三家最为精密，但仍不能完全避免相差几刻。因此，元代一朝共发生日食四十五次，其中推算会发生而实际没有发生的一次，实际发生而没有推算出来的一次，夜间发生日食却误报为白天的一次。齐履谦认为，日食发生与否取决于上天，如果还拘泥于前人关于应食而不食、或不应食而食的错误说法，就是最严重的欺罔。泰定年间，齐履谦任太史院使，认为《授时历》施行五十年而从未重新推考，于是每天测量日影，并观测早晚五星的宿度；从至治三年冬至、泰定二年夏至天道运行的实际时刻中，各减去现行历书所载的二刻，撰成《二至晷景考》二卷。《授时历》虽然有《历经》和《历串》，但《历经》用来说明确定的法则，《历串》用来记录已经计算出的数值；至于这些方法为什么如此、数值从何而来，却写得简略而不详细。于是又作《经串演说》八卷，阐发其中的内在原理。当时鄱阳人赵友钦推演《授时历》的原理，撰写《革象新书》五卷，被称为新历之学。他的《历法改革篇》说：“历法从古代发展到今天，已有六十多种。汉代的《太初历》大体上还有可取之处，但仍然疏略而不够精密。唐代一行制定《大衍历》时，当时认为它很精密；以今天的眼光看，仍然十分粗疏。大概历法施行的年限短，误差少，尚未被察觉；时间久了，误差逐渐积累增多，就不能不改订。因此应当随着时代不断测验，以求得真实数值。他的《日道岁差篇》说：“《统天历术》认为周天赤道为三百六十五度二十五分七十五秒，一周年为三百六十五日二十四分二十五秒，每百年岁差一度半；但它又说一周年的数值逐渐不同，上古的岁策较大，后世的岁策较小。这样看来，上古岁差较小，后世岁差较大。如今的历法对此加以推究，制定岁策递减递增的方法：向上考察古代，每百年增加一秒；向下验证未来，每百年减少一秒。” 他的《黄道损益篇》说：“冬至、夏至这两天，黄道的度数处于平缓状态；在收敛变窄处，每度大约取得十分之九又二分，并斜行到与赤道相交。如今《授时历》的方法推算冬至太阳位于箕宿。由此可知，寅、申两方的度数最少，巳、亥两方的度数最多，其余各处的多寡较为接近。” 他的《积年日法篇》说：“前代制定历法的人，逆向推求古代上元，以求历年总会，所以必定要制定日法。但有所谓截元术，只把推步所得的定数顺算、逆考，并不求得彼此齐同。如今《授时历》采用旧历截元的方法，凡是积年日法都不采用。” 他的《日月盈缩筒》说：“月亮每天运行十三度多又十九分之七，但有时提前，有时迟后，误差可达到四五度。东汉刘洪开始考察研究，知道月亮运行有盈缩。隋代刘焯开始认识到太阳运行也有盈缩，盈缩最大的时候在春分、秋分，平均差有二度多。李淳风有推算月孛的方法，认为月孛六十二日运行七度，六十二年运行一周天。所谓孛，是彗星的一种光芒；光芒偏斜的称为彗，光芒向四方发出、形如浑圆的才称为孛。然而以月亮命名为‘孛’，是因为孛所在的位置，就是太阴运行最迟的地方；太阴运行到孛星对冲的位置时，运行最快。孛星并不经常出现，所以只根据太阴运行最迟的地方来测定它。” 他的《月有九道篇》说：“月亮运行出入黄道以内和以外，距离黄道最远六度二分。月道与黄道相交的地方，在两个交点的起始处称为罗喉，在交点的中部称为计都。从交初到交中，月亮在黄道以外，称为阳限；从交中到交出，月亮在黄道以内，称为阴限。所谓九行，应当用图来比较说明。四幅图各有两条黄道，像一个圆环，都把环的南方定为夏至，北方定为冬至，西方定为春分，东方定为秋分。取一幅图画青道，与黄道在南北相交，南交点为罗喉，北交点为计都。青道的两边，一边从黄道西侧进入东侧，是内青道；另一边从黄道东侧出到更东，是外青道。又取一幅图画白道，也与黄道在南北相交，南交点为计都，北交点为罗喉。白道的一边从黄道东侧进入西侧，是内白道；另一边从黄道西侧出到更西，是外白道。又取一幅图画朱道，与黄道在东西方向相交，东交点为计都，西交点为罗喉。朱道的一边进入黄道以南，是内朱道；另一边出到黄道以南更远处，是外朱道。” 又取一幅图画黑道，也与黄道在东西方向相交，东交点为罗喉，西交点为计都。黑道的一边进入黄道以南但在其北面，是内黑道；另一边出到黄道以北更远处，是外黑道。虽然画了四幅图，但四图中的八道其实只是一条道。本来是八道却称作九行，是因为北道运行时与黄道相交，所以把它说成九道。八道经常变化，不能安置在浑仪上，也不能画在星图上。能够完整表示的只有黄道、赤道两道。为了区别于黄道，所以把赤道涂成红色。赤道与八道大多相交，距离有远有近；朱道最远十八度，黑道最远三十度，青道、白道约远二十四度。”

译他的《地域远近篇》说：“古人竖立八尺高的表，用来验证四时的日影。地中的地方，夏至时影子在表北一尺六寸，冬至时影子在表北一丈三尺。向南到交广、向北到铁勒等地验证，结果都各不相同。表高八尺，似乎失于太短。至元以来，表长四丈，确实是万古不变的定法。所谓土圭，自古就有。然而地面上各地天象有早晚差别，太阳接近人时，日影移动必定快；正午太阳离人较远时，日影移动必定慢。世间的土圭都只是画上刻度罢了，哪里能避免正午侵入巳未时刻而使早晚时刻都发生偏差？地中地区已经如此，若在八方偏远地区验证，土圭不能作为标准就更加明显。偏东地区，早晨日影移动快，晚上移动慢，正午日影提前到达；偏西地区，早晨日影移动慢，晚上移动快，正午日影延后；偏北地区，刻度较少而日影移动慢；偏南地区，刻度较多而日影移动快。如果南方越地影子很短，日影指向南方，而子午线又反复变化，那就会产生更加严重的错误和颠倒。”他的《日月薄食篇》说：“太阳是圆的，实体较大；月亮也是圆的，实体较小。太阳运行轨道的周围也大，月亮运行轨道的周围也小。太阳道距离天体较近，月亮道距离天体较远。日月的实体和它们运行的轨道，虽然有大小宽窄的差别，但月亮离人近，太阳离人远。因此，由于距离近，月亮的实体看起来可以和太阳道一样宽。日食、月食应当按照天体的经纬度来推算。经度相同而纬度不同，只叫作合朔；经度、纬度都相同，合朔时就会发生交食。人仰望太阳，看到太阳被月亮黑色的实体遮挡，所以称为日食；但太阳的实体并没有真正受损，所谓‘食’只是勉强取的名称。日月在同一躔度相对而行，如果望日不在两个交点前后，就不会发生月食；望日在两个交点前后，就一定会发生月食。至于月食是全食还是不全食，要根据距离交点的远近来推算。太阳和月亮的圆径相差一倍。太阳直径一度，月亮直径只有太阳的一半；但因为月亮离人近，看起来也相当于一度。这就像用省秤称出一斤，再用复秤称量，斤两虽相同，实际轻重却有差异。太阳圆径是月亮的两倍，所以暗虚的圆径也是月亮的两倍。月亮既然按一度计算，暗虚就有二度宽。月食的分数只根据距离交点的远近来判断，不另外按四时加以校验。八方所见的月食分数都相同。日食则不是这样。旧历说：假如中国一地看到日食全食，太阳正下方的地方才亏损一半，那么在境外从另一方向观看，就可能已经相交而不发生日食。为什么这样说呢？” 日月好比大小两个球，共同悬挂在一根绳上。太阳在上、月亮在下，二者相距稍远；人在正下方仰望，黑球把红球完全遮住，就像日食全食。如果从旁边观看，就会因距离远近不同而产生差异，所以食分也有多有少。” 他的《五纬距合篇》说：“古人只知道五星之间的距离和度数，不知道还有变化的数值需要加减。北齐张子信仰观天象多年，才知道五星运行也有盈缩变化，应当在常数上加减，以求出它们每天所在的躔度。之所以如此，是因为五星既不沿黄道运行，也不沿月亮的九道运行，而是各自出入黄道以内外、运行于自己的轨道。它们因距离太阳有远有近而运行有迟有速，就像人的脚力有勤有倦，还要有变化的数值加减；又好比道路有直有斜、有曲有弯。他的《勾股测天篇》说：‘古人测量日影，认为相距千里便有一寸差异，仍然不够亲切准确。如今另行确定表的制度，并叙述元代已有的算法。在地中南北相距数百里的地方，仍不偏向东西，各自竖立一根表，约高四丈。在表顶下方几寸处开一个方孔，外宽内窄，中间薄得像连接两边的部分，两旁像侧放的漏斗底部，形状圆而孔为方形。以南北两表日影的数值相减，所得的余数称为景差。两表相距的里数，分别乘以南北两表的日影长度，再各自除以景差，就得到相应的数值。两表与太阳直射地相距的日数，各自加上平远数，再把所得数分别乘以表高，最后各自除以表影长度，就得到相应的数值。’ 太阳圆轮顶端与太阳直射地之间的距离数，以南北两表日影加上平远数所得的数分别自乘，称为勾幂。太阳高度自乘，称为股幂。两幂相加，称为弦幂。开平方所得，称为日远。这就是南北两表方孔的影子到太阳的斜向距离。

译他的《乾象周髀篇》说：‘古人认为圆的直径一尺，周长三尺。后世考察研究，发现并不是这样。直径一、周长三，周长还嫌有余；周长三、直径一，周长又嫌不足。这是因为周三径一只适用于六边形。有的说圆径一尺、周围三尺一寸四分；有的说圆径七尺、周围二十二尺；有的说圆径一百一十三、周围三百五十五。直径一、周长三点一四，仍然是直径偏大、周长偏小；直径七、周长二十二，则是直径偏小、周长偏大；直径一百一十三、周长三百五十五，最为精密。它的考察方法是：取一面有二百个孔的茶盘，每孔宽一寸；在方形图内画一个圆图，直径十寸，再在圆内画一个小方图。用算术把小方图逐步展开成圆形：从四角的方形增加为八角曲圆，这是第一次；第二次成为十六曲；第三次成为三十二曲；第四次成为六十四曲。每增加一次交点，曲数就加倍。到第十二次，就成为一万六千三百八十四曲。最初的小方形逐渐增加、逐渐展开，越来越充满、越来越坚实，角越多，原来的方形就不再像方形，而变成圆形。’ 现在先说第一次。内方的弦长十寸，称为大弦；自乘得一百寸，称为大弦幂。内方的勾幂为五十寸，称为第一次大勾幂。用第一次大勾幂减去大弦幂，余五十寸，称为大股幂；开平方得到七寸七厘一毫多，称为第一次大股。用第一次大股减去大弦，余下二寸九分二厘八毫多，称为第一次差；取其一半，得一寸四分六厘四毫多，称为第一次小勾。这个小勾的数值，就是内方四边与圆周距离最远之处。将第一次小勾自乘，得到二寸一分四厘四毫多，称为第一次小勾幂。第一次大勾幂取一半得二十五寸，再取一半得十二寸五分，称为第一次小股幂。把它与第一次小勾幂相加，得到十四寸六分四百四毫多，称为第一次小弦幂；开平方得到三寸八分二厘六毫多，称为第一次小弦，也就是八曲中的一曲。用八乘第一次小弦，得到三十寸六分一厘多，就是八曲的周长。这是用小数计算，不如改用大数；把大弦改为一千寸，然后依法推算。如果求第二次，就把第一次小弦幂作为第二次大勾幂。用第一次大股幂减去大弦幂所得的余数，作为第二次大股幂；开平方得到第二次大股，再用它减去大弦，所得余数作为第二次差，取一半称为第二次小勾。这个小勾的数值，就是八曲的一边与圆周距离最远之处。把第二次小勾自乘，称为第二次小勾幂。把第二次大勾幂连续取两半，称为第二次小股幂。将第二次小股幂与第二次小勾幂相加，称为第二次小弦幂；开平方得到第二次小弦，也就是十六曲中的一曲。用十六乘第二次小弦，就是十六曲的周长。第二次按照第一次的方法推算，直到第十二次，也都依次相同。取第十二次的小弦，乘以第十二次的曲数一万六千三百八十四，得到三千一百四十一寸五分九厘二毫多，这就是直径一千寸的圆周长。再乘以一百一十三，果然得到三百五十五，所以说这种方法很精密。总而言之，方形是数的起点，圆形是数的终点；圆形开始于方形，方形最终变成圆形。周髀之术，没有比这更高明的了。赵友钦阐明历法原理，对《授时历》的方法尤其有深刻理解，并把这门学问传给龙游人朱晖。元代一朝，不担任历官而通晓历法的人，只有赵友钦一人而已。卷三十五 志第二 历法（二） 仪器 西域仪器与天象 简仪的构造：底座四边呈方形，纵长一丈八尺，取其中三分之一减去一分作为宽度。底座上面宽六寸，下面宽八寸，厚度与上面宽度相同。中间横向设置三道横车光，纵向设置三道纵车光。南边两道，北端抵达南面的车光；北边一道，南端抵达中间的车光。底座四周开水渠，深一寸，宽度比规定尺寸多五分。四角设置础石，伸出底座内外各二寸。础石周围开渠，深、宽都为一寸，并与四周水渠相互贯通。又设置础石，在卯、酉方位加宽四维方向，加长为宽度的三分之二。水渠也按此规格设置。北极云架设两根柱子，直径四寸，长一丈二尺八寸。柱下做成鳌云形，竖立在乾、艮两角。础石上部的左右两柱向内，其倾斜方向与赤道相准，并合贯于上规。规环直径二尺四寸，宽一寸五分，厚度为宽的两倍；中间设置距，相交成斜十字，宽、厚都与规环相同。中心开孔，上部宽五分，呈方形，边长一寸有半；下部深二寸五分，呈方形，边长一寸，用来承受北极枢轴。由云架柱斜向上至离底座七尺二寸处，设置横车光。从车光中心向上至孔中心，距离六尺八寸。又设置两根龙柱，立在卯、酉两方的础石上。中部以北都装饰成龙形，下部为山形，向北倾斜设置，用柱子支承北架。南极云架设两根柱子，立在卯、酉两方的础石上，以中线分开；南侧柱子的宽、厚和形制都与北架相同，斜向坤、巽两角，相交成十字。其上端与百刻环边缘相齐，位于辰、巳与未、申之间。向南倾斜的角度以赤道为准，每根长一丈一尺五寸。由底座斜向上三尺八寸处设置横车光，用来承托百刻环。下边又设置两根龙柱，立在坤、巽两角；础石上的柱子向北倾斜，其顶端形制与北柱相同。四游双环，直径六尺，宽二寸，厚一寸。两环中间相隔一寸，在子午、卯酉两处相连。子午处开圆孔，用来承受南北两极的枢轴。两面都排列周天度数，从南极起，至北极止；余下的刻度附在北极处。距南极枢孔两侧各四寸，分别设置直距，宽、厚与环距相同；中心各设横关，东西方向与两道直距相连，宽、厚也相同。两道横关的中心相连，厚三寸，开方孔，边长八分，用来承受窥衡枢轴。窥衡长五尺九寸四分，宽、厚都与环相同。中腰开圆孔，直径五分，用来承受窥衡枢轴。两端做成圭首，以便取中；削去圭首五分，各做成侧立的横耳，高二寸二分，宽与衡面相同，厚三分。中间开圆孔，直径六分，并在孔中心上下划一条直线，用来辨知度数。