卷三十八 志第五

译旧法选择地面平坦的地方，设置水平器和墨线，在中央竖立表杆，以测量表影。然而表杆短，尺寸以下的分、秒以及大、中、小的差数难以分辨。表杆长，则分寸稍长；但不便之处是影子虚淡，难以取得真实的影子。前人想在虚影中求得真实影像，有的设置望筒，有的放置小表，有的用木头做成规，都是为了取得表端日光向下直射在圭面上的影子。现在用铜制作表杆，高三十六尺，顶端夹设两条龙，举起一根横梁，下至圭面共四十尺，相当于五根八尺表。圭表刻有尺寸，旧制一寸，现在伸展为五寸，厘、毫的差数容易分辨。又创制景符以取得真实影像。它用铜片制成，宽二寸，长为宽的二倍，中间穿一个小孔，像针眼那么大。用方框作底座，一端设置机轴，使它可以开合；支起另一端，使它斜靠，北高南低，在虚影中来回移动调节。小孔透入的日光只有米粒大小，能隐约看见横梁在其中。旧法用表端测量日影，得到的是太阳圆面上边的影子；现在用横梁取得的是真正的中间影子，不会有丝毫差错。地面上的八尺表，冬至影长一丈三尺有余，夏至影长一尺五寸。现在京师的长表，冬至影长七丈九尺八寸有余，折合八尺表为一丈五尺九寸六分；夏至影长一丈一尺七寸有余，折合八尺表为二尺三寸四分。虽然各地日影的长短不同，但影子最长在冬至、最短在夏至，这一点是相同的。只是节气到来的时刻不容易考求。因为节气到日的时刻准确，一年的节气也就都准确了。刘宋祖冲之曾取冬至前后二十三、四日之间的日影，折中取值，确定冬至，并且根据日影日差进行比较考核，推定时刻。宋皇祐年间，周琮就取立冬、立春两日的日影，认为它们距冬至已经很远，日差较大，便于推考。《纪元》以后各历，方法更加详细，大体都没有超出祖冲之的方法。新历积累日月，实际测量中间影，从距节气较远的日子到临近的日子，选取前后日率相近的加以比较，考察异同，绝不是偏取一两日的影子，以影数较多者作为定值；实际比《大明历》减少了一十九刻二十分。又根据多年实际测量中间影所得的日差分寸，确定并拟定两至的时刻如下。推算至元十四年丁丑岁的冬至。这一年十一月十四日己亥，影长七丈九尺四寸八分五厘五毫。到二十一日丙午，影长七丈九尺五寸四分一厘；二十二日丁未，影长七丈九尺四寸五分五厘。将己亥、丁未两日的影长相比较，余三分五厘作为晷差，进二位；再将丙午、丁未两日的影长相比较，余八分六厘作为法。除得三十五刻，用相距日数八百刻减去，余七百六十五刻；取其一半，加半日刻，共四百三十二刻半；以百除，得四日。余数乘十二，以百除，得三时；满五十又进一时，共得四时；余数再乘十二折算，得三刻。从相距日己亥起算而不计起始日，得到癸卯日辰初三刻为丁丑岁冬至。这是取冬至前后四日的日影推得的。十一月初九日甲午，影长七丈八尺六寸三分五厘五毫；到二十六日辛亥，影长七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七日壬子，影长七丈八尺五寸五分。按前法以甲午、壬子两日的影长相减，再以辛亥、壬子两日的影长相减推算，也得到癸卯日辰初三刻。到二十八日癸丑，影长七丈八尺三寸四厘五毫；用壬子、癸丑两日的影长同甲午日影，按前法推算，也相合。这是取冬至前后八九日的日影。十一月丙戌朔，影长七丈五尺九寸八分六厘五毫；初二日丁亥，影长七丈六尺三寸七分七厘；到十二月初六日庚申，影长七丈五尺八寸五分一厘。按前法推算，也在辰初三刻。这是取冬至前后十七日的日影。十一月二十一日丙午，影长七丈九寸七分一厘；到十二月十六日庚午，影长七丈七寸六分；十七日辛未，影长七丈一寸五分六厘五毫。按前法推算，也得到辰初三刻。这是取冬至前后二十七日的日影。六月初五日癸亥，影长一丈三尺八分。到十五年五月癸未朔，影长一丈三尺三分八厘五毫；初二日甲申，影长一丈二尺九寸二分五毫。按前法推算，也相合。这是取冬至前后一百六十日的日影。推算十五年戊寅岁的夏至。五月十九日辛丑，影长一丈一尺七寸七分七厘五毫；到二十八日庚戌，影长一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，影长一丈一尺八寸五厘五毫。将辛丑、庚戌两日影长相减，余二厘五毫，进二位作为实；再将庚戌、辛亥两日影长相减，余二分五厘五毫作为法。除得九刻，用相距日数九百刻减去，余八百九十一刻；取一半，加半日刻，以百除，得四日。余数乘十二，以百除，得十一时；余数再乘十二折算，得三刻。从相距日辛丑起算而不计起始日，得到乙巳日亥正三刻为夏至。这是取夏至前后四日的日影。十四年十二月十五日己巳，影长七丈一尺三寸四分三厘。到十五年十一月初二日辛巳，影长七丈七寸五分九厘五毫。初三日壬午，影长七丈一尺四寸六厘。用己巳日和壬午日的影长相减，再用辛巳日和壬午日的影长相减，计算结果也相合。这是采用冬至前后一百五十六日的影长数据。十四年十二月十二日丙寅，影长七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三日丁卯，影长七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四日戊辰，影长七丈一尺九寸九厘。到十五年十一月初四日癸未，影长七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五日甲申，影长七丈二尺五寸五厘；初六日乙酉，影长七丈三尺三分三厘五毫。前后交互取值，所得时刻都相合。这是取夏至前后一百五十八、九日的日影。

译十四年十二月初七日辛酉，影长七丈五尺四寸一分七厘；初八日壬戌，影长七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九日癸亥，影长七丈四尺四寸八分六厘。到十五年十一月初九日戊子，影长七丈四尺五寸二分五毫；初十日己丑，影长七丈五尺三厘五毫；十一日庚寅，影长七丈五尺四寸四分九厘五毫。以壬戌、己丑影长相减为实，以辛酉、壬戌影长相减为法而除。也可以用壬戌、癸亥，或戊子、己丑，或己丑、庚寅的影长相减，按前法推算，都相合。这是取夏至前后一百六十三、四日的日影。推算十五年戊寅岁的冬至。这一年十一月十九日戊戌，影长七丈八尺三寸一分八厘五毫；到闰十一月初九日戊午，影长七丈八尺二寸六分三厘五毫；初十日己未，影长七丈八尺八分二厘五毫。将戊戌、戊午两日影长相减，余四分五厘作为晷差，进二位；再将戊午、己未两日影长相减，余二寸八分一厘作为法，除得一十六刻。加相距日数二千刻，取一半，再加半日刻，以百除，得十日；余数乘十二，以百除为时，满五十再进一时，共得七时；余数乘十二折算为刻。从相距日己亥起算而不计起始日，得到戊申日未初三刻为戊寅岁冬至。这是取冬至前后十日的日影。十一月十二日辛卯，影长七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三日壬辰，影长七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五日甲子，影长七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六日乙丑，影长七丈五尺九寸五分三厘；十七日丙寅，影长七丈五尺五寸四厘五毫。以壬辰、甲子影长相减为实，以辛卯、壬辰影长相减为法而除，也得到戊申日未初三刻。或者用甲子、乙丑影长相减推算，也相合；若以辛卯、乙丑影长相减为实，以乙丑、丙寅影长相减为法，推算结果也相同。这是取冬至前后十六、七日的日影。十一月初八日丁亥，影长七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十日己巳，影长七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，影长七丈三尺六寸一分四厘五毫。以丁亥、己巳影长相减为实，以己巳、庚午影长相减为法而除，也相同。这是取冬至前后二十一日的日影。六月二十六日戊寅，影长一丈四尺四寸五分二厘五毫。二十七日己卯，尺一丈四尺六寸三分八厘。到了十六四月初二日戊寅，影长一丈四尺四寸八分一厘。将两个戊寅日的影长相减，再用后一个戊寅日与己卯日的影长相减，推算出来也相同。这是取冬至前后一百五十日的影长数据。五月二十八日[原文作“庚戊”，干支有疑误]，影长一丈一尺七寸八分。到十六年四月二十九日乙巳，影长一丈一尺八寸六分三厘；三十日丙午，影长一丈一尺七寸八分三厘。用[原文前作“庚戊”、后作“庚戌”]与丙午的影长相减，再以乙巳、丙午[原文作“天”]的影长相减推算，也相同。这是取冬至前后一百七十八日的日影。推算十六年己卯岁的夏至。四月十九日乙未，影长一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十日丙申，影长一丈二尺二寸九分三厘五毫；到五月十九日乙丑，影长一丈二尺二寸六分四厘。将丙申、乙丑影长相减，余二分九厘五毫作为晷差，进二位；将乙未、丙申影长相减，得七分六厘作为法，除得三十八刻。加相距日数二千九百刻，取一半，再加半日刻，以百除，得十五日；余数乘十二，以百除，得二时；余数再乘十二折算，得二刻。从相距日丙申起算而不计起始日，得到辛亥日寅正二刻为夏至。这是取夏至前后十五日的日影。三月二十一日戊辰，影长一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，影长一丈六尺九分九厘五毫；十七日癸巳，影长一丈六尺三寸一分一厘。将戊辰、癸巳影长相减，再以壬辰、癸巳影长相减，按前法推算，也相合。这是取夏至前后四十二日的日影。三月初二日己酉，影长二丈一尺三寸五厘；到七月初七日壬子，影长二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八日癸丑，影长二丈一尺四寸八分六厘五毫。将己酉、壬子影长相减，以壬子、癸丑影长相减为法，按前法推算，也相合。这是取夏至前后六十一、二日的日影。三月戊申朔，影长二丈一尺六寸一分一厘；到七月初八日癸丑，影长二丈一尺四寸八分六厘五毫；初九日甲寅，影长二丈一尺九寸一分五厘五毫。将戊申、癸丑影长相减，以癸丑、甲寅影长相减为法，按前法推算，也相同。这是取夏至前后六十二、三日的日影。二月十八日乙未，影长二丈六尺三分四厘五毫；到七月二十一日丙寅，影长二丈五尺八寸九分九厘；二十二日丁卯，影长二丈六尺二寸五分九厘。将乙未、丙寅影长相减，以丙寅、丁卯影长相减为法，按前法推算，也相同。这是取夏至前后七十五、六日的日影。二月三日庚辰，影长三丈二尺一寸九分五厘五毫；到八月初五日庚辰，影长三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六日辛巳，影长三丈二尺二分六厘五毫。以前一个庚辰与辛巳的影长相减，再以后一个庚辰、辛巳的影长相减，按前法推算，也相同。这是取夏至前后九十日的日影。正月十九日丁卯，影长三丈八尺五寸一厘五毫；到八月十八日癸巳，影长三丈七尺八寸二分三厘；十九日甲午，影长三丈八尺三寸一分五毫。将丁卯、甲午影长相减，以癸巳、甲午影长相校，按前法推算，也相同。这是取夏至前后一百三、四日的日影。推算十六年己卯岁的冬至。

译十月二十四日戊戌，影长七丈六尺七寸四分；到十一月二十五日己巳，影长七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，影长七丈六尺一寸四分二厘五毫。将戊戌、己巳影长相减，余一寸六分作为晷差，进二位；将己巳、庚午影长相减，余四寸三分七厘五毫作为法，除得三十六刻。以相距日数三千一百刻减，余三千六十四刻；取一半，加五十刻，以百除，得一十五日；余数乘十二，以百除为时，满五十再进一时，共得十时；余数乘十二折算为刻，得二刻。从相距日戊戌起算而不计起始日，得到癸丑日戌初二刻为冬至。这是取冬至前后十五、六日的日影。十月十八日壬辰，影长七丈四尺五分二厘五毫；十九日癸巳，影长七丈四尺五寸[原文作“度”，疑为量值误字]四分五厘；二十日甲午，影长七丈五尺二分五厘。到十一月二十八日壬申，影长七丈五尺三寸二分；二十九日癸酉，影长七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔，影长七丈四尺三寸六分五厘；初二日乙亥，影长七丈三尺八寸七分一厘五毫。将甲午、癸酉影长相减，再以癸巳、甲午影长相减，按前法推算，也相同；若以壬申、癸酉影长相减为法，推算也相同。这是取冬至前后十八、九日的日影。若将癸巳与甲戌影长相减，再以壬辰、癸巳影长相减推算；或者以癸巳、甲午影长相减推算；或者以[原文作“甲、戌癸酉”，句读及字样有疑误]影长相减推算；或者以甲戌、乙亥影长相减推算；或者以壬辰、乙亥影长相减，再以壬辰、癸巳影长相减推算，结果都相同。这是取冬至前后二十日的日影。十月十六日庚寅，影长七丈三尺一分五厘；十二月初三日丙子，影长七丈三尺三寸二分；初四日丁丑，影长七丈二尺八寸四分二厘五毫。将庚寅、丁丑影长相减，以丙子、丁丑影长相减为法推算，也相同。这是取冬至前后二十三日的日影。十月十四日戊子，影长七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五日己丑，影长七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五日戊寅，影长七丈二尺二寸七分二厘五毫。将己丑、戊寅影长相减，以戊子、己丑影长相减为法推算；或者用己丑、庚寅影长相减推算，也相同。这是取冬至前后二十四日的日影。十月初七日辛巳，日影长六丈七尺七寸四分五厘。初八日壬午，日影长六丈八尺三寸七分二厘五毫。初九日癸未，日影长六丈八尺九寸七分七厘五毫。十二月十二日乙酉，日影长六丈八尺一寸四分五厘。用壬午、乙酉两日的日影相减，再以辛巳、壬午两日的日影相减来推算；壬午、癸未两日的日影相减，推算结果也相同。这里取的是前后三十一日的两次日影测量。十月乙亥朔日，日影长六丈三尺八寸七分。十二月十八日辛卯，日影长六丈四尺二寸九分七厘五毫。十九日壬辰，日影长六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥、壬辰两日的日影相减，再根据辛卯、壬辰两日的差值推算，结果也相同。这是取冬至前后三十八日的日影数据。九月二十二日丙寅，日影长五丈七尺八寸二分五厘。十二月二十八日辛丑，日影长五丈七尺五寸八分。二十九日壬寅，日影长五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅、辛丑两日的日影相减，再以辛丑、壬寅两日的日影相减来推算，结果也相同。这里取的是前后四十七八日的日影测量。九月二十日甲子，日影长五丈六尺四寸九分二厘五毫。到十二月二十九日壬寅，日影长五丈六尺九寸一分五厘。到至元十七年正月癸卯朔日，日影长五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯两日的日影相减；再根据壬寅、癸卯两日的日影相减来推算，结果也相同。这是取冬至前后五十日的日影数据。以上根据多年推测所得的冬、夏二至时刻作为标准，确定至元十八年辛巳岁以前的冬至，应在己未日夜半后六刻，即丑时初一刻。岁余与岁差 周天的度数和一年的日数，都是三百六十五。完整的日数之外，还有零余部分，大体都是四分之一。自今年冬至到明年冬至，经过三百六十五日，太阳运行一周；四年共经过一千四百六十日，于是多出一日，把这一日折算为四份，便是四分之一。但是，天周的零分通常有余，而岁周的零分通常不足，两者的数值不能完全相等；只是差别极其微小，前人起初没有察觉。到了东汉末年刘洪，才发现冬至时刻逐渐落后于天象，认为岁周余分过强，于是制定《乾象历》，把岁余分从二千五百分减为二千四百六十二分。到晋代虞喜、宋代何承天和祖冲之，认为岁周本来就会有差异，于是创立岁差法。这种方法减少岁余，增加天周，使岁余逐渐减弱、天周逐渐增强；将二者的强弱相减，便得到太阳运行每年退行的差值。岁余和天周二者实际上相互为用，岁差由此确立，太阳运行的位置也由此推得；如果其中一项增减失当，怎么能够与天象相符合呢？现在从刘宋大明壬寅年开始，凡是通过测量日影、验证节气而得到冬至真实时刻的，共有六次。取彼此相隔的累计日数和时刻，再用相隔的年数除它们，分别得到各时期所采用的岁余。又从大明壬寅年到至元戊寅年，取累计日数和时刻，用相隔年数除之，得到每年三百六十五日二十四分二十五秒；比《大明历》减去十一秒，确定为当前所用的岁余。余下七十五秒，加上所谓四分之一，共为三百六十五度二十五分七十五秒，确定为天周。将余分的强弱相减，余下一分五十秒；用它除完整的一度，得到六十六年有余太阳退行一度。用六十六年除一整度，恰好得到一分五十秒，于是确定为岁差。

译再根据《尧典》所记的中星考察，当时冬至太阳位于女宿、虚宿交界处。考察前代史书可见：汉元和二年，冬至太阳在斗宿二十一度；晋太元九年，退到斗宿十七度；宋元嘉十年，在斗宿十四度末；梁大同十年，在斗宿十二度；隋开皇十八年，仍在斗宿十二度；唐开元十二年，在斗宿九度半；如今已退到箕宿十度。把各时期距今的年数和度数相比较，年数多的七十余年，少的也不少于五十年，通常相差一度。宋庆元年间改订《统天历》，取《大衍历》岁差率八十二年和开元年间所测得的相隔差值五十五年，折中取值，得到六十七年，作为太阳退行一度的岁差。用在今天，拿天道加以验证，确实十分接近。然而，古今历法，适合今天的，必定不能完全通用于古代；适合古代而精密的，也必定不能验证今天。现在的《授时历》，用来考察古代，就增加岁余而减少岁差；用来推算未来，就增加岁差而减少岁余。向上推算春秋以来的冬至，往往都相合；向下推求未来，可以永久施行而没有弊病；并不只是适合今天而已。又用《大衍历》等六种历法，考察春秋以来冬至推算的疏密，共有四十九项，详细列在后面：冬至时刻 《大衍历》《宣明历》《纪元历》《统天历》《大明历》《授时历》献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔日清晨冬至：丙辰二十二、乙卯八十八、丁巳三十三、乙卯二、丁巳三十五。甲寅九十九。僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔日清晨冬至：辛亥九十四、辛亥六十六、壬子七十四、辛亥二十七、壬子八十九、辛亥十四。昭公二十年己卯岁，正月己丑朔日清晨冬至：己丑四十五、己丑二十、庚寅二十五、戊子九十二、庚寅二十九、戊子八十三。宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰日影最长：戊辰三十五、戊辰三十二、戊辰三十九、戊辰五十一、戊辰四十一、戊辰四十七。元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌日影最长：癸酉五十九、癸酉五十七、癸酉六十三、癸酉七十五、癸酉六十五、癸酉七十一。元嘉十五年戊寅岁，十一月十八日甲申日影最长：甲申八、甲申六、甲申十二、甲申二十四、甲申十四、甲申十九。元嘉十六年己卯岁，十月二十九日己丑日影最长：己丑三十三、己丑三十、己丑三十七、己丑四十八、己丑三十七、己丑四十四。元嘉十七年庚辰岁，十一月初十日甲午日影最长：甲午五十七、甲午五十五、甲午六十一、甲午七十二、甲午六十三、甲午六十八。元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一日己亥日影最长：己亥八十二、己亥七十九、己亥八十五、己亥九十七、己亥八十七、己亥九十三。元嘉十九年壬午岁，十一月初三日乙巳日影最长：乙巳六、乙巳四、乙巳十、乙巳二十一、乙巳一十一、乙巳一十七。大明五年辛丑岁，十一月乙酉日冬至：甲申七十、甲申六十八、甲申七十二、甲申八十九、甲申七十四、甲申七十九。陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅日日影最长：庚寅十二、庚寅十三、庚寅五、庚寅二十四、庚寅八、庚寅十七。光大二年戊子岁，十一月乙巳日日影最长：乙巳八十、乙巳八十六、乙已七十九、乙巳九十七、乙巳八十一、乙巳九十。太建四年壬辰岁，十一月二十九日丁卯日日影最长：丙寅八十三、丙寅七十八、丙寅七十七、丙寅九十五、丙寅九十八、丙寅八十七。太建六年甲午岁，十一月二十日丁丑日日影最长：丁丑三十二、丁丑三十三、丁丑二十五、丁丑四十三、丁丑二十七、丁丑三十六。太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰日日影最长：癸巳四、癸巳六、壬辰九十九、癸巳十六、癸巳空、癸巳八。太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌日日影最长：戊戌三十、戊戌三十、戊戌二十三、戊戌四十、戊戌二十四、戊戌三十三。隋开皇四年甲辰岁，十一月十一日己巳日日影最长：己巳七十七、己巳七十八、己巳六十九、己巳八十六、己巳七十一、己已八十六。开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥日日影最长：乙亥一、乙亥二、甲戌九十二、乙亥十一、甲戌五十五、乙亥一十。开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰日日影最长：庚辰二十五、庚辰二十六、庚辰十八、庚辰三十四、庚辰十九、庚辰三十四。开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉日日影最长：乙酉五十、乙酉五十、乙酉四十二、乙酉五十九、乙酉四十四、乙酉五十九。开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午日日影最长：丙午四十八、丙午四十九、丙午四十三、丙午五十七、丙午四十一、丙午五十六。开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔日清晨冬至：壬戌二十一、壬戌二十二、壬戌十二、壬戌二十、壬戌十四、壬戌二十九。唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉日日影最长：甲申四十三、甲申四十五、甲申三十一、甲申五十、甲申三十二、甲申四十四。贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥日日影最长：庚戌六十五、庚戌六十八、庚戌五十二、庚戌七十二、庚戌五十四、庚戌六十六。龙朔二年壬戌岁，十一月四日己未至戊午日日影最长：戊午八十三、戊午八十六、戊午六十九、午戊八十五、戊午七十一、戊午八十二。仪凤元年丙子岁，十一月壬申日日影最长：壬申二十五、壬申二十八、壬申十二、壬申二十八、壬申二十、壬申二十二。永淳元年壬午岁，十一月癸卯日日影最长：癸卯七十二、癸卯七十五、癸卯五十七、癸卯七十六、癸卯五十八、癸卯六十八。开元十年壬戌岁，十一月癸酉日日影最长：癸酉四十九、癸酉五十四、癸酉三十一、癸酉五十、癸酉三十二、癸酉四十六。开元十一年癸亥岁，十一月戊寅日日影最长：戊寅七十四、戊寅七十八、戊寅五十五、戊寅七十四、戊寅五十六、戊寅七十。

译开元十二年甲子岁，十一月癸未日冬至：癸未九十八、甲申三、癸未八十、癸未九十九、癸未八十一、癸未九十五。宋景德四年丁未岁，十一月戊辰日太阳到达最南点：戊辰十五、戊辰二十六、丁卯七十四、丁卯八十二、丁卯七十四、丁卯八十。皇祐二年庚寅岁，十一月三十日癸丑日日影最长：癸丑六十五、癸丑七十九、癸丑二十二、癸丑二十五、癸丑二十二、癸丑二十三。元丰六年癸亥岁，十一月丙午日日影最长：丙午七十三、丙午八十五、丙午二十六、丙午二十六、丙午二十七、丙午二十六。元丰七年甲子岁，十一月辛亥日日影最长：辛亥九十七、壬子一十、辛亥五十、辛亥五十一、辛亥五十、辛亥五十一。元祐三年戊辰岁，十一月壬申日日影最长：壬申九十四、癸酉八、壬申四十八、壬申四十八、壬申四十八、壬申四十八。元祐四年己巳岁，十一月丁丑日日影最长：戊寅十九、戊寅三十二、丁丑七十二、丁丑七十二、丁丑七十二、丁丑七十二。元祐五年庚午岁，十一月壬午日冬至：癸未四十四、癸未五十六、壬午九十六、壬午九十七、壬午九十六、壬午九十六。元祐七年壬申岁，十一月癸巳日冬至：癸巳九十二、甲午五、癸巳四十五、癸巳四十五、癸巳四十五、癸巳四十五。元符元年戊寅岁，十一月甲子日冬至：乙丑三十九、乙丑五十二、甲子九十一、甲子九十一、甲子九十一、甲子九十一。崇宁三年甲申岁，十一月丙申日冬至：丙申八十六、丙申九十九、丙申三十七、丙申三十六、丙申三十七、丙申三十七。绍熙二年辛亥岁，十一月壬申日冬至：癸酉十二、癸酉二十七、壬申五十七、壬申四十七、壬申五十七、壬申四十六。庆元三年丁巳岁，十一月癸卯日太阳到达最南点：甲辰五十九、甲辰七十四、甲辰三、癸卯九十二、甲辰三、癸卯九十二。嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌日太阳到达最南点：丙子五、丙子二十一、乙亥四十九、乙亥三十七、乙亥四十九、乙亥三十七。嘉定定五年壬申岁，十一月壬戌日太阳到达最南点：癸亥二十五、癸亥四十一、壬戌六十九、壬戌五十六、壬戌六十八、壬戌五十六。绍定三年庚寅岁，十一月丙申日太阳到达最南点：丁酉六十五、丁酉八十三、丁酉七、丙申六十三、丁酉七、丙申九十二。淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳日太阳到达最南点：壬午九十四、壬午七十一、辛巳九十六、辛巳九十六、辛巳九十四、辛巳七十八。本朝至元十七年庚辰岁，十一月己未日夜半后六刻冬至：己未八十、庚申五、己未二十五、己未四、己未二十四、己未六。以上自【奋秋】献公以来，共二千一百六十余年，用《大衍》《宣明》《纪元》《统天》《大明》《授时》六种历法推算冬至，共四十九项。《大衍历》相合三十二项，不合十七项；《宜明历》相合二十六项，不合二十三项；《纪元历》相合三十五项，不合十四项；《统天历》相合三十八项，不合十一项；《大明历》相合三十四项，不合十五项；《授时历》相合三十九项，不合十项。现在考察献公十五年戊寅岁正月甲寅朔日清晨冬至，《授时历》推得甲寅，《统天历》推得乙卯，晚了一日；到僖公五年丙寅岁正月辛亥朔日清晨冬至，《授时历》和《统天历》都推得辛亥，与天象相合；再到昭公二十年己卯岁正月己丑朔日清晨冬至，《授时历》和《统天历》都推得戊子，提前一日。如果强行改变历法来迁就它，那么献公、【情】公两项就都不能相合了。由此可知，《春秋》所记昭公年间的冬至，正是太阳运行度数失常的证据之一。第二项。《大衍历》考察古代冬至，认为刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日太阳到达最南点，《大衍历》《皇极历》《麟德历》三种历法都推得癸酉，均提前一日；这是太阳运行度数失常，并非三种历法有误。现在用《授时历》考察，也推得癸酉。第二项。大明五年辛丑岁十一月乙酉日冬至，各历都推得甲申，大概也是太阳运行度数的差异。第三项。陈太建四年壬辰岁十一月丁卯日日影最长，《大衍历》和《授时历》都推得丙寅，提前一日；太建九年丁酉岁十一月壬辰日日影最长，《大衍历》和《授时历》都推得癸巳，晚了一日；一次提前，一次推后；如果与壬辰相合，就会与丁酉不合；如果与丁酉相合，就会与壬辰不合，这也是太阳运行度数失常的证据。第五项。隋开皇十一年辛亥岁十一月丙午日日影最长，《大衍历》《统天历》《授时历》都推得丙午，与天象相合；到了开皇十四年甲寅岁十一月辛酉日冬至，《大衍历》《统天历》《授时历》都推得壬戌；如果与辛亥相合，就会与甲寅不合；如果与甲寅相合，就会与辛亥不合。因此，开皇十四年甲寅岁冬至也是太阳运行度数失常的表现。第六项。唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉日日影最长，各历推得甲申；贞观二十三年己酉岁十一月辛亥日日影最长，各历都推得庚戌。《大衍历议》根据永淳、开元年间冬至推算，知道前面两次冬至是史官按照当时历法记录的，并非观测日影所得，所以不能相合；现在用《授时历》考察，结果也一样。第八项。自前宋以来，测量日影、验证节气的共有十七项，其中景德丁未年戊辰日太阳到达最南点，《统天历》和《授时历》都推得丁卯，提前一日；嘉泰癸亥年甲戌日太阳到达最南点，《统天历》和《授时历》都推得乙亥，晚了一日；一次提前，一次推后；如果强行改变数值来迁就景德年间的记录，其余十六项大多会晚于天象；如果迁就嘉泰年间的记录，其余十六项大多会早于天象，这同样是太阳运行度数失常的证据。第十项。

译前面十项中，开头所列《授时历》看似有不合；按照这个道理推究，实际上并不是不合，因为归纳相同之处便可知道其共同规律，辨析不同之处便可知道其变化。现在对于冬至，略去太阳度数运行失常以及史官按照当时历法记录的十项，因而《授时历》的三十九项全都符合；《统天历》与今历不合的只有献公一项。《大衍历》推算献公年间冬至晚了两日，《大明历》晚了三日，而《授时历》与天象相合。向下推算至元庚辰年冬至，《大衍历》晚了八十一刻，《大明历》晚了十九刻，《统天历》早了一刻，《授时历》与天象相合。用前代各历校验，《授时历》最为精密，或许千年以后的冬至也可以坐等推算出来。考察《授时历议》，其中相信僧一行关于太阳度数运行失常的说法，是最为后人非难之处。所列十项验证中，宋景德丁未年戊辰日、嘉泰癸亥年甲戌日的两个冬至，都是史官记错；唐贞观甲辰年乙酉日、己酉年辛亥日的两个冬至，并非术数推算错误，而是史官记错。隋开皇甲【文】年辛酉日冬至、陈丁酉年壬辰日冬至，都是历法推算错误。宋大明辛丑年乙酉日冬至，祖冲之详细记录了测量日影的情况，推算冬至在乙酉日夜半后三十三刻七分；当时的推算略微晚于天象；而从《大衍历》以下直到《授时历》，却都推算得早于天象。宋元嘉丙子年甲戌日冬至，推得这一年平气冬至为十日十五小时三十三分五十六秒，即甲戌日申时初二刻四分；即使按均差减去，也不可能超过十五小时，所以确定冬至仍在甲戌日。《授时历》却推在前一日癸酉，和《大衍历》以下各历相同，不能与天象精密相合。鲁昭公己卯年己丑日冬至，这一年上距僖公五年丙寅年一百三十三年，平气冬至为二十八日十五小时十一分二十六秒，即壬辰日申时初一刻十一分；大致计算，加上均差和小轮，也不过在辛卯日卯时、辰时之间，不可能减到己丑日。因此可知，《春秋》时代的推步天象数值提前了两三日。《授时历》又比己丑日提前，误差就更远了。僖公丙寅年辛亥日，按照至元辛巳年前四年丁丑年高冲与冬至同度计算，上距僖公五年丙【戌】年一千九百三十一年，大约运行四百零七度；这样，那个冬至时的高冲位于冬至前一宫三度四十八分。按现在的历法，应加均差一度八分，换算为一日三小时三十六分；从平气冬至减去，仍是甲寅日卯时。再大致计算当时的小轮，并直接加大均差，或许能达到一度二三十分之间，换算为一日十多个小时；从平气冬至减去，确定的冬至也只能在癸丑日亥时、子时之间，不可能减到辛亥日。这样看来，当时推算的冬至提前了两三日。献公【戊交】年【甲交】日冬至，是刘歆用四分历术倒推出来的，并没有实际观测，不足以作为依据。郭守敬在十项中把八项归因于太阳运行失度，这种说法确实有失于牵强。也许是李谦等人增饰附会的结果，也未可知。古今历法的疏密比较 《授时历》与古代历法相互校验，疏密优劣自然可以看出；既然向上推算能够与数百年前相合，那么向下推行就可以永久使用，这是前人的定论。古人所称善于制定历法的人，如宋代何承天、隋代刘焯、唐代傅仁均和僧一行等，都是最杰出的人物。现在把他们的历法同至元庚辰年冬至的节气时刻相互校验，没有不发生差错的；而用新历向上推算古代，却无不吻合，那么它们的疏密优劣也就可以知道了。宋文帝元嘉十九年壬午岁十一月乙巳日十一刻冬至，距本朝至元十七年庚辰岁，共八百三十八年。这一年十一月，节气时刻是己未日六刻冬至；用《元嘉历》推算，得到辛酉日，比《授时历》晚两日；用《授时历》向上考察元嘉壬午岁冬至，得到乙巳日，与元嘉年间的记录相合。隋大业三年丁卯岁十一月庚午日五十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，共六百七十三年。用《皇极历》推算，得到庚申日冬至，比《授时历》晚一日；《授时历》向上考察大业丁卯年冬至，得到庚午日，与《皇极历》相合。唐武德元年戊寅岁十一月戊辰日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，共六百六十二年。用《戊寅历》推算，得到庚申日冬至，比《授时历》晚一日；《授时历》向上考察武德戊寅年，得到戊辰日冬至，与《戊寅历》相合。开元十五年丁卯岁十一月己亥日七十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，共五百五十三年。用《大衍历》推算，得到己未日冬至，比《授时历》晚八十一刻；《授时历》向上考察开元丁卯年，得到己亥日冬至，与《大衍历》相合，但早四刻。长庆元年辛丑岁十一月壬子日七十六刻冬至，距至元十七年庚辰岁，共四百五十九年。用《宣明历》推算，得到庚申日冬至，比《授时历》晚一日；《授时历》向上考察长庆辛丑年，得到壬子日冬至，与《宣明历》相合。宋太平兴国五年庚辰岁十一月丙午日六十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，共三百年。用《乾元历》推算，得到庚申日冬至，比《授时历》晚一日；《授时历》向上考察太平兴国庚辰年，得到丙午日冬至，与《乾元历》相合。咸平三年庚子岁十一月辛卯日五十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，共二百八十年。用《仪天历》推算，得到庚申日冬至，比《授时历》晚一日；《授时历》向上考察咸平庚子年，得到辛卯日冬至，与《仪天历》相合。崇宁四年乙酉岁十一月辛丑日六十一刻冬至，距至元十七年庚辰岁，共一百七十五年。用《纪元历》推算，得到己未日冬至，比《授时历》晚十九刻；《授时历》向上考察崇宁乙酉年，得到辛丑日冬至，与《纪元历》相合，但早二刻。金大定十九年己亥岁十一月己巳日六十四刻为冬至，距离至元十七年庚辰岁，计算相隔一百一年。《大明历》推算得到己未日冬至，比《授时历》早一刻；《授时历》向上推考庆元戊午岁，得到己酉日冬至，与《统天历》相合。周天列宿的度数

译列宿分布在天空中，作为天区的有二十八宿，度数为三百六十五度有余。没有太阳运行的位置，就无法校验这些度数；没有二十八宿的分区，也无法记录这些度数。周天的度数，就是通过这两者得到的。天体浑圆，南北两极居其中，以赤道为界；太阳、月亮和五星的运行，常常出入于赤道附近。天空向左旋转，日月五星则逆着天体向右运行，古人观测日月星辰，说的就是这种情况。然而各宿之间相隔的度数，历代测量各不相同；如果不是星宿确实有轻微移动，就是前人的测量还不够精密。古代使用窥管，现今新制浑仪，测量采用两条基准线；所测度数的分、秒与前代不同，现列在左边：太阳运行的位置 太阳悬挂在天空中，光象最为显著；太阳一出现，列宿全都隐没。古人想确定太阳运行到什么度数，必定通过黄昏、黎明和夜半时的中星，测量它与太阳的距离，以考察太阳所处的度数。然而黄昏、黎明和夜半的时刻不容易取得准确值，时刻稍有差异，所测距离和度数就不可能没有误差。晋代姜岌首先用月食时月亮所冲的星宿来检验，知道太阳所在的度数。《纪元历》又用太白星记录它们相距的远近，在黄昏后、黎明前验证确定星度，因而得到太阳运行的位置。现在根据至元丁丑年四月癸酉望日月食既，推求得冬至时太阳位于赤道箕宿十度、黄道九度有余。又从这一年正月到己卯年年末，三年之间，每日测量太阴所在宿次以及岁星、太白星的相距度数，进行确定、验证和参照，共得到一百三十四项，太阳都运行在箕宿，恰好与月食所冲的星宿相符合。用金代赵知微修订的《大明历法》推算，冬至时太阳仍在斗宿初度三十六分六十四秒处，比新测结果实际相差七十六分六十四秒。太阳运行的盈缩 日月的运行有冬、夏之分，是说太阳和月亮运行的度数在冬夏各不相同。人们只知道太阳每天运行一度、一年运行一周天，却不知道它的盈缩、损益，以及四季有所不同的原因。北齐张子信长期观测日食、月食的发生时刻，发现太阳运行有节气差，但还没有正确确定损益。赵道严又根据日影长短，确定太阳运行有进退，进一步创立盈缩法来推求日食、月食。到刘焯建立太阳运行度数与四季升降的关系，虽然损益数值有所不同，后代仍都遵循使用。阴阳往来运行，逐渐积累而发生变化。冬至时太阳每天运行一度有余，位于赤道以北二十四度不足；从这里开始，太阳运行轨道逐渐向北，经过八十八日九十一分，到春分前三日交会于赤道，实际运行九十一度三十一分，恰好处于平衡。此后，太阳的盈余逐日减少，又运行九十三日七十一分，到夏至这一天，进入赤道以内二十四度不足，实际运行九十一度三十一分，每日运行一度不足，先前的盈余全部减尽而不再有余。从这里开始，太阳运行轨道逐渐向南，经过九十三日七十一分，到秋分后三日交会于赤道，实际运行九十一度三十一分，再次处于平衡。此后，太阳的缩减逐日减少，运行八十八日九十一分，位于赤道以南二十四度不足，实际运行九十一度三十一分，又到冬至，先前的缩减全部减尽而不再有余。盈和缩都有损益，开始时为增加，末尾时为减少。从冬至到春分、从春分到夏至，太阳所在位置由北陆转向西，由西转向南；在盈的阶段先增加，增加到极点后转为减少，减少到没有余量便进入缩的阶段。从夏至到秋分、从秋分到冬至，太阳所在位置由南陆转向东，由东转向北；在缩的阶段先增加，增加到极点后转为减少，减少到没有余量便重新进入盈的阶段。盈的初期和缩的末期，都经过八十八日九十一分运行一象；缩的初期和盈的末期，都经过九十三日七十一分运行一象；盈缩的极差，都是二度四十分。这些数值是由实际测量日影得到的，又用算术推算考察，与实际【所溃】相符合。月亮运行的迟速 古代历法认为月亮平均每天运行十三度又十九分之七度。汉代耿寿昌认为，太阳和月亮运行到牵牛、东井时，太阳超过常度，月亮运行十五度；运行到娄、角时，才恢复平均速度，这是赤道造成的。贾逵认为，如今合朔、上弦、望和月食发生的时刻之所以常常不准确，大概是因为不懂得月亮运行有迟有速的道理。李梵、苏统都认为月亮运行本来就有迟速，不一定只发生在牵牛、东井、娄、角之间，而是由于运行轨道有远近、出入不同所产生的。刘洪制定《乾象历》，精心思考二十多年，才领悟其中的道理，列出差率，以包摄运行进退、损益的数值。后来制定历法的人，都沿用了这种方法。到唐代僧一行，考察九道曲折蜿蜒的度数，得出了月亮运行有快有慢的规律。前代儒者认为，月亮和五星都在接近太阳时运行快，远离太阳时运行慢。历家制定历法，把月亮进入转周一周所需的日数作为迟、疾两种历程，各自设立初限和末限，开始时为增加，末尾时为减少。在疾的初限和迟的末限，月亮运行的度数通常超过平均速度；在迟的初限和疾的末限，通常低于平均速度。进入转周的第一天，月亮运行十四度半有余；从此逐渐减慢，经过七日，恰好达到平均运行度数，称为疾初限；其累计度数比平均运行多五度四十二分。从这里开始，月亮的快速运行逐日减弱，又经过七日，运行十二度略有余，先前增加的部分全部减尽而没有余量，称为疾末限。从这里开始又按迟速运行，再经过七日，恰好达到平均运行度数，称为迟初限；其累计度数比平均运行少五度四十二分。从这里开始，月亮的迟缓运行逐日减弱，运行度数逐渐增加，又经过七日，再次运行十四度半有余；先前增加的部分也全部减尽而没有余量，称为迟末限。月亮转周一周，实际为二十七日五十五刻四十六分；迟、疾的最大差值都是五度四十二分。旧历每一日作为一限，共使用二十八根。现在经过测定验证，得到转分进退在各时刻并不相同，于是把一日分为十二限，共三百三十六限；半数为半周限，再分成四份为象限。白道交周。在南北两极之间的正中，横贯天体、用来标记星宿度数的，是赤道。出入赤道、作为太阳运行轨道的，是黄道。所谓白道，是与黄道相交贯通、月亮运行所沿的道路。古人随着方位而分别命名，分成八道，加上黄道共为九道；究其实质，实际上都是同一道。只是由于它随着交点迁移，变化不定，所以勉强按方位和颜色命名。

译月道出入日道，两者相交时，朔日太阳被月亮遮掩，望日月亮受到太阳冲犯，所以都有日食或月食。然而月亮经过交点有远近之别，食分有深浅之异，都可以用数术推算。所谓交周，就是月道出入日道运行一周所需的日数。日道距赤道最远二十四度。月道出入日道，不超过六度；它距赤道最远不超过三十度，最近不少于十八度。月道出黄道之外为阳，进入黄道之内为阴；阴阳运行一周，分为四象。月亮正对黄道，叫正交；出黄道外六度，叫半交；再次正对黄道，叫中交；进入黄道内六度，又叫半交，这就是四象。每象七日，各行九十一度；四象运行一周，叫作一交的终点。按日计算，共二十七日二十一刻二十二分二十四秒。每经过一交，月道相对于天体退行一度又百分之九十三度；共经过二百四十九交，退行天体一周有余，终了后又重新开始。正交在春分点，半交出黄道外六度，在赤道内十八度；正交在秋分点，半交出黄道外六度，在赤道外三十度；中交在春分点，半交进入黄道内六度，在赤道内三十度。中交在秋分点，半交进入黄道内六度，在赤道外十八度。月道与赤道正交时，距离春分、秋分两个正点黄道与赤道相交处的宿度，东西方向不超过十四度又三分之二度。夏至在阴历之内、冬至在阳历之外时，月道与赤道的差距较大；夏至在阳历之外、冬至在阴历之内时，月道与赤道的差距较小。这是因为白道的两个交点有斜有直，阴阳二历有内有外；直的密而狭，斜的疏而宽，所以差距也随之不同。现在建立天象模型、设置计算方法来求取，差距较大的不超过三度五十分，较小的不少于一度三十分，这就是月道与赤道差距的多寡。昼夜刻 太阳升起为昼，太阳落下为夜，昼夜运行一周共一百刻。用十二辰来分，每一辰为八刻又二分之一刻。无论南北，所在之地都相同。白昼短则夜晚长，夜晚短则白昼长，这是自然的道理。春分、秋分两日，太阳在赤道上出入，昼夜长度正好相等，各为五十刻。从春分到夏至，太阳进入赤道以内，逐渐接近北极，夜短而昼长；从秋分到冬至，太阳出到赤道以外，逐渐远离北极，昼短而夜长。以地中为标准，白昼最长不超过六十刻，最短不超过四十刻。地中以南，夏至时太阳出入处距离较远，白昼最长有不到六十刻的；冬至时太阳出入处距离较近，白昼最短有不止四十刻的。地中以北，夏至时太阳出入处距离较近，白昼最长有超过六十刻的；冬至时太阳出入处距离较远，白昼最短有不到四十刻的。如今京师冬至日出在辰初二刻，日落在申正二刻，所以昼为三十八刻，夜为六十二刻；夏至日出在寅正二刻，日落在戌初二刻，所以昼为六十二刻，夜为三十八刻。大概是由于地有南北、极有高下，日出日落有早晚，各地才有所不同。现在《授时历》所定的昼夜刻数，一概以京师为标准。卷三十九 志第六 历法六 《授时历议》下：交食 历法推算是否精密，要通过日月交食来验证；然而推步的方法很难做到完全精密。交食发生的时刻有早有晚，食分有浅有深，要取得严密符合，不可能只是偶然。推算交食时刻，必须以日躔、月离以及月亮盈亏为依据；考求食分，也必须以距离交点的远近为依据。如果气盈气缩、入转迟疾没有得到正确数值，那么朔日相合就会不是早了就是晚了。朔日相合有了先后误差，交食开始和结束的时刻能够精密吗？太阳和月亮都向东运行，但太阳慢、月亮快，月亮追上太阳，这叫一次会合。交点所在的道路有阳历、阴历之分，会合的时期有中前、中后之别；再加上地形有南北东西的不同，人的视线有高低斜直的差异，因此食分的多少，按理不可能完全相同。如今朔日已经推得准确，那么交食时刻就没有早晚的差别；气刻处在适中位置，那么食分就没有过强过弱的错误。由此向上推算，从《诗》《书》《春秋》直到三国以来所记载的日月亏食，没有不相符合的。既然与过去相合，长期施行，自然可以没有弊病。《诗经》《尚书》所记载的日食有两次。《尚书·胤征》说：“仲康开始登上统治天下的君位。到了季秋九月初一，房宿中的星辰没有按时出现。”现按：《大衍历》推算为仲康即位第五年癸巳年，距辛巳年三千四百八年；九月初一为庚戌日，太阳在黄道与白道的交点附近运行了二十六日五千四百二十一分，进入日食限界。《诗经·小雅·十月之交》说，这是大夫讥刺周幽王的诗：“十月交节之时，初一是辛卯日，发生了日食，实在非常丑恶。”现按：梁太史令虞邝说，十月初一为辛卯日，是周幽王六年乙丑年初一。《太衍》也认为如此。用《授时历》推算，这一年十月初一为辛卯日，太阳在交点附近运行了十四日五千七百九分，进入日食限界。《春秋》记载日食三十六次 隐公三年辛酉年，春季周王二月己巳日，发生了日食。杜预说：“没有记日，是史官的疏失。”《公羊传》说：“日食有的记朔，有的不记朔；有的记日，有的不记日；有的把朔日记在前面，有的记在后面。记在前面的，是朔日在前；记在后面的，是朔日在后。”《谷梁传》说：“记日而不记朔，是在晦日发生日食。”姜岌校订《春秋》日食记录说：“这一年二月为己亥朔，没有己巳，似乎少置了一个闰月。三月己巳朔，距离交点的分数进入食限。”《大衍历》与姜岌相同。现在用《授时历》推算，这一年三月己巳朔，交食时刻在白昼，距交二十六日六千六百三十一分，进入食限。桓公三年壬申年，秋季七月壬辰朔，发生了日食。姜岌认为这一年七月是癸亥朔，没有壬辰，也少置了一个闰月；八月壬辰朔，距交分进入食限。《大衍历》与姜岌相同。用今历推算，这一年八月壬辰朔，交食时刻在白昼，食分为六分一十四秒。桓公十七年丙戌年，冬季十月朔，发生了日食。左氏说：“没有记日，是史官的疏失。”《大衍历》推算在十一月交分进入食限，是少置了一个闰月。用今历推算，这一年十一月交食时刻在白昼，交分二十六日八千五百六十，进入食限。