五礼通考卷一百八十六

译一百五十作为一度的标准，三十七作为一斗的分数【戴震说：用万万来通算斗分，满一度的标准得到二千四百六十六万六千六百六十六余数】

译蕙田按：此历法比乾象历强，比黄初历弱。

后秦姚兴时期，正值东晋孝武帝太元九年，天水人姜岌制定《三纪甲子元历》，以二千四百五十一分之六百五为斗分，周天为八十九万五千二百二十，纪法为二千四百五十一【戴震说：用万万通分斗分，满纪法得二千四百六十八万三千八百零二有余】。

蕙田按：此历法比黄初历强，比景初历弱。

《魏书·志》记载：神龟初年，正光历，周天分为二百二十一万三千三百七十七【用度法通分三百六十五度，纳入斗分】，斗分为一千四百七十七，蔀法为六千六十【十二章为一蔀，至此年小余成日，为度法】。

【戴震说：用万万通分斗分，满蔀法，得二千四百三十七万二千九百三十七有余】。

蕙田按：此历法比乾象历弱。

李业兴《甲子元历》周天为六百一十五万八千一十七【度法通分度内斗分之数】，斗分为四千一百一十七【从斗量周天至此不成度之分】，度法为一万六千八百六十【三十乘章岁得此数】。

【戴震说：用万万通分斗分满度法，得二千四百四十一万八千七百四十二有余】。

蕙田按：此历法比正光历强，比黄初历弱。

《宋书·志》记载：何承天《元嘉历》：“以七十五为室，分周天十一万一千三十五度，法三百四”。

【戴震说：何氏以雨水为日躔之初起，室终室，故谓度余为室分，用万万通分室分，满度法得二千四百六十七万一千零五十二有余】。

蕙田按：此历法比刘智历强，比黄初历弱。

大明六年，南徐州从事史祖冲之《甲子元历》周天为一千四百四十二万四千六百六十四，虚分为一万四百四十九，岁余为九千五百八十九，纪法为三万九千四百九十一。

【戴震说：祖氏以上元日度发自虚一，故谓度余为虚分，用万万通分虚分，满纪法得二千六百四十五万九千一百九十三万有余，又用万万通分岁余，满纪法得二千四百二十八万一千四百八十一有余】。蕙田按：此岁余不及度余三万九千四百九十一分之八百六十，这就是岁差分。天自为天，岁自为岁，其法始见于此。大概定为四十五六年差一度。岁余比正光历更弱。

《隋书·志》记载：开皇四年，张宾等新历，依何承天法，防止增加减损。斗分为二万五千六十三，蔀法为一十万二千九百六十。

【戴震说：用万万通分斗分，满蔀法，得二千四百三十四万二千四百六十四，有余】。

蕙田按：此历法比祖氏历强，比正光历弱。

大业四年戊辰所定算历，周天分为一千五百五十七万四千四百六十六，斗分为一万八百八十六度，法为四万二千六百四十，岁分为一千五百五十七万三千九百六十三。

【戴震说：用万万通分斗分，满度法得二千五百四十八万三千一百一十四有余；岁分满度法得经岁，其小余一万零三百六十三。用万万通之，满度法得二千四百三十万零三千四百七十有余】。

蕙田按：此历法比祖氏历强，比张宾等历弱。新历岁分不及周天分四万二千六百四十分之五百零三，这就是岁差。此定八十八九年而差一度。

刘焯《皇极历》度法为四万六千六百四十四【气日法同】，周数为千七百三万七千七十六，周分为万二千一十六，岁数为千七百三万六千四百六十六，半周差六百九半【戴震说：用万万通分周分，满度法得二千五百七十六万一千零八十三有余，周分即度余也，在天曰度法，在岁曰气日法，岁数满气日法得经岁，其小余一万一千四百零六半，用万万通之，满气日法得二千四百四十五万四千三百七十七有余】。

蕙田按：此历法比李业兴《甲子元历》强，比《乾象》岁数弱，岁数不及周数六百零九半，谓之周差，即岁差也。定为七十六年过半而差一度。

《唐书·志》记载：唐始终二百九十余年，而历法八次更改。初曰戊寅元历，曰麟德甲子元历，曰开元大衍历，曰宝应五纪历，曰建中正元历，曰元和观象历，曰长庆宣明历，曰景福崇玄历，而止矣。傅仁均戊寅历，周分为三百四十五万六千八百四十五半，斗分为二千四百八十五半，岁分为三百四十五万六千六百七十五，岁余为二千三百一十五度，法气法为九千四百六十四。

【戴震说：用万万通分斗分满度法，得二千六百二十六万二千六百七十九有余；又用万万通分岁余满气法，得二千四百四十六万一千一百一十五】。

蕙田按：此历法比皇极历强，比乾象历弱。

译这一年的岁分比周分少九千四百六十四分之一百七十又二分之一，这就是岁差。这确定每五十五年过半，相差一度。

译李淳风《麟德甲子元历推法》一千三百四十期，实为四十八万九千四百二十八。

【戴震说：期实满推法得到经岁，其小余三百二十八，以万万通之，满推法得到二千四百四十七万七千六百一十一奇】

惠田案：此历强于戊寅历，弱于乾象历。

开元大衍历日法说：通法岁分，称为策实；周天，称为干实；余分，称为虚分。干实一百一十一万三百七十九太，周天度三百六十五，虚分七百七十九太。岁差三十六太。通法三千四十，防实一百一十一万三百四十三，防余一万五千九百四十三。

【戴震说：四分之一为少，三为太。以万万通虚分，满通法得到二千五百六十四万九千六百七十一奇。防余者，用三百六十日为整岁，其大余五日，并小余也。以万万通之，满通法得到五亿二千四百四十四万有七百八十九奇。五亿为大余五日，二千以下为小余】

惠田案：此历强于李业兴《甲子元历》，弱于《皇极历》，其岁差八十余年而差一度。

宝应五纪历，干实四十八万九千四百四十二秒七十，周天度三百六十五，虚分三百四十二秒七十，岁差十四秒七十，防实四十八万九千四百二十八，防余七千二十八，通法一千三百四十，秒法一百。

惠田案：此即沿用麟德甲子元历，另立岁差罢了。防实即麟德历的期实，通法即麟德历的推法。防余满通法，得大余五日，小余同麟德历无异法也。以万万通虚分满通法，得二千五百五十七万四千六百二十六奇。其岁差九十余年而差一度。

建中正元历，干实三十九万九千九百五十五秒，二周天度三百六十五，虚分二百八十秒，二岁差十二秒，二秒母一百，通法一千九十五，防实三十九万九千九百四十三。

【戴震说：以万万通虚分，满通法得二千五百五十七万二千六百有二，奇防余。满通法得大余五日，小余。以万万通之，满通法得二千四百四十七万四千八百八十五奇】

惠田案：此历强于皇极历，弱于麟德历，其岁差与五纪历相近。

长庆《宣明历》谓通法曰统法，防实曰章岁，防余曰通余，干实曰象数。秒法三百，以乘统法曰分统。象数九亿二千四十四万六千一百九十九，周天三百六十五度，虚分二千一百五十三秒二百九十九。岁差二万九千六百九十九分。统二百五十二万，秒母三百。章岁三百六万八千五十五。通余四万四千五十五【戴震说：象数满分统，得周天度，其度余六十四万六千一百九十九。满秒母得虚分及秒。以万万通度余满分统，得二千五百六十四万二千八百一十七奇。道余满统法，得大余五日小余。以万万通之满统法，得二千四百四十六万四千二百八十五奇】

惠田案：此历强于戊寅元历，弱于正元历。其岁差八十四五年而差一度。

景福崇《〇历》周天分四百九十三万九百六十一秒，二十四岁差百六十秒，二十四周天三百六十五度，虚分三千四百六十一秒，二十四岁实四百九十三万八百一，岁余七万八百一，通法一万三千五百【戴震说：以万万通虚分，满通法得二千五百六十三万八千八百一十四奇，岁余满通法得大余五日小余，以万万通之，满通法得二千四百四十五万一千八百五十一奇】

惠田案：此历强于大衍历，弱于戊寅历，其岁差八十余年而差一度。

五代史司天考：周显德二年，王朴钦天术，轨率二百六十二万九千八百四十四秒八十，轨防三百六十五分一千八百四十四秒八十，岁率二百六十二万九千七百六十秒四十，岁策三百六十五分一千七百六十秒四十，岁差八十四秒四十，统法七千二百，通法一百秒，盈通法从分，分盈统法从日。

【戴震说：轨率、轨防，即周天度分秒也。以万万通轨防之分秒，满统法，得二千五百六十二万二千二百二十二奇；以万万通岁防之分秒，满统法，得二千四百四十五万】

惠田案：此历强于大术，弱于崇〇历。

宋史·志》崇天历，周天分三百八十六万八千六十五秒，二周天度三百六十五加分二千七百一十五秒，二岁差一百二十五秒，二秒法一百，岁周三百八十六万七千九百四十，岁余五万五千五百四十，枢法一万五百九十。

译戴震说：除去天度之外，用一亿去通其加分，满枢法得到二千五百六十三万七千四百一十二岁有余，满枢法得到大余五日，小余，用一亿去通它，满枢法得到二千四百四十五万七千零三十四有余。

译蕙田按：这比崇历强，比戊寅历弱。它的岁差是八十四年五年，差一度。

明历，周天分为二十二亿七千九百二十万四百四十七，周天三百六十五度余一百六十万四百四十七，岁差八万四百四十七，日度母为六百二十四万，岁周一千四百二十四万四千五百，岁周三百六十五日余九千五百，元法为三万九千。

【戴震说：用万万通分周天度数，余数满日度母，得到二千五百六十四万八千一百八十九余；用万万通分岁余，满元法，得到二千四百三十五万八千九百七十四余】

蕙田按：这比张宾的新术强，比正光历弱，它的岁差是七十七年过半，差一度。

观天历，周天分为四百三十九万四千三十四秒五十七，周天度三百六十五余三千八十四秒五十七，岁差一百五十四秒五十七，秒母为一万，岁周四百三十九万三千八百八十，岁余六万三千八十，统法为一万二千三十。

【戴震说：用万万通分周天度数，余数满统法，得到二千五百六十三万五千九百五十七余；岁余满统法，得到大余五日，小余用万万通分，满统法，得到二千四百三十五万五千七百七十七余】

蕙田按：这比张宾历强，比明历弱，它的岁差是七十八年有余，差一度。

纪元历，周天分为二亿一千三百一万八千一十七，岁差七千九百三十七，期实二百六十六万二千六百二十六，岁周三百六十五日，余一千七百七十六，日法为七千二百九十。

【戴震说：日法八十倍，得到五十八万三千二百，作为度法。周天分满度法，得到三百六十五度余一十五万一十七，用万万通分，满度法，得到二千五百七十二万三千七十九余。用万万通分岁余，满日法，得到二千四百三十六万二千一百三十九余】

蕙田按：这比明历强，比正光历弱，它的岁差是七十三年有余，差一度。

统元历，周天二百五十三万一千二百二十六秒八十七，岁差八十八秒八十七，秒法为百，岁周二百五十三万一千一百三十八，岁周日三百六十五余一千六百八十八，元法为六千九百三十。

【戴震说：周天满元法得到三百六十五度余一千七百七十六及秒八十七，用万万通分，满元法得到二千五百六十四万有二百五十九，用万万通分岁余，满元法得到二千四百三十五万七千八百六十四】

蕙田按：这比观天历强，比明历弱，它的岁差是七十七八年，差一度。

乾道历，周天分为一千九十五万七千七百一十七秒五，岁差四百九秒五，秒法为百，期实一千九十五万七千三百八，岁周三百六十五余七千三百八，元法为三万。

【戴震说：周天满元法得到三百六十五度余七千七百一十七及秒五，用万万通分，满元法得到二千五百七十二万三千五百，又用万万通分岁余，满元法得到二千四百三十六万】

蕙田按：这比明历强，比纪元历弱，它的岁差与纪元历相近。

淳熙推法，干实三亿九百万七千六百一十三，岁差一万一千五百一十三，岁实二百五万九千九百七十四，岁周日三百六十五余一千三百七十四，元法为五千六百四十。

【戴震说：元法一百五十倍，得到八十四万六千，作为度法。干实满度法，得到三百六十五度，余二十一万七千六百一十三。用万万通分，满度法，得到二千五百七十二万二千五百七十六余。岁余满元法，得到二千四百三十六万一千七百有二余】

蕙田按：这比乾道历强，比纪元历弱。它的岁差与纪元历、乾道历相近。

会元历，气率一千四百一十三万四千九百三十二，轨差五百二十五秒一十三，秒法为百，统率三万八千七百。

【戴震说：气率满统率得到经岁余九千四百三十二，用万万通分，满统率得到二千四百三十七万二千有九十三余】

蕙田按：这比纪元历强，比正光历弱，它的岁差是七十三年过半，差一度。

统天历，周天分为四百二十八万三千九十，岁分四百三十八万二千九百一十，余六万二千九百一十，防法为一万二千。

【戴震说：周天分满防法得到三百六十五度余三千有九十，用万万通分，满防法得到二千五百七十五万，岁余满防法得到大余五日小余，用万万通分，满防法得到二千四百二十五万分】

蕙田按：这更弱于祖冲之的《甲子元历》，它的岁差是六十六七年，差一度。

开禧历，周天

译总率为六百一十七万二千八百五十九秒，一年相差二百五十一秒，一年的总率为六百一十七万二千六百八日，除数为一万六千九百。

译戴震说：用岁率除以满日法，得到经岁的小余为四千一百零八，用万万去通它，再除以满日法，得到二千四百三十万七千六百九十二，有余数。

蕙田按：这种方法比大业中的术法强，比张宾等新术弱。它的岁差是六十七年有余，差一度。

《金史·志》大明术：周天分为一百九十一万二百九十三分五百三十秒；岁差六十九分五百三十秒；秒母为一万；岁实为一百九十一万二百二十四分；岁策为三百六十五日，余一千二百七十四分；日法为五千二百三十分。

戴震说：周天分除以满日法得到三百六十五度余一千三百四十三分五百三十，用万万去通它，再除以满日法得到二千五百六十七万九千七百八十九，有余数；岁余除以满日法得到二千四百三十五万九千四百六十四，有余数。蕙田按：这种方法比明天术强，比乾道术弱，它的岁差是七十五六年差一度。

《元史·志》庚午元历：周天为一百九十一万二百九十二秒，九十八岁差六十八秒，九十八秒母为一百，岁实为一百九十一万二百二十四，岁策为三百六十五余一千二百七十四，日法为五千二百三十。

戴震说：这是依据大明术，减去天周七十三秒，那么岁差也减少七十三秒。

授时历：周天分为三百六十五万二千五百七十五分，岁实为三百六十五万二千四百二十五分，岁差为一百五十分，日周为一万。

戴震说：授时历的周天、岁实、岁差都与宋统天历相同，只是不使用日法，一度即为万分，一日也为万分。《明史·志·回回法》：天周度为三百六十【每度六十分，每分六十秒，细微以下都以此为准】宫十二【每宫三十度】日周分为一千四百四十，时二十四【每时六十分】刻九十六【每刻十五分】其法不使用闰月，以三百六十五日为一岁，岁有十二宫，宫有闰日，总共一百二十八年而宫闰三十一日。

戴震说：一百二十八年闰三十一日，那么每年三百六十五日之外，余下一百二十八分日之三十一。即把一百三十一作为日法，用万万去通三十一，再除以满日法得到二千四百二十一万八千七百五十。

蕙田按：这种方法比授时历弱。

《崇祯新书》依百分算定，用平行岁实为三百六十五日二十四刻二十一分八十八秒六十四微。

戴震说：此刻、分、秒、微，都以百数递进分析，用万万去比较它，这是二千四百二十一万八千八百六十四。

蕙田按：这种方法比回回法强，比授时历弱。

新法书：西法岁为三百六十五日四分日之一，每四年之小余凑成一日，因而置闰。百年中为整年七十五，闰年二十五，共为三万六年五百二十五日。

蕙田按：这是西方人的旧法，即古法三百六十五日四分日之一。《周髀算经》以三百六十五日称为经岁，余四分日之一，所以四年而闰一日。西法之初，大概本于《周髀》，其说地圆，也是《周髀》的绪余。确实，西法原出自中土，所以列出它来以志其起源。

当神宗十二年甲申，十三年乙酉，西域测量前后两个春分，得到岁实三百六十五日二十三刻四分。

戴震说：每日九十六刻，每刻十五分，法同回回术。用十五去通九十六，得到一千四百四十分，作为日法。用十五去通二十三刻，纳入四分，得到三百四十九分。又用万万去通它，再除以满日法，得到二千四百二十三万六千一百一十一，有余数。

蕙田按：这种方法比《崇祯新书》所定的强，比《授时历》弱。

神宗十六年戊子，第谷测量春分时刻，与前〇治元年戊申西域白耳那瓦所测相比，定岁实为三百六十五日二十三刻三分四十五秒。

戴震说：每日九十六刻，用分秒去通它，得到八万六千四百秒，作为日法。用十五去通二十三刻，纳入三分，又用六十去通它，纳入四十五秒，得到二万有九百二十五秒。又用万万去通它，再除以满日法，得到二千四百二十一万八千七百五十，与回回法相同。

蕙田按：西洋前法，本于《周髀》，后来则本于回回法。虽然说是自己测量得到的，终究也是有所本，而后加以测量罢了。

恒星依黄道东行六十九年一百九十一日七十三刻而行一度，多禄某测量一百余年而行一度，泥谷老后，多禄某一千三百八十六年，又以时史所记测量得到六十一年而行一度，第谷用前贤的成法，辗转修订，得到每年行五十一秒，七十年又七个月而行一度，蕙田按：西方人测量恒星东行，或六七十年一度，或逾百年一度，也如

译自汉代以来，论述岁差的人，其说法的疏密程度各不相同。大概是因为推算方法随着时间推移逐渐精密，选取其中精密的说法加以采用，并随时通过观测来调整增减，以符合天象即可。

译又查第谷所确定的回归年长度，本朝编修《时宪书》时采用了它。后来西方人牛顿等人，又说第谷所减去的数值过多，斟酌确定为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微有零。用万万作为分母来通分其小余，得到二千四百二十三万三千四百四十二有零。这在明神宗时期，西方人前后两次测量之间，雍正以来一直使用这个数值。

又查，回归年长度是推算天象最重要的关键。回归年长度确定了，然后所推算的气候才真实。一切其他方法，都是辅助这一点的。从汉代以来，一种历法就更换一次，回归年长度有时减少有时增加，没有不是有原因的。宋代《统天术》，暗中隐藏着回归年长度消长的方法，向上考证向下推算。元代《授时历》采用了它，明代《大统历》，完全沿袭《授时历》，只是不采用消长的方法。梅文鼎仍然主张《授时历》的方法，江永作辨析，认为有恒定速率的是平回归年，均分的是恒气；随着时间实际测量损益的是泛回归年，符合定气的是泛回归年。既然节气有恒有定，那么回归年有平有泛，是适宜的。这是千古以来未曾阐明的精妙义理，现在将其辨析记录如下。

附录江永《岁实消长辨》

江永说：回归年长度的消长，前人大多论述过。黄宗羲先生大约主张《授时历》，但也怀疑其百年消长一分用来乘距算，其数值骤然变化，实在觉得不伦不类。又说现在通行的回归年长度稍大于《授时历》，其为复长，似乎也有依据。因此提出高冲近冬至而岁余渐消，过冬至而复渐长的说法，大概保留这个以待后学深思。我另外提出说法，认为平回归年本来没有消长，而消长的原因在于高冲的运行和小轮的改变。两年节气相距靠近高冲的，回归年稍长；靠近最高点的，稍短。就像定朔、定望、定交不能均匀一样，只有逐节气计算其时刻分秒，而消长可以不讨论了。我的见解如此，于是不能强行相同。于是引用先生的言论，逐节疏论如下。

【梅文鼎答问：《授时历》以万分为日，所以其回归年长度三百六十五万二千四百二十五分。这个数值从至元辛巳岁前天正冬至积至次年壬午岁前天正冬至，共得到三百六十五日二十四刻二十五分。如果逆推前一年，也是如此。这个回归年长度的数值，《大统历》与《授时历》相同】

江永说：回归年长度是算法的大纲领，得到其真确的数值很难。四分术以前且不说，魏晋以后逐渐知道一岁小余不及四分日之一，随时测验一种方法，必定更换一个斗分，不久就有误差，这是什么原因呢？大概推步天象的人拘泥于履端于始的意义，只以岁前冬至距离今年冬至计算其小余时刻，并入大余作为回归年长度，不知道冬至距离冬至所得的是活泛的回归年，而不是经恒的回归年。想要得到经恒回归年，适宜在靠近春分时测量【元至元时曾测定气春分】今年春分距离来年春分，如果得到真时刻，就得到真回归年，又以前后远年测准的春分，计算其日时分秒，均分各年，那么回归年的恒定速率就确切了。这是什么原因呢？太阳因为有高卑而产生盈缩，近数百年间春分则平行【当郭守敬作律时定气春分之时正当并行之处，这以前以后虽然有差也很微小】所以所得回归年为恒定速率，得到其恒定才可以求其确定，就像月亮必须有平朔之点而后才可以求定朔一样。郭太史改法，自称创造简仪、高表，凭借所测实数考正者七事：一曰冬至，二曰岁余，其对回归年考查得很详细。他求冬至，从丙子年立冬后，依照每日测到的晷景，逐日取对冬至前后日差相同的为准，得到丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半，又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻，庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻，辛巳冬至在己未日夜半后六刻【后甲子日始五十五日零六刻，气应五十五万零六百分为律元】他求岁余，从刘宋大明以来测景验气，得到冬至时刻真数者有六，用以相距各得其时合用岁余，考验四年相符不差，仍自宋大明壬寅年距离至今八百一十九年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分，减大明术一十一秒，其二十五分为今律岁余合周之数。我以此两条考查，即使郭氏当年所定的回归年已有微小误差，考查史书，又多矛盾，这可以作为消长的标准吗？一岁小余二十四刻二十五分，积之四年，正得九十七刻，无余无欠。丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半，那么辛巳年冬至宜在己未夜半后五刻半，不应有六刻。如果以辛巳的六刻为确，那么丁丑年宜在九刻，不应只有八刻半。这四年既然都是实测所得，那么已经多半刻了，却说相符不差，为什么呢【丁丑年的八刻半虽然约取整数，未必正是半刻，然而已有数十分了。其本法上考以往百年而长一刻，四年所长的甚微，不应有半刻以下。然而当时冬至岁实刻下的小

译我（指冬至时刻）不止二十五分了。又考察刘宋孝武帝大明五年辛丑年，祖冲之所测量，十月十日壬戌，日影长一丈七寸七分半；十一月二十五日丁未，日影长一丈八寸一分稍多；二十六日戊申，日影长一丈七寸五分稍强。用壬戌、戊申两日的日影相比，余数二分二厘半作为实数；用丁未、戊申两日的日影相比，余数六分五厘作为法数。用法数去除实数，得到三十四刻六十分。用这个数减去相距的日数四千六百刻，余下四千五百六十五刻四十分。折算取那天的时刻【二千二百八十二刻七十分】，加上半日的时刻【因为是在午正测量日影，所以加上半日】，得到二千三百三十二刻七十分。从壬戌日起算，得到十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分【刘宋都城在建康，与元朝大都的经度差异应使时间晚五十七分，那么大都此日冬至应在三十二刻十三分。按刘宋时太阳最高点冲在冬至前几乎半个宫位，那么取冬至前后二十多天的日影折算取中数来求冬至，仍有误差，详见《冬至权度》】，辰初三刻冬至【大都减去半刻零数】。大明壬寅【辛丑年的十一月，即壬寅年的开始】下距至元辛巳八百一十九年，用《授时历》的岁实累积计算，共二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分。从乙酉辰初三刻到己未丑初一刻，共二十九万九千一百三十三日九十二刻，多出三十三刻，却说自大明壬寅至今每年合得此数，为什么呢【如郭守敬百年长一的方法，用八百一十九总数乘以所长的数，那么壬寅冬至在甲申日七十九刻稍多，比当时所测算的又早五十多刻，失之更远了。○详见《冬至权度》】。又说，减去大明术十一秒。考察祖冲之大明术，纪法与周天一年小余二十四刻二十八分十四秒，《授时历》减去三分十四秒，也不是十一秒【邢士登考证说金朝时赵知防重修大明术，小余二十四分三十六秒，实际比《授时历》多十一秒，郭守敬所减的是赵法而非祖法，他的说法是对的】。那么《授时历》所定的岁实，还是近似灵活变通的数，而不能作为恒定不变的标准。想要确定恒定不变的岁实，那么西方历法恒年表的恒率就是了。按恒年表一年小余五小时三刻三分四十五秒【一日二十四小时，一小时四刻，一刻十五分，一分六十秒】，以分折算为三百四十八分有余，以秒折算为二万零九百二十五秒【一日八万六千四百秒】。考察其实，回回历法已经如此。回回历法一年三百六十五日，一年有十二宫，宫有闰日，一百二十八年闰三十一日，那么一年闰一百二十八分日之三十一，正是西方历法的岁余【用一百二十八乘以二万零九百二十五得二百六十七万八千四百，用八万六千四百除之得三十一】。回回历法以春分为岁首，其岁余由累积测量春分得到，欧洲历法于是沿用至今未改，虽然分下的四十五秒未必没有早晚偏差，但也应该很微小了。以此平均率为标准，随着当时最高点冲与最高点的运行而进退。冬至靠近最高点冲，则两年冬至之间的距离必多于平均率【现在多一分弱】；夏至靠近最高点，则两年夏至之间的距离必少于平均率【现在少一分弱，就像太阴当朔时进入交点，两朔相距的日子必多；当望时靠近月孛，两望相距的日子必少；如果朔时靠近月孛，望时靠近交点，两朔相望相距则相反】。又古代太阳本轮均轮半径之差大于今日，那么加减均数也大，而冬至岁实应当更增加。至元辛巳年间，最高点冲约与冬至同度，那么岁实尤其大，其小余刻下的分，约有三十分，而《授时历》定为二十五分，适宜其自丁丑至辛巳四年之间，就有半刻之差，而郭守敬没有察觉【一年少五分，四年少二十分，几乎达到半刻的一半了。丁丑年的八刻半，本为约略之数，半刻以下固然难以测算，确实如此。用西方历法岁余依《授时历》万分日比较，只有二十四刻二十一分八十七秒半，比《授时历》岁余少三分十二秒半。当时冬至为盈初，小轮半径差又大，其多于平均率必不止三分有余。梅氏又说：然而《授时历》原有消长之法，是其新意。其法自辛巳元顺推至一百年，则岁实应当消一分；若自辛巳元逆推至一百年，则岁实应当长一分。每相距增加一百年，则岁实消长各增一分，以此作为上考下求的标准。《大统历》诸法都遵循《授时历》，唯独不用消长之法，上考下求总定为三百六十五日二十四刻二十五分，这是其不同之处】。江永说：按冬至相距的岁实大于平均率，最高点冲有运行度数，而小轮均数又有大小，适宜其岁实有消长分数。然而必须当时测定的岁实已真确，又知道无可复加，而后知道将来的逐渐消减。如果《授时历》岁余刻下的二十五分尚非确数，其差分已见于

译从丁丑年到辛巳年这四年之间，难道辛巳年之后就能断定节气误差果真会消除吗？郭太史所考订校正的七项内容，以及创立新法的五项内容，都在短短几年内实际出现了误差的增减，大概是因为未能真正知晓误差增减的原因，只是暗中采用杨忠辅《统天术》中的灵活方法来推算古代历法，以为推演未来也会如此罢了。明代《大统历》完全遵循《授时历》，唯独不采用误差增减的方法，当时的历官元统并非没有确切的见解和实测数据，知道不应当使用误差增减的数值。以现在的眼光来看，幸好《大统历》没有采用误差增减的数值，冬至即使有提前的误差，也还不算太远，如果贸然将二十五分改为二十四分，提前的误差不是更多吗【在至元年间，冬至时刻的小余大约有三十分钟，《授时历》一年少算五分钟，一百年大约提前五刻】

译梅氏又说：岁实就是一年的日数，从一年到百年、千年，总共累积多少，这就是积日，也称为中积。比如现在康熙庚午年，距离起算点四百零九年，依照授时历法推算得到积日十四万九千三百八十四日零一刻八十九分。大统历不使用消长法，那么积日就是十四万九千三百八十四日一十八刻二十五分。两种方法相差一十六刻三十六分。

江永说：天体运行有盈有缩、有进有退，必定是逐渐变化的，没有突然增加或突然减少的道理。郭氏认为百年消长一分，那么百年之内都没有误差，到一百零一年突然增减一分，又过百年都平均差一分，到二百零一年又突然增减一分，哪有这样的常数和法则呢？即使按照他的方法计算几百年后，也应当逐段计算其消分的累积来计数，不应当总计应当消减的分位而用距离年数去总乘它。从一百零一年到二百年各消一分，累积一百分；从二百零一年到三百年累积消二百分，加上前面的共三百分；从三百零一年到四百年累积消三百分，加上前面的共六百分；又从四百零一年到四百零九年累积消三十六分，加上前面的总共消六百三十六分，即六刻三十六分。如果像郭氏那样总计消分去乘距离年数的方法，就消去了一十六刻三十六分，相差一十刻，而且越来越超前于天象。这种分算、总算两种方法都不成立，而总算尤其没有道理。比如大统历康熙庚午年冬至是癸卯日卯初三刻，授时历则是丑初三刻。查时宪书却是巳初一刻。大统历、授时历使用消分、不使用消分，都不符合当天天象，为什么呢？因为当年所测得的岁实刻下小余，其数值不真实，所以如此。岁实已经偏小了，又去消减它，怎么能不超前于天象呢？假如当年把二十五分改为三十分，从辛巳年以后逐渐消减，或许还差不多。问：至元年的岁余如果确实是二十四刻三十分，那么向上考证应当是变长呢？还是消减呢？答：向上考证也是消减。因为至元年时高冲与冬至同度，小轮均数又大，所以冬至岁实处于最长的时期，而向上考证和向下考证都应当消减，只是在三十分之内消减，不是在二十五分之内消减。现在高冲在冬至后七八度，小轮又逐渐变小，冬至岁余以万分日计算，大约在二十四刻二十八九分之间，刘宋大明时，高冲在冬至前半宫，用祖冲之的纪法去除其岁周，当时岁实三百六十五日二十四刻二十八分一十四秒。可见至元前后，都在三十分之内消减，其消减很慢，大约四百年才消一分。因为小轮均数在初宫，好像平差一样。到一宫以外，就逐渐变快了。如果用春分平岁实相比，那么冬至岁实上下数千年，都在变长的限度之中，而至元年时尤为最长。必须等到高冲运行到春分，冬至岁实才开始平衡。又数千年，高冲运行到夏至最高，运行到冬至，冬至岁实才开始达到消减的极限。然而冬至岁实消减，那么春分岁实就变长；冬至岁实消减到极限，那么夏至岁实又成为变长的极限了。况且现在本轮差小，古时差大，那么消长之中又有消长。如果知道这个道理，那么后来的推步者，只要随时测量高冲的运行和小轮的差，来计算定气，而岁实的消长都可以不论了。就像太阴，只要实际计算定朔、定望、定晦，不必再计较这个月比朔望多几何，少于朔望几何。

梅氏又说：问岁实既然有一定的数值，授时历为什么有消长之法？答：这不是授时历的新法，而是宋代统天历的法；然而也不是统天历凭空创造的法，而是综合古今累代的法而制定的。

江永说：统天术，是宋宁宗时杨忠辅所创。其岁实与授时历完全相同，用斗分乘以距差为躔差，暗藏加减之法，大约百年加减一分零六秒弱。然而实行不久，鲍澣之创制开禧术，臧元震创制成天术，都增加岁实，更改各种比率，纷纷扰扰直到没有定论。

梅氏又说：古法周天三百六十五度四分度之一，一年的日数也如此，所以四年增加一日。后来逐渐发觉落后于天象，都认为斗分太强，因此稍微减少它。

江永说：古法四年增加一日，其术数非常粗略。虽然古斗分应当多，也大约百数十年就应当落后天象一日。为什么从周朝到汉朝，很久以后才发觉？答：周朝的法却失之超前于天象。僖公五年辛亥日冬至，昭公二十年己丑日冬至，都超前二三日。累积数百年以有余的岁实，填补其所超前的数值，才恰好得到平衡。后来仍然坚持四分法，逐渐落后于天象，所以很久以后才发觉。

梅氏又说：从汉朝到晋朝，到唐朝，到宋朝，每次改法必定有所减少，以符合当时实测的数值。所以用前代的法顺推后代，必定落后于天象，因为斗分太强。如果用后代的法，依据近测逆推往代，也必定落后于天象，因为斗分太弱。

江永说：汉朝以前的冬至，不是实测，超前或落后于天象甚至达到二三日。后汉

译刘洪最后，开始察觉历法滞后于天象，从而减少斗分。东晋虞喜，开始创立岁差法。后秦姜岌，开始知道用月食冲日的方法来检验太阳所在的宿度。而在刘宋初年，冬至仍然滞后三天。大明年间祖冲之，开始在测量日影方面做得详尽，通过比对冬至前后二十多天的日影，取其中值来确定冬至。此后，冬至日的太阳运行位置，逐渐符合实际情况，但仍不能完全吻合。所以唐代一行说：麟德历之前，实录所记载的，是依据当时的历书推算的，并非通过实测日影所得。郭太史说：自从大明历法以来，通过测量日影、验证节气而得到冬至时刻真实数值的，有六次。然而，实测能够与天象相合的情况，也是很少的【梅氏又说：统天历看到了这一现象，因此制定法则，将其通用于岁实平均之中，加上一个古多今少的比率，这样既与前代各种历法不冲突，又不违背当今的实测。这是其运用法则的巧妙之处。然而统天历将数据隐藏在法则之中，未曾明确说明消长规律。授时历则明确说明了，现在人们就把它当作授时历的方法了。郭太史自己陈述创制历法的五个要点，起初并没有涉及这一点】

译江永说：《授时历》的算法实际上暗中采用了《统天历》的方法。其岁余为二十四刻二十五分，与《统天历》相同，而上推百年增加一分的法则也相似。所以《授时历议》说，从鲁献公戊寅年到至元辛巳年冬至日名，共有四十九项，与《授时历》相符的有三十九项，不相符的有十项。《统天历》不相符的只有鲁献公戊寅年与《授时历》不同，其余三十八项与《授时历》相同。两种历法推算冬至大致相似。然而刘宋大明壬寅年之前的冬至在乙酉日夜半后三十二刻七十分，这是当时祖冲之通过测影推算得出的，即使有不够准确的地方，也不至于相差太远【当时所算大约比实际晚十六刻，详见《冬至权度》】。按照《授时历》、《统天历》的方法都推算出在甲申日戌初初刻，比实际早很多，怎么能说大明历错而《授时历》、《统天历》对呢？郭氏说，自从大明历以来，通过测影验气得到冬至时刻真实数值的有六次，用来相互比较，既然以大明壬寅年的冬至作为得到真实数值的首次。等到用历法推算，就失去了这个冬至，于是说日度失常，这可以吗？以现在来看，一是因为《授时历》所定的岁余本来就不真实，二是因为长数应当逐渐积累，不应当总计长分，而用八百一十九距算总数去乘【《统天历》距差乘躔差减泛积失也大致相同】。

【梅氏又说：那么大统历为什么不用消长呢？回答说：这是元代历法的失误。当时李德芳已经上疏争辩了。然而在洪武年间，距离《授时历》立法不过百年，所减不过一分，积累起来不过一刻，所以虽然不用消长，也没有很大的差别。《崇正律书》说元代历法是通过测验得到的，我私下认为不是这样。为什么呢？元代历法与李德芳辩论，只说没有改变旧法，不说测验有误差。又他所著的《通轨》，虽然便于初学者，却特别不明白根本宗旨，偶尔有所更改，就违背经义。怎么能在一刻之间的冬至加时先后，就测得真实数值呢】

江永说：明初李德芳与元代历法争论岁实消长，成为术数家的一段公案，关系到明朝二百余年的历法。邢士登怨恨元代历法不用消分，导致明神宗年间节气比实际晚九刻有余，我有理由判断。根据《授时历》岁实上考，固然应该有长分。然而《授时历》的岁余本来就不准确，那么所依据作为长分的开端也不真实。既然说每百年长一分，就应当逐渐增长。却总计长分去乘距算，又没有这种算法。看它推算到大明壬寅年，已经违背当时的实测，又何况春秋以前呢？李德芳所依据的，是说鲁献公十五年戊寅年天正甲寅冬至，依照《授时历》法推算得到甲寅日夜子初三刻，依照大统历法推算得到己未日午正三刻【己未在史书中误作丁巳】，相差四日六时五刻。应当用至元辛巳作为元及消长的法则，才符合天道。鲁献公的年份，史书有错误，本来难以凭信。《汉书·律历志》说献公十五年甲寅冬至，这是刘歆三统历逆推当年冬至是甲寅罢了，哪有实测记载在可信史书中的呢？而李德芳以此驳斥元代历法，可见他没有卓越的见识。然而元代历法不用消长，起初没有实际依据，只说上考下推不用消长以符合天道。又说天道没有开端，只有数可以推究其机理；天道极其微妙，因为数可以阐明其道理。道理因数而显现，数从道理中产生，所以理数可以相互倚重而不能相互违背。既然没有实测，却凭空谈论天道、谈论理数，适宜不能使李德芳信服。如今数学大昌，由后往前看，此前二百余年，还幸亏元代历法不用消分，冬至加时比实际早还不算太远。大概《授时历》岁余一年大约少五分，从至元辛巳到洪武甲子一百零三年，本来就已经比实际早五刻了。如果大统历减一分，又过百年，二百年再减，比实际早不是更多吗？邢士登说明神宗年间大统历比实际晚九刻，这不是有所测验，只是根据用消分与不用消分积累计算如此，哪里知道明代历法都失之于比实际早呢？看前面所举康熙庚午年《时宪书》癸卯日巳初一刻冬至，依照大统历算卯初三刻，则比实际早十四刻；如果依照《授时历》算丑初三刻，则比实际早三十刻。从辛酉追溯到戊辰五十余年，大约减二三刻，那么戊辰以前大统历率比实际早十一二刻，如果用《授时历》法，比实际早就达到二十七八刻了。这怎么能厚非大统历呢？

【梅氏又说：那么消长必不可废吗？回答说：上古则不可知了。如果春秋时的日子，南至固然可以考据，而唐宋诸家的实测有据者，史册也具存。现在用消长的方法求之，其数都符合；如果用大统历法求之，则都比实际晚，而在春秋时且差三日了，怎么可以废除呢】

江永说：春秋算法最疏漏，置闰或疏或密，日食或不在朔，那么推算冬至违背天道可知。僖公五年丙寅年正月辛亥朔，日南至，用今法推算这一年平冬至在乙卯日巳时，定冬至在甲寅，即使此时小轮均数大，能使定气移前一日半，也不过是癸丑日之夜刻，辛亥实际比实际早二三日，况且定朔壬子也不是辛亥。昭公二十年己卯年二月己丑日南至，用今法推算这一年平冬至壬辰，定冬至辛卯，当时推算己丑也比实际早二日，

译况且己丑是这一年的正月初一，怎么可能是二月呢？《授时历》推算僖公五年冬至，用岁余长度十九分乘以距算一千九百三十五，加到中积上，得到辛亥日寅时初二刻，这是用总长分数乘以距算，而不是逐渐累积增长，也是因为传文中记载有辛亥日冬至的文字，强行这样计算以求吻合，却不知道辛亥日并非实测结果【唐代一行说僖公登上观台观望，记载云气物象出于表晷，天象验证不合时，史官亿度，我认为传文说记载云气，并未说测量日影】。它推算昭公二十年冬至，用十八乘以距算一千八百零二，结果得不到己丑日，而是得到戊子日戌时初三刻，比实际时间提前得更多了。这两件事一个吻合一个不吻合，都不足以作为依据。况且既然能够向上吻合一千九百多年前的冬至，为什么刘宋元嘉年间丙子年十一月甲戌日日影最长，推算却是癸酉日；大明年间辛丑年十一月乙酉日冬至【即壬寅年天正冬至】，推算却是丙申日？这两件事都是八百多年前反而比实际时间提前了一天，难道不是总分乘以距算的方法不合法规，所以出现错误吗？

译梅氏又说：那么统天历和授时历推算岁实增减的方法相同吗？回答说：也不相同。统天历逐年累积误差，而授时历以百年为限来推算岁实的消长，那么授时历的方法又不如统天历了。

江永说：统天历用距差乘以躔差，其误差也与授时历相当【这是因为它的根本数据不准确】。

梅氏又说：如果一定要说百年才消长一分，未尝不对，但用距差去乘算，其数值骤然变化，实在觉得不合情理。郑世子《黄钟推法》之所以有所斟酌修改，正是出于这个原因。

江永说：授时历的错误，勿庵先生已经察觉到了。不仅如此，年代越久远，误差就越严重。比如推算到春秋时期，相隔一千九百年，那么岁余就是二十四刻四十四分。如果是一千九百零一年，岁余增加一分。这一分乘以距差，在一千九百零一年之前的一年，忽然增加了十九刻多。那么岁实就有三百六十五日四十三刻多，这难道不是非常可笑吗？况且还有比这更久远的年代呢。

梅氏又说：问岁实消长的方法，既然通用于古代，也应该符合当今。但如今实测的学者，又认为岁实是消减后增长，他们的说法依据何在？难道也有其中的缘故吗？回答说：授时历虽然沿用了统天历的方法，而采用消长说，只是用它来推算旧法从而相符合罢了，起初并没有深入说明其中的缘故。只有《新书》为此解释说：岁实逐渐消减，是因为日轮的毂逐渐靠近地心。我曾私下怀疑这种说法，现在详细论述一下。西方历法认为日天与地不同心，阐述了疏密盈缩加减的道理，它所说的加减，都是在天周三百六十度之中进行加减，并不是在度数之外有所增损。比如在最高点时，视行显得小而有所减，在最低点时，视行显得大而有所加。增加度数就减少时间，减少度数就增加时间。但都是用最低点所减的来补足最高点所加的，等到加减完成一个周期，其总数正好符合平气，几乎没有多余或不足。如果日轮的毂真的逐渐靠近地心，不过是其加减的数值逐渐趋于平均罢了。加的数值逐渐平均，那么减的数值也逐渐平均，其迟速相互补充而归于平气是一样的。难道会有日轮心远离地心时，加的数值多而减的数值少；日轮心靠近地心时，减的数值少而加的数值多的情况吗？必然不是这样的。

江永说：冬至与相距之日时，古今有多少差异，不过是泛岁实与平岁实相差，其相差又有舒缓急疾的渐变罢了。如果知道冬至有平气冬至和定气冬至，本来就不必谈论消长，如果一定要谈论其消长，那么原因有二：一是由于最高点与冲点距离冬至有远近，二是由于太阳小轮古今有大小。最高点从秋分行至冬至，这三个宫位的定气冬至都在平气冬至之前；从冬至行至春分，这三个宫位的定气冬至都在平气冬至之后。总共这六个宫位上下，大约一万年【以现今最高点冲点运行的速度来推算】都在长限，因为其冬至泛岁实都多于平岁实。只有最高点正当秋分、春分时，这两年的岁实都是平的【即西方历法三百六十五日五小时四十八分四十五秒】，离开这个位置就逐渐有差异。前三个宫位由平而逐渐增多，这是长中的长；等到最高点与冬至同度，那么定气冬至与平气冬至同日同时，这是长的极致，当时郭太史制定历法正是纠正这个时期。后三个宫位由极多而逐渐减少以至于平，这是长中的消。现今最高点在冬至后八度，其消减还不多。如果最高点越过春分而行至夏至，这三个宫位的定气冬至也在平气冬至之后；从夏至行至秋分，这三个宫位的定气冬至又在平气冬至之前。总共这六个宫位也大约一万年，都在消限，因为其冬至泛岁实少于平岁实。前三个宫位由平而逐渐减少，这都是消中的消；等到最高点与夏至同度，那么定气冬至也与平气冬至同日同时，这是消的极致。后三个宫位由极少而逐渐增加以至于平，这是消中的长。这是通论最高点运行一周天而总论其消长。然而太阳两个小轮的半径三千五百八十四，古代多而现今少，多则小轮稍大，日躔加减均数也稍大；少则小轮稍小，加减均数也稍小。最高点的运行每年一分一秒十防【西方学者后来测定的】，这一分一秒十防，如果在均数稍大的情况下，那么度分变为时分秒数，以加减于平时者必然稍多；如果在均数稍小的情况下，那么度分变为时分秒数，以加减于平时者必然稍少【如崇祯戊辰年所立的加减差表，初宫初度十一宫末度，每一十分均数二十二秒。最高点一年行一分一秒十防，约均数二秒多，这二秒多变为时间约五十七秒，加于平岁余五小时三分四十五秒，得五小时四分四十二秒。如果小轮稍大，那么初度一十分的均数不止二十二秒，而一岁最高点的运行不止得均数二秒多，其变时也不止五十七秒了。如果小轮稍小，那么初度一十分不及二十二秒，最高点的运行得均数不及二秒，那么变时也不及五十七秒了。这里略举初度的均数为例，其他可以类推】。古今小轮的大小虽然不能完全知道，以刘宋元嘉、大明年间多年的实测来推算当时的不同心差，大概四千多【详见冬至权度】，那么

译均数必定稍强一些。到了元代《授时术》中，冬至盈初的如分多于今日所加的分数，那么当时小轮的半径就不止三千五百八十四，从此以后直到今天，小轮逐渐变小，均数也逐渐减少，高冲行度所得的均数中用来减去度数、加上时刻的部分也稍弱一些，这又是因为轮毂逐渐靠近地心而略微有所消减的缘故。

译梅氏又说：又考察日躔表，他们本来就没有消长的说法。日躔表只说平岁，使用授时历的消分；定岁则使用最高差以及查恒年表的方法，那又只使用平率，可见他们的说法并没有确定。

江永说：历法著作不是出自一人之手，所以有不一致的地方。其岁实平率出自回回历法，回回历法得自实测春分，这是历法著作最重要的地方，可惜没有明白剖析。其日躔表说辩驳从前说消长的人的错误，本来就有定论了，只是小余稍微有些不同罢了【历法著作平岁实小余五小时三刻三分四十五秒，以万分通之，是二四二一八七五。现在考成历也使用它，而日躔表说二四二一八八六四较多，一一四】

梅氏又说：历法著作说日轮逐渐接近地心，数千年后将合为一个点。如果以前的逐渐消减，是由于两心逐渐接近，那么现在的消减停止而增长，两心也将从最近而变远，数千年后又怎么能合为一个点呢？他大概是看到授时历消分有依据，而暂且这样说，并不是能穷尽讨论消长原因的人。

江永说：七政都有小轮，只有日的小轮有改变，我私下认为久后也必定恢复，哪有与地心合为一个点的道理？自至元辛巳年以后，正是增长到极点而消减，不是消减停止而增长。有人说：现在实测的冬至晚于授时历的中积分，明明是增长却说是消减，为什么呢？回答说：前面已经说过了，授时历岁余刻下之分应当有三十分，而郭守敬定为二十五分。授时历的岁实，难道不是出于实测吗？然而因为其中自述丁丑、辛巳四年冬至，得到其自相矛盾之处，因此知道至元时是增长到极点而消减的大界限，与日躔加减表十一宫末度以前均数逐渐减少的道理，本来相符。

梅氏又说：那么将用什么来探求其原因呢？回答说：授时历以前的逐渐消减，已经从经史中验证而可信了。而现在现行的岁实，又稍大于授时历，其为恢复增长，也似乎有依据。我私下考察西法最高卑，现在定在二至后七度。依照永年法，每年行一分有余。那么授时历立法的时候，最高卑正与二至同度。而在此之前则在至前，过了此则在至后。难道不是高冲逐渐接近冬至，而岁余逐渐消减？等到它过冬至而向东，久后恢复逐渐增长吗？我观看《七政书》，在康熙庚申年移改最高卑度弱，而那年岁实骤然增加一刻半强。这也是一个证据。保留这个以等待后来懂法的人。

江永说：岁实消长的原因，一是由于最高冲有行度。先生因为最高改移，岁实骤增，而领悟到这一点，还说保留它以等待懂的人，也是想让后人由此思考。然而他所说的消长，如果与实际计算相反，为什么呢？日躔加减表，初宫与十一宫同均，而加减异号。至元辛巳以前，高冲行未及冬至，则用初宫的均度分秒加度而减时；辛巳以后，高冲行已过冬至，则用十一宫的均度分秒减度而加时。前减时则定冬至在平冬至前后，加时则定冬至在平冬至后。初宫的初度与十一宫的末度，其均最大，则一岁高冲之行所得均数最多，变为时以加减于平时者亦最多，所以此处岁实极大，都是最长的时候。初宫若离初度稍远则均渐少，而变时以减平时者亦稍少，岁实也稍减了。十一宫若离末度稍远则均渐少，而变时以加平时者亦稍少，岁实也稍减了。所以高冲行逐渐接近冬至，其均由少而多，岁实正逐渐增加以至于极点。而这里说岁余逐渐消减，高冲已过冬至，其均由多而少，岁实则由极少以逐渐减少。而这里说恢复逐渐增长，难道不是与实际计算相反吗？大概先生论消长，不主张以平岁实为根本罢了。

梅氏又说：王寅旭说：岁实消长，说法不一。说由于日轮的毂逐渐接近地心，其数逐渐消减的，不对。日轮逐渐接近，则两心差及所生均数也不同。以论定岁，确实有损益；若平率岁实，尚未涉及均数，则消长的根源，与两心差有什么关系呢？识者想以黄赤极相距远近，求岁差朓朒，与星岁相较为节气消长终始循环的方法。夫距度既殊，则分至诸限，也应当随易用求差数，其理才全。然而必有平岁的岁差，而后有朓朒的岁差；有一定之岁实，而后有消长之岁实。以有定者纪其常，以无定者通其变，始可以永久而无弊。

江永说：古今言岁实消长者，都是从冬至岁实而言，不是论平率岁实。因为两心差及所生均数异，而定气点有损益，这也是消长的一个根源，不能说其无关系。若黄赤极相距远近，求差数，此说恐怕不对。其言有平岁的岁差，而后有朓朒的岁差；有一定之岁实，而后有消长之岁实。这几句话极中肯綮。一定之岁实，是从春分测定的平岁实。如果知道这个，则只说平冬至，定冬至，不必说消长，也

译可以了。

【梅氏又说：王寅旭的这个论点，是想依据黄道与赤道交角逐渐变小的现象，来作为岁实（回归年长度）逐渐减小的根本原因。大概是因为看到西方测量得到的黄赤交角，古代大现在小，现在又觉得稍微偏大，所以断定这是岁实先减小后增大的缘故。然而黄赤交角的远近，其差异体现在纬度上；岁实的消长，其差异体现在经度上，似乎并非同一个根源。再说西方测量得到的交角数值又偏大，他们本来就已经怀疑以前测得的最小数值不够真实，这就难以作为确凿的依据。我认为，中国传统历法以冬至作为岁实的起点，而在岁实减小的时候，高冲点与冬至点处于同一度数；高冲点偏离冬至点，岁实也就增加。通过经度来推算经差，似乎更为贴切】

译江永说：关于黄道与赤道关系的辨析最为确凿，而认为近日点与冬至同度是岁实缩减之时，我在前面已经论述过了。

【梅文鼎又说：太阳运行的盈缩，仔细考察的话，那么春分到夏至，夏至到秋分，虽然都按缩减计算，但它们的缩减量也不相同；秋分到冬至，冬至到春分，虽然都按盈满计算，但它们的盈满量也不相同。而且每年都不相同，仔细探究则每个节气都不相同，再仔细探究甚至每天都不相同了。这是什么原因呢？大概是因为近日点不在夏至，而在夏至之后几度，而且每年都在移动，这是太阳盈缩的根本，也是岁实之所以有消长的原因】江永说：用太阳盈缩的根本来推求岁实之所以有消长，这是先生的定论。

【梅文鼎又说：庚申年夏至到冬至一百八十三日十三刻六分，辛未年夏至到冬至一百八十三日十四刻九分，十二年中总共增加一刻零三分。壬戌年冬至到次年夏至一百八十二日九刻九分，庚午年冬至到次年夏至一百八十二日八刻十分，九年中总共减少十四分。又合计：癸亥年夏至到前半周（半年）一百八十二日九刻九分，冬至到前半周一百八十三日十三刻十分，相比多出一日零四刻一分。辛未年夏至到前半周一百八十二日八刻十分，冬至到前半周一百八十三日十四刻九分，相比多出一日零五刻十四分，八年中比较的差数增加一刻十三分】

江永说：这是用半年的节气前后相互比较，来验证近日点的东移。如果将两年间的冬至、春分、夏至、秋分及各节气两年间的距离进行比较，都各有其岁实，而冬至的岁实最大，夏至的岁实最小，春秋分则接近平均。又过了几十年，各种岁实也会有所不同。前代只知道冬至的岁实，不知道每个节气都有岁实。

【梅文鼎又说：然而两分（春分、秋分）之间的距离却没有很大差别，为什么呢？大概是因为近日点向东移动，那么夏至后多占据近日点的度数，而减度加时的数量越来越多，所以时间越来越长；远日点向东移动，那么冬至后多占据远日点的度数，而加度减时的数量越来越多，所以时间越来越短。靠近两至（夏至、冬至）的地方，都是加减差最大的地方，所以消长的比较已经极大了。至于两分与中距（半年中间），虽然也逐年移动，但中距都是平均度数，不涉及加减。近日点前后视运动较小的度数，完全在春分后半周；远日点前后视运动较大的度数，也完全在春分后半周，毫无移动，所以没有很大的消长】

江永说：两分没有很大差别，所以要想得到平均岁实，必须在靠近两分时进行测量。如果远日点运行到春分，那么两分之间的距离又最大，而两至反而平均了。

【梅文鼎又说：授时历的消分法是不变的法则，现在又有增长的情况，为什么呢？西法中近日点和远日点的位置，在两至之后几度，每年向东移动，所以即使冬至也有加减，不能以恒定为准则。这是西法中的一个重大关键，这种方法自从回回历法就有，然而了凡先生（袁黄）颇采用回回历法，却不知道这一点。熊防石先生亲自与西方传教士讨论历法，也没有提及，为什么呢】

江永说：“近日点和远日点有运行度数，确实是西法中的一个重大关键。袁氏新书不知道近日点和远日点，又怎么能比较论述前代各种历法的先后天（误差）呢？”

【梅文鼎又说：袁了凡的新书，贯通回回历法的立意，成就于大统历，可以说是苦心孤诣。然而竟然删去近日点的计算，又直接使用大统历的岁余，而抛弃授时历的消长。向前推算几百年已经无效，何况数千万年之久呢】

江永说：“袁书向前推算几百年已经无效，确实如此。如果抛弃授时历的消长，则不值一提。授时历本来就不是不可更改的法则。现在使用考成历推算，只有求天正冬至和求定冬至的方法，而不谈论消长，纷纷的争论可以定论了。”

观承按：历法由粗略而逐渐精密，测量由长久而更加精确。黄宗羲（勿庵）的方法兼统中西，确实是冠绝古今。而江永这篇文章推演得更加精密，测量更加精确，能够补充黄宗羲所未能完备的地方，可以说是青出于蓝了吧？

　　以上为岁实

　　五礼通考卷一百八十六

<经部,礼类,通礼之属,五礼通考》>

　　钦定四库全书

　　五礼通考卷一百八十七

　　刑部尚书秦蕙田撰

　　嘉礼六十

　　观象授时

《唐书·志》日躔盈缩略例说：北齐张子信积累观测合蚀加时，发觉日行有入气差，但损益没有得其正。到刘焯创立盈缩躔衰术，与四象升降，麟德历沿袭它，改名为躔差。凡是阴阳往来，都是逐渐积累而变化。太阳到达最南端（冬至），其运行最急，急而逐渐减弱，到春分及中气之后才变慢。等到太阳到达最北端（夏至），其运行最舒缓，而逐渐增加，到秋分，又及中气之后才更加急促。急促到极点就寒冷，舒缓到极点就炎热，及中气则雨〇之气交，这是自然的规律。刘焯的历法在春分前一日最急，后一日最舒；秋分前一日最舒，后一日最急。舒缓急促同于两至，而中间一日平行。这种说法不对，应当用二十四节气晷景来考察日躔盈缩，而密于加时。”

《元史·志》：北齐张子信积累观测合蚀