五礼通考卷一百八十八
一史中所载诸家厯元，无一同者，是其积年之久，近皆非有所受之于前，直以巧算取之而已。然谓其一无所据而出于胸臆，则又非也。当其立法之初，亦皆有所騐于近事，然后本其时之所实测，以旁证于书传之所传，约其合者既有数端，遂援之以立术，于是溯而上之，至于数千万年之逺，庶几各率可以齐同。积年之法所由立也。然既欲其上合律元，又欲其不违近测畸零分秒之数，必不能齐，势不能不稍为整顿，以求巧合。其始也，据近测以求积年；其既也，且将因积年而改近测矣。又安得以为定法乎？授时厯知其然，故一以实测为凭，而不用积年虚率，上考下求，即以至元十八年辛巳岁前天正冬至为元，其见卓矣。
译《一史》中所记载的各派历法起始元点，没有相同的，这是因为年代累积太久，近来都并非从前代继承而来，只是凭借巧妙的推算来确定的罢了。然而说它们毫无根据而凭空臆造，那又不对了。在它们制定历法之初，也都对近期的天象进行过验证，然后以当时实际观测的数据为基础，去旁证古籍中流传的说法，大致吻合的已有好几处，于是援引这些依据来确立算法，从而向上追溯，直到数千万年之前，希望各派历法的速率能够大致统一。这就是积年之法确立的原因。然而既然想要向上符合律历的元点，又想要不违背近期观测中零散的分秒数据，这就必然无法完全统一，形势所迫不得不稍加调整，以求得巧合。起初是依据近期观测来推算积年；后来却将要因为积年而修改近期观测的数据了。又怎么能够把它当作确定的法则呢？《授时历》知道这种情况，所以完全以实际观测为依据，而不使用积年的虚设速率，向上考证、向下推求，就以至元十八年辛巳岁前天正冬至作为历元，它的见识真是高明啊。
案唐建中时，术者曹士蒍始变古法，以显庆五年为上元，雨水为岁首，号「符天厯」，行于民间，谓之小厯。又五代石晋髙祖时，司天监马重绩造「调元厯」，以唐天寳十四载乙未为上元，用正月雨水为气首。此二者亦皆截算之法，授时厯葢采用之耳。然曹、马二术，未尝宻测逺徴，不过因时法之率，截取近用。若郭太史，则制器极精，四海测騐者二十七所，又上考春秋以来，至于近代，然后立术，非舎难而就易也。
又案《孟子》“千岁日至”，赵注只云“日至”，可知其日。孙奭疏则直云“千岁以后之日至，可坐而定”，初不言立元。蕙田案：法未有数百年不差者，葢立法之始，必不能无差数，但其数甚微，积之久然后着。夫立一法而行之百余年即差，若所推厯元，大都在数千年以上，安必其无差乎？《孟子》所云“千岁之日至”，谓术家测騐既徃，得其常度，可以顺推将来，不必主立元为説也。
观承案：孟子此章极精，只寛説而理数俱该，然并无厯元之説。朱子注亦简明，惟末载造厯者一条，反似赘説。羲和观象，并无立元之文，至太初厯始有之。孟子当时，岂知后世将有太初之厯而预言之？夫律岂无元，然随代可立，不必追上古。十一月甲子朔夜半冬至耳。授时厯直以至元辛巳为元，允为超絶古今。且孟子所谓日至者，亦兼二至在内，非专指冬至也。周之土圭，反专重夏至。尧典观象，亦兼永短二至。其专以冬至为元者，亦始自太初也。孔子删书，断自尧典；马迁作史，必欲追至黄帝，而穿凿附会不少矣。必追上古甲子云云者，正同此病。孟子方恶小智之凿，岂肯反教人以凿为智哉！
春秋僖公五年左氏传：春，王正月辛亥朔，日南至【注：周正月，今十一月冬至之日，日南极】公既视朔，遂登观台以望，而书礼也【注：观台，台上构屋可以逺观者也。朔旦冬至，数之所始，治厯者因此则可以明其术数，审别隂阳，叙事训民】凡分至启闭必书云物【注：分，春秋分也；至，冬夏至也；启，立春、立夏；闭，立秋、立冬】为备故也【疏：此朔即是至日，故视朔而遂登台也。日之行天有南有北，常立八尺之表以候景之短长。夏至之景尺有五寸，日最长而景最短，是谓日北至也。自是以后，日稍近南。冬至之景一丈三尺，日最短而景最长，是谓日南至也。冬至者，十一月之中气，中气者，月半之气也。月朔而已得中气，是必前月闰。闰前之月则中气在晦，闰后之月则中气在朔。闰者，聚残余分之月，其月无中气，半属前月，半属后月。是去年闰十二月十六日已得次年正月朔大雪节，故此正月朔得冬至也。而杜长厯僖元年闰十一月，此年闰十二月，又闰之相去厯家大率三十二月耳。杜以此闰相去凡五十月，不与厯数同者，杜推勘春秋日月上下置闰，或稀或概，自凖春秋时法，故不与常厯同】
昭公二十年《左氏传》：春，王二月己丑，日南至【注：是岁朔旦冬至之岁也。当言正月己丑朔，日南至。时史失闰，闰更在二月后。故经因史而书正月，传更具于二月，记南至日以正律也。疏：古法十九年为一章，章首之岁必周之正月朔旦冬至。僖五年正月辛亥朔，日南至，是章首之岁年也。计僖五年至徃年，合一百三十三年，是为七章。今年复为章首，故云是岁朔旦冬至之岁也。朔旦冬至，谓正月之朔，当言正月己丑朔，日南至。今传乃云二月己丑日南至，是错名正月为二月也。厯之正法，徃年十二月后宜置闰月，即此年正月当是徃年闰月，此年二月乃是正月，故朔日己丑日南至也。时史失闰，徃年错不置闰，闰更在二月之后。传于八月之下乃云闰月戊辰，是闰在二月后也。不言在八月后而云在二月后者，以正月之前当置闰，二月之后即不可，故据二月言之】
后汉书·志》黄道去极，日景之生，据仪表也。冬至，晷景丈三尺；小寒，晷景丈二尺三寸；大寒，晷景丈一尺；立春，晷景九尺六寸；雨水，晷景七尺九寸五分；惊蛰，晷景六尺五寸；春
译查考唐代建中年间，术士曹士蒍开始改变古法，以显庆五年作为上元，以雨水节气作为岁首，命名为“符天历”，在民间流行，被称为小历。又如在五代后晋高祖时期，司天监马重绩制定“调元历”，以唐代天宝十四年乙未作为上元，采用正月雨水作为气首。这两者也都是截取推算的方法，《授时历》大概采用了这种方法。然而曹、马两人的术数，未曾精密测量、远溯征验，不过是依据当时历法的比率，截取近期可用的部分。至于郭守敬，则制造仪器极其精密，在四海之内进行测量验证的地方有二十七处，又向上考证从春秋以来直到近代的历法，然后才确立术数，并非舍弃困难而追求容易。
又查考《孟子》中“千岁之日至”，赵岐注只说“日至”，可知其日期。孙奭的疏则直接说“千岁以后的日至，可以坐着确定”，起初并未提及设立历元。惠田按语：历法没有数百年不出现误差的，大概立法之初，必然不能没有误差数值，只是这个数值非常微小，积累久了才显现出来。如果确立一种历法，施行一百多年就出现误差，如果所推算的历元，大多在数千年以上，怎么必定没有误差呢？《孟子》所说的“千岁之日至”，是说术家测量验证了过往，得到了常规度数，可以顺势推演未来，不必以设立历元为说辞。
观承按语：孟子这一章极其精妙，只是宽泛地论述而理数和术数都包含在内，然而并没有历元的说法。朱熹的注也简明，只是末尾记载制定历法者一条，反而像是多余的议论。羲和观察天象，并没有设立历元的文字，直到《太初历》才开始有。孟子当时，难道知道后世会有《太初历》而预先预言吗？音律难道没有元，然而随时代可以设立，不必追溯上古。十一月甲子朔夜半冬至罢了。《授时历》直接以元辛巳作为历元，确实超越古今。况且孟子所说的日至，也兼指二至在内，并非专指冬至。周代的土圭，反而特别重视夏至。《尧典》观察天象，也兼指永短二至。专门以冬至作为历元的，也是从《太初历》开始的。孔子删定《尚书》，断自《尧典》；司马迁作史，必定要追溯到黄帝，而穿凿附会的不少。必定要追溯上古甲子等等，正与此病相同。孟子正厌恶小聪明的穿凿，难道肯反而教人把穿凿当作智慧吗！
《春秋》僖公五年《左氏传》：春天，周历正月辛亥朔，日南至【注：周历正月，即今十一月冬至之日，太阳到达最南端】。公既已视朔，于是登上观台以观望，并记录，这是礼制【注：观台，台上建有房屋可以远观的地方。朔旦冬至，是历数的开始，治历的人因此就可以明了其术数，审别阴阳，叙事训民】。凡是二分、二至、四立必须记录云物【注：分，指春分和秋分；至，指冬至和夏至；启，指立春和立夏；闭，指立秋和立冬】，是为了防备的缘故【疏：这个朔日就是至日，所以视朔后随即登台。太阳运行于天有南有北，常立八尺的表以观测影子的长短。夏至的影子长一尺五寸，白天最长而影子最短，这叫日北至。从此以后，太阳渐渐靠近南方。冬至的影子长一丈三尺，白天最短而影子最长，这叫日南至。冬至是十一月的中气，中气是月半的节气。月朔就已经得到中气，这必定是前月闰月。闰月之前的月份则中气在晦日，闰月之后的月份则中气在朔日。闰月，是聚集残余分数的月份，该月没有中气，一半属于前月，一半属于后月。这是去年闰十二月十六日已经得到次年正月朔大雪节气，所以这个正月朔得到冬至。而杜预的长历僖元年闰十一月，这一年闰十二月，又闰月相隔历家大率三十二个月罢了。杜预以此闰月相隔凡五十个月，不与历数相同，杜预推算春秋日月上下置闰，或稀或概，自己符合春秋时的历法，所以不与常历相同】
昭公二十年《左氏传》：春天，周历二月己丑，日南至【注：这一年是朔旦冬至的年份。应当说正月己丑朔，日南至。当时史官漏置闰月，闰月更在二月之后。所以经文因循史官而书正月，传文更详细地在二月，记录南至日以校正律历。疏：古法十九年为一章，章首之年必定是周历正月朔旦冬至。僖公五年正月辛亥朔，日南至，是章首之年。计算从僖公五年到去年，合计一百三十三年，这是七章。今年又为章首，所以说这一年是朔旦冬至的年份。朔旦冬至，是说正月的朔日，应当说正月己丑朔，日南至。现在传文却说二月己丑日南至，是错把正月名为二月。历法的正法，去年十二月后应当置闰月，即这一年正月应当是去年闰月，这一年二月才是正月，所以朔日己丑日南至。当时史官漏置闰月，去年错未置闰，闰月更在二月之后。传文在八月之下才说闰月戊辰，是闰月在二月之后。不说在八月之后而说在二月之后，是因为正月之前应当置闰，二月之后即不可，所以依据二月来说】
《后汉书·志》黄道距离北极，日影的产生，依据仪表。冬至，晷影一丈三尺；小寒，晷影一丈二尺三寸；大寒，晷影一丈一尺；立春，晷影九尺六寸；雨水，晷影七尺九寸五分；惊蛰，晷影六尺五寸；春
分，晷景五尺二寸五分；清明，晷景四尺一寸五分；谷雨，晷景三尺二寸；立夏，晷景二尺五寸三分；小满，晷景尺九寸八分；芒种，晷景尺六寸八分；夏至，晷景尺五寸；小暑，晷景尺七寸；大暑，晷景二尺；立秋，晷景二尺五寸五分；处暑，晷景三尺三寸三分；白露，晷景四尺三寸五分；秋分，晷景五尺五寸；寒露，晷景六尺八寸五分；霜降，晷景八尺四寸；立冬，晷景丈四寸二分；小雪，晷景丈一尺四分；大雪，晷景丈二尺五寸六分。
译春分，日影长五尺二寸五分；清明，日影长四尺一寸五分；谷雨，日影长三尺二寸；立夏，日影长二尺五寸三分；小满，日影长一尺九寸八分；芒种，日影长一尺六寸八分；夏至，日影长一尺五寸；小暑，日影长一尺七寸；大暑，日影长二尺；立秋，日影长二尺五寸五分；处暑，日影长三尺三寸三分；白露，日影长四尺三寸五分；秋分，日影长五尺五寸；寒露，日影长六尺八寸五分；霜降，日影长八尺四寸；立冬，日影长一丈四寸二分；小雪，日影长一丈一尺四分；大雪，日影长一丈二尺五寸六分。
宋书·志》何承天上表曰：「史官受诏，以土圭测景，考校二至，差三日有余。从来积岁，及交州所上，检其增减，亦相符騐。然则今之二至，非天之二至也。宜当随时迁革，以取其合。」案《后汉志》：「春分日长，秋分日短，差过半刻。寻二分在二至之间而有长短，因识春分近夏至故长，秋分近冬至故短也。」杨伟不悟，即用之上歴表云：「自古及今，凡诸术数，皆未能并已之妙。何此不晓，亦何以云？」诏曰：「何承天所陈，殊有理据，可付外详之。」太史令钱乐之兼丞严粲奏曰：「去十一年起，以土圭测景，其年景初法十一月七日冬至，前后隂不见影。到十二年十一月十八日冬至，其十五日影极长。到十三年十一月二十九日冬至，其二十六日影极长。到十四年十一月十一日冬至，其前后并隂不见。到十五年十一月二十一日冬至，十八日影极长。到十六年十一月二日冬至，其十月二十九日影极长。到十七年十一月十三日冬至，其十日影极长。到十八年十一月二十五日冬至，二十一日影极长。到十九年十一月六日冬至，其三日影极长。到二十年十一月十六日冬至，其前后隂不见影。寻校前后，以影极长为冬至，并差三日，如承天所上。」
隋书·天文志》晷景古法简畧，防趣难究。术家考测，互有异同。先儒皆云：夏至立八尺表于阳城，其影与土圭等。案《尚书·考灵曜》日永景尺五寸，日短景尺三寸。《易·通卦騐》曰：冬至之日，树八尺之表，日中视其晷景长短，以占和否。夏至景一尺四寸八分，冬至一丈三尺。《周髀》云：成周土中，夏至景一尺六寸，冬至景一丈三尺五寸。刘向《鸿范传》曰：夏至景长一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。春秋二分景七尺三寸六分。后汉四分厯、魏景初厯、宋元嘉厯、大明祖冲之厯，皆与《考灵曜》同。汉、魏及宋所都，皆别四家歴法候景，则齐且纬候所陈，恐难依据。刘向二分之景，直以率推，非因表候定其长短。然寻晷景尺丈，虽有大较，或地域不改而分寸叅差，或南北殊方而长短惟一。葢术士未能精騐，冯古所以致乖。梁天监中，祖暅造八尺铜表，其下与圭相连，圭上为沟，置水以取平正，揆测日晷，求其盈缩。至大同十年，太史令虞▯又用九尺表格，江左之景，夏至一尺三寸二分，冬至一丈三尺七分，立夏立秋二尺四寸五分，春分秋分五尺三寸九分。陈氏一代，唯用梁法。齐神武以洛阳旧器，并徙邺中，以暨文宣受终，竟未考騐。至武平七年，讫于景礼，始荐刘孝孙、张孟賔等于后主。刘、张建表测景，以考分至之气，草创未就，仍遇朝亡。周自天和以来，言厯者纷纷复出，亦騐二至之景，以考厯之精麤。及髙祖践极之后，大议造厯，张胄▯兼明揆测，言日长之瑞，有诏司存，而莫能考决。至开皇十九年，袁充为太史令，欲成胄▯旧事，案日徐疾盈缩无常，充等以为祥瑞，大为议者所贬。
观承案《考灵曜》日短景尺三寸，殊谬，应是丈三尺耳。
唐书·志·大衍厯中气议》曰：中气始于冬至，稽其实，葢取诸晷景。《春秋传》僖公五年正月辛亥朔，日南至，以周法推之，入壬子蔀第四章，以辛亥一分合朔冬至。殷法则壬子蔀首也。昭公二十年二月己丑朔，日南至，鲁史失闰，至不在正，左氏记之，以惩司天之罪。周法得己丑二分，殷法得庚寅一分。殷法南至常在十月晦，则中气后天也。周法蚀朔差经或二日，则合朔先天也。传所据者周法也，纬所据者殷法也。气合于传，朔合于纬，斯得之矣。戊寅厯月气专合于纬，麟徳厯专合于传，偏取之，故两失之。又命厯序，以为孔子修《春秋》用殷法，使其数可传于后，考其蚀朔不与殷法合。及开元十二年，朔差五日矣，气差八日矣。上不合于经，下不足以传于后代。葢哀平间治甲寅元厯者，托之非古也。又汉太史令张夀王説，黄帝调厯以非太初，有司劾官有黄帝调厯不与夀王同。夀王所治乃殷法也。汉自中兴以来，圗防漏泄，而《考灵曜
译《宋书·志》何承天上表说：“史官接受诏令，用土圭测量日影，考察校核冬至和夏至，相差三天有余。历来积累多年，以及交州所上报的，检查其增减，也相符合验证。那么现在的冬至和夏至，并不是天上的冬至和夏至。应当随着时代变迁进行改革，以取得吻合。”查考《后汉书·律历志》：“春分日长，秋分日短，相差超过半刻。推究春分、秋分在冬至、夏至之间却有长短，因此知道春分靠近夏至所以日长，秋分靠近冬至所以日短。”杨伟没有领悟，就把它用在历法表上，说：“从古至今，各种术数，都没有能够穷尽并合之妙。为何对此不明白，又凭什么说呢？”下诏说：“何承天所陈述的，很有理据，可以交付外廷详细审议。”太史令钱乐之兼丞严粲上奏说：“从去十一年起，用土圭测量日影，那年《景初历》推算十一月七日为冬至，前后阴天不见日影。到十二年十一月十八日为冬至，十五日影子最长。到十三年十一月二十九日为冬至，二十六日影子最长。到十四年十一月十一日为冬至，前后都阴天不见日影。到十五年十一月二十一日为冬至，十八日影子最长。到十六年十一月二日为冬至，十月二十九日影子最长。到十七年十一月十三日为冬至，十日影子最长。到十八年十一月二十五日为冬至，二十一日影子最长。到十九年十一月六日为冬至，三日影子最长。到二十年十一月十六日为冬至，前后阴天不见日影。推究校核前后，以影子最长作为冬至，都相差三天，如同何承天所上报的。”
《隋书·天文志》测量日影的古法简略，防备推究难以穷尽。术数家考察测量，彼此有异同。先代儒者都说：夏至时在阳城树立八尺高的表，其影子与土圭相等。查考《尚书·考灵曜》说夏至日影一尺五寸，冬至日影一丈三尺。《易·通卦验》说：冬至这一天，树立八尺高的表，正午观察其日影长短，以占卜吉凶。夏至日影一尺四寸八分，冬至一丈三尺。《周髀算经》说：成周大地之中，夏至日影一尺六寸，冬至日影一丈三尺五寸。刘向《洪范传》说：夏至日影长一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。春秋二分日影七尺三寸六分。后汉四分历、魏景初历、宋元嘉历、大明祖冲之历，都与《考灵曜》相同。汉、魏及宋所建都的地方，都另外有四家历法观测日影，那么齐且纬候所陈述的，恐怕难以依据。刘向二分的日影，直接用比率推算，不是根据表观测确定其长短。然而推究日影的尺丈，虽然有大致的标准，有的地域不变而分寸参差，有的南北不同而长短唯一。大概是术士未能精确验证，依赖古人所以导致乖谬。梁天监年间，祖暅制造八尺铜表，其下与圭相连，圭上开沟，放置水以取平正，测量日影，求其盈缩。到大同十年，太史令虞𫖮又用九尺表格，江东的日影，夏至一尺三寸二分，冬至一丈三尺七分，立夏立秋二尺四寸五分，春分秋分五尺三寸九分。陈朝一代，只用梁朝的方法。齐神武帝将洛阳旧器，一并迁徙到邺中，直到文宣帝受命，终究没有考察验证。到武平七年，直到景礼，才开始向武成帝推荐刘孝孙、张孟宾等人。刘、张建立表测量日影，以考察二分二至的气候，草创未完成，就遭遇朝廷灭亡。周朝自天年以来，谈论历法的人纷纷复出，也验证二至的日影，以考察历法的精粗。等到高祖登基之后，大议造历，张胄玄兼明测量，说日长的祥瑞，下诏司存，而没有人能考察决断。到开皇十九年，袁充任太史令，想完成张胄玄的旧事，查考日行徐疾盈缩无常，袁充等人认为是祥瑞，被议论者大为贬斥。
观承查考《考灵曜》说冬至日影一尺三寸，非常错误，应该是一丈三尺才对。
《唐书·志·大衍历中气议》说：中气始于冬至，考察其实，大概取自日影。《春秋传》僖公五年正月辛亥朔，日南至，用周法推算，进入壬子蔀第四章，以辛亥一分合朔冬至。殷法则壬子蔀首也。昭公二十年二月己丑朔，日南至，鲁史失闰，至不在正，左氏记之，以惩司天之罪。周法得己丑二分，殷法得庚寅一分。殷法南至常在十月晦，则中气后天也。周法蚀朔差经或二日，则合朔先天也。传所据者周法也，纬所据者殷法也。气合于传，朔合于纬，斯得之矣。戊寅历月气专合于纬，麟德历专合于传，偏取之，故两失之。又命历序，以为孔子修《春秋》用殷法，使其数可传于后，考其蚀朔不与殷法合。及开元十二年，朔差五日矣，气差八日矣。上不合于经，下不足以传于后代。大概哀平间治甲寅元历者，托之非古也。又汉太史令张寿王说，黄帝调历以非太初，有司劾官有黄帝调历不与寿王同。寿王所治乃殷法也。汉自中兴以来，图纬漏泄，而《考灵曜》
》《命厯序》皆有甲寅元，其所起在四分厯庚申元后百一十四岁。延光初中，谒者亶诵，灵帝时五官郎中冯光等皆请用之，卒不施行。纬所载壬子冬至，则其遗术也。鲁法南至又先周法四分日之三，而朔后九百四十分日之五十一，故僖公五年辛亥为十二月晦，壬子为正月朔。又推日蚀宻于殷法，其以闰余一为章首，亦取合于当时也。开元十二年十一月阳城测景，以癸未极长，较其前后所差，则夜半前尚有余分。新法大余十九加时九十九刻，而皇极戊寅、麟徳厯皆得甲申。以▯始厯气分二千四百四十二为率，推而上之，则失《春秋》辛亥，是减分太多也。以皇极厯气分二千四百四十五为率，推而上之，虽合《春秋》，而失元嘉十九年乙巳冬至及开皇五年甲戌冬至、七年癸未夏至。若用麟徳厯率二千四百四十七，又失。春秋己丑，是减分太少也。故新法以二千四百四十四为率，而旧所失者皆中矣。汉会稽东部尉刘洪，以四分踈濶，由斗分多，更以五百八十九为纪法，百四十五为斗分，减余太甚，是以不及四十年而加时渐觉先天。韩翊、杨伟、刘智等，皆稍损益，更造新术，而皆依防纬三百岁改宪之文。考经之合朔多中，较传之南至则否。▯始厯以为十九年七闰皆有余分，是以中气渐差。据浑天二分为东西之中，而晷景不等；二至为南北之极，而进退不齐。此古人所未达也。更因刘洪纪法，增十一年以为章岁，而减闰余十九分之一。春秋后五十四年，岁在甲寅，直应钟章首，与景初厯闰余皆尽。虽减章闰，然中气加时尚差，故未合于春秋。其斗分几得中矣。后代观象，皆因循▯始而损益，或过差。大抵古法未减斗分，其率自二千五百以上。乾象至于元嘉厯，未减闰余，其率自二千四百六十以上。▯始、大明至麟徳厯，皆减分破章，其率自二千四百二十九以上。较前代史官注记，唯元嘉十三年十一月甲戌景长，皇极、麟徳、开元厯皆得癸酉。葢日度变常尔。祖冲之既失甲戌冬至，以为加时太早，增小余以附会之。而十二年戊辰景长得己巳，十七年甲午景长得乙未，十八年己亥景长得庚子，合一失三。其失愈多。刘孝孙、张胄▯因之，小余益强，又以十六年己丑景长为庚寅矣。治厯者紏合众同，以稽其所异。茍独异焉，则失行可知。今曲就其一，而少者失三，多者失五。是舍常数而从失行也。周建徳六年，以壬辰景长，而麟徳、开元厯皆得癸巳。开皇七年，以癸未景短，而麟徳、开元厯皆得壬午。先后相戾，不可叶也。皆日行盈缩使然。凡厯术在于常数，而不在于变行。既叶中行之率，则可以两齐先后之变矣。麟徳已前实録所记，乃依时厯书之，非候景所得。又比年候景长短不均由加时有早晏行度有盈缩也自春秋以来至开元十二年冬夏至凡三十一事《戊寅厯》得十六《麟徳厯》得二十三《开元厯》得二十四
译《命历序》中都有甲寅元，其起始点在四分历庚申元之后一百一十四年。延光初年，谒者亶诵，灵帝时的五官郎中冯光等都请求采用它，最终没有施行。纬书中所记载的壬子冬至，就是它遗留下来的方法。鲁法中的南至又比周法四分日之三早，而在朔后九百四十分日之五十一，所以僖公五年辛亥是十二月的最后一天，壬子是正月初一。又推算日食比殷法更精密，它以闰余一作为章首，也是取合于当时的情况。开元十二年十一月阳城测量日影，以癸未日影最长，比较其前后的误差，则夜半前尚有余分。新法大余十九加上时九十九刻，而皇极历戊寅、麟德历都得到甲申。以〇始历气分二千四百四十二为率，向上推算，则失《春秋》辛亥，这是减分太多了。以皇极历气分二千四百四十五为率，向上推算，虽然符合《春秋》，但却失元嘉十九年乙巳冬至及开皇五年甲戌冬至、七年癸未夏至。如果用麟德历率二千四百四十七，又失《春秋》己丑，这是减分太少了。所以新法以二千四百四十四为率，而旧法所失的都符合了。汉会稽东部尉刘洪，因为四分历疏阔，由于斗分多，改以五百八十九为纪法，一百四十五为斗分，减余太甚，所以不到四十年而加时渐渐显现出先天。韩翊、杨伟、刘智等，都稍作损益，重新创造新术，但都依据纬书三百岁改宪的文字。考察经书的合朔大多符合，比较传书的南至则不符合。〇始历认为十九年七闰都有余分，所以中气渐渐有误差。据浑天说二分为东西之中，而日影不等；二至为南北之极，而进退不齐。这是古人所未能达到的。又因刘洪的纪法，增加十一年作为章岁，而减闰余十九分之一。《春秋》后五十四年，岁在甲寅，正值应钟章首，与景初历闰余都尽。虽然减章闰，但中气加时仍有误差，所以不符合《春秋》。其斗分几乎得中。后代观测天象，都因循〇始而损益，有的过于偏差。大抵古法未减斗分，其率自二千五百以上。乾象至于元嘉历，未减闰余，其率自二千四百六十以上。〇始、大明至麟德历，都减分破章，其率自二千四百二十九以上。比较前代史官的注记，只有元嘉十三年十一月甲戌日影最长，皇极、麟德、开元历都得到癸酉。大概是日度变常罢了。祖冲之既失甲戌冬至，认为加时太早，增加小余以附会之。而十二年戊辰日影最长得到己巳，十七年甲午日影最长得到乙未，十八年己亥日影最长得到庚子，合一失三。其失愈多。刘孝孙、张胄〇因之，小余益强，又以十六年己丑日影最长为庚寅了。治历者纠合众同，以稽其所异。如果独异，则失行可知。现在曲就其一，而少者失三，多者失五。这是舍常数而从失行。周建德六年，以壬辰日影最长，而麟德、开元历都得到癸巳。开皇七年，以癸未日影最短，而麟德、开元历都得到壬午。先后相戾，不可叶也。都是日行盈缩使然。凡历术在于常数，而不在于变行。既然符合中行之率，就可以两齐先后之变。麟德以前实录所记，乃依时历书之，非候景所得。又近年候景长短不均由加时有早晏行度有盈缩也自春秋以来至开元十二年冬夏至凡三十一事《戊寅历》得十六《麟德历》得二十三《开元历》得二十四
蕙田案：何承天以景极长为冬至，一行谓律气始于冬至，实取诸晷景，此皆所谓定冬至者也。而一行又有日度变常之説，最为无识。毎岁二十四气，独冬至用定气，余二十三岁悉用恒气，非法之善也。详江氏恒气注数辨。
元史·志：天道运行如环，无端治律者，必就隂消阳息之际，以为立法之始。隂阳消息之机，何从而见之？唯候其日晷进退，则其机将无所遁。今以铜为表，髙三十六尺，地中八尺，表景冬至长一丈三尺有竒，夏至尺有五寸。今京师长表冬至之景七丈九尺八寸有竒，在八尺表则一丈五尺九寸六分；夏至之景一丈一尺七寸有竒，在八尺表则二尺三寸四分。虽晷景长短所在不同，而其景长为冬至，景短为夏至，则一也。惟是气至时刻考求不易，葢至日气正，则一岁气节从而正矣。刘宋祖冲之尝取至前后二十三四日间晷景，折取其中，定为冬至，且以日差比课推定时刻。宋皇祐间周琮则取立冬、立春二日之景，以为去至既逺，日差颇多，易为推考。纪元以后诸厯为法加详，大抵不出冲之之法。新厯积日累月，实测中晷，自逺日以及近日，取前后日率相埒者，参考同异，初非偏取一二日之景，以取数多者为定，实减大明厯一十九刻二十分。
附江氏永冬至权度
履端于始，序则不愆。术家详求冬至，且求千岁以上冬至，证之史传，或离或合，其故难言。《元史》有六术，冬至开载。
鲁献公戊寅至至元庚辰四十九事纪，大衍宣明纪元，统天重修，大明授时时刻之异同。勿庵梅氏因之作《春秋以来冬至考》，删去献公一事，各以其术本法详衍算术，虽明而未有折衷。永因梅氏所考定者，用实法推算，有不合者，断其为术误史误，名曰《冬至权度》，俟知数者考焉。一论平岁实，太阳本天有平行，尽黄道一周为平岁实，与月五星周平朔策合率同理。别有本轮均轮最髙最卑之行，以视行加减平行，二十四气时刻多少，岁岁不同，而古今冬至不能以一率齐之，是为活泛之岁实。犹之月有实会，逐月不同；五星有实合，毎周不同也。授时大统以前，太阳髙卑之理未明，虽知一岁之行有盈缩，不悟盈缩之中为平岁实，但求岁实于活泛之冬至，故一术必更一周率与岁实，然合今则戾古，合古又违今。统天术遂立距差躔差之法，暗藏消长，以求上下两合。授时术本之有百年长一消一之説，西法本囬囬以春分相距测定岁周，小余五小时三刻三分四十五秒，以万分通之为二四二一八七五，此为平行之岁实小余，而各节气之定气则以均度加减定之，此不易之法也。欲考徃古冬至，当以平岁实为本，算当年平冬至时刻，乃以定冬至较之，知其距最卑之逺近，或与今法有不合，则知其时本轮均轮之有半径差，有相去之逺者，则知史传所记非实测。所谓茍求其故，千岁之日至可坐而致者，此为庶几焉。倘以授时之岁实为岁实，而以百年长一消一为凖，则非法矣。
一论最卑行【亦曰最髙冲，省之则曰髙冲】太阳本轮最卑防为缩末盈初之端，岁有推移，与月入转、五星入律皆有盈度同理。平冬至之改为定冬至也，视此防之前后逺近，以加度而减时，减度而加时焉。至元辛巳间，最卑与平冬至同度，自是以前，定冬至皆在平冬至前，以后定冬至皆在平冬至后，最卑有行度故也【郭氏时未悟此理，恒以冬至为盈初，大统承用数百年，误矣】西法近率，最卑岁行一分一秒十微，以逺年冬至考之，此率似微朒，大约当加二秒。上求古时定冬至，以此为凖焉。
一论轮径差最卑，既有行度矣。而太阳之体在均轮，均轮之心在本轮，本轮之心在本天。此两轮半径，古今又有不同，则距地逺近，两心有差。西法始定两轮半径并千万分之三十五万八千四百一十六，而今又渐减。则古时必多于此半径，大则加减差亦大，而以均度变时分加减于平冬至者，视今时必稍赢焉。此差率出于恒差之外，术家亦不能定者也。上考徃古，又当以此消息之【余因刘宋大明五年测景，求彼时两半径
译蕙田按：何承天认为日影最长之时为冬至，一行认为律气始于冬至，实际上都是依据日影来确定的，这都叫做确定冬至。而一行又有日度变化无常的说法，最为无知。每年二十四节气，只有冬至使用定气，其余二十三个节气全部使用恒气，这不是好的历法制度。详见江氏《恒气注数辨》。
《元史·志》记载：天道运行如同圆环，没有起点，制定历法的人，必定在阴消阳长的时刻，作为立法的开始。阴阳消长的契机，从哪里可以看出呢？只有观测日影的进退，那么这种契机就不会隐藏。现在用铜制作圭表，高三十六尺，埋入地下八尺，圭表在冬至时的日影长一丈三尺多，夏至时的日影长一尺五寸。现在京城长表在冬至时的日影长七丈九尺八寸多，折算成八尺表则是一丈五尺九寸六分；夏至时的日影长一丈一尺七寸多，折算成八尺表则是二尺三寸四分。虽然日影长短因地点不同而不同，但日影最长为冬至，日影最短为夏至，这一点是相同的。只是节气到来的时刻考察求取不容易，因为冬至节气准确，那么一年的节气也就随之准确了。刘宋祖冲之曾经选取冬至前后二十三四天间的日影，取其中间值，定为冬至，并且用日差比较推算确定时刻。宋皇祐年间周琮则选取立冬、立春两天的日影，认为距离冬至较远，日差较多，容易推算考察。纪元以后的各种历法方法更加详细，大体不出祖冲之的方法。新历积累日月，实测正午日影，从远日点到近日点，选取前后日影长度相近的，参考同异，起初并不是偏取一两天的日影，以数值多者为准，实际比大明历减少了十九刻二十分。
附江永《冬至权度》
在岁首确立开端，次序就不会错乱。历算家详细求取冬至，并且求取千年以上的冬至，用史传验证，有的分离有的吻合，其原因难以说清。《元史》有六种方法，冬至开载其中。
鲁献公戊寅年至至元庚辰年四十九件事的记载，大衍历、宣明历、纪元历、统天历、重修历、大明历、授时历时刻的异同。梅文鼎因此作《春秋以来冬至考》，删去鲁献公一事，各自用其术本方法详细推演算术，虽然明白但未有定论。江永根据梅文鼎所考定的，用实测方法推算，有不合的，断定是历法错误或史书记载错误，命名为《冬至权度》，等待懂历算的人考证。
一论平岁实：太阳本天有平行运动，走完黄道一周为平岁实，与月亮和五星周期平朔策合率同理。另有本轮均轮最高最低的运动，用视行加减平行，二十四节气时刻多少，每年不同，而古今冬至不能用一个比率齐同，这是活泛的岁实。就像月亮有实会，逐月不同；五星有实合，每周期不同一样。授时历、大统历以前，太阳高低之理未明，虽然知道一年的运行有盈缩，不明白盈缩之中为平岁实，只在活泛的冬至求岁实，所以一种历法必须更改一个周期率与岁实，然而符合现在则违背古代，符合古代又违背现在。统天历于是设立距差、躔差的方法，暗藏消长，以求上下两合。授时历本之有百年长一消一的说法，西法本以春分相距测定岁周，小余五小时三刻三分四十五秒，以万分通之为二四二一八七五，这是平行的岁实小余，而各节气的定气则以均度加减确定，这是不变的方法。想要考察古代冬至，应当以平岁实为本，计算当年平冬至时刻，再用定冬至比较，知道距离最低点的远近，如果与今法有不合，就知道当时本轮均轮有半径差，有相距较远的，就知道史传所记不是实测。所谓探究其原因，千年的冬至可以坐着求得，这大概差不多了。如果用授时历的岁实为岁实，而以百年长一消一为准，那就不是正确的方法了。
一论最卑行【也叫最高冲，省略则叫高冲】：太阳本轮最低点为缩末盈初的端点，每年有推移，与月亮入转、五星入律都有盈度同理。平冬至改为定冬至，看此点前后远近，以加度而减时，减度而加时。至元辛巳年间，最卑与平冬至同度，在此以前，定冬至都在平冬至前，以后定冬至都在平冬至后，最卑有行度所以如此【郭守敬当时未悟此理，常以冬至为盈初，大统历沿用数百年，错了】。西法近率，最卑每年行一分一秒十微，用远年冬至考察，此率似乎稍小，大约应当加二秒。向上求古时定冬至，以此为准则。
一论轮径差：最卑既有行度了。而太阳之体在均轮，均轮之心在本轮，本轮之心在本天。这两轮半径，古今又有不同，那么距离地球远近，两心有差。西法起初确定两轮半径并千万分之三十五万八千四百一十六，而现在又逐渐减少。那么古代必定多于这个半径，大则加减差也大，而以均度变时分加减于平冬至者，看现在必定稍多。这差率出于恒差之外，历算家也不能确定。向上考察古代，又应当以此消息之【我因刘宋大明五年测影，求彼时两半径】
并，详后】右三事者，考冬至之权度也。大统以前，术家莫能知。勿庵梅氏亦言之，未详。永窃为补之，而春秋以来，冬至俱凖是考焉。
译【并，详见后】以上这三件事，是考察冬至时权度（标准）的依据。在大统历之前，历法家们没有人能够知晓。梅勿庵先生也曾提及此事，但论述不够详尽。我私下加以补充，从此春秋以来，冬至的测定都依据此标准进行考证。
【梅氏文鼎曰：春秋以来，冬至多矣，而所考只此者，以其测騐之可据也。律议原载四十八事，今考献公在春秋前，无信史可徴，故删之，而以左传僖公一条为首，实四十七事也，并至元庚辰四十八事】江氏永曰：窃疑四十七事虽有信史可徴，而术算与纪载未必无误，若左传所记两冬至，尤未可信，其由于实测后详之。
鲁僖公五年丙寅岁正月辛亥朔旦冬至，唐开元大衍厯【辛亥亥正三刻】唐宣明厯【辛亥申正初刻】宋崇宁纪元厯【壬子戌正一刻】宋统天厯【辛亥寅正三刻】金重修大明厯【壬子亥初二刻】元授时厯【辛亥寅初二刻】
江氏永曰：传载是年正月辛亥朔，日南至，公既视朔，遂登观台以望而书。古术家皆谓至朔同日之年也。今详推之，谨案考成：康熈甲子天正冬至气应七日六五六三七四九二六，为七日十五小时四十一分十一秒。上距僖公丙寅二千三百三十八年，中积八十五万三千九百三十六日五小时三十七分三十秒。满纪法去之余一十六日五小时三十七分三十秒，转减气应【加一纪减之】余五十一日十小时七分四十一秒。平冬至乙夘巳正初刻八分。又案元至元辛巳前四年丁丑，髙冲【即最卑】与冬至同度。上距此年一千九百三十一年，约四百年行七度，则此年髙冲在冬至前一宫三度四十八分。于今法当加均一度八分，变时一日三小时三十六分，减平冬至，犹是甲寅日夘时。再约计是时小轮并径加大，其加均或能至一度二三十分之间，变时一日十余小时，以减平冬至，则定冬至亦止癸丑日亥子之间而已，必不能减至辛亥。则是时所推冬至先天两三日矣。又算此月平朔定朔皆在壬子，而当时误推辛亥，亦先天一日【春秋纬·命律序壬子朔，隋张賔、张胄元、唐一行皆从之】实考之，此年正月壬子朔，二日癸丑冬至耳。至朔何尝同日乎【张賔依命律序壬子朔冬至，张胄元谓三日甲寅冬至，既不从传，亦不从命律序，虽甲寅或稍后天然，而胄元之识卓矣】春秋时王朝未必颁律，各国自为推歩，闰余乖次，日月参差，日食或不在朔，所以考求日至者，必不能如后世之精宻，差至二三日固无足怪【魏晋以后术法渐明，刘宋时景初术冬至犹后天三日，则春秋无足怪】厯家过信左氏，意谓此年特载日南至，必当时实测【唐一行谓僖公登观台以望而书，云物出于表晷天騐，非时史臆度，此一行之蔽也】。传言书云未尝言测景】作法欲求合于古，则多增斗分以就之。大衍推辛亥亥正三刻，宣明推辛亥申正初刻，皆泥此至之过也【大衍号称善术，行之数年而即差，由斗分太强之故】纪元与重修大明，仅能得壬子与辛亥差一日，知斗分不可过增，宁失此至不强求合，犹为近之。若统天创为距差、躔差之法，巧合此至，而授时遂暗用之，有百年长一之率，算此至皆得辛亥日寅时，此未可为确据。夫总计距算乗而益之，越百年则有骤增之时刻，年愈逺则骤增之数愈多【勿庵先生亦尝疑之】授时以至元辛巳为元，上距此年一千九百三十五算，即以一九三五总乗所长之一九而益岁余。设减三十五算为辛丑，当文公七年，距算一千九百，则岁余二十四刻四十四分矣。前一年庚子，距算一千九百零一，岁余增一分。此一分乗一千九百零一，凡一十九刻有竒，则当庚子年骤增一十九刻有竒。天道宁有此数乎？况越二千年而骤增者愈多，其长伊于胡底乎？故消长之法断不可用，而此年正月辛亥朔日南至，当以实法考求，决其为歩算之误，不可过信传文而舎法以求合也。观承案：江氏谓春秋时王朝未必颁厯，各国自为推歩二语，殊无确据。鲁自文公始不视朔，而有司犹供饩羊，则王朝原自颁朔，但鲁君自不视朔耳。今以左氏所载闰余失次、日月参差，而委其故于王朝之不颁朔者，岂非臆测之耶？
鲁昭公二十年己夘岁正月己丑朔旦冬至，大衍【己丑已正三刻】宣明【己丑寅正三刻】纪元【庚寅夘正初刻】统天【戊子亥正三刻】重修大明【庚寅辰初初刻】授时【戊子戌初三刻
译梅氏文鼎说：自《春秋》以来，冬至的记录很多，但所考证的只有这一条，是因为它有实测验证可以作为依据。《律议》原本记载了四十八件事，如今考证晋献公在《春秋》之前，没有可信的史书可以征引，所以删去了，而以《左传》僖公的一条作为首条，实际上是四十七件事，加上至元庚辰年的四十八件事。
江氏永说：我私下怀疑，这四十七件事虽然都有可信的史书可以征引，但术数推算与史书记载未必没有错误，像《左传》所记载的两个冬至，尤其不可轻信，那是由于实测之后才详细记载的。
鲁僖公五年丙寅年正月辛亥初一早晨冬至，唐开元《大衍历》【辛亥亥正三刻】唐《宣明历》【辛亥申正初刻】宋崇宁《纪元历》【壬子戌正一刻】宋《统天历》【辛亥寅正三刻】金《重修大明历》【壬子亥初二刻】元《授时历》【辛亥寅初二刻】
江氏永说：《左传》记载这一年正月辛亥初一，太阳到达最南点，僖公已经视察了初一的仪式，于是登上观台观望并记录。古代的术数家都说这是冬至与初一同一年的情况。如今详细推算，谨按《考成》：康熙甲子年天正冬至节气应在七日六五六三七四九二六，即七日十五小时四十一分十一秒。上距僖公丙寅年二千三百三十八年，中间累积八十五万三千九百三十六日五小时三十七分三十秒。满一个纪法去除后的余数是十六日五小时三十七分三十秒，转减气应【加一个纪法减去】余五十一日十小时七分四十一秒。平冬至在乙卯日巳正初刻八分。又按元至元辛巳年前四年丁丑年，髙冲【即最卑点】与冬至同度。上距这一年一千九百三十一年，大约四百年运行七度，那么这一年髙冲在冬至前一宫三度四十八分。按现在的算法应当加均一度八分，变时一日三小时三十六分，减去平冬至，仍然是甲寅日卯时。再约略计算是时小轮直径加大，其加均或许能达到一度二三十分之间，变时一日十余小时，减去平冬至，那么定冬至也只在癸丑日亥子之间而已，必然不能减到辛亥日。那么当时所推算的冬至比实际提前了两三天。又计算这个月平朔定朔都在壬子日，而当时错误推算为辛亥日，也比实际提前了一天【《春秋纬·命律序》说壬子初一，隋张宾、张胄元、唐一行都跟随它】实际考证，这一年正月壬子初一，初二癸丑冬至。冬至和初一什么时候同一日呢【张宾依《命律序》壬子初一冬至，张胄元说初三甲寅冬至，既不跟随《左传》，也不跟随《命律序》，虽然甲寅或许稍晚于天然，但张胄元的见识卓越了】春秋时周王朝未必颁布历法，各国自己推算，闰余次序错乱，日月参差，日食有时不在初一，所以考证冬至的人，必然不能像后世那样精密，相差两三天本来不足为怪【魏晋以后术法逐渐明确，刘宋时《景初历》冬至还比实际晚三天，那么春秋时不足为怪】历法家过于相信《左氏》，以为这一年特别记载日南至，一定是当时实测【唐一行说僖公登观台观望记录，云气出于表晷天验，不是当时史官的臆测，这是一行的偏见】。《左传》说“书”并没有说“测景”【测量日影】。作法想要符合古代，就多增加斗分来凑合。《大衍历》推算辛亥亥正三刻，《宣明历》推算辛亥申正初刻，都是拘泥于这个冬至的错误【《大衍历》号称擅长术数，实行几年就出现误差，是因为斗分太强的缘故】《纪元历》与《重修大明历》，只能得到壬子与辛亥相差一天，知道斗分不可过多增加，宁可失去这个冬至也不强求符合，还算是接近事实。如果《统天历》创立了距差、躔差的方法，巧合这个冬至，而《授时历》就暗中采用，有百年长一的比率，计算这个冬至都得到辛亥日寅时，这不能作为确切的依据。总计距算乘而增加，越百年就有骤增的时刻，年越远则骤增的数目越多【勿庵先生也曾怀疑】《授时历》以至元辛巳为元，上距这一年一千九百三十五算，就用一九三五总乘所长的一九而增加岁余。假设减三十五算为辛丑，当文公七年，距算一千九百，那么岁余二十四刻四十四分。前一年庚子，距算一千九百零一，岁余增加一分。这一分乘一千九百零一，共一十九刻有余，那么在庚子年骤增一十九刻有余。天道哪有这种数目呢？况且越过两千年而骤增的更多，它的增长何时为止呢？所以消长的方法断然不可用，而这一年正月辛亥初一冬至，应当以实际方法考证，断定它是推算的错误，不可过于相信《左传》而舍弃方法来求符合。观承案：江氏说春秋时周王朝未必颁布历法，各国自己推算这两句话，完全没有确切的依据。鲁国从文公开始不视察初一，而有司仍然供给祭羊，那么周王朝原本就颁布初一，只是鲁君自己不视察初一而已。现在用《左氏》所记载的闰余失次、日月参差，而把原因归咎于周王朝不颁布初一，岂不是臆测吗？
鲁昭公二十年己卯年正月己丑初一早晨冬至，《大衍历》【己丑巳正三刻】《宣明历》【己丑寅正三刻】《纪元历》【庚寅卯正初刻】《统天历》【戊子亥正三刻】《重修大明历》【庚寅辰初初刻】《授时历》【戊子戌初三刻】
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江氐永曰：此年上距僖公五年一百三十三年，平冬至二十八日十五小时一十一分二十六秒，壬辰日申初初刻十一分，约计加均及小轮径差，减时不过一日八九小时，定冬至不过辛夘日夘辰之间而巳必不能减至己丑。而传载己丑日南至，以此知春秋时歩冬至，恒先天二三日也。且鲁厯前年失闰，此年日南至在二月，夫周以子月为正，日至必无在二月者。当时梓慎辈，徒知望氛祥占祸福于时月之易明者，犹不能正，何能实测冬至与天脗合乎？大衍、宣明、纪元、重修、大明斗分有多少，故日名有合有不合。若统天、授时，皆以活法求之，又先己丑一日，失之愈逺矣。同一《左氏传》也，丙寅之冬至则合，己夘之冬至则违，亦可见活法之有时穷矣。由今观之，违者固非，合者亦未尽是。而元史立议，乃以此至为日度失行，不亦诬乎？
译江永说：这一年距离僖公五年有一百三十三年，平冬至在二十八日十五时十一分二十六秒，壬辰日申时初刻十一分，大约计算加上均差和小轮径差，减去的时间不过一日八九小时，确定的冬至不过是在辛卯日卯时与辰时之间罢了，必定不可能减去到己丑日。而《左传》记载己丑日冬至，由此可知春秋时期推算冬至，常常比实际天象早二三天。况且鲁历前一年漏置闰月，这一年的冬至在二月，周朝以子月为正月，冬至必定不会在二月。当时的梓慎等人，只知道观察天象征兆来占卜祸福，这些在当时容易明白的事情，尚且不能纠正，怎么能通过实测使冬至与天象完全吻合呢？《大衍历》《宣明历》《纪元历》《重修历》《大明历》的斗分有多少，所以日名有的符合，有的不符合。至于《统天历》《授时历》，都用活法来推算，又比己丑日早一天，误差更远了。同一部《左传》，丙寅日的冬至就符合，己卯日的冬至就不符合，也可以看出活法有时也会穷尽。从今人的观点来看，不符合的固然不对，符合的也未必完全正确。而《元史》设立议历，却把这个冬至作为日度失行的证据，不也是诬蔑吗？
刘宋文帝元嘉十二年乙亥岁十一月十五日戊辰，景长，大衍【戊辰辰正二刻】宣明【戊辰辰刻三分】纪元【戊辰巳初二刻】统元【戊辰午正三刻】重修大明【戊辰巳初三刻】授时【戊辰午初一刻】
江氏永曰：史记冬至景长，始此是时用景初厯推冬至，率后天三日。何承天上表言之，太史令钱乐之言，是年景初推十一月十八日冬至，其十五日景极长。今推此年平冬至五日九小时四十五分一十一秒，己巳日已初三刻【今核京师时刻，刘宋都当减八分四秒，后陈朝仿此】是时髙冲约在平冬至前十四度太，又小轮半径差多于今加约减时，不啻半日。定冬至宜在戊辰，与史合，然均度不过三十余分，减时不能越十五小时。戊辰日加时大约在酉半以后，是以明年冬至当越六日甲戌景长。六术推此年冬至，非不得戊辰而加时皆早，既在午刻以前，则明年安得甲戌景长乎？
元嘉十三年丙子岁十一月二十六日甲戌，景长【景初术推二十九日冬至】大衍【癸酉未正一刻】宣明【癸酉未初三刻】纪元【癸酉申初一刻】统天【癸酉酉正二刻】重修大明【癸酉申初三刻】授时【癸酉酉初初刻】
江氏永曰：今推此年平冬至一十日十五小时三十三分五十六秒，甲戌日申初二刻四分。是时加均减时，不能越十五时，是以定冬至亦在甲戌。史纪此日景长，必是实测，而六术皆先一日癸酉，其不能与天宻合，此已见其端【又案：后四年庚辰、甲午景长，四年之间小余平积二十日二十三时一十五分。庚辰定冬至未至乙未，则甲午必是夜子初几刻。逆推此年甲戌，必是子正几刻】又曰：唐一行议云：「元嘉十三年十一月甲戌景长，皇极、麟徳、开元厯皆得癸酉，葢日度变常尔。」祖冲之既失甲戌冬至，以为加时太早，增小余以附会之。而十二年戊辰景长得己巳，十七年甲午景长得乙未，十八年乙亥景长得庚子，合一失三，其失愈多。愚谓此年甲戌景长可推也，而一行以为日度变常，非是。
元嘉十五年戊寅十一月十八日甲申，景长【景初术推二十一日冬至】大衍【甲申丑正初刻】宣明【甲申丑初二刻】纪元【甲申寅初初刻】统天【甲申夘正一刻】重修大明【甲申寅初二刻】授时【甲申寅正三刻】
江氏永曰：推此年平冬至二十一日三小时一十一分二十六秒，乙酉日寅初初刻十一分。定冬至以丙子岁甲戌子正几刻推之，当在甲申午正前后之间。六术皆先天：元嘉十六年己夘十一月二十九日己丑景长【景初术推次月二日壬辰冬至】大衍【己丑辰初三刻】宣明【己丑辰初一刻】纪元【己丑辰正三刻】统天【己丑午正初刻】重修大明【己丑巳初一刻】授时【己丑巳正二刻】
江氏永曰：推此年平冬至二十六日九小时零一十一秒，庚寅日巳初初刻，定冬至当在己丑酉正前六术皆先天。
元嘉十七年庚辰岁十一月初十日甲午，景长【景初推十二日冬至】大衍【甲午未初三刻】宣明【甲午未初初刻】纪元【甲午未正三刻】统天【甲午酉正初刻】重修大明【甲午申初初刻】授时【甲午申正二刻】
江氏永曰：推此年平冬至三十一日十四小时四十八分五十六秒，乙未日未正三刻四分，加均减时，定冬至当在子初几刻？减时几有十五小时，则加均约三十六分。以当时髙冲在冬至前十四度有竒推之，而小轮半径之差亦大畧可知矣。又案《隋志》刘孝孙等言，此年注十三日冬至，十一日景长，则是乙未日矣。
元嘉十八年辛巳岁十一月二十一日己亥，景长【景初推二十五日冬至】大衍【己亥戌初二亥】宣明【己亥酉正四刻】纪元【己亥戌正二刻】统天【己亥夜子初三刻】重修大明【己亥亥初初刻】授时【己亥亥正一刻】
江氏永曰：推此年平冬至三十六日二十小时三十七分四十一秒，庚子日戌正二刻八分。考元嘉间定冬至加均减时，不能越十五时。此年若己亥景长，则减时二十有竒。葢史文二十二日譌为二十一日，故唐一行议与元史沿误差一日也。钱乐之谓：寻校前后，以景极长为冬至，并差三日。此年
译刘宋文帝元嘉十二年乙亥年十一月十五日戊辰，日影最长。大衍历推算为戊辰日辰时正二刻，宣明历推算为戊辰日辰时三分，纪元历推算为戊辰日巳时初二刻，统元历推算为戊辰日午时正三刻，重修大明历推算为戊辰日巳时初三刻，授时历推算为戊辰日午时初一刻。
江永说：史书记载冬至日影最长，始于这一年。当时使用景初历推算冬至，通常比实际天象晚三天。何承天向朝廷上表陈述此事，太史令钱乐之说，这一年景初历推算十一月十八日为冬至，而十五日日影最长。如今推算这一年的平气冬至在五日九小时四十五分十一秒，即己巳日巳时初三刻【如今核算京师时刻，刘宋都城应当减去八分四秒，后来的陈朝仿照此例】。当时高冲大约在平气冬至前十四度多，又因小轮半径差比现在大，大约减少的时间不止半天。定气冬至应当在戊辰日，与史书记载相符，然而均度不过三十多分，减少的时间不能超过十五小时。戊辰日的加时大约在酉时过半以后，因此明年的冬至应当越过六天，在甲戌日日影最长。六种历法推算这一年的冬至，并非没有推算出戊辰日，但加时都偏早，既然在午时以前，那么明年怎么会在甲戌日日影最长呢？
元嘉十三年丙子年十一月二十六日甲戌，日影最长【景初历推算二十九日冬至】。大衍历推算为癸酉日未时正一刻，宣明历推算为癸酉日未时初三刻，纪元历推算为癸酉日申时初一刻，统天历推算为癸酉日酉时正二刻，重修大明历推算为癸酉日申时初三刻，授时历推算为癸酉日酉时初初刻。
江永说：如今推算这一年的平气冬至在十日十五小时三十三分五十六秒，即甲戌日申时初二刻四分。当时加上均差减去时差，不能超过十五小时，因此定气冬至也在甲戌日。史书记载这一天日影最长，必定是实测结果，而六种历法都推算在前一天癸酉日，它们不能与天象严密吻合，这已经显露出端倪【又按：后四年的庚辰年、甲午年日影最长，四年之间小余平气积累二十日二十三时一十五分。庚辰年定气冬至未到乙未日，那么甲午年必定是夜子初几刻。逆推这一年的甲戌日，必定是子正几刻】。又说：唐代一行议论说：“元嘉十三年十一月甲戌日日影最长，皇极历、麟德历、开元历都推算出癸酉日，大概是日度变化异常罢了。”祖冲之既然错过了甲戌日的冬至，认为加时太早，就增加小余来附会它。而十二年戊辰日日影最长推算出己巳日，十七年甲午日日影最长推算出乙未日，十八年乙亥日日影最长推算出庚子日，符合一次，失误三次，失误更多。我认为这一年的甲戌日日影最长是可以推算出来的，而一行认为是日度变化异常，是不对的。
元嘉十五年戊寅年十一月十八日甲申，日影最长【景初历推算二十一日冬至】。大衍历推算为甲申日丑时正初刻，宣明历推算为甲申日丑时初二刻，纪元历推算为甲申日寅时初初刻，统天历推算为甲申日卯时正一刻，重修大明历推算为甲申日寅时初二刻，授时历推算为甲申日寅时正三刻。
江永说：推算这一年的平气冬至在二十一日三小时一十一分二十六秒，即乙酉日寅时初初刻十一分。定气冬至根据丙子年甲戌日子正几刻来推算，应当在甲申日午时正前后之间。六种历法都推算得比实际天象早：元嘉十六年己卯年十一月二十九日己丑，日影最长【景初历推算次月二日壬辰冬至】。大衍历推算为己丑日辰时初三刻，宣明历推算为己丑日辰时初一刻，纪元历推算为己丑日辰时正三刻，统天历推算为己丑日午时正初刻，重修大明历推算为己丑日巳时初一刻，授时历推算为己丑日巳时正二刻。
江永说：推算这一年的平气冬至在二十六日九小时零一十一秒，即庚寅日巳时初初刻，定气冬至应当在己丑日酉时正之前。六种历法都推算得比实际天象早。
元嘉十七年庚辰年十一月初十日甲午，日影最长【景初历推算十二日冬至】。大衍历推算为甲午日未时初三刻，宣明历推算为甲午日未时初初刻，纪元历推算为甲午日未时正三刻，统天历推算为甲午日酉时正初刻，重修大明历推算为甲午日申时初初刻，授时历推算为甲午日申时正二刻。
江永说：推算这一年的平气冬至在三十一日十四小时四十八分五十六秒，即乙未日未时正三刻四分，加上均差减去时差，定气冬至应当在子初几刻？减少的时间几乎有十五小时，那么加上均差大约三十六分。根据当时高冲在冬至前十四度多来推算，而小轮半径的差值也大致可以知道了。又按《隋书·律历志》刘孝孙等人说，这一年注记十三日冬至，十一日日影最长，那就是乙未日了。
元嘉十八年辛巳年十一月二十一日己亥，日影最长【景初历推算二十五日冬至】。大衍历推算为己亥日戌时初二亥，宣明历推算为己亥日酉时正四刻，纪元历推算为己亥日戌时正二刻，统天历推算为己亥日夜子时初三刻，重修大明历推算为己亥日亥时初初刻，授时历推算为己亥日亥时正一刻。
江永说：推算这一年的平气冬至在三十六日二十小时三十七分四十一秒，即庚子日戌时正二刻八分。考察元嘉年间定气冬至加上均差减去时差，不能超过十五小时。这一年如果己亥日日影最长，那么减少的时间二十多。大概是史文将二十二日误写为二十一日，所以唐代一行的议论和《元史》沿袭误差，相差一天。钱乐之说：寻究校核前后，以日影最长为冬至，都相差三天。这一年
景初推二十五日冬至，景长在二十二日，是差三日；若二十一日，则差四日矣。定冬至宜在庚子日寅夘之间。六术虽皆推己亥，未足为据。又《隋书》刘孝孙等云：此年隂无景可騐，今推二十二日冬至，更可证是庚子。
译景初历推算出冬至在二十五日，而实测日影最长在二十二日，相差三日；如果冬至在二十一日，那就相差四日了。确定的冬至应该是在庚子日的寅时到卯时之间。六种历法虽然都推算出冬至在己亥日，但不足以作为依据。另外，《隋书》中刘孝孙等人说：这一年阴天没有日影可以验证，现在推算出冬至在二十二日，更能证明冬至确实在庚子日。
元嘉十九年壬午岁十一月初三日乙巳，景长【景初推六日冬至】大衍【乙巳丑初二刻】宣明【乙巳子正四刻】纪元【乙巳丑正一刻】统天【乙巳夘初三刻】重修大明【乙巳丑正三刻】授时【乙巳寅正初刻】
江氏永曰：推此年平冬至四十二日二小时二十六分二十六秒，丙午日丑正一刻十一分定冬至，乙巳午初。
孝武帝大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，大衍【甲申申正四刻】宣明【甲申申正二刻】纪元【甲申酉初二刻】统天【甲申戌初初刻】重修大明【甲申酉正一刻】授时【甲申戌初初刻】
江氏永曰：此年袓冲之详记测景推算冬至乙酉日夜半后三十二刻七分，今细推之，当时算冬至稍后天，而六术推甲申皆先天也，详推如左。
一推此年平冬至案大明辛丑距康熈甲子天正冬至一千二百二十二年中积四十四万六千三百二十五日二十二小时五十二分三十秒满纪法去之余四十五日二十二小时五十二分三十秒转减甲子气应【加一纪减之】余二十一日十六小时五十二分四十一秒平冬至乙酉申正三刻七分四十一秒建康加八分四秒酉初初刻四十五秒
一推此年髙冲行案，元至元辛巳前四年丁丑，髙冲与冬至同度，上距此年八百一十五年，若依今法，一年行一分一秒十微，则此年髙冲在冬至前十三度五十分五十一秒，如此率未的一年约加二秒，四百年行七度，则此年髙冲在冬至前十四度十六分一推此年十月十日壬戌景长髙弧距纬并经度案，史此年祖冲之测景十月十日壬戌，景长一丈七寸七分半，以三率法推算【一率表八尺，二率景一丈七寸七分半，三率半径全数，四率为余切】求得余切一三四七，检八线表，此日午正日髙弧三十，求度三十五分二十四秒，表所得者太阳上边之景宜减太阳半径一十五分二十九秒，得太阳中心距地平三十六度一十九分五十五秒，日轨髙视差二分二十三秒，内减去青防气差二十七秒，余视差一分五十六秒，加于太阳中心距地平，得实髙三十六度二十一分五十一秒，距天顶五十三度三十八分九秒，建康极出地约三十二度，以减距天顶度，余二十一度三十八分九秒，为本日午正黄赤距纬，设此时两道大距二十三度三十九分二十三秒，用三率法【两道大距正▯为一率，本日午正黄赤距纬正▯为二率，半径全数为三率，求得四率为余▯】求得余▯九一八九，检表三十三度一十四分为壬戌午正距冬至实经度，减用时【七分二十九秒】为平时午初三刻七分半，太阳距冬至实经度
一推壬戌午时太阳平行度，建康平冬至【见前】距壬戌午初三刻七分半，二十三日五小时八分二十五秒，太阳平行二十二度五十二分五十秒，以减全周，壬戌午初三刻七分半，太阳平行十一宫七度七分十一秒。
一推十一月二十五日丁未，景长髙，弧距纬并经度。案史丁未景长一丈八寸一分太，以三率法推算【一率表八尺，二率景长一丈八寸一七五，三率半径全数，四率为余切】求得余切一三五二二，检表此日午正日髙弧三十六度二十九分三秒，减太阳半径一十五分二十六秒，太阳中心距地平三十六度一十三分三十七秒，日轨髙视差二分二十四秒，减去青防气差二十七秒，余视差一分五十七秒，加于太阳中心距地平，得实髙三十六度一十五分三十四秒，距天顶五十三度四十四分二十六秒，极髙三十二度，减距天顶度，余二十四度四十四分二十六秒，为本日午正黄赤距纬。设两道大讵二十三度三十九分二十三秒，用三率法求得余▯九二三一一，检表二十二度三十七分六抄，为本日午正距冬至实经度。加用时二分三十五秒，为平时午正初刻二分三十五秒，太阳距冬至实经度。一推丁未午时太阳平行度，建康平冬至距丁未午正初刻二分三十五秒，二十一日十九小时一分五十抄，太阳平行二十一度二十八分四十七秒。一推此时小轮半径差，以本年髙冲冬至前十四度十六分，减壬戌太阳平行距平冬至二十二度五十二分五十秒，余八度三十六分五十秒，查旧日躔加减差表，减十
译元嘉十九年壬午岁十一月初三日乙巳，景长【景初推六日冬至】大衍【乙巳丑初二刻】宣明【乙巳子正四刻】纪元【乙巳丑正一刻】统天【乙巳夘初三刻】重修大明【乙巳丑正三刻】授时【乙巳寅正初刻】
江氏永说：推算这年的平冬至在四十二日二小时二十六分二十六秒，丙午日丑正一刻十一分定为冬至，乙巳午初。
孝武帝大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，大衍【甲申申正四刻】宣明【甲申申正二刻】纪元【甲申酉初二刻】统天【甲申戌初初刻】重修大明【甲申酉正一刻】授时【甲申戌初初刻】
江氏永说：这年祖冲之详细记载测量日影推算冬至在乙酉日夜半后三十二刻七分，如今仔细推算，当时计算的冬至稍晚于实际天象，而六种历法推算甲申都早于实际天象，详细推算如下。
一推算这年平冬至，查考大明辛丑距离康熙甲子天正冬至一千二百二十二年，累计四十四万六千三百二十五日二十二小时五十二分三十秒，满纪法去除后余四十五日二十二小时五十二分三十秒，转减甲子气应【加一纪减之】，余二十一日十六小时五十二分四十一秒，平冬至在乙酉申正三刻七分四十一秒，建康加八分四秒，酉初初刻四十五秒。
一推算这年高冲行度，查考元至元辛巳前四年丁丑，高冲与冬至同度，上距这年八百一十五年，若依今法，一年行一分一秒十微，则这年高冲在冬至前十三度五十分五十一秒，如此速率未的一年约加二秒，四百年行七度，则这年高冲在冬至前十四度十六分。
一推算这年十月十日壬戌景长、高弧、距纬并经度，查考史载这年祖冲之测景十月十日壬戌，景长一丈七寸七分半，以三率法推算【一率表八尺，二率景一丈七寸七分半，三率半径全数，四率为余切】求得余切一三四七，检八线表，此日午正日高弧三十度，求度三十五分二十四秒，表所得者太阳上边之景宜减太阳半径一十五分二十九秒，得太阳中心距地平三十六度一十九分五十五秒，日轨高视差二分二十三秒，内减去青防气差二十七秒，余视差一分五十六秒，加于太阳中心距地平，得实高三十六度二十一分五十一秒，距天顶五十三度三十八分九秒，建康极出地约三十二度，以减距天顶度，余二十一度三十八分九秒，为本日午正黄赤距纬，设此时两道大距二十三度三十九分二十三秒，用三率法【两道大距正〇为一率，本日午正黄赤距纬正〇为二率，半径全数为三率，求得四率为余〇】求得余〇九一八九，检表三十三度一十四分为壬戌午正距冬至实经度，减用时【七分二十九秒】为平时午初三刻七分半，太阳距冬至实经度。
一推算壬戌午时太阳平行度，建康平冬至【见前】距壬戌午初三刻七分半，二十三日五小时八分二十五秒，太阳平行二十二度五十二分五十秒，以减全周，壬戌午初三刻七分半，太阳平行十一宫七度七分十一秒。
一推算十一月二十五日丁未，景长、高、弧、距纬并经度。查考史载丁未景长一丈八寸一分太，以三率法推算【一率表八尺，二率景长一丈八寸一七五，三率半径全数，四率为余切】求得余切一三五二二，检表此日午正日高弧三十六度二十九分三秒，减太阳半径一十五分二十六秒，太阳中心距地平三十六度一十三分三十七秒，日轨高视差二分二十四秒，减去青防气差二十七秒，余视差一分五十七秒，加于太阳中心距地平，得实高三十六度一十五分三十四秒，距天顶五十三度四十四分二十六秒，极高三十二度，减距天顶度，余二十四度四十四分二十六秒，为本日午正黄赤距纬。设两道大讵二十三度三十九分二十三秒，用三率法求得余〇九二三一一，检表二十二度三十七分六抄，为本日午正距冬至实经度。加用时二分三十五秒，为平时午正初刻二分三十五秒，太阳距冬至实经度。
一推算丁未午时太阳平行度，建康平冬至距丁未午正初刻二分三十五秒，二十一日十九小时一分五十抄，太阳平行二十一度二十八分四十七秒。
一推算此时小轮半径差，以本年高冲冬至前十四度十六分，减壬戌太阳平行距平冬至二十二度五十二分五十秒，余八度三十六分五十秒，查旧日躔加减差表，减十
八分四十八秒，化作一千一百二十八秒为一率，以旧表两心差三五八四为二率，又于壬戌经度二十三度一十四分内减平行二十二度五十二分五十秒，余二十一分十秒，化作一千二百七十秒为三率，求得四率四○三五二为此时两小轮半径并【太阳本天一百万，本轮半径三万零三百六十四，均轮半径一万零八十八，由此可算其均度】
译八分四十八秒，换算为一千一百二十八秒作为第一率；用旧表中两心差三万五千八百四作为第二率；又在壬戌经度二十三度一十四分中减去平行度二十二度五十二分五十秒，剩余二十一分十秒，换算为一千二百七十秒作为第三率；求得第四率为四万零三百五十二，即为此时两个小轮半径之和【太阳本体直径一百万，本轮半径三万零三百六十四，均轮半径一万零八十八，由此可以推算其平均度数】
一推乙酉日，定冬至前壬戌日午正，太阳平行十一宫七度七分一十秒。至乙酉日子正，二十二日半天行三十二度一十分三十八秒。加入壬戌午正平行度，此时平行十一宫二十九度一十七分四十八秒，加髙冲十四度十六分，满周天去之余一十三度三十四分，为引数。以此时两小轮半径并算之，约加均度三十二分竒。加入前子正平行，在十一宫二十九度五十分，未满周天者十分为时，约四小时。定冬至在子正后十六刻有竒，当时以前后景折算，乙酉日子正后三十一刻，冬至约后天十五刻。
以冬至前后日景折算，取中求冬至时刻，此法惟郭太史时可用，其时髙冲与冬至同度，故也。若大明时髙冲在冬至前十四度有竒，则冬至前之日近髙冲，太阳之行速，而景之进退也疾；冬至后之日逺髙冲，太阳之行稍迟，而景之渐短，亦必稍缓。虽前后之日景大畧相同，而中间所阅之时刻必不均，当时欲以均数求冬至，宜其后天十五刻也【冬至前二十余日日行较速，时刻宜减；冬至后二十余日日行较迟，时刻宜加。若欲均之，则折半处必在所减之后，故后天】然刘宋之初术法甚踈，景初后天至三日，犹幸祖氏用景长推算，违天尚未甚逺。又幸史册纪载之详，去今千有余年，犹可细推其后天之时刻也。郭太史所定岁周小余二四二五者，谓自大明壬寅距今毎岁合得此数。案此年下距至元辛巳八百一十九年，以授时岁周积之二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分，以辛巳天正冬至己未日子正后六刻逆计之，则当时冬至在乙酉日子正后五十四刻，后天愈加多矣。既不能与当时所测算者宻合，又为百年长一之法，以求合乎逺古之冬至，以八百九十一总乗所长之数而益之，则此年冬至又在甲申日七十九刻太不，又先天三十七刻乎？以此知授时之岁余非定率，而统天之距差躔差，授时之消长皆谬法也。此年冬至所闗者距故，考论加详。若大衍诸术先天愈多，则无足论，而授时指为日度失行者，总论之于后云。陈文帝天嘉六年乙酉岁十一月庚寅景长：大衍【庚寅寅初初刻】宣明【庚寅寅初初刻】纪元【庚寅丑初二刻】统天【庚寅夘初四刻】重修大明【庚寅丑初四刻】授时【庚寅寅正初刻】
江氏永曰：推此年平冬至二十六日二十一时二十二分四十一秒，庚寅亥初一刻八分，定冬至葢在辰巳间。诸术推丑寅者，皆太早，统天近之。
临海王光大二年戊子岁十一月乙巳，景长，大衍【乙巳戌正二刻】宣明【乙巳戌正三刻】纪元【乙巳戌初初刻】统天【乙巳夜子初二刻】重修大明【乙巳戌初二刻】授时【乙巳戌初二刻】
江氏永曰：此年平冬至丙午未正三刻九分，定冬至葢在乙巳与丙午之间。乙巳之景长于次日，当亦甚微。然以后四岁丁夘景长推之，此年所纪犹可疑。説见后。
宣帝太建四年壬辰岁十一月二十九日丁夘，景长，大衍【丙寅戌正初刻】宣明【丙寅戌正一刻】纪元【丙寅酉正二刻】统天【丙寅亥正三刻】重修大明【丙寅酉正三刻】授时【丙寅戌正四刻】
江氏永曰：推此年平冬至三日一十四时三分五十六秒，丁夘未正初刻四分。史纪丁夘景长，则定冬至葢在子正初刻以前。四岁乙巳景长，较之殊可疑。此年平冬至子正后一十四时四分，而景长犹在本日，是加均减时不能越十四时四分也。光大二年之平冬至在丙午日，子正后十四时四十五分，乃能越之，而景长在前一日。乙巳不应四岁之间差殊如此。此两岁定冬至皆在子初子正之间，景长最难真确。乙巳与丁夘当时测騐，有一是必有一非。窃疑乙巳之测未确。
大建九年丁酉岁十一月二十三日壬辰，景长，大衍【癸巳丑初一刻】宣明【癸巳丑初二刻】纪元【壬辰夜子初三刻】统天【癸巳寅正一刻】重修大明【癸巳子正初刻】授时【癸巳丑正初刻】
江氏永曰：推此年平冬至二十九日一十九时七分四十一秒，癸巳戌初初刻八分，定冬至葢在本日寅夘之间。统天近之，史纪二十三日壬辰景长，此必史误。
大建十年戊戌岁十
译推算乙酉日，确定冬至前壬戌日午时正中，太阳平行度在十一宫七度七分一十秒。到乙酉日子时正中，二十二日半天运行三十二度一十分三十八秒。加上壬戌午时正中的平行度，此时平行度为十一宫二十九度一十七分四十八秒，加上高冲度十四度十六分，满周天减去余数一十三度三十四分，作为引数。用此时两个小轮的半径一并计算，大约增加均度三十二分多。加入之前子时正中的平行度，在十一宫二十九度五十分，未满周天的十分作为时间，大约四小时。确定冬至在子时正中后十六刻多，当时用前后日影折算，乙酉日子时正中后三十一刻，冬至大约比实际晚十五刻。
用冬至前后的日影折算，取中间值求冬至时刻，这种方法只有郭太史当时可用，因为那时高冲与冬至同度，所以如此。如果大明时期高冲在冬至前十四度多，那么冬至前的日子靠近高冲，太阳运行速度快，而日影的进退也迅速；冬至后的日子远离高冲，太阳运行稍慢，而日影逐渐变短，也必然稍缓。虽然前后日影大致相同，但中间所经历的时刻必定不均匀，当时想用均数求冬至，适宜比实际晚十五刻【冬至前二十多日日行较快，时刻应减；冬至后二十多日日行较慢，时刻应加。若想使之均匀，则折半处必在所减之后，故而后天】然而刘宋初年术法很粗略，景初历比实际晚至三天，幸好祖氏用日影长度推算，违背天象还不算太远。又幸好史册记载详细，距今一千多年，仍可仔细推算其后天的时刻。郭太史所定的岁周小余二四二五，是指自大明壬寅年至今每年合得此数。查这一年距至元辛巳八百一十九年，用授时历岁周累积二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分，以辛巳天正冬至己未日子时正中后六刻逆推，则当时冬至在乙酉日子时正中后五十四刻，比实际晚得更多了。既不能与当时所测算的密合，又用百年长一的方法，以求合乎远古的冬至，以八百九十一总数乘所长之数而增加，则这一年冬至又在甲申日七十九刻太多，又比实际早三十七刻吗？由此可知授时历的岁余不是定率，而统天历的距差躔差，授时历的消长都是谬误的方法。这一年冬至所关联的是距差，所以考论加详。如果大衍历等术比实际早得更多，则无足论，而授时历指出的日度失行，总论于后。陈文帝天嘉六年乙酉年十一月庚寅日影长：大衍历【庚寅寅初初刻】宣明历【庚寅寅初初刻】纪元历【庚寅丑初二刻】统天历【庚寅卯初四刻】重修大明历【庚寅丑初四刻】授时历【庚寅寅正初刻】
江永说：推算这一年平冬至二十六日二十一时二十二分四十一秒，庚寅亥初一刻八分，定冬至大概在辰巳之间。各历推算丑寅的，都太早，统天历接近。
临海王光大二年戊子年十一月乙巳日，日影长，大衍历【乙巳戌正二刻】宣明历【乙巳戌正三刻】纪元历【乙巳戌初初刻】统天历【乙巳夜子初二刻】重修大明历【乙巳戌初二刻】授时历【乙巳戌初二刻】
江永说：这一年平冬至丙午未正三刻九分，定冬至大概在乙巳与丙午之间。乙巳的日影长于次日，应当也很微小。然而以后四年丁卯日影长推算，这一年所记载的还可疑。说法见后。
宣帝太建四年壬辰年十一月二十九日丁卯，日影长，大衍历【丙寅戌正初刻】宣明历【丙寅戌正一刻】纪元历【丙寅酉正二刻】统天历【丙寅亥正三刻】重修大明历【丙寅酉正三刻】授时历【丙寅戌正四刻】
江永说：推算这一年平冬至三日一十四时三分五十六秒，丁卯未正初刻四分。史书记载丁卯日影长，则定冬至大概在子时正中初刻以前。四年乙巳日影长，比较起来很可疑。这一年平冬至子时正中后一十四时四分，而日影长还在本日，是加均减时不能超过一十四时四分。光大二年的平冬至在丙午日，子时正中后十四时四十五分，才能超过，而日影长在前一日。乙巳不应四年之间差别如此。这两年的定冬至都在子初子正之间，日影长最难确切。乙巳与丁卯当时测验，有一个对必有一个错。我怀疑乙巳的测量不确切。
太建九年丁酉年十一月二十三日壬辰，日影长，大衍历【癸巳丑初一刻】宣明历【癸巳丑初二刻】纪元历【壬辰夜子初三刻】统天历【癸巳寅正一刻】重修大明历【癸巳子正初刻】授时历【癸巳丑正初刻】
江永说：推算这一年平冬至二十九日一十九时七分四十一秒，癸巳戌初初刻八分，定冬至大概在本日寅卯之间。统天历接近，史书记载二十三日壬辰日影长，这一定是史书错误。
太建十年戊戌年十
一月五日戊戌，景长，大衍【戊戌辰初一刻】宣明【戊戌辰初二刻】纪元【戊戌夘初二刻】统天【戊戌巳正初刻】重修大明【戊戌夘初四刻】授时【戊戌辰正初刻】
译正月五日戊戌，景长历法推算为戊戌日辰时初刻，大衍历法推算为戊戌日辰时二刻，纪元历法推算为戊戌日卯时二刻，统天历法推算为戊戌日巳时正刻，重修大明历法推算为戊戌日卯时四刻，授时历法推算为戊戌日辰时正刻。
江氏永曰：「此与丁酉岁相去一年，平冬至己亥，定冬至戊戌，可考而知，故不细推。」
隋文帝开皇四年甲辰岁十一月十一日己巳，景长，大衍【己巳酉正二刻】宣明【己巳酉正二刻】纪元【己巳夜子初一刻】统天【己巳戊初初刻】重修大明【己巳酉初初刻】授时【己巳戌正二刻】
江氏永曰：推此年平冬至六日一十一时四十八分五十六秒，庚午日午初三刻四分【隋都长安早二刻后唐朝仿此】定冬至己巳亥子之间。史云：此年在洛州测冬至景，与京师二处进退丝毫不差。张賔术推己巳冬至，张胄元厯推庚午冬至。
开皇五年乙巳岁十一月二十一日乙亥，景长，大衍【乙亥子正一刻】宣明【乙亥子正二刻】纪元【甲戌亥正二刻】统天【乙亥寅初初刻】重修大明【甲戌戌正三刻】授时【乙亥丑正二刻】
江氏永曰：推此年平冬至十一日一十七时三十七分四十一秒，乙亥酉初二刻八分，定冬至在本日寅时。推甲戌者，非是。
开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰，景长，大衍【庚辰夘正初刻】宣明【庚辰夘正一刻】纪元【庚辰夘正一刻】统天【庚辰辰正三刻】重修大明【庚辰寅正三刻】授时【庚辰辰正一刻】
江氏永曰：「与前年相距一岁，平定冬至皆在庚辰，可考而知。」
开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉，景长，大衍【乙酉午正初刻】宣明【乙酉午正一刻】纪元【乙酉巳正初刻】统天【乙酉未正三刻】重修大明【乙酉巳正二刻】授时【乙酉未正初刻】
江氏永曰：此年平冬至丙戌夘初一刻，定冬至乙酉申时。
开皇十一年辛亥嵗十一月二十八日丙午，景长，大衍【丙午午初二刻】宣明【丙午午初三刻】纪元【丙午巳初二刻】统天【丙午未正初刻】重修大明【丙午巳初四刻】授时【丙午未初二刻】
江氏永曰：此年平冬至四十三日四时三十分一十一秒，丁未寅正二刻定冬至，丙午申时。
开皇十四年甲寅岁十一月辛酉朔旦冬至，大衍【壬戌夘初初刻】宣明【壬戌夘初一刻】纪元【壬戌寅初初刻】统天【壬戌辰初二刻】重修大明【壬戌寅初二刻】授时【壬戌辰初初刻】
江氏永曰：推此年冬至五十八日二十一时五十六分二十六秒，壬戌亥初三刻十一分，定冬至本日已午间，而《史记》辛酉朔冬至，当时术误推先天。
唐太宗贞观十八年甲辰岁十一月乙酉，景长，大衍【甲申巳正一刻】宣明【甲申午初初刻】纪元【甲申辰初二刻】统天【甲申午正初刻】重修大明【甲申辰初三刻】授时【甲申巳正三刻】
江氏永曰：推此年平冬至二十一日三十三分五十六秒，乙酉子正二刻四分，长安里差二刻，平冬至已是子正初刻矣。减时不啻十时，定冬至当在甲申日未时，而史谓乙酉景长，误。
贞观二十三年己酉岁十一月辛亥，景长，大衍【庚戌申初二刻】宣明【庚戌申正一刻】纪元【庚戌酉初一刻】统天【庚戌酉初一刻】重修大明【庚戌未初初刻】授时【庚戌申初三刻】
江氏永曰：推此年平冬至四十七日五时三十七分四十一秒，辛亥夘初二刻八分，定冬至庚戌日酉戌之间，而谓辛亥景长，亦误。
髙宗龙朔二年壬戌十一月四日己未至戊午，景长，大衍【戊午戌正初刻】宣明【戊午戌正二刻】纪元【戊午申正三刻】统天【戊午戌正初刻】重修大明【戊午酉初初刻】授时【戊午戌初三刻】
江氏永曰：推此年平冬至己未巳初初刻十一分，长安辰正二刻十一分，此时加均减时，约十小时，定冬至戊午夜子时。是以戊午景长，当时术推冬至己未，而实测景长在戊午，今推之果不爽也。
髙宗仪凤元年丙子岁十一月壬申，景长，大衍【壬申夘正初刻】宣明【壬申夘正三刻】纪元【壬申丑正二刻】统天【壬申辰初初刻】重修大明【壬申丑正三刻】授时【壬申夘初一刻】
江氏永曰：推此年平冬至八日一十八时三十三分五十六秒，壬申酉正二刻四分，定冬至辰时。
髙宗永淳元年壬午岁十一月癸夘，景长，大衍【癸夘酉初一刻】宣明【癸夘酉正初刻】纪元【癸夘未初二
译江永说：“这与丁酉年相隔一年，平冬至在己亥日，定冬至在戊戌日，可以考证得知，所以不再详细推算。”
隋文帝开皇四年甲辰年十一月十一日己巳日，日影最长，大衍历【己巳日酉时正二刻】宣明历【己巳日酉时正二刻】纪元历【己巳日夜子时初一刻】统天历【己巳日戊时初初刻】重修大明历【己巳日酉时初初刻】授时历【己巳日戌时正二刻】
江永说：推算这一年平冬至在六日一十七时四十八分五十六秒，即庚午日午时初三刻四分【隋都长安比此早二刻，唐朝仿照此例】，定冬至在己巳日亥时与子时之间。史书记载：这一年曾在洛州观测冬至日影，与京师两处相比，进退之间丝毫不差。张宾的历法推算冬至在己巳日，张胄元的历法推算冬至在庚午日。
开皇五年乙巳年十一月二十一日乙亥日，日影最长，大衍历【乙亥日子时正一刻】宣明历【乙亥日子时正二刻】纪元历【甲戌日亥时正二刻】统天历【乙亥日寅时初初刻】重修大明历【甲戌日戌时正三刻】授时历【乙亥日丑时正二刻】
江永说：推算这一年平冬至在十一日一十七时三十七分四十一秒，即乙亥日酉时初二刻八分，定冬至在本日寅时。推算为甲戌日的是错误的。
开皇六年丙午年，十一月三日庚辰日，日影最长，大衍历【庚辰日卯时正初刻】宣明历【庚辰日卯时正一刻】纪元历【庚辰日卯时正一刻】统天历【庚辰日辰时正三刻】重修大明历【庚辰日寅时正三刻】授时历【庚辰日辰时正一刻】
江永说：“与前一年相隔一岁，平冬至和定冬至都在庚辰日，可以考证得知。”
开皇七年丁未年，十一月十四日乙酉日，日影最长，大衍历【乙酉日午时正初刻】宣明历【乙酉日午时正一刻】纪元历【乙酉日巳时正初刻】统天历【乙酉日未时正三刻】重修大明历【乙酉日巳时正二刻】授时历【乙酉日未时正初刻】
江永说：这一年平冬至在丙戌日卯时初一刻，定冬至在乙酉日申时。
开皇十一年辛亥年十一月二十八日丙午日，日影最长，大衍历【丙午日午时初二刻】宣明历【丙午日午时初三刻】纪元历【丙午日巳时初二刻】统天历【丙午日未时正初刻】重修大明历【丙午日巳时初四刻】授时历【丙午日未时初二刻】
江永说：这一年平冬至在四十三日四时三十分一十一秒，即丁未日寅时正二刻，定冬至在丙午日申时。
开皇十四年甲寅年十一月辛酉日初一早晨冬至，大衍历【壬戌日卯时初初刻】宣明历【壬戌日卯时初一刻】纪元历【壬戌日寅时初初刻】统天历【壬戌日辰时初二刻】重修大明历【壬戌日寅时初二刻】授时历【壬戌日辰时初初刻】
江永说：推算这一年冬至在五十八日二十一时五十六分二十六秒，即壬戌日亥时初三刻十一分，定冬至在本日巳时与午时之间，而《史记》记载辛酉日初一冬至，当时的历法推算错误，导致冬至提前。
唐太宗贞观十八年甲辰年十一月乙酉日，日影最长，大衍历【甲申日巳时正一刻】宣明历【甲申日午时初初刻】纪元历【甲申日辰时初二刻】统天历【甲申日午时正初刻】重修大明历【甲申日辰时初三刻】授时历【甲申日巳时正三刻】
江永说：推算这一年平冬至在二十一日三十三分五十六秒，即乙酉日子时正二刻四分，长安的时差为二刻，平冬至已是子时正初刻了。减去的时间不止十个时辰，定冬至应当在甲申日未时，而史书说乙酉日日影最长，是错误的。
贞观二十三年己酉年十一月辛亥日，日影最长，大衍历【庚戌日申时初二刻】宣明历【庚戌日申时正一刻】纪元历【庚戌日酉时初一刻】统天历【庚戌日酉时初一刻】重修大明历【庚戌日未时初初刻】授时历【庚戌日申时初三刻】
江永说：推算这一年平冬至在四十七日五时三十七分四十一秒，即辛亥日卯时初二刻八分，定冬至在庚戌日酉时与戌时之间，而说辛亥日日影最长，也是错误的。
高宗龙朔二年壬戌年十一月四日己未日至戊午日，日影最长，大衍历【戊午日戌时正初刻】宣明历【戊午日戌时正二刻】纪元历【戊午日申时正三刻】统天历【戊午日戌时正初刻】重修大明历【戊午日酉时初初刻】授时历【戊午日戌时初三刻】
江永说：推算这一年平冬至在己未日巳时初初刻十一分，长安在辰时正二刻十一分，此时加上均减时，大约十个时辰，定冬至在戊午日夜子时。因此戊午日日影最长，当时历法推算冬至在己未日，而实际观测日影最长在戊午日，现在推算果然没有差错。
高宗仪凤元年丙子年十一月壬申日，日影最长，大衍历【壬申日卯时正初刻】宣明历【壬申日卯时正三刻】纪元历【壬申日丑时正二刻】统天历【壬申日辰时初初刻】重修大明历【壬申日丑时正三刻】授时历【壬申日卯时初一刻】
江永说：推算这一年平冬至在八日一十八时三十三分五十六秒，即壬申日酉时正二刻四分，定冬至在辰时。
高宗永淳元年壬午年十一月癸卯日，日影最长，大衍历【癸卯日酉时初一刻】宣明历【癸卯日酉时正初刻】纪元历【癸卯日未时初二
江氏永曰：此年平冬至甲辰夘初一刻十一分，定冬至癸夘酉戌之间。
明皇开元十年壬戌岁十一月癸酉，景长，大衍【癸酉午初四刻】宣明【癸酉午正四刻】纪元【癸酉辰初二刻】统天【癸酉午初初刻】重修大明【癸酉辰初三刻】授时【癸酉午初初刻】
江氏永曰：此年平冬至癸酉亥初三刻十一分，定冬至巳时。
开元十一年癸亥岁十一月戊寅，景长，大衍【戊寅酉初三刻】宣明【戊寅酉正三刻】纪元【戊寅未初三刻】统天【戊寅酉初三刻】重修大明【戊寅未初二刻】授时【戊寅酉初初刻】
江氏永曰：此年平冬至己夘，定冬至戊寅，与前间一岁，可考而知。
开元十二年甲子岁十一月癸未冬至，大衍【癸未夜子初二刻】宣明【甲申子正三刻】纪元【癸未戌初一刻】统天【癸未夜子初三刻】重修大明【癸未戌初二刻】授时【癸未亥正三刻】
江氏永曰：此年僧一行、阳城测景，癸未最长。今推此年平冬至二十日九时三十三分五十六秒，甲申巳初二刻四分。阳城约早一刻十分为巳初初刻九分。此年距元至元丁丑五百五十二年，髙冲约行九度四十分。以今加减表考之，加约二十分二十秒，变时八时一十五分，以减平时，余五十四分为甲申子正三刻九分。当时小轮半径大于今，再减一时有竒，则定冬至在癸未夜子刻。而大衍厯推算癸未九十八刻太强，此当年之实测，今固可追歩也。案大衍厯以三千零四十为通法，一百一十一万零三百四十三为策实，一万五千九百四十三为策余。以通法五减策余，余七百四十三为小余。以万分通之，小余二千四百四十四又七九弱，视授时之二四二五者多一十九太强。当时小余虽大，必不及此数，是以自此年以前，大衍推徃古则先天，推后来则后天【大衍欲求合左传两日南至，是以小余过大】
宋真宗景徳四年丁未岁十一月戊辰日南至，大衍【戊辰寅初三刻】寅明【戊辰夘正一刻】纪元【丁夘酉初三刻】统天【丁夘戌初一刻】重修大明【丁夘酉正初刻】授时【丁夘戌初一刻】
江氏永曰：推此年平冬至三日二十二时三十分一秒，丁夘亥正二刻。宋都河南，早八分。其时髙冲在冬至前约四度四十二分，又有小轮半径差，通减时约四时三刻有竒。定冬至葢在丁夘酉初二刻，纪元近之。史纪戊辰日南至，斗分太多，误推后天也。
仁宗皇祐二年庚寅岁十一月三十日癸丑，景长，大衍【癸丑申初二刻】宣明【癸丑酉正三刻】纪元【癸丑夘初一刻】统天【癸丑夘初初刻】重修大明【癸丑夘初一刻】授时【癸丑夘初三刻】
江氏永曰：推此年平冬至四十九日八时二十六分一十六秒，癸丑辰正一刻十一分定冬至寅时。神宗元丰六年癸亥岁十一月丙午景长。大衍【丙午酉初二刻】宣明【丙午戌正二刻】纪元【丙午夘正一刻】统天【丙午夘正一刻】重修大明【丙午夘正一刻】授时【丙午夘正一刻】
江氏永曰：推此年平冬至四十二日八时一十五分一秒，丙午辰正一刻定至寅夘之间。
元丰七年甲子岁十一月辛亥，景长，大衍【辛亥夜子初一刻】宣明【壬子丑正一刻】纪元【辛亥午正初刻】统天【辛亥午正一刻】重修大明【辛亥午正初刻】授时【辛亥午正一刻】
江氏永曰：此与前间一岁，定冬至在辛亥巳时。哲宗元祐三年戊辰岁十一月壬申，景长大衍【壬申亥正三刻】宣明【癸酉丑初二刻】纪元【壬申午初二刻】统天【壬申午初二刻】重修大明【壬申午初二刻】授时【壬申午初二刻】
江氏永曰：此年平冬至壬申未初一刻四分，定冬至巳时。
元祐四年己巳歳十一月丁丑，景长，大衍【戊寅寅正二刻】宣明【戊寅辰初三刻】纪元【丁丑酉初一刻】统天【丁丑酉初一刻】重修大明【丁丑酉初一刻】授时【丁丑酉初一刻】
江氏永曰：「此与前间一岁，定冬至丁丑申时。」
元祐五年庚午岁十一月壬午冬至，大衍【癸未巳正二刻】宣明【癸未未初二刻】纪元【壬午夜子初初刻】统天【壬午夜子初一刻】重修大明【壬午夜子初一刻】授时【壬午
译江永说：这一年的平冬至在甲辰日卯初一刻十一分，定冬至在癸卯日酉、戌之间。
唐玄宗开元十年壬戌年十一月癸酉日，日影最长，大衍历【癸酉日午初四刻】宣明历【癸酉日午正四刻】纪元历【癸酉日辰初二刻】统天历【癸酉日午初初刻】重修大明历【癸酉日辰初三刻】授时历【癸酉日午初初刻】
江永说：这一年的平冬至在癸酉日亥初三刻十一分，定冬至在巳时。
开元十一年癸亥年十一月戊寅日，日影最长，大衍历【戊寅日酉初三刻】宣明历【戊寅日酉正三刻】纪元历【戊寅日未初三刻】统天历【戊寅日酉初三刻】重修大明历【戊寅日未初二刻】授时历【戊寅日酉初初刻】
江永说：这一年的平冬至在己卯日，定冬至在戊寅日，与上一年相隔一岁，可以考证而知。
开元十二年甲子年十一月癸未日冬至，大衍历【癸未日夜子初二刻】宣明历【甲申日子正三刻】纪元历【癸未日戌初一刻】统天历【癸未日夜子初三刻】重修大明历【癸未日戌初二刻】授时历【癸未日亥正三刻】
江永说：这一年僧人一行、阳城测量日影，癸未日的日影最长。如今推算这一年的平冬至在二十日九时三十三分五十六秒，即甲申日巳初初二刻四分。阳城大约早一刻十分，为巳初初刻九分。这一年距离元至元丁丑年五百五十二年，高冲大约运行了九度四十分。用现在的加减表来考察，增加大约二十分二十秒，变化时间为八时一十五分，用这个时间减去平时，剩余五十四分，即甲申日子正三刻九分。当时小轮的半径比现在大，再减去一个多时辰，那么定冬至就在癸未日夜子刻。而大衍历推算癸未日九十八刻太过超前，这是当年的实测数据，现在固然可以追溯验证。查大衍历以三千零四十为通法，一百一十一万零三百四十三为策实，一万五千九百四十三为策余。用通法五去减策余，余七百四十三为小余。用万分法通之，小余二千四百四十四又七九弱，比授时历的二四二五多一十九，太过超前。当时小余虽然大，必定不及这个数值，因此从这一年开始以前，大衍历推算古代则超前，推算未来则滞后【大衍历想要符合《左传》中两次冬至的记载，所以小余过大】
宋真宗景德四年丁未年十一月戊辰日冬至，大衍历【戊辰日寅初三刻】宣明历【戊辰日卯正一刻】纪元历【丁卯日酉初三刻】统天历【丁卯日戌初一刻】重修大明历【丁卯日酉正初刻】授时历【丁卯日戌初一刻】
江永说：推算这一年的平冬至在三日二十二时三十分一秒，即丁卯日亥正二刻。宋朝都城在河南，早八分。那时高冲在冬至前大约四度四十二分，又有小轮半径的误差，总共减去时间大约四时三刻有余。定冬至大概在丁卯日酉初二刻，纪元历比较接近。史书记载戊辰日冬至，斗分太多，错误地推算导致滞后。
宋仁宗皇祐二年庚寅年十一月三十日癸丑日，日影最长，大衍历【癸丑日申初二刻】宣明历【癸丑日酉正三刻】纪元历【癸丑日卯初一刻】统天历【癸丑日卯初初刻】重修大明历【癸丑日卯初一刻】授时历【癸丑日卯初三刻】
江永说：推算这一年的平冬至在四十九日八时二十六分一十六秒，癸丑日辰正一刻十一分，定冬至在寅时。宋神宗元丰六年癸亥年十一月丙午日，日影最长。大衍历【丙午日酉初二刻】宣明历【丙午日戌正二刻】纪元历【丙午日卯正一刻】统天历【丙午日卯正一刻】重修大明历【丙午日卯正一刻】授时历【丙午日卯正一刻】
江永说：推算这一年的平冬至在四十二日八时一十五分一秒，丙午日辰正一刻，定冬至在寅、卯之间。
元丰七年甲子年十一月辛亥日，日影最长，大衍历【辛亥日夜子初一刻】宣明历【壬子日丑正一刻】纪元历【辛亥日午正初刻】统天历【辛亥日午正一刻】重修大明历【辛亥日午正初刻】授时历【辛亥日午正一刻】
江永说：这与上一年相隔一岁，定冬至在辛亥日巳时。宋哲宗元祐三年戊辰年十一月壬申日，日影最长，大衍历【壬申日亥正三刻】宣明历【癸酉日丑初二刻】纪元历【壬申日午初二刻】统天历【壬申日午初二刻】重修大明历【壬申日午初二刻】授时历【壬申日午初二刻】
江永说：这一年的平冬至在壬申日未初一刻四分，定冬至在巳时。
元祐四年己巳年十一月丁丑日，日影最长，大衍历【戊寅日寅正二刻】宣明历【戊寅日辰初三刻】纪元历【丁丑日酉初一刻】统天历【丁丑日酉初一刻】重修大明历【丁丑日酉初一刻】授时历【丁丑日酉初一刻】
江永说：“这与上一年相隔一岁，定冬至在丁丑日申时。”
元祐五年庚午年十一月壬午日冬至，大衍历【癸未日巳正二刻】宣明历【癸未日未初二刻】纪元历【壬午日夜子初初刻】统天历【壬午日夜子初一刻】重修大明历【壬午日夜子初一刻】授时历【壬午
元祐七年壬申岁十一月癸巳冬至，大衍【癸巳亥正一刻】宣明【甲午丑初一刻】纪元【癸巳巳正三刻】统天【癸巳巳正三刻】重修大明【癸巳巳正三刻】授时【癸巳巳正三刻】
江氏永曰：此年平冬至癸巳午正二刻四分，定冬至巳初。
哲宗元符元年戊寅岁十一月甲子冬至，大衍【乙丑巳初二刻】宣明【乙丑午正二刻】纪元【甲子亥正初刻】统天【甲子亥初三刻】重修大明【甲子亥正初刻】授时【甲子亥初三刻】
江氏永曰：此年平冬至甲子二十三时二十六分一十六秒，夜子初一刻十分定冬至戊时。案授时百年长一之率，年逺则所加分渐赢，其所定岁余刻下二十五分，又失之太弱，是以推逺年之冬至恒先天，推近年之冬至恒后天【开元甲子及此条断定大衍、授时二术之弊，一行、守敬其何説之辞】
徽宗崇宁三年甲申岁十一月丙申冬至，大衍【丙申戊正三刻】宣明【丙申夜子初三刻】纪元【丙申巳初初刻】统天【丙申辰正三刻】重修大明【丙申巳初初刻】授时【丙申辰正二刻】
江氏永曰：此年平冬至丙申巳正一刻四分，定冬至夘辰之间。
光宗绍熈二年辛亥岁十一月壬申冬至，大衍【癸酉寅初初刻】宣明【癸酉夘正二刻】纪元【壬申未初三刻】统天【壬申午初一刻】重修大明【壬申未初三刻】授时【壬申午初一刻】
江氏永曰：此年平冬至壬申午正初刻，都临安迟一刻，午正一刻定冬至在己末。
宁宗庆元三年丁巳岁十一月癸夘日南至，大衍【甲辰未正初刻】宣明【甲辰酉初三刻】纪元【甲辰子正二刻】统天【癸夘亥正一刻】重修大明【甲辰子正三刻】授时【癸夘亥正一刻】
江氏永曰：此年平冬至癸夘亥正三刻八分，临安迟一刻，夜子初初刻八分，定冬至亥初三刻。
宁宗嘉泰三年癸亥岁十一月甲戌日南至，大衍【丙子丑正一刻】宣明【丙子夘初初刻】纪元【乙亥午初三刻】统天【乙亥巳初初刻】重修大明【乙亥午初三刻】授时【乙亥巳初一刻】
江氏永曰：推此年平冬至乙亥巳初三刻，临安已正初刻，定冬至约减五刻有竒，在辰正二刻，当时推甲戌术误也。
嘉定五年壬申岁十一月壬戌日南至，大衍【癸亥夘正初刻】宣明【癸亥巳初四刻】纪元【壬戌申初二刻】统天【壬戌未初二刻】重修大明【壬戌申正初刻】授时【壬戌未初二刻】
江氏永曰：此年平冬至壬戌未正初刻四分，临安迟一刻未正一刻四分，定冬至午正一刻。
理宗绍定三年庚寅岁十一月丙申日，南至大衍【丁酉申初二刻】宣明【丁酉戌初二刻】纪元【丁酉丑初三刻】统天【丙申亥正一刻】重修大明【丁酉丑初三刻】授时【丙申亥正一刻】
江氏永曰：此年平冬至丙申亥正二刻十一分，临安亥正三刻十一分，定冬至亥正初刻。
淳祐十年庚戌岁十一月辛巳日，南至，大衍【壬午未初初刻】宣明【壬午酉初初刻】纪元【辛巳亥正三刻】统天【辛巳酉正二刻】重修大明【辛巳亥正一刻】授时【辛巳酉正三刻】
江氏永曰：此年平冬至辛巳酉正三刻十一分，临安戌初初刻十一分，定冬至酉正二刻。
元世祖至元十七年庚辰岁十一月己未夜半后六刻，冬至大衍【己未亥初初刻】宣明【庚申丑初一刻】纪元【己未夘初初刻】统元【己未丑初初刻】重修大明【己未夘正初刻】授时【己未丑初一刻】
江氏永曰：推此年平冬至五十五日一时一十八分四十六秒，己未丑初一刻四分，髙冲在冬至后四分竒，约减均十二秒，加时约五分，定冬至丑初一刻九分，与当时郭太史测算气应五十五日○六百分者，宻合。
【梅氏文鼎》曰：「以上自鲁僖公以来冬至日名共四十七，并至元辛巳有刻为四十八。事授时法合者三十八，不合者昭公己夘，刘宋元嘉丙子，大明辛丑，陈太建壬辰，丁酉，隋开皇甲寅，唐贞观甲辰，己酉，宋景徳丁未，嘉泰癸亥，共十。统天术同】
江氏永曰：四十七事，日名或有不合，其间有术误，有史误。今以实法考之，合者不约而符，不合者亦灼然可见。非术误推，即史误纪
译元祐七年壬申年十一月癸巳日冬至，大衍历【癸巳日巳时正一刻】，宣明历【甲午日丑时初一刻】，纪元历【癸巳日巳时正三刻】，统天历【癸巳日巳时正三刻】，重修大明历【癸巳日巳时正三刻】，授时历【癸巳日巳时正三刻】。
江永说：这一年平气冬至在癸巳日午时正二刻四分，定气冬至在巳时初。
哲宗元符元年戊寅年十一月甲子日冬至，大衍历【乙丑日巳时初二刻】，宣明历【乙丑日午时正二刻】，纪元历【甲子日亥时正初刻】，统天历【甲子日亥时初三刻】，重修大明历【甲子日亥时正初刻】，授时历【甲子日亥时初三刻】。
江永说：这一年平气冬至在甲子日二十三时二十六分一十六秒，夜子时初一刻十分定气冬至在戊时。按授时历百年长一日的比率，年代久远则所加的分逐渐多余，它所定的岁余刻数下二十五分，又失之太弱，因此推算远年的冬至常常提前，推算近年的冬至常常推后【开元甲子及此条断定大衍、授时二术之弊，一行、守敬其何説之辞】。
徽宗崇宁三年甲申年十一月丙申日冬至，大衍历【丙申日戊时正三刻】，宣明历【丙申日夜子时初三刻】，纪元历【丙申日巳时初初刻】，统天历【丙申日辰时正三刻】，重修大明历【丙申日巳时初初刻】，授时历【丙申日辰时正二刻】。
江永说：这一年平气冬至在丙申日巳时正一刻四分，定气冬至在卯辰之间。
光宗绍熈二年辛亥年十一月壬申日冬至，大衍历【癸酉日寅时初初刻】，宣明历【癸酉日卯时正二刻】，纪元历【壬申日未时初三刻】，统天历【壬申日午时初一刻】，重修大明历【壬申日未时初三刻】，授时历【壬申日午时初一刻】。
江永说：这一年平气冬至在壬申日午时正初刻，临安迟一刻，午时正一刻定气冬至在己末。
宁宗庆元三年丁巳年十一月癸卯日南至，大衍历【甲辰日未时正初刻】，宣明历【甲辰日酉时初三刻】，纪元历【甲辰日子时正二刻】，统天历【癸卯日亥时正一刻】，重修大明历【甲辰日子时正三刻】，授时历【癸卯日亥时正一刻】。
江永说：这一年平气冬至在癸卯日亥时正三刻八分，临安迟一刻，夜子时初初刻八分，定气冬至在亥时初三刻。
宁宗嘉泰三年癸亥年十一月甲戌日南至，大衍历【丙子日丑时正一刻】，宣明历【丙子日卯时初初刻】，纪元历【乙亥日午时初三刻】，统天历【乙亥日巳时初初刻】，重修大明历【乙亥日午时初三刻】，授时历【乙亥日巳时初一刻】。
江永说：推算这一年平气冬至在乙亥日巳时初三刻，临安巳时正初刻，定气冬至约减五刻有余，在辰时正二刻，当时推算甲戌术有误。
嘉定五年壬申年十一月壬戌日南至，大衍历【癸亥日卯时正初刻】，宣明历【癸亥日巳时初四刻】，纪元历【壬戌日申时初二刻】，统天历【壬戌日未时初二刻】，重修大明历【壬戌日申时正初刻】，授时历【壬戌日未时初二刻】。
江永说：这一年平气冬至在壬戌日未时正初刻四分，临安迟一刻未时正一刻四分，定气冬至在午时正一刻。
理宗绍定三年庚寅年十一月丙申日，南至，大衍历【丁酉日申时初二刻】，宣明历【丁酉日戌时初二刻】，纪元历【丁酉日丑时初三刻】，统天历【丙申日亥时正一刻】，重修大明历【丁酉日丑时初三刻】，授时历【丙申日亥时正一刻】。
江永说：这一年平气冬至在丙申日亥时正二刻十一分，临安亥时正三刻十一分，定气冬至在亥时正初刻。
淳祐十年庚戌年十一月辛巳日，南至，大衍历【壬午日未时初初刻】，宣明历【壬午日酉时初初刻】，纪元历【辛巳日亥时正三刻】，统天历【辛巳日酉时正二刻】，重修大明历【辛巳日亥时正一刻】，授时历【辛巳日酉时正三刻】。
江永说：这一年平气冬至在辛巳日酉时正三刻十一分，临安戌时初初刻十一分，定气冬至在酉时正二刻。
元世祖至元十七年庚辰年十一月己未日夜半后六刻，冬至，大衍历【己未日亥时初初刻】，宣明历【庚申日丑时初一刻】，纪元历【己未日卯时初初刻】，统元历【己未日丑时初初刻】，重修大明历【己未日卯时正初刻】，授时历【己未日丑时初一刻】。
江永说：推算这一年平气冬至在五十五日一时一十八分四十六秒，己未日丑时初一刻四分，高冲在冬至后四分余，约减均十二秒，加时约五分，定气冬至在丑时初一刻九分，与当时郭太史测算气应五十五日○六百分者，密合。
【梅文鼎说：“以上自鲁僖公以来冬至日名共四十七，并至元辛巳有刻为四十八。事授时法合者三十八，不合者昭公己卯，刘宋元嘉丙子，大明辛丑，陈太建壬辰，丁酉，隋开皇甲寅，唐贞观甲辰，己酉，宋景德丁未，嘉泰癸亥，共十。统天术同”】
江永说：四十七件事，日名或有不合，其间有术误，有史误。今以实法考之，合者不约而符，不合者亦灼然可见。非术误推，即史误纪
。虽去之千百年，犹旦暮也。此如以有法之度度短长，有凖之权权轻重，故物莫能遁。若大衍诸厯，岁余或强或弱，如权度未定，既不可以称量而统天之距差、躔差，授时之百年长一，又于执秤执尺之时，参以智巧之私，实为无理之法。其不合者固不合，其幸合者亦不知其实未尝合也。近年冬至时刻可定，去之逺者不能细定分刻，以小轮半径古多今少，难得确率耳。若其大致，固可上下参考而知，当不违天甚逺。孟子曰：「茍求其故。」愚谓恒岁实最卑，行小轮差皆其故也。后之言天者，精求诸此而已。若诸家立法，虽不可不知，要之皆已陈之刍狗，不可再用者也。
译即使相隔千百年，也如同早晚之间那样清晰。这就像用有刻度的尺子测量长短，用有砝码的秤称量轻重，所以万物都无法隐藏。至于大衍历等历法，岁余有时强有时弱，如同秤和尺尚未确定，既不能用来称量以统合天体的距差、躔差，授时历中百年长一日的规定，又在执秤执尺之时，掺杂了个人的智巧私意，实在是没有道理的法度。那些不符合天象的固然不符合，那些侥幸符合的，也不知其实并未真正符合。近年冬至的时刻可以确定，但距离较远的年代无法精细确定分刻，这是因为小轮半径古多今少，难以获得确切的比率罢了。至于其大致情况，本来可以通过上下参照而知晓，应当不会与天象相差太远。孟子说：“如果探求其缘故。”我认为恒岁实最卑，运行小轮的差异都是其缘故。后来谈论天象的人，精究于此罢了。至于各家所立的法度，虽然不可不知，总之都是已经废弃的草狗，不可再使用了。
【梅氏又曰：《元史》云：“自春秋献公以来，凡二千一百六十余年，用六术推算冬至，凡四十九事。大衍合者三十二，不合者十七；宣明合者二十六，不合者二十三；纪元合者三十五，不合者十四；统天合者三十八，不合者十；一大明合者三十四，不合者十五；授时合者三十九，不合者十事。”案献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至，授时得甲寅，统天得乙夘后天一日至僖公五年正月辛亥朔旦冬至，授时、统天皆得辛亥，与天合。下至昭公二十年己夘岁，正月己丑朔旦冬至，授时、统天皆得戊子，并先一日。若曲变其法以从之，则献公、僖公皆不合矣。以此知春秋所书昭公冬至，乃日度失行之騐，一也】
江氏永曰：案献公之年，史有参差，所推甲寅朔旦冬至，乃刘歆三统厯以四分之法逆推，非有实测纪之，信史不足为防。若左氏传二至，则当时之术误，乃欲曲法以求合，合者一而违者一，不悟其幸合者之非真，而以其不合者诿之于日度失行，此大惑也【大衍考古冬至，谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至，大衍与皇极、麟徳三术皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三术之差。今以授时考之，亦得癸酉二也】
江氏永曰：案今以法推正，得甲戌日度，何尝失行【大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，诸术皆得甲申，殆亦日度之差三也】
江氏永曰：此年冬至，祖冲之考之特详。正頼当年实测可騐，髙冲之所在与两心差之细数。虽推算时刻未甚亲，亦可得其所以未亲之由。今以法宻算，其为乙酉甚确。郭氏不悟统天之活法，不足凭献僖逺年之幸合，未可据。乃以祖氏当年实测，指为日度失行，不亦惑乎？
观承案算术，有踈宻耳。天行安得有差乎？以为日度失行，郭氏此说诚谬。此如杜氏解《左传》，不以为传误，而以为经误者，同病矣。
【陈大建四年壬辰岁十一月丁夘，景长、大衍、授时皆得丙寅，是先一日。大建九年丁酉岁十一月壬辰，景长、大衍、授时皆得癸巳，是后一日。一失之先，一失之后。若合于壬辰，则差于丁酉；合于丁酉，则差于壬辰。亦日度失行之验五也】
江氏永曰：「案壬辰岁不误，丁酉岁则史误也。」
【开皇十一年辛亥岁十一月丙午，景长大、衍、统天、授时皆得丙午，与天合。至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至，而大衍、统天、授时皆得壬戌。若合于辛亥，则失于甲寅；合于甲寅，则失于辛亥。其开皇十四年甲寅岁冬至，亦日度失行六也】
江氏永曰案甲寅岁乃术误
【唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉，景长诸术得甲申。贞观二十三年巳酉岁十一月辛亥，景长诸术皆得庚戌。大衍议以永淳、开元冬至推之，知前二冬至乃史官依时术以书，必非侯景所得，所以不合。今以授时考之，亦亦然八也】
江氏永曰：「案此二至，若非术误，即史误。」
【自前宋以来，测景騐气者凡十七事。其景徳丁未岁，戊辰日南至，统天、授时皆得丁夘，是先一日。嘉泰癸亥岁，甲戌日南至，统天、授时皆得乙亥，是后一日。一失之先，一失之后。若曲变其数以从景徳，则其余十六事多后天；从嘉泰，则其余十六事多先天。亦日度失行之騐十也】
江氏永曰：「案此二至皆术误，非日度失行。」
【前十事皆授时所不合，以此理推之，非不合矣。葢类其同，则知其中；辨其异，则知其变。今于冬至，畧其日度失行及史官依时术书之者，凡十事，则授时三十九事皆中】
江氏永曰：日为七政之主，万化之宗，必无失行之理。其两心差之有改变，亦必有恒，率非失行也。郭氏于十事中，以八事为日度失行，其説原于僧一行，亦近诬矣。其三十九事，自以为中，未必果皆中也。中其日矣，未必中其时刻。除至元庚辰岁宻合天外，推近岁之冬至时刻，恒后天；推逺岁之冬至时刻，恒先天。其故甚微，非以权度细推，谁其觉之？
【以前代诸术校之，授时为宻，庶几千岁之日至可坐而致云】
江氏永曰：「案授时固宻，而有未
译梅氏又说：《元史》记载：“从春秋献公以来，共二千一百六十多年，用六种历法推算冬至，共有四十九次记录。大衍历符合的有三十二次，不符合的有十七次；宣明历符合的有二十六次，不符合的有二十三次；纪元历符合的有三十五次，不符合的有十四次；统天历符合的有三十八次，不符合的有十次；大明历符合的有三十四次，不符合的有十五次；授时历符合的有三十九次，不符合的有十次。”考察献公十五年戊寅年，正月甲寅初一早晨冬至，授时历推算出甲寅，统天历推算出乙卯，比实际晚了一天；到僖公五年正月辛亥初一早晨冬至，授时历、统天历都推算出辛亥，与天象相符。往下到昭公二十年己卯年，正月己丑初一早晨冬至，授时历、统天历都推算出戊子，都早了一天。如果强行改变历法来迁就昭公年的记录，那么献公、僖公年的记录就不符合了。由此可知，春秋所记载的昭公年冬至，是日度失行的验证，这是第一点。
江氏永说：考察献公年的记录，史书有参差错误，所推算的甲寅初一早晨冬至，是刘歆用三统历以四分法逆推得出的，并非有实测记录，可信的史书不足以作为依据。至于《左传》记载的两个至日，是当时的历法有误，却想强行改变历法以求符合，符合的有一次，违背的也有一次，不明白那偶然符合的并非真实，却把不符合的归咎于日度失行，这是极大的迷惑。大衍历考证古代冬至，说刘宋元嘉十三年丙子年十一月甲戌日冬至，大衍历与皇极历、麟德历三种历法都推算出癸酉，都早了一天，认为是日度失行，并非三种历法的误差。现在用授时历考证，也得出癸酉，这是第二点。
江氏永说：考察现在用历法推算，得出甲戌日的日度，何曾失行？大明五年辛丑年十一月乙酉日冬至，各种历法都推算出甲申，大概也是日度的误差，这是第三点。
江氏永说：这年的冬至，祖冲之考证得特别详细。正依靠当年的实测可以验证，高冲之所在与两心差的细微数值。虽然推算的时刻未必非常精确，也可以得知其不精确的原因。现在用历法精密计算，其为乙酉日非常确切。郭氏不明白统天历的灵活方法，不足以凭借献公、僖公遥远年份的偶然符合作为依据。却把祖氏当年的实测，指为日度失行，不也是迷惑吗？
观承认为：算术有疏密罢了。天体运行怎么会有误差呢？认为日度失行，郭氏这种说法确实错误。这就像杜氏解释《左传》，不认为是传文有误，而认为是经文有误，是同一种毛病。
陈大建四年壬辰年十一月丁卯日，景长历、大衍历、授时历都推算出丙寅，是早了一天。大建九年丁酉年十一月壬辰日，景长历、大衍历、授时历都推算出癸巳，是晚了一天。一个失之过早，一个失之过晚。如果符合壬辰年的记录，那么在丁酉年就有误差；如果符合丁酉年的记录，那么在壬辰年就有误差。也是日度失行的验证，这是第五点。
江氏永说：“考察壬辰年的记录没有错误，丁酉年的记录则是史书有误。”
开皇十一年辛亥年十一月丙午日，景长历、大衍历、统天历、授时历都推算出丙午，与天象相符。到开皇十四年甲寅年十一月辛酉日冬至，大衍历、统天历、授时历都推算出壬戌。如果符合辛亥年的记录，那么在甲寅年就有误差；如果符合甲寅年的记录，那么在辛亥年就有误差。这开皇十四年甲寅年的冬至，也是日度失行，这是第六点。
江氏永说：考察甲寅年的记录是历法有误。
唐贞观十八年甲辰年十一月乙酉日，景长历等历法推算出甲申。贞观二十三年己酉年十一月辛亥日，景长历等历法都推算出庚戌。大衍历议论以永淳、开元年的冬至来推算，知道前两个冬至是史官依据当时的历法记载的，必定不是侯景所测得的，所以不符合。现在用授时历考证，也是如此，这是第八点。
江氏永说：“考察这两个至日，如果不是历法有误，就是史书有误。”
从前宋代以来，测量日影验证节气的一共有十七次记录。其中景德丁未年，戊辰日冬至，统天历、授时历都推算出丁卯，是早了一天。嘉泰癸亥年，甲戌日冬至，统天历、授时历都推算出乙亥，是晚了一天。一个失之过早，一个失之过晚。如果强行改变数值来迁就景德年的记录，那么其余十六次记录大多晚于天象；如果迁就嘉泰年的记录，那么其余十六次记录大多早于天象。也是日度失行的验证，这是第十点。
江氏永说：“考察这两个至日都是历法有误，并非日度失行。”
前十次记录都是授时历不符合的，按照这个道理推算，并非不符合了。大概归纳其相同之处，就知道其中的规律；辨别其不同之处，就知道其变化。现在对于冬至，略去日度失行以及史官依据当时历法记载的，共十次记录，那么授时历的三十九次记录都符合了。
江氏永说：太阳是七政的主宰，万化的根本，必定没有失行的道理。两心差的有改变，也必定有恒常的规律，并非失行。郭氏在十次记录中，以八次为日度失行，其说法源于僧一行，也近乎诬蔑了。那三十九次记录，自以为都符合，未必真的都符合。符合了日期，未必符合时刻。除了至元庚辰年紧密符合天象外，推算近年来的冬至时刻，常常晚于天象；推算遥远年份的冬至时刻，常常早于天象。其原因非常微妙，不用权度仔细推算，谁能察觉呢？
以前代的各种历法来比较，授时历最为精密，差不多千年的冬至可以坐着推算而得到。
江氏永说：“考察授时历固然精密，而有未”
宻者存。」
又曰：「术家最重识见，日度失行之説，极纰缪。一行、守敬乃言之，载之史册，遗笑后人。皆由推冬至无权度、平岁实、髙冲行、轮径差三大节目闗窍未启，是以生此缪论。不得不详载史文，以为凿知者鉴。」
译宻者存。」
又说：“术数家最重视识见，关于太阳运行失度的说法，极其荒谬。一行、郭守敬竟然这样说，并载入史册，留给后人嘲笑。这都是因为推算冬至时，没有开启无权度、平岁实、髙冲行、轮径差这三大关键枢纽，所以产生了这种谬论。不得不详细记载史文，作为给那些自以为知道的人的鉴戒。」
右考冬至以正气序
五礼通考卷一百八十八
钦定四库全书
五礼通考卷一百八十九
刑部尚书秦蕙田撰
嘉礼六十二
观象授时
书《尧典》以闰月定四时成嵗【疏：六术诸纬与《周髀》皆云日行一度，月行十三度十九分度之七，为每月二十九日过半，所以无闰时不定嵗不成者。若无闰，三年差一月，则以正月为二月，每月皆差；九年差三月，即以春为夏；若十七年差六月，即四时相反。时何由定嵗？何得成乎？故须置闰以定四时】春秋》文公元年，左氏传于是闰三月，非礼也【注：于术法，闰当在僖公末年，误于今年三月置闰，盖时达数者所讥】先王之正时也，履端于始【注：步律之始，以为术之端首】举正于中【注：朞之日三百六十有六日，日月之行又有迟速，而必分为十二月，举中气以正月】归余于终【注：有余日则归之于终，积而为闰，故言归余于终】履端于始，序则不愆【注：四时无愆过】举正于中，民则不惑【注：斗建不失其次，寒暑不失其常，故无疑惑】归余于终，事则不悖【注：四时得所，则事无悖乱。疏：古今之法，推闰月之术，皆以闰余减章嵗余，以嵗中乘之，章闰而一，所得为积月，命起天正算外，闰所在也。其有进退，以中气定之，无中气则闰月也。古法十九年为一章，章有七闰。入章三年闰九月，六年闰六月，九年闰三月，十一年闰十一月，十四年闰八月，十七年闰四月，十九年闰十二月。此据元首初章，若于后渐积余分，大率三十二月则置闰，不必恒同初章闰月。僖五年正月辛亥朔，日南至，治律者皆以彼为章首之嵗。《汉书》志云：文公元年距僖五年辛亥二十九嵗，是嵗闰余十三，闰当在十一月后，而在三月，故传曰「非礼也」。志之所言，闰当在此年十一月后，今三月已即置闰，是嫌闰月大近前也。杜以为僖三十年闰九月，文二年闰正月，故言于法，闰当在僖公末年，误于今年置闰，嫌置闰大近后也。杜为长律置闰疏数，无复定凖，凡为术。者闰前之月中气在晦，闰后之月中气在朔。僖五年正月朔旦冬至，则四年当闰十二月也。杜长律：僖元年闰十一月，五年闰十二月，与常律不同者，杜以襄二十七年再失闰，司律过。昭二十年二月己丑日南至，哀十二年十二月螽，云火犹西流，司律过。则春秋之世律法错失，所置闰月或前或后，不与常同。杜唯勘经传上下日月，以为长厯。若日月同者，则数年不置闰月；若日月不同，须置闰乃同者，则未满三十二月频置闰，所以异于常律。故释例云：据经传防防考日辰晦朔，以相发明，为经传长律，未必得天。盖春秋当时之律也，是杜自言不与常律同。日月转运于天，犹如人之行步，故推律谓之步律。步律之始，以为术之端首。谓律之上元，必以日月全数为始，于前更无余分，以此日为术之端首，故言履端于始也。朞之日三百六十有六日，谓从冬至至冬至，必满此数乃周天也。日月之行有迟有速，日行迟，月行速。凡二十九日过半月行及日，谓之一月过半者，谓一日于律法分为九百四十分，月行及日必四百九十九分，是过半二十九分。今一嵗气周有三百六十五日四分日之一，其十二月一周唯三百五十四日，是少十一日四分日之一。未得气周，细而言之，一嵗只少弱十一日。所以然者，一月有余分二十九，一年十二月有余分三百四十八。是一嵗既得三百五十四日，又得余分三百四十八。其四分日之一，一日为九百四十分，则四分日之一为二百三十五分。今于余分三百四十八内取二百三十五，以当却四分日之一，余分仍有一百一十三。其整日唯有十一日，又以余分一百一十三减其一日九百四十分，唯有八百二十七分。是一年有余十日八百二十七分，少一百一十三分不成十一日也。前朔后朔相去二十九日余，前气后气相去三十日余，每月参差，气渐不正。但观中气所在，以为此月之正，取中气以正月，故言举正于中也。月朔之与月节，每月剩
译右考冬至以正气序
《五礼通考》卷一百八十八
钦定四库全书
《五礼通考》卷一百八十九
刑部尚书秦蕙田撰
嘉礼六十二
观象授时
《尚书·尧典》说：“用闰月来确立四季，从而完成一年的周期。”【疏解：六术、各种纬书以及《周髀算经》都记载太阳每天运行一度，月亮每天运行十三度又十九分之七度，因此每月为二十九天半多一点。之所以说没有闰月就无法确定四季、无法完成一年，是因为：如果不设置闰月，三年就会差一个月，那么正月就会变成二月，每个月都会产生偏差；九年就会差三个月，那么春天就会变成夏天；如果十七年差六个月，那么四季就会完全颠倒。四季怎么能确定呢？一年又怎么能完成呢？所以必须设置闰月来确立四季】《春秋》文公元年，《左传》记载：“这一年闰三月，是不符合礼制的。”【注：按照历法推算，闰月应当设在鲁僖公末年，却错误地在今年三月设置闰月，这大概是当时精通历数的人所讥讽的】先王校正历法时，在年初确立开端【注：推算历法的起始，作为历术的开端】，在年中确立标准【注：一周年有三百六十六天，日月运行有快有慢，但必须分为十二个月，取中气来校正月份】，在年末归附余数【注：有多余的日子就归附到年末，积累起来成为闰月，所以说在年末归附余数】。在年初确立开端，四季的顺序就不会错乱【注：四季没有差错】；在年中确立标准，百姓就不会迷惑【注：北斗星的指向不失去次序，寒暑的变化不失去常规，所以百姓没有疑惑】；在年末归附余数，事务就不会违背常理【注：四季各得其所，那么事务就不会悖乱。疏解：古今历法，推算闰月的方法，都是用闰余减去章岁余，用岁中数乘以它，除以章闰数，所得结果是积月，从天正算外开始计数，就是闰月所在之处。闰月的进退，以中气来定，没有中气的月份就是闰月。古法以十九年为一章，一章有七个闰月。进入章的第三年闰九月，第六年闰六月，第九年闰三月，第十一年闰十一月，第十四年闰八月，第十七年闰四月，第十九年闰十二月。这是依据元首初章的情况，如果在后面逐渐积累余分，大概每三十二个月就设置一个闰月，不一定总是和初章的闰月相同。鲁僖公五年正月辛亥朔，冬至，治历者都把那一年作为章首之年。《汉书·律历志》说：文公元年距离僖公五年辛亥有二十九年，这一年闰余十三，闰月应当在十一月之后，却设在三月，所以《传》说‘非礼也’。《志》中所说，闰月应当在这一年十一月之后，现在三月已经设置闰月，是嫌闰月离前一个闰月太近了。杜预认为鲁僖公三十年闰九月，文公二年闰正月，所以说按照历法，闰月应当在僖公末年，错误地在今年设置闰月，是嫌设置闰月离后一个闰月太近了。杜预的长历中设置闰月的疏密，没有固定的标准，凡是制定历法的人，闰月前的中气在晦日，闰月后的中气在朔日。僖公五年正月朔旦冬至，那么四年应当闰十二月。杜预的长历：僖公元年闰十一月，五年闰十二月，这与常律不同，是因为杜预认为鲁襄公二十七年再次漏置闰月，司历官有过失。昭公二十年二月己丑冬至，哀公十二年十二月有蝽虫，说火星还在西方运行，司历官有过失。那么春秋时期历法出现错误，所设置的闰月有时提前有时推后，与常律不相同。杜预只是核对经传中的日月，以此作为长历。如果日月相同，那么几年不设置闰月；如果日月不同，必须设置闰月才能相同，那么即使未满三十二个月也频繁设置闰月，所以与常律不同。因此《释例》说：根据经传仔细考察日辰晦朔，互相印证，作为经传的长历，未必符合天道。这大概是春秋当时的历法，这是杜预自己说不与常律相同。日月在天上运转，就像人的行走，所以推算历法称为步律。步律的起始，作为历术的开端。意思是历法的上元，必须以日月的完整数量为起始，前面没有多余的分数，以这一天作为历术的开端，所以说履端于始。一周年有三百六十六天，意思是从冬至到冬至，必须满这个数才是一周天。日月运行有快有慢，太阳运行慢，月亮运行快。凡二十九天过半月亮追上太阳，称为一个月。过半的意思，是一天在历法中分为九百四十分，月亮追上太阳必须四百九十九分，是过半二十九分。现在一年气周有三百六十五又四分之一天，其十二月一周只有三百五十四天，是少了十一又四分之一天。没有得到气周，详细来说，一年只少弱十一日。之所以这样，是因为一个月有余分二十九，一年十二个月有余分三百四十八。是一年既得到三百五十四天，又得到余分三百四十八。那四分之一天，一天为九百四十分，那么四分之一天为二百三十五分。现在在余分三百四十八内取二百三十五，用来抵销那四分之一天，余分还剩一百一十三。整日只有十一日，又用余分一百一十三减去一天的九百四十分，只剩下八百二十七分。是一年有余十日八百二十七分，少一百一十三分凑不成十一日。前一个朔日到后一个朔日相隔二十九天余，前一个节气到后一个节气相隔三十天余，每月参差不齐，节气逐渐不正。只看中气所在，以此作为这个月的正位，取中气来校正月份，所以说举正于中。月朔与月节，每月剩余