五礼通考卷七十二

译这是夹钟卯月之气，二月建寅，而辰位在降娄。辰位与建月交错互换位置，如同表里关系，但二者是相合的。它们的相生关系以阴阳六体来体现：黄钟是初九，向下生出林钟的初六；林钟又向上生出太簇的九二；太簇又向下生出南吕的六二；南吕又向上生出姑洗的九三；姑洗又向下生出应钟的六三；应钟又向上生出蕤宾的九四；蕤宾又向下生出大吕的六四；大吕又向上生出夷则的九五；夷则又向下生出夹钟的六五；夹钟又向上生出无射的上九；无射又向上生出中吕的上六。位置相同的象征夫妻，位置不同的象征母子。这就是所说的“律娶妻而吕生子”。黄钟长九寸，其容积为一龠；向下相生的，三分减一；向上相生的，三分加一。经过五次向下相生、六次向上相生，才完成一个循环。大吕长八寸又二百四十三分寸之一百零四。太簇长八寸。夹钟长七寸又二千一百八十七分之十七十五。姑洗长七寸又九分寸之一。中吕长六寸又万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四。蕤宾长六寸又八十一分寸之二十六。林钟长六寸。夷则长五寸又七百二十九分寸之四百五十一。南吕长五寸又三分寸之一。无射长四寸又六千五百六十一分寸之六千五百二十四。应钟长四寸又二十七分寸之二十。

疏文说：六律属阳，六吕属阴，两两相合。经文说：“用来配合阴阳之声”，即指阳声黄钟、太簇、姑洗等，是依据左旋而言；说阴声大吕、应钟、南吕等，是依据右转而言。关于左右相合的意义，考察斗柄所指建立的十二辰是左旋的，日体十二月与月亮合宿是右转的。只是斗柄所建的，是建在地上的十二辰，所以说子、丑等；辰者，是日月交会之处，交会处在天上的十二次，所以说娵訾、降娄等。因为十二律是候气的律管，所以都用气来表述。因为黄钟律之首与大吕相合，所以先说它。说它们的相生，以阴阳六体来体现，上面所说的顺经六律左旋，六吕右转，以阴阳左右为相合。如果是相生，则六律六吕都左旋，以律为夫，以吕为妇，妇人顺从丈夫的道理，所以都在左旋。郑玄知道有阴阳六体法，是因为看到《律历志》说：“黄钟初九，是律的首位，阳的变化，因而乘以六，以九为法，得到林钟。林钟初六，是吕的首位，阴的变化，都是三天两地的法则。”这就是阴阳六体。黄钟在子位，一阳爻生成为初九；林钟在未位，二阴爻生成为初六，因为阴的缘故退位到未位，所以说“乾贞于十一月子位，坤贞于六月未位”。说同位的，象征夫妻；异位的，象征母子。同位是指如黄钟的初九向下生出林钟的初六，都是初位的第一爻，夫妇一体，这是象征夫妇。异位象征母子，是指如林钟向上生出太簇的九二，二爻相对于初爻是异位，象征母子。只是律所生的为夫妇，吕所生的为母子。十二律吕中，律所生的常同位，吕所生的常异位，所以说“律娶妻而吕生子”。所以说：“黄钟为天统，律长九寸；林钟为地统，律长六寸；太簇为人统，律长八寸。”林钟位在未位得以成为地统，是因为未位与丑位相对冲的缘故。《志》又说：“十二管相生，都是八八上生下生，尽于仲吕。阴阳相生，从黄钟开始而左旋，八八为伍。”又说：“都是参天两地的法则。”注解说：“三三得九，二三得六，上生下生都以九为法，九六阴阳夫妇子母之道，律娶妻而吕生子，是天地的常情。”六律六吕确立，十二辰就建立了；五声清浊分明，十日就运行了。郑玄的注解都取义于此。说黄钟长九寸，其容积为一龠，也是《律历志》的原文，考察那里说：“子谷秬黍中等大小的，一千二百粒，其容积为一龠。”那里又说：“黄钟，是律的实体。”说：“向下相生的，三分减一；向上相生的，三分加一。”子午线以东为上生，子午线以西为下生。东方属阳，阳主增益；西方属阴，阴主减损。所以上生增益，下生减损，必定以三为法，是因为它们相生，取法于天生成之数的三。说：“大吕长八寸又二百四十三分寸之一百零四”，是以黄钟的律为标准，以八相生。向下生出林钟，林钟向上生出太簇，太簇向下生出南吕，以后都如此，以此作为次序。现在郑玄以黄钟、大吕、太簇等相比作为次序，不依照相生的次序，郑玄的意思既然已经通过上生下生得到了寸数的长短，仍然依照十二辰的次序来说罢了。这些寸数的生成，以黄钟长九寸，向下生出林钟，三分减一，减去三寸，所以林钟长六寸。林钟向上生出太簇，三分加一，六寸加二寸，所以太簇长八寸。这三者作为三统，所以没有余分。太簇向下生出南吕，三分减一，八寸取六

译一寸减去二寸，得到四寸，还剩余二寸；将这一寸分为三分，合起来是六分，去掉二分，剩下四分；取其中的三分作为一寸，加上前面的四寸，成为五寸，还剩余一分，这就是南吕律管的长度为五寸又三分寸之一。南吕向上生出姑洗，采用三分益一的方法，五寸中取三寸，增加一寸成为四寸，又将剩余的二寸换算为十八分，再将剩余的一分换算为三分，加上前面的十八分成为二十一分，增加七分成为二十八分，取其中的二十七分为三寸，加上前面的四寸成为七寸，还剩余一分，这就是姑洗律管的长度为七寸又九分寸之一。姑洗向下生出应钟，采用三分去一的方法，取六寸去掉二寸得到四寸，又将剩余的一寸换算为二十七分，将剩余的一分换算为三分，加上二十七分成为三十分，减去十分，剩下二十分，这就是应钟律管的长度为四寸又二十七分寸之二十。从此往下相生，都以三分作为基数来进行增减计算，其中的道理可以推知，所以不再详细列举。

译高氏愈说：大凡天地之间，有气就有声，有声就有节奏。六律六吕，本源于卦爻的六奇六偶，并以天地十二个月的气运为标准。卦中的六奇，就是六律，是阳声产生的根源；六偶，就是六吕，是阴声产生的根源。而十二个月阴阳之气，互相有亏损和盈满，那么发出的声音，凡是长短、高低、清浊的节奏，也都自然而然，不知其所以然的次序。大概不必等到听凤凰鸣叫，才开始能合着律管来制作乐器了。

典同掌管六律的和谐，用来辨别天地四方阴阳的声音，以此作为乐器的标准。丘氏璿说：太师主要负责调和声音，典同主要负责制作乐器。大概音乐没有声音就不能成立，而用来寄托声音的，是乐器。所以典同制作乐器最为紧要。乐器端正，声音就没有不端正的了。

刘氏彛说：律吕的和谐，是指它们的长短厚薄所容纳的尺度符合中道，得到阴阳的和谐之气。所以律吕符合中道，那么中气到来时葭灰就会飞扬；气到了声音就和谐。因此日月运行于十二次而没有差错，那么天上的阴阳就顺承于上；阴阳合于十二辰而没有谬误，那么地上的阴阳就顺承于下。所以黄钟的长度，用来推演五度，是乐器长短宽窄所依据的标准；黄钟的容量，用来推演五量，是乐器深浅宏大所依赖的标准；黄钟的重量，用来推演五权，是乐器轻重所出的标准；黄钟的体积，用来推演五数，是乐器多少所差别的标准；黄钟的气，用来推演五声，是乐器宫商所祖述的标准。因此制作乐器，必须以律吕为根本。所以说：凡是乐器，以十二律作为度数，以十二声作为齐量的标准。

高氏愈说：阳声属于天，阴声属于地。东方是少阳，是阳声的次序；南方是太阳，是阳声的旺盛；西方是少阴，是阴声的次序；北方是太阴，是阴声的旺盛。凡是声音不超过阴阳，而阴阳又有四方的差异，就像两仪分化为四象一样。六律六吕，天地四方阴阳的声音都从中产生。典同辨别它们，选取其中的中声作为乐器，就没有不周全的了。

《礼记·月令》：孟春之月，律中太簇。注：孟春之气到来，太簇的律管就相应，相应是指吹动葭灰。凡是律管的周长都是九分。

仲春之月，律中夹钟。注：仲春之气到来，夹钟的律管就相应。

季春之月，律中姑洗。注：季春之气到来，姑洗的律管就相应。

孟夏之月，律中仲吕。注：孟夏之气到来，仲吕的律管就相应。

仲夏之月，律中蕤宾。注：仲夏之气到来，蕤宾的律管就相应。

季夏之月，律中林钟。注：季夏之气到来，林钟的律管就相应。

中央土，律中黄钟之宫。注：黄钟之宫最长。十二律辗转相生，五声具备，终于六十。季夏之气到来，黄钟之宫就相应。《礼运》说：“五声六律十二管，还相为宫。”疏：郑玄不说黄钟律最长，而说黄钟之宫最长，是因为唯有黄钟宫声在诸宫声中是最长的。黄钟候气的律管本位在子，这是黄钟宫声与中央土声相应。

方氏慤说：十二律各有五声，共六十律。以宫为根本，以角为末端。起于黄钟，终于仲吕。起于黄钟之宫，终于仲吕之角。所以十二律之外，又有黄钟之宫。大宫固然也是土的本音。但必须中于黄钟，是因为作为建子之律的缘故。大概子是阳所生的地方；土是万物所成的地方。土以成为终结，成以生为开始。由于终始相互需要，所以它所中的就是这样。况且从名称取义：黄，说的是阴的美，就是土的颜色；钟，说的是气的聚集，就是土的事情。

孟秋之月，律中夷则。注：孟秋之气到来，夷则的律管就相应。

仲秋之月，律中南吕。注：仲秋之气到来，南吕的律管就相应。

季秋之月，律中无射。注：季秋之气到来，无射的律管就相应。

孟冬之月，律中应钟。注：孟冬之气到来，应钟的律管就相应。

仲冬之月，律中黄钟。注：黄钟是律的起始。仲冬之气到来，黄钟的律管就相应。

季冬之月，律中大吕。注：季冬之气到来，大吕的律管就相应。

李氏光地说：“太簇到大吕，是十二律配合十二个月。中，是相合，是相应。从道理上讲，是相合；从气上讲，是相应。然而气的相应，必定按照时节，律管逐月使用调音，这又是不对的。声音的道理，与天地阴阳自然流通，就是这样罢了。”

《国语·周语》：那六中的颜色，所以命名为黄钟。注：六是天地之中，天有六气，降生五味；天有六甲，地有五子，十一而天地完备了。而六为中，所以六律六吕成就天道。黄钟初九，是六律之首，所以以六律正色作为黄钟的名称，重视元正起始的意义。黄钟是阳的变化，律管长九寸，直径三分，周长九分。律长九寸，因而九之，九九八十一，所以黄钟的数理确立。作为宫声的法则是九寸之一，得到林钟初六，是六吕之首，阴的变化，律管长六寸，是六月的律，是坤的起始。

译因此，九阳六阴是阴阳、夫妇、子母的道理，所以初九对应黄钟，黄色是中和之色。“钟”的意思是阳气在下部聚集。朱熹说：“‘六’字的含义，注释虽然大致通顺，但似乎也太牵强附会了。下一章《汉书·律历志》正好写作‘黄’字，而其他说法也多出自此处，怀疑这‘六’字原本就是‘黄’字，刘歆时还没有错，到韦昭作注时才抹去上半部分而变成了‘六’。另外，‘法云九寸之一’也怀疑有误，应当是‘去其三分之一’。”这是用来宣发滋养六气九德的。【注：十一月阳气潜伏在下，万物开始萌芽，五声中的宫音，蕴含元气处于中央，所以能普遍滋养六气九德的根本。】由此依次排列。【注：由，从；第，次序，按月份排序。】第二是太簇。【注：正月太簇，对应乾卦九二，律管长八寸，法云九分之八。太簇意思是阳气大大聚集并通达于上。】这是用来用金奏音乐辅助阳气发出滞伏之气的。【注：太簇的正声为商，所以用金奏，用来辅助阳气发出滞伏之气。】第三是姑洗，用来修洁百物，考察神灵接纳宾客。【注：三月姑洗，对应乾卦九三，律管长七寸一分，律长七寸九分，寸之一。姑，洁也，洗濯也；考，合也。意思是阳气养生，洗濯枯秽，改柯易叶。在正声中为角音，这个月百物修洁，所以在宗庙中用来合致神人，在宴享中用来接纳宾客。】第四是蕤宾，用来安定神灵和众人，进行献酬交酢。【注：五月蕤宾，对应乾卦九四，律管长六寸三分，律长六寸八十一分，寸之二十六。蕤，委蕤，柔软的样子。意思是阴气为主，委蕤于下，阳气盛长于上，有似于宾主，所以可以在宗庙宾客间使用，以安定神灵和众人，行献酬交酢之礼。】第五是夷则，用来咏歌九则，使平民没有二心。【注：七月夷则，对应乾卦九五，律管长五寸六分，律长五寸七百二十九分，寸之四百五十一。夷，平也；则，法也。意思是万物已经形成，可以作为法则，所以可以咏歌九功的法则，成就民众的意志，使他们没有疑贰。】第六是无射，用来宣扬哲人的美德，向民众展示规范仪则。【注：九月无射，对应乾卦上九，律管长四寸九分，律长四寸六千五百六十一分，寸之六千五百二十四。九月阳气上升，阴气收藏，万物没有不显现的，所以可以普遍宣扬前代哲人的美德，向民众展示道法。】设立六个间律，用来发扬沉伏之气而贬斥散越之气。【注：六间，指六吕在阳律之间，吕是阴律，用来伴侣阳律以完成其功，发扬滞伏之气而去散越之气。】第一间是大吕，辅助宣发万物。【注：十二月大吕，对应坤卦六四，律管长八寸八分，法云三分之二，四寸二百四十三分，寸之五十二，加倍为八寸分寸之一百四。下生律元一也，阴系于阳，以黄钟为主，所以叫元间，以阳为首，不命名其初，是臣归功于上的意思。大吕辅助阳气宣散万物，天气始于黄钟萌发，而大地在大吕时接受，从而完成黄钟的功效。】第二间是夹钟，发出四时细微之气。【注：二月夹钟，对应坤卦六五，律管长七寸四分，律长三寸二千一百八十七分，寸之一千六百三十二，加倍为七寸分寸之一千七十五。隙，闲也，夹钟辅助阳气聚集细微之处。四隙指四时之间微细的气，春为阳中，万物始生，四时之气都始于春，春发而出之，三时奉而成之，所以夹钟发出四时的微气。】第三间是中吕，宣发中气。【注：四月中吕，对应坤卦上六，律管长六寸六分，律长三寸万九千六百八十三分，寸之六千四百八十七，加倍为六寸分寸之万二千九百七十四。阳气起于中，到四月宣散于外，纯阳用事，阴闭藏于内，所以辅助阳气成功，所以说正月是正阳之月。】第四间是林钟，调和展开百事，使无不胜任、严肃、纯大、恭敬。【注：六月林钟，对应坤卦初六，律管长六寸，律长六寸。林，众盛也；钟，聚也。在正声中为徵音。展，审也；俾，使也；肃，速也；纯，大也；恪，敬也。意思是时务和顺，审慎百事，没有伪诈，使无不担任其职事，加速其大功，敬其职事。】第五间是南吕，辅助阳气，使万物秀实。【注：八月南吕，对应坤卦六二，律管长五寸三分，律长五寸三分，寸之一。不荣而实，叫秀。南，任也，阴任阳事，助成万物，赞佐也。】第六间是应钟，均平利便器用，使应和复归常道。【注：十月应钟，对应坤卦六三，律管长四寸七分，律长四寸二十七分，寸之二十。意思是阴应阳用，事万物钟聚，百嘉具备。时务均平利便，百官器用，程度庶品，使都应合其礼，复归其常。】律吕不变，就没有奸邪之物。

译蕙田按：《国语》这一篇论述音律最为详尽，首先阐述黄钟律吕的根本。其次论述由此推衍，黄钟生出其余十一律。又说：“以吕作为间隔，这是上生下生的含义。”

《汉书·律历志》说：音律有十二，阳性的六个称为律，阴性的六个称为吕。律用来统摄气机，类比万物；吕用来辅助阳刚，宣通气机。黄钟，黄是中央的颜色，是君王的服饰。钟，就是种子的意思。天的中数是五【韦昭说：一、三在上，七、九在下】，五对应声音，声音以宫音为首，五声中没有比它更大的。地的中数是六【韦昭说：二、四在上，八、十在下】，六对应律吕，律有形有色，颜色以黄色为首，五色中没有比它更盛的。所以阳气在黄泉中施布种子，滋生萌动万物【师古说：孳与滋同义，滋益的意思；萌，开始生长】，作为六气的元始，用黄色来命名元气。律，是彰显宫声的。宫音以九来唱和六【孟康说：黄钟阳九，林钟阴六，是说阳唱阴和】，变动不居，周流于六虚。始于子位，在十一月。大吕，吕就是旅，是说阴气盛大，旅助黄钟宣通气机而萌发万物。位于丑位，在十二月。太蔟，蔟就是奏，是说阳气大举进发于地而通达万物【师古说：奏，进发的意思】。位于寅位，在正月。夹钟，是说阴气夹助太簇宣通四方之气而产出种子。位于卯位，在二月。姑洗，洗就是洁，是说阳气洗涤万物，必定使之洁净【孟康说：辜，必定的意思，必定使之洁净】。位于辰位，在三月。中吕，是说微弱的阴气开始兴起，尚未显著地显现在其中，旅助姑洗宣通气机以齐整万物。位于巳位，在四月。蕤宾，蕤就是继，宾就是导，是说阳气开始引导阴气，使其继续滋养万物。位于午位，在五月。林钟，林就是君，是说阴气受任助蕤宾君主，使种子生长茂盛【师古说：种物，指种子生长的万物；楙，古茂字；种音之勇反】。位于未位，在六月。夷则，则就是法，是说阳气主持法度，而使阴气夷伤应当伤害的事物【师古说：夷，也是伤害的意思】。位于申位，在七月。南吕，南就是任，是说阴气旅助夷则，任成万物。位于酉位，在八月。无射，射就是厌，是说阳气穷尽万物，而使阴气彻底剥落，终而复始，没有厌倦的时候。位于戌位，在九月。应钟，是说阴气应和无射，该藏万物而杂合阳气闭塞种子【孟康说：阂臧，闭塞的意思，阴气杂合阳气闭塞，为万物作种子。晋灼说：外闭叫阂。师古说：阂音胡待反，下文该阂于亥音训并同】。位于亥位，在十月。

陈氏祥道说：音律起于黄钟，终于中吕。其长短有尺度，其多寡有数目，其轻重有权衡，而万法的本源都完备地防范在这里。黄钟，是建子之月的音律。黄作为颜色，是阴的极盛；钟作为器物，是阴的聚集。阴盛到了极点，那么阳就产生了；阴盛到了止境，那么阳就散发了。因为阴终于亥，而阳才始于子。所以叫黄钟。太蔟，是建寅之月的音律。进入坎位的，必定出于震位；否极的，必定泰来。寅的气正接续震位，泰而泰出滞碍。所以叫太蔟。姑洗，是建辰之月的音律。万物到了辰位就洁净整齐，这种洁净整齐，不是实体，只是暂时如此罢了，所以叫姑洗。蕤宾，是建午之月的音律。阳到了午位就趋向衰败，草木凋零，阴用事而阳为宾客，所以叫蕤宾。夷则，是建申之月的音律。人到了申位而夷平，物到了申位而有成，所以叫夷则。无射，是建戌之月的音律。阴到了戌位而盛，阳到了戌位而不厌，所以叫无射。这些是阳的律，阳道体变以始生万物，所以每律名称不同；阴道体常以效法，所以只止于三钟三吕罢了。大吕，是建丑之月的音律。这是阴律的开始，那么阴之所以配合阳而运行的，在这里最为盛大，所以叫大吕。夹钟，是建卯之月的音律。阳生于子，终于午，那么卯就是阳的中间了。因为它位于中间而止息，所以叫夹钟。中吕，是建巳之月的音律。四时的次序如同伯仲，春为伯，夏为仲，正当这时夏气开始运行，所以叫中吕。林钟，是建未之月的音律。万物的繁茂止于此，所以叫林钟。南吕，是建酉之月的音律。酉正西，气至南而化行于西而成西，所以成就南而运行，所以叫南吕。应钟，是建亥之月的音律。始事的是阳，效法的是阴，阳开始而唱和，阴盛而应和，阴阳之道如此而止，所以叫应钟。《周官》大师掌管六律六同，以合阴阳之声。阳声以黄钟开始，就顺次排列以生之序进发；阴声以大吕开始，就逆次排列以成之序退却。夹钟也叫圜钟，是以春主规圆来说的；林钟也叫函钟，是以坤含容来说的；中吕也叫小吕，是相对于大吕为小而言的；南吕也叫南事，是以成就南为事而言的。分别来说，律言其用，吕言其体，所以阳六为律，阴六为吕。合起来说，都是用来叙述气机的，所以通称为十二律。

李氏光地说：十二律的数目以

译管律得以确立，十二律的名称是以钟来确定的。因为铸造钟来体现律的声音，并作为八音的纲领，所以就用这种器物来命名律。然而只有四律是以钟来命名的，查考《周礼》，祭祀天时，分祭和合祭都以黄钟为长；祭祀地时，分祭以应钟为长【祭祀地主要用阴律】，合祭以林钟为长；在宗庙宴享时，以夹钟为长。这四律最为尊贵，所以特别列出它们。黄，是用中正之色来比喻中正之声。林，是万物到了未月而茂盛如林。夹，是在中间的意思，此时正值中春，是四仲之首。应，是穷尽于上而返回于下，声音与气息无不终始相应。称为吕的，那三个吕，是伴侣、辅助的意思。大吕辅助阳气以生养万物，仲吕辅助阳气以长养万物，南吕辅助阳气以成就万物。钟悬挂的排列从北到南，三个吕之中位置唯独在南，所以叫南吕。不称为钟吕的，五个太簇，是聚集演奏的意思。古人金奏所用，大概在这个时节雷出地奋，威德并行；在律上则是木行商声，仁义并用，所以太簇崇尚盛大演奏。姑洗，是万物开始生长，孤弱稚嫩而洗涤洁净。蕤宾，是正阳之时，万物相见如同宾主酬酢，礼仪容貌茂盛。夷则，是生物已经繁盛，用法律来平定。无射，是阳律的终结，终结就会厌倦懈怠，所以希望它没有厌倦。然而只有黄钟为宫，那么阳气在内，属于信德居中，是德行的极盛；所以太簇则残余的阴气尚且坚固，阳气奋击而出，属于商声和义德；姑洗则生理完全通达，属于角声和仁德；林钟则万物美好，属于徵声和礼德；南吕则万物成就并分别，属于羽声和智德；应钟阳气穷尽而复生，与黄钟同德，为变宫；蕤宾阴气产生而役使于阳，与林钟同德，为变徵。没有不各自有其象数的。这就是黄钟这一律尊贵的原因。

译蕙田按：关于律吕名称的含义，黄钟这一律，在《汉书·律历志》中已有记载，其余各律的解释则意义浅显。朱熹在《生钟律篇》中说这些解释支离破碎、牵强附会，确实不无道理。陈氏的说法颇合阴阳消长之道，似乎更接近本义。但他对太簇的解释，用“泰”来解释“太”，用“出滞”来解释“簇”字，还不够贴切。对姑洗解释为“且然而”，对夷则解释为“物至申而有成”，这都是敷衍字义，没有深意。而无射仍沿用班固的说法，现在我来梳理一下：太簇，太是大，簇是凑集，如同辐辏的辏。大即泰卦中“小往大来”的大，意思是三阳盛大而来汇聚。姑洗，是辰位。辰位属巽卦，巽为洁齐，所以叫洗。姑，就是故。意思是到了这里万物都洗去了旧貌，阳气达到极盛。夷则，夷是伤害。春天主生发，秋天主肃杀。肃杀之事，必须遵循法则。这就是《易经》所说的“利于万物足以调和义理”。无射，射是斁，即消散。阳气到了剥卦将尽的时候，却说没有消散。这就是程子所说的“阳气没有穷尽的道理”，就像十月被称为阳月一样。李氏对南吕的解释是得体的。

以上关于律吕名称含义的论述。

《尚书·舜典》：统一律、度、量、衡。【疏：律是候气的竹管；而度、量、衡这三种法制，都源于律。《汉书·律历志》说：度、量、衡都源于黄钟之律。】

李光地说：律是自然之声，自然之气。它的高低清浊，都有天机的安排；它的长短大小，都有天定的法则。所以可以用它来规范万事，作为根本。自然之道，既然合乎天意，所以立法以天为标准。一管长九寸，三分它以上生下生，都是天定的数。天包涵地一，而蕴含三。三的推演，无穷无尽。这是天的数，律以此为标准。所以日月星辰，都记载于天；度量权衡，都记载于律。日有度的意义，日影长短，随时间进退，就是这样。律的外部分属阳，度由此产生。所以它的法则以十为比率，是十干之节，到九十而一气完备。月有量的意义，接受日光，有满有亏，就是这样。律的内部分属阴，量由此产生。所以它的法则是一分的平方，十三黍有余。月每天退去天的一分，到一千二百黍而一龠形成。斗有权衡的意义，随时高低，斟酌余分，就是这样。长短多寡，都以轻重来断定，权由此产生。所以它的法则是合龠为二十四铢，成两；十六两成斤；三十斤成钧；四钧成石。三十二日闰一日，三十二月闰一月，四次闰月而交食一个周期的数。《礼记·大人》说制定法则，必须以天地为根本，以日星为纲纪，以月为量，以四时为柄。本，是指律为万事根本；纪，是指度；量，是指量；柄，是指权衡。所以协调时月正日，与统一律度量衡，其道相互经纬。

蕙田按：律说，统一，那么当时的律管已有长短，乐声有高下清浊的差异了。所以后世考订律吕，必须以黄钟真度为根本，其义理已见于此。

《周礼·春官·典同》：凡是制作乐器，以六律作为度数，以十二声作为齐量。【注：度数，指广长。疏：以十二律作为度数，依据《律历志》说：古代的神瞽，度量律吕均定钟音，以律计算倍半，作为钟口的直径及上下之数，从外十二辰头，都以管长短计算，可知所以说度数指广长。广指口径，长指上下。】

【郑锷说：制作乐器，用十二律作为度数，那么长短多寡由此产生；用十二声作为齐量，那么小大轻重由此而定。】

【王某说：数本源于黄钟，始于一，而三之，经历十二辰，五数完备。它的长是度的起源，其余各律都由此产生。所以凡是制作乐器，以十二律作为度数。】

【方苞说：齐与食医所和的齐同义，指其分际。大概是以十二律的数为众器的度，以十二声的齐为众器的量。度必以律的数，正如《礼记》所说百度得数而有常。】

【蔡德晋说：度数指长短广狭，以管的尺寸为准则。齐量指清浊高下，以管的声音为准。和乐指调其众器之声，使之谐和。凡一十百千万等谓之数，尺寸分厘毫丝忽微纤等谓之度，于本律之声均齐谓之齐，于上下律之声分差等谓之量。所以典同，是主管以律吕和同乐器音声的。】

蕙田按：经文说，凡是制作乐器，言凡则八音之器都统括在内，诸儒的说法是对的。注疏将“同”改为“铜”，于是专门以均钟度数解释，这就错了。此“典同”所言，乃是后世造律制乐的纲领。

《国语·周语》伶州鸠说：“律所以立均出度也。【注：律指六律六吕。均，指均钟木，长七尺有余，系之以均钟者，度指钟的大小清浊。汉代大予乐官有之。】古之神瞽考中声而量之，以制度律均钟，百官轨仪，纪之以三。【注：三者天地人。古者纪声合

译用音乐来舞蹈，祭祀天神、地祗和人鬼，因此能使神与人和谐。朱子说：这里大概是指三分损益的方法，用六律来调和，形成十二律，这是天的规律。

译李光地说：律，就是法度，万事都取法于它。均，就是平正，各种声音都取平正于它。从黄钟到应钟，都是中正之声。神瞽在心中获得中正之声，而在制度之间进行度量，所以将声音寄托于律管，又将声音铸造于钟上。而所有百官的职责，如所谓的度量衡等，都由此取法。这就是律兴起的原因。度律均钟，就是所谓的立均。百官轨议，就是所谓的出度。用三来纪数，就是置一而三之，穷尽于十七万七千一百四十七。六，是指六律。十二，是指律与吕。用三来纪数，用十二来成就，都是神瞽所度量制定而产生的。我认为：这条论述律最为精妙，大概是必须考察中正之声而后度量制定，不能拘泥于制度而寻求中正之声。后世的作者，折衷于此就可以了。

蕙田按：律吕的数理见于此处，这是各种数理的起源。太极元气，包含三而为一，参天倚数，直径一而周长三，所以用三来纪数，就是黄钟的数理，用来推行其变化。太极生两仪，两仪生四象，坤卦用六，是两地的数理，所以用六来平正，就是黄钟的数理，用来成就其化育。天有十二次，地有十二辰，一年有十二月，所以成就于十二，是律吕的全数。明白了三的纪数，那么天地人三统，上生下生，三分损益的方法，都包括在内了。明白了六的平正，那么阳有六律，阴有六吕，歌奏六均，以及倍其实、四其实的方法，都包括在内了。明白了成就于十二，那么十二月的律应十二辟卦气，以及宫均十二，都包括在内了。至于调成而为六十，就是五其十二；加二变为八十四，就是七其十二。六十调，是五声的正调；八十四声，是七音的变声。合五与七，也就是十二。这是律吕之所以大成的原因。这三句话，是后世算数、均律的规范。

《汉书·律历志》：黄帝派泠纶自大夏以西，昆仑之北，在解谷取竹，竹节中空，厚薄均匀的，截取两节之间吹奏，作为黄钟之宫，制作十二根竹管，来听凤凰的鸣叫。雄凤鸣叫为六，雌凤鸣叫也为六，比照黄钟之宫而都可以相生，这就是律的根本。【颜师古说：黄钟之宫，是律中最长的。比照合和可以相生，是指上下相生，所以称为律本】

《律吕正义》黄钟理数篇：司马迁《律书》说：“神生于无，形成于有，形成之后数理显现而产生声音。神，是天地的元气，发出元声的。无形的是理，有形的是数。这话意思是如果没有理，数理就没有产生的缘由。”又说：“核实其数理真理的就明白了。华，就是数理；道，就是理。意思是必须核实数理的真理，才能得以看见。”有黄钟之声，必有黄钟之数；有黄钟之数，必有黄钟之理。如果不能阐明其理，就无法精求其数；无法精求其数，就无法得其声。大概理是数的本体，数是理的作用。只有理与数相生，所以人声与乐器相协调，而大乐就成就了。按《律吕新书》：黄钟九寸，空围九分，积八百一十分。注说：“天地之数，始于一，终于十。其中一、三、五、七、九为阳，九是阳的完成；二、四、六、八、十为阴，十是阴的完成。黄钟是阳声的开始，是阳气的发动，所以它的数是九。分寸的数理，具备在声气的本源中，不可得而见。等到截竹为管，吹之而声音和谐，候之而气应和，而后数理才显现。均其长度，得到九寸；审其周长，得到九分；积其实体，得到八百一十分。长九寸，围九分，积八百一十分，这是律的根本，度量权衡，从此取法。其他十一律由此而损益。”朱熹认为：“本原第一章围径的数理，是最大的关键。”大概上古圣人心通造化，默识中正之声，制定为黄钟，恰好符合天地自然的数理。汉、晋以后，凡是潜心研究律吕的人，因为不详细考察黄钟的真实尺度，所以中正之声无从得到。现在想要确定黄钟的管，必须先确定黄钟的尺度；既得到黄钟的尺度，再考察其周长、直径、面积、体积的相生，并用容纳黍粒的多寡来比较，然后制作器具，审察音律，一一吻合，那么出于自然的理，无不归于大同了。

蕙田按：这是说黄钟是律吕的根本。

《淮南子》说：规矩始于一，一不产生，所以分为阴阳。阴阳合和而万物产生，所以说：“一生二，二生三，三生万物。”三参物，三三如九，所以黄钟的律九寸而宫音调。因而九之，九九八十一，所以黄钟的数理确立。律的数理六分，分为雌雄，所以说：“十二钟以配十二月。”十二各以三成，所以置一而十一三之为积，分十七万七千一百四十七。黄钟的大数确立。

【李光地说：律，是纪阳的。所以用黄钟的长度为九寸，又因而八十一为黄钟之数，又积之十七万七千一百四十七为黄钟】

译这是大的数目。这些数目都是用三去乘而得到的。大概八十一这个数，是用来作为五声相生的法则的；十七万七千一百四十七这个数，是用来作为十二律相生的法则的。五声穷尽于角，它的数目是六十四；十二律穷尽于仲吕，它的数目是一十三万一千七十二，这都是三分损益法所不能推行的。所以声律在这里就穷尽了。之所以这样，是因为从一到八十一，经历了五个位次，这就是五声相生之所以穷尽于五的原因；从一到十七万七千一百四十七，经历了十二个位次，这就是十二律相生之所以穷尽于十二的原因。

译《史记·律书》说：“设置一个基数，连续乘以九次三，以此作为法则。”【注：司马贞《索隐》说：“《汉书·律历志》记载：太极元气，包含三才合为一，运行于十二时辰，始于子位发动，在丑位乘以三，得到三；又在寅位乘以三，得到九，这就是所说的‘设置一个基数而连续乘以九次三’。”韦昭说：“设置一个基数为一，乘以九，再用三去乘，这是正确的。”】实际数值除以法则，得到长度【衍文】一寸【衍文】。【注：司马贞《索隐》说：“‘实’指的是从子位的一乘以丑位的三，一直乘到亥位，得到十七万七千一百四十七作为实际数值；‘数如法’指的是用一万九千六百八十三这个法则去除实际数值，得到九，这就是黄钟的长度。说‘得一’，是算术设定法则的术语。‘得’字下面有‘长’字，‘一’字下面有‘寸’字，都是衍文。”韦昭说：“得到九寸之一。”姚氏认为：“得一就是黄钟的子数。”】总共得到九寸，命名为黄钟之宫。

惠田按语：黄钟的法则，没有比《史记·生钟术》更详细的了。《生钟术》分为两章，而这条记载讲述了黄钟得出数值的起始，实际上是律吕算术的根本。算术的根本，就是设置一个基数而连续乘以九次三。所谓“置一”，指的是一分，而不是一寸。“实如法得一”，也是得到一分，而不是一寸。总共得到九寸，这里的“寸”，是借用尺度的名称，并非分寸中的寸。司马贞《索隐》认为“得一”是算术设定法则的术语，“长”字和“寸”字都是衍文。古代方法代代相传，必定有依据。这句话确实阐明了黄钟算术的奥妙含义。能明白这个含义，自然就知道黄钟的“得一”是指一分，九寸是指九分，乃是制造律度十分中的九分，而不是尺度分寸中的九寸，那么后世那些谈论九寸、十寸的人，就总没有理由去争论纷扰，而黄钟的真正尺度就可以得到了。我朝

御制《律吕正义》论述黄钟律时说：“黄钟的长度为九寸，不是夏尺的九寸，商尺的九寸，也不是历代各种尺度的九寸，而是原本制造律度十分中的九分。以八寸一分作为法则，古代圣人确定黄钟，大概是契合九九天数的完整来确立尺度，阐述精辟详尽。所谓心通造化，默识神明，正与此注吻合，可以说是前后圣人标准一致。”

又按：得到一万九千六百八十三，作为九寸，这不是累积十分为一寸的寸。又何必拘泥于九分为一寸呢？更怎么可以加一寸为一尺呢？这是“设置一个基数而连续乘以九次三”的寸法。

《汉书·律历志》：太极元气，包含三才合为一，是极中，是元始。运行于十二时辰，始于子位发动，在丑位乘以三，得到三；又在寅位乘以三，得到九；又在卯位乘以三，得到二十七；又在辰位乘以三，得到八十一；又在巳位乘以三，得到二百四十三；又在午位乘以三，得到七百二十九；又在未位乘以三，得到二千一百八十七；又在申位乘以三，得到六千五百六十一；又在酉位乘以三，得到一万九千六百八十三；又在戌位乘以三，得到五万九千四十九；又在亥位乘以三，得到十七万七千一百四十七。这是阴阳合德，气聚于子位，化生万物的表现。《律吕新书》黄钟寸分数法：子一【黄钟之律】丑三【作为丝的法】寅九【作为寸的数】卯二十七【作为毫的法】辰八十一【作为分的数】巳二百四十三【作为厘的法】午七百二十九【作为厘的数】未二千一百八十七【作为分的法】申六千五百六十一【作为毫的数】酉一万九千六百八十三【作为寸的法】戌五万九千四十九【作为丝的数】亥十七万七千一百四十七【黄钟的实际数值】

蔡氏元定说：“考察黄钟九寸，以三分为损益，所以用三遍历十二时辰，得到十七万七千一百四十七作为黄钟的实际数值。这十二时辰所得的数值，在子、寅、辰、午、申、戌六个阳辰，是黄钟寸、分、厘、毫、丝的数值；在亥、酉、未、巳、卯、丑六个阴辰，是黄钟寸、分、厘、毫、丝的法。其寸、分、厘、毫、丝的法，都用九数，所以九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸，九寸为黄钟。大概黄钟的实际数值十七万七千一百四十七，用三约分作为丝的是五万九千四十九，用二十七约分作为毫的是六千五百六十一，用二百四十三约分作为厘的是七百二十九，用二千一百八十七约分作为分的是八十一，用一万九千六百八十三约分作为寸的是九。由此通过三分损益生出十一律。有人说：‘直径和周长的分以十为法，而相生的分、厘、毫、丝以九为法，为什么呢？’回答说：‘以十为法，是天地完整的数；以九为法，是因为三分损益而设立的。完整的数，就是从十中取九；相生的数，是将十约分为九。从十中取九，是本体得以确立的原因；将十约分为九，是功用得以施行的原因。本体，是用来确定中声的；功用，是用来生出十一律的。’”

又说：《淮南子》说设置一个基数而连续乘以十一次三，作为黄钟的大数，就是这里说的设置一个基数而连续乘以九次三，作为寸法，它们的术数是一样的。既然设置一个基数而连续乘以九次三，是作为寸法，那么七次三作为分法，五次三作为厘法，三次三作为毫法，一次三作为丝法，由此可以推知了。《律书》只列举寸法，大概是因为

译黄钟律内默具了分、厘、毫、丝的度量法则，又在这种律数之下指出其较大的单位，以阐明凡例。一乘以三得到三，三乘以三得到二十七，五乘以三得到二百四十三，七乘以三得到二千一百八十七，九乘以三得到一万九千六百八十三。所以一万九千六百八十三除以九，就是二千一百八十七；再除以九，就是二百四十三；再除以九，就是二十七；再除以九，就是三。三就是丝的法则。九乘以三得到二十七，就是毫的法则；九乘以二十七得到二百四十三，就是厘的法则；九乘以二百四十三得到二千一百八十七，就是分的法则；九乘以二千一百八十七得到一万九千六百八十三，就是寸的法则。一寸等于九分，一分等于九厘，一厘等于九毫，一毫等于九丝，用这些来推演十二律，用这些来推演五声，二变音上下乘除参同契合，无所不通，这大概是数字的自然规律。然而自从淮南王、太史公之后，就没有人懂得其中的意旨了。比如京房的六十律，虽然也相同于十七万七千一百四十七这个数字，但他却说不足一寸的十分之一所得为分，不足一分的十分之一所得为小分，其余的为强弱，不知道黄钟九寸以三为损益，数字不出九，如果不足一分的要用十去分，那么那些零余数永远无法除尽，虽然泛泛地用强弱来概括，但最终无法看出强弱具体是多少，那么这种精密的数字，本来就无法记载了。至于杜佑、胡瑗、范仲淹等人，则不再知道有这个数，而凭主观臆断强行制定法则，所以《通典》从南吕以下各自为法，本来就无法看到分、厘、毫、丝的实际。胡瑗、范仲淹则只用八百一十分，这是用积实生量的数字作为律的长度，而其乘除的方法也使用十进制，所以其余的算法也都舍弃不录，大概不是有意要舍弃，实在是因为重分累析到了无法记载的地步，所以有所不能记录罢了。黄钟律内默具了分、厘、毫、丝的度量法则，又在这种律数之下指出其较大的单位，以阐明凡例。一乘以三得到三，三乘以三得到二十七，五乘以三得到二百四十三，七乘以三得到二千一百八十七，九乘以三得到一万九千六百八十三。所以一万九千六百八十三除以九，就是二千一百八十七；再除以九，就是二百四十三；再除以九，就是二十七；再除以九，就是三。三就是丝的法则。九乘以三得到二十七，就是毫的法则；九乘以二十七得到二百四十三，就是厘的法则；九乘以二百四十三得到二千一百八十七，就是分的法则；九乘以二千一百八十七得到一万九千六百八十三，就是寸的法则。一寸等于九分，一分等于九厘，一厘等于九毫，一毫等于九丝，用这些来推演十二律，用这些来推演五声，二变音上下乘除参同契合，无所不通，这大概是数字的自然规律。然而自从淮南王、太史公之后，就没有人懂得其中的意旨了。比如京房的六十律，虽然也相同于十七万七千一百四十七这个数字，但他却说不足一寸的十分之一所得为分，不足一分的十分之一所得为小分，其余的为强弱，不知道黄钟九寸以三为损益，数字不出九，如果不足一分的要用十去分，那么那些零余数永远无法除尽，虽然泛泛地用强弱来概括，但最终无法看出强弱具体是多少，那么这种精密的数字，本来就无法记载了。至于杜佑、胡瑗、范仲淹等人，则不再知道有这个数，而凭主观臆断强行制定法则，所以《通典》从南吕以下各自为法，本来就无法看到分、厘、毫、丝的实际。胡瑗、范仲淹则只用八百一十分，这是用积实生量的数字作为律的长度，而其乘除的方法也使用十进制，所以其余的算法也都舍弃不录，大概不是有意要舍弃，实在是因为重分累析到了无法记载的地步，所以有所不能记录罢了。

译朱熹说：“十二律在寸、分、厘、毫、丝这些单位上的数值，郑玄的说法与太史公的说法不同。太史公的两种说法又各自存在差异。郑玄所说的，是衡量分寸的正规方法；太史公所说的，是为了便于进行三分损益计算，而设立的权宜之法。大概律管的长度，以九为根本，上下相生，以三为法则。而郑玄所用的正规方法，将一寸分为十分，其下将分分为厘，将厘分为毫，将毫分为丝，将丝分为忽，都必定以十为进位，那么在计算损益的时候，都会有余数，即使有巧妙的历法推算，终究不能穷尽，因此从分以下，就无法再细分，而是直接用九相乘，经历十二个律管，直到将一寸分为一万九千多分，然后才大致可以记录。然而这也苦于难以记忆且容易出错，终究不如太史公的方法能抓住要领且易于考证。因为太史公以子为一，将十一乘以三，一直到亥，得到十七万七千一百四十七这个数值，那么子就是全律的数值，亥就是全律的实数，这就可知了。以寅作为子的寸数，而酉作为寸的法则，那么律有九寸就可知了。以辰作为子的分数，而未作为分的法则，那么寸有九分就可知了。以午作为子的厘数，而已作为厘的法则，那么分有九厘就可知了。以申作为子的毫数，而卯作为毫的法则，那么厘有九毫就可知了。以戌作为丝数，而丑作为丝的法则，那么毫有九丝就可知了。往下到忽，也依据丝数乘以九，虽然是权宜之计，但不妨碍它符合自然的数理。用它来进行三分损益，那么三分的数值，整齐简捷，容易记忆且不会出错。其中说‘黄钟八寸十分一’的，也是遵循这个意思，只是用正规方法的数值去对应权宜方法的分数，所以有所不同罢了。其实质并没有差异。”

蕙田按：蔡氏以九作为起算基础，不仅仅是掌握了太史公的方法，实在是领悟了黄钟律度作为万事根本的奥妙内涵。黄钟以九为根本，以三为运用，神妙自然，乃是造化的奥秘机理。它所说的九寸，不过是假借尺度的名称，来记录损益乘除的数值，而与尺度中积十为分、积分为寸的寸，截然不同。朱熹称之为假设的权宜之法，可以说抓住了其意旨，并与《史记》的注解相合。但他只称其数值整齐简捷，比郑法难以记忆且容易出错要好。却不知道黄钟自然的数理，妙合天成，因此生律生声，穷尽其至而没有不通达的。如果郑玄用分寸审度的方法，拘泥推测，不仅与律度的根本相差天壤之别，即使其算数也难以记忆且不可行。唉！黄钟的奥蕴，朱熹尚且未能完全窥见，哪里奇怪算数家们纷纷争执阻碍，揣摩拟议而形成万世不决的疑惑呢？不是大圣人，谁能心领神会并与之契合呢！

以上关于黄钟实数的论述

《史记·律书》：“生钟分子一分，丑三分二，寅九分八，卯二十七分十六，辰八十一分六十四，巳二百四十三分一百二十八，午七百二十九分五百一十二，未二千一百八十七分一千二十四，申六千五百六十一分四千九十六，酉一万九千六百八十三分八千一百九十二，戌五万九千四百四十九分三万二千七百六十八，亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。”

《律吕新书》：这就是三分损益，上下相生的数值。其中‘分’字以上的，都是黄钟的全数；‘分’字以下的，是各律从黄钟中取用的长短数值。其上下相生的顺序，就是《晋志》所说的：“在六律为阳，则当位自得，而下生于阴；六吕为阴，则得其所冲，而上生于阳”的意思。大吕、夹钟、仲吕只得到半声，必须使用倍数，才能与天地之气相应。其寸、分、厘、毫、丝，都是积九作为法则。

《史记·生钟术》说：以下生者，加倍其实数，三倍其法则【索隐说：以下生者，是指黄钟下生林钟。黄钟长九寸，加倍其实数，二九十八。三倍其法则，以三为法则约分，得到六，作为林钟的长度】；以上生者，四倍其实数，三倍其法则【索隐说：四倍其实数，是指林钟上生太簇。林钟长六寸，以四乘六得到二十四，以三约分得到八，即为太簇的长度】

《律吕新书》黄钟生十一律的数值：子一分【一为九寸】丑三分二【一为三寸】寅九分八【一为一寸】卯二十七分十六【三为一寸，一为三分】辰八十一分六十四【九为一寸，一为一分】巳二百四十三分一百二十八【二十七为一寸，三为一分，一为三厘】午七百二十九分五百一十二【八十一为一寸，九为一分，一为一厘】未二千一百八十七分一千二十四【二百四十三为一寸，二十七为一分，三为一厘，一为三毫】申六千五百六十一分四千九十六【七百二十九为一寸，八十一为一分，九为一厘，一为一毫】酉一万九千六百八十三分八千一百九十二【二千一百八十七为一寸，二百四十

译三为一分，二十七为一厘，三为一毫，一为三丝；戌五万九千四十九分三万二千七百六十八，六千五百六十一为一寸，七百二十九为一分，八十一为一厘，九为一毫，一为一丝；亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六，一万九千六百八十三为一寸，二千一百八十七为一分，二百四十三为一厘，二十七为一毫，三为一丝，一为三忽。

译蔡氏元定说：“黄钟生出十一律，子、寅、辰、午、申、戌这六个阳辰都是向下生律，丑、卯、巳、未、酉、亥这六个阴辰都是向上生律。那些用三去历遍十二辰的，都是黄钟的完整数值；那些阴数加倍的【即算法中加倍其实际数值】，是将本律分为三份而减去一份。阳数用四的【即算法中四倍其实际数值】，是将本律分为三份而增加一份。六个阳辰当位自然得到，六个阴辰则居于其冲位。其中林钟、南吕、应钟这三个吕律在阴位没有增减；而大吕、夹钟、仲吕这三个吕律在阳位，则使用倍数，才能与十二个月的气候相应。大概阴顺从阳，是自然的道理。”

十二律的实际数值：子，黄钟十七万七千一百四十七，全九寸半无；丑，林钟十一万八千□□九十八，全六寸半三寸不用；寅，太簇十五万七千四百六十四，全八寸半四寸；卯，南吕十□万四千九百七十六，全五寸三分半二寸六分不用；辰，姑洗十三万九千九百六十八，全七寸一分半三寸五分；巳，应钟九万三千三百一十二，全四寸六分六厘半二寸三分三厘不用；午，蕤宾十二万四千四百一十六，全六寸二分八厘半三寸一分四厘；未，大吕十六万五千八百八十八，全八寸三分六厘六毫半一寸一分八厘三毫；申，夷则十一万□□五百九十二，全五寸五分五厘一毫半二寸七分二厘五毫；酉，夹钟十四万七千四百五十六，全七寸四分三厘七毫三丝半三寸六分六厘三毫六丝；戌，无射九万八千三百□□四，全四寸八分八厘四毫八丝半二寸四分四厘三毫四丝；亥，仲吕十三万一千□□七十二，全六寸五分三毫四丝六忽【余二算】半三寸二分八厘六毫二丝二忽。

蔡氏元定说：“十二律的实际数值，约以寸来衡量，则黄钟、林钟、太簇得到整寸；约以分来衡量，则南吕、姑洗得到整分；约以厘来衡量，则应钟、蕤宾得到整厘；约以毫来衡量，则大吕、夷则得到整毫；约以丝来衡量，则夹钟、无射得到整丝。至于仲吕的实际数值十三万一千七十二，用三去除，余下二，计算其数值无法整除。这就是律之所以止于十二的原因。”

惠田按：生钟分十二辰分字，以上黄钟几分之数也。分字以下诸律，于黄钟之数取其几分也。二与八与十六与六十四诸数，阳生阴者倍其实，阴生阳者四其实也。子，黄钟也，一分者九寸也。丑，林钟也，分黄钟九寸为三分，每分三寸，取二分得六寸也。寅，太簇也，分黄钟九寸为九分，每分一寸，取八分得八寸也。卯，南吕也，分黄钟九寸为二十七分，每三分为一寸，取十六分得五寸三分三厘三毫三丝三忽也。辰，姑洗也，分黄钟九寸为八十一分，每九分为一寸，取六十四分得七寸一分一毫一丝一忽也。巳，应钟也，分黄钟九寸为二百四十三分，每二十七分为一寸，取一百二十八分得四寸七分四厘零四丝七忽也。午，蕤宾也，分黄钟九寸为七百二十九分，每八十一分为一寸，取五百一十二分得六寸三分二厘九丝八忽也。未，大吕也，分黄钟九寸为二千一百八十七分，每二百四十五分为一寸，取一千二十四分得四寸二分一厘三毫为半大吕，倍之得八寸四分二厘七毫也。申，夷则也，分黄钟九寸为六千五百六十一分，每七百二十九分为一寸，取四千九十六分得五寸六分一厘八毫六丝五忽也。酉，夹钟也，分黄钟九寸为一万九千六百八十三分，每二千一百八十七分为一寸，取八千一百九十二分得三寸七分四厘五毫七丝为半夹钟，倍之得七寸四分九厘一毫五丝也。戌，无射也，分黄钟九寸为五万九千四十九分，每六千五百六十一为一寸，取三万二千七百六十八分得四寸九分九厘四毫也。亥，仲吕也，分黄钟九寸为十七万七千一百四十七分，每一万九千六百八十三分为一寸，取六万五千五百三十六分得三寸三分二厘九毫为半仲吕，倍之得六寸六分五厘九毫也。

《考津绪言》吴氏鼎说：生钟分之分，即算家分母分子之分法。为分母十二，分字以上皆分母也，即三其法之法也。实为分子，分字以下皆分子也，即倍其实四其实之实也。总括之不过三分损益四字。试置黄钟为实，三分而损其一为林钟；置林钟为实，三分而益其一为太簇；置太簇为实，三分而损其一为南吕；置南吕为实，三分而益其一为姑洗。此其为数，与夫置黄钟为

译以黄钟为基数，将其三等分取其二，得到林钟；以黄钟为基数，将其九等分取八，得到太蔟；以黄钟为基数，将其二十七等分取十六，得到南吕；以黄钟为基数，将其八十一等分取六十四，得到姑洗。这两种方法本质上并无不同。按照前一种方法，十二律依次互为母律，而不以黄钟作为共同的母律；按照后一种方法，虽然也是依次互为母律，但实际上是以黄钟作为共同的母律。既然有了生成各律的数值，十二律的长短自然显现，原本就不必设立寸、分、厘、毫等名称来互相拘泥。至于探究这些数值的实际用途，那么生成钟律的分数就是律的源头，是确定律度的根本，应用于乐器制作，都能涵盖其中而不超越，这难道是没有实际用处而只是空谈吗？

译吴氏鼐说：《史记》记载，下生之法是将实数加倍，分母乘以三；上生之法是将实数乘以四，分母乘以三。按：阳数起于一，阴数起于二。一，是一倍实数的根本；二，是四倍实数的根本。设置一，然后十一三之，这是三分法的根本。黄钟为一，则林钟为二；太簇为八，则南吕为十六；姑洗为六十四，则应钟为一百二十八；蕤宾为五百十二，则大吕为一千二十四；夷则为四千九十六，则夹钟为八千一百九十二；无射为三万二千七百六十八，则仲吕为六万五千五百三十六。这就是下生者加倍实数的情况。林钟为二，则太簇为八；南吕为十六，则姑洗为六十四；应钟为一百二十八，则蕤宾为五百十二；大吕为一千二十四，则夷则为四千九十六；夹钟为八千一百九十二，则无射为三万二千七百六十八。这就是上生者四倍实数的情况。生钟的分量，从子到一十七万零，都是黄钟的实数。于是十一律由黄钟生出，而以黄钟为母。如果以阴阳各分六份来看，那么一是六律之母，二是六吕之母。又有五律以黄钟为母，五律以林钟为母。如果以律取妻而吕生子，依次推演，则依次互为母。所以设置一而十一三之，是黄钟；设置二而十三之，是林钟；设置八而九三之，是太簇；设置十六而八三之，是南吕；设置六十四而七三之，是姑洗；设置一百二十八而六三之，是应钟；设置五百十二而五三之，是蕤宾；设置一千二十四而四三之，是大吕；设置四千九十六而三三之，是夷则；设置八千一百九十二而两三之，是夹钟；设置三万二千七百六十八而一三之，是无射。到了亥位则极静，不能再分了。所以仲吕六万五千五百三十六，就是黄钟三分损益的极数。凡此都是参天的数。加倍实数，四倍实数，是两地的数。这就叫做参天两地而倚数。

李氏光地说：天地之间，有理、气、声、形、数，显隐之间没有间隙。大概气是理的作用；形声是气的变化；而数是形声的纲纪。乐律的道理，其数相生，所以其气相生；其气相生，所以其声也相生，而没有不应和的。它必定以九为纲纪，是什么数之所以推演而不穷尽，气之所以运行而不停息呢？它必定以六为成，是什么数之推演所以有节制，而气之运行所以有裁度呢？《易经》卦象尊崇阳而用九，乐律也尊崇阳而用九，所以穷尽则变，变则通达，是用九的奥妙。《易经》卦象居阴而用六，乐律也居阴而用六，所以先后有序，刚柔有偶，是用六的功效。黄钟的律，长九寸，面积九分，积其长八十一分，积其面积八百一十分，没有不是九九的作用。所以它的道循环，而与元气始终，成于六律，究于十二管，衍于六十调，行于三百六十声，没有不是六六的作用。所以它的道有常，而与天地相似。然而数有阻碍，则在气上有滞碍；数有差错，则在气上有乖逆，这也是自然的道理了。

惠田按：黄钟是律吕的根本，为什么呢？律，就是法度。黄钟，是法度的根本。法度，是什么？是阴阳的道理。阳变而声音的道理由此产生，这就是律；阴合而声音的作用完备，这就是吕。阳包乎阴，吕也是律。所以说六律，黄钟是六律的开始，是声音的法度。黄钟为什么是声音的法度？黄钟九寸，九九八十一分，这是它的法度。九寸为什么是法度？寸，是假借度量的名称，九是它的法度。九为什么是法度？九，是乾卦老阳的界限，是参天的数。参天，是指直径一而周长三，数起于一，行于三，一三而三，三三而九，九则复归为一，到了九则数完备了。九，是三三的数。所以黄钟的数用九。它用九是什么？用九，就是用三；用三，仍然是用九。以三用九，所以黄钟的实数：子一，丑三，寅九，卯二十七，辰八十一，巳二百四十三，午七百二十九，未二千一百八十四，申六千五百八十一，酉一万九千六百八十三，戌五万五千□□四十九，亥十七万七千一百四十七。它依次增加的数都是三，它的总数都是九。它必定以三依次增加而从子到亥，是什么？从子到亥，寸、分、厘、毫、丝的数与法都完备了。它必定具备寸、分、厘、毫、丝的法与数，是什么？是为了生出十一律而校正五音。十一律为什么生出？阴阳的道理，自然而生。阴阳为什么生？阴阳互根。阴阳互根，阳多而阴少，所以阳三分而损一以生阴，就成为吕；吕三分而益一以生阳，又成为律。或上或下，不得不生。不得不生，是因为黄钟以三用九的数，必定要达到十二。必定要达到十二，是因为天的时辰十二，次岁的纪十二月，地的方位十二位，是阴阳自然的数。然而

译为什么只到十二律就停止了呢？因为它的数理无法继续推演。数理为什么无法推演？因为亥位对应的是仲吕。仲吕的实际数值是十三万一千七十二，用三分损益法计算时，余数不尽，剩下两个算筹，所以无法继续推演。这就是黄钟之所以只生出十一律，从而形成十二律的原因。这就好比八卦由八变六十四，大衍之数有一千五百二十，而实际使用的只有四十九。那么，为什么正五音是这样确定的呢？黄钟的数值九九八十一作为宫音，三分减一产生徵音五十四，徵音三分加一产生商音七十二，商音三分减一产生羽音四十八，羽音三分加一产生角音六十四，这样五音就完备了。五音为什么完备了呢？因为它们可以轮流作为宫音，从十二均到六十调，加上两个变音成为七音，共八十四声。它们相生的数值，都源于黄钟的数值。为什么以黄钟的数值为基础呢？因为都基于九，都遵循三分损益的原则。三分损益是什么意思呢？就是加倍它的实际数值，也就是四倍它的实际数值。加倍它的实际数值，四倍它的实际数值，意味着一生二，二生四，这是地的数理。黄钟的数值是九，为什么会有地的数理呢？因为阳可以兼含阴，阴不能兼含阳，所以黄钟的数值只用九。使用九，天下的数理就完备了，哪里只是律吕如此呢？那么，为什么把黄钟定为十寸呢？回答说：不对。黄钟九寸，是法则，不是度量；十寸，是度量，不是法则。度量产生于法则，法则不产生于度量。为什么把黄钟定为九寸，而一寸又分为十分呢？回答说：也不对。十分，是度量的分法，不是法则的分法。为什么把黄钟定为九寸，而一寸又分为九分呢？回答说：看似有理，实则不对。分，是法则的分法，只是借用了寸、分、厘、毫、丝的名称，来记录黄钟损益乘除的数值，并施行九九的法则，实际上并不是寻找丈、尺、寸、分的度量。所以，有人认为它是九而不是十，有人认为它是十而不是九，有人认为它既可以是九也可以是十，这都是拘泥于尺度，不知道律是法则；不知道黄钟是法则的根本；不知道黄钟是律吕的根本。

译右边是黄钟生出其余十一律。

《淮南子》说：黄钟向下生出林钟，林钟向上生出太簇，太簇向下生出南吕，南吕向上生出姑洗，姑洗向下生出应钟，应钟向上生出蕤宾，蕤宾向上生出大吕，大吕向下生出夷则，夷则向上生出夹钟，夹钟向下生出无射，无射向上生出仲吕，仲吕到了极点就不再生了。

惠田按：蕤宾、夷则、无射这三律都是向下生的，这是律吕的根本法则。因为这与阴阳修短之气不相符合，所以大吕、夹钟、仲吕都使用倍律。这部《淮南子》中蕤宾再次向上生，是计算律吕的防止错误的方法，历代大多推崇它。两种律法虽然不同，但得到的寸数是一致的。

《前汉书·律历志》说：黄钟的长度，三分减去一分，向下生出林钟；三分林钟增加一分，向上生出太蔟；三分太蔟减去一分，向下生出南吕；三分南吕增加一分，向上生出姑洗；三分姑洗减去一分，向下生出应钟；三分应钟增加一分，向上生出蕤宾；三分蕤宾减去一分，向下生出大吕；三分大吕增加一分，向上生出夷则；三分夷则减去一分，向下生出夹钟；三分夹钟增加一分，向上生出无射；三分无射减去一分，向下生出仲吕。阴阳相生，从黄钟开始。八八为伍。

【吴氏鼐说：《汉书》中蕤宾向下生出大吕，使用倍数，仍然与向上生相同，夷则、无射这两律也是如此。说法源自《史记》，大概是相生的正确法则。这与《淮南子》的生法不同，但得到的数值相同】

《吕氏春秋》说：黄钟生出林钟，林钟生出太蔟，太蔟生出南吕，南吕生出姑洗，姑洗生出应钟，应钟生出蕤宾，蕤宾生出大吕，大吕生出夷则，夷则生出夹钟，夹钟生出无射，无射生出仲吕。三分所生，增加一分是向上生；三分所生，去掉一分是向下生。黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾属于上；林钟、夷则、南吕、无射、应钟属于下。

【吴氏鼐说：《晋书》说吕不韦的《春秋》记载黄钟的宫音，是律的根本。向下生出林钟，林钟向上生出太蔟，太蔟向下生出南吕，南吕向上生出姑洗，姑洗向下生出应钟，应钟向上生出蕤宾，蕤宾向下生出大吕，大吕向下生出夷则，夷则向上生出夹钟，夹钟向下生出无射，无射向上生出仲吕。三分所生，增加一分是向上生；三分所生，减去一分是向下生。后来说律的人，大多推崇这个说法。根据《晋书》所载，与《吕览》原文不同。现在仔细推究，《吕览》原文有错字，应当是黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾属于下；林钟、夷则、南吕、无射、应钟属于上。《晋志》是对的。防止《晋志》所引蕤宾使用倍数，仍然同《淮南》陈氏《乐书》本《吕览》。《淮南》王安建立蕤宾再次向上生的议论，是郑康成的说法。这个说法非常错误，他大概是依据黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾属于上一语，而认为蕤宾是向上生罢了。蕤宾既然向上生，那么黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕难道都是向上生吗】

惠田按：看吴氏的说法，足以订正《吕览》的文字有误。

郑康成说：“阳管称为律，阴管称为吕。分布十二时辰，子位是黄钟。管圆九分而长九寸，同位取妻，隔八生子。向下生的三分去掉一分，向上生的三分增加一分。黄钟是乾卦的初九。隔八而向下生出林钟，是坤卦的初六。林钟又隔八而向上生出太蔟的九二。太蔟又向下生出南吕的六二。南吕又向上生出姑洗的九三。姑洗又向下生出应钟的六三。应钟又向上生出蕤宾的九四。蕤宾又向上生出大吕的六四。大吕又向下生出夷则的九五。夷则又向上生出夹钟的六五。夹钟又向下生出无射的上九。无射又向上生出中吕的上六。五下六上，才是一个终结。”

《后汉书·律历志》术数说：阳以圆形为形状，它的性质是动；阴以方形为节制，它的性质是静。动的数是三，静的数是二。用阳生出阴，加倍；用阴生出阳，乘四。都除以三，阳生阴叫做向下生；阴生阳叫做向上生。向上生不能超过黄钟的清浊，向下生不能达到黄钟的数值。实际上都是参天地两，圆盖方覆，偶数承接奇数的道理。黄钟，是律吕的首位，而生出十一律的。

《通典》十二律相生的方法，从黄钟开始【黄钟的管长九寸】三分损益向下生出林钟。林钟向上生出太蔟，太蔟向下生出南吕，南吕向上生出姑洗，姑洗向下生出应钟，应钟向上生出蕤宾，蕤宾向上生出大吕，大吕向下生出夷则，夷则向上生出夹钟，夹钟向下生出无射，无射向上生出仲吕【仲吕的管长六寸一万九千六百八十三分寸之万二千九百七十四】这就是十二律长短相生，一个终结在仲吕的方法。

朱子说：“从黄钟到仲吕都属于阳，从蕤宾到应钟都属于阴。这是一个大阴阳。黄钟为阳，大吕为阴。每一个阳间隔一个阴，又是一个小阴阳。”

陈氏《礼书》说：先王根据天地阴阳之气而辨别十二辰，根据十二辰而生出十二律，统辖于三，所以黄钟

译黄钟统天，林钟统地，太蔟统人，这是用来象征天、地、人三才的。用八来生成，所以黄钟生出林钟，林钟生出太蔟，太蔟生出南吕等，这是用来象征八风的。律生出吕称为同位，用来象征夫妇；吕生出律称为异位，用来象征母子。六个向上生用来象征天地的六气，五个向下生用来象征天地的五行。它们的长短有一定的尺度，它们的多少有一定的数目，它们的增减有一定的适宜规律。从黄钟开始，到仲吕结束。黄钟、太蔟、姑洗减损阳气以生出阴气，林钟、南吕、应钟增益阴气以生出阳气；蕤宾、夷则、无射又增益阳气以生出阴气，大吕、夹钟、中吕又减损阴气以生出阳气。为什么呢？黄钟、太蔟、姑洗，是阳中之阳；林钟、南吕、应钟，是阴中之阴。阳中之阳、阴中之阴，正是阳气生长、阴气消退的时候，所以阳气常常向下生而有余，阴气常常向上生而不足。蕤宾、夷则、无射，是阴中之阳；大吕、夹钟、仲吕，是阳中之阴。阴中之阳、阳中之阴，正是阳气消退、阴气生长的时候，所以阳气常常向上生而不足，阴气常常向下生而有余。那么，子午方位左侧的都是向上生，子午方位右侧的都是向下生了。郑康成认为黄钟等三律是向下生，蕤宾等三律是向上生，他的说法是正确的。班固则笼统地把律归为向下生，吕归为向上生，这是错误的。

译吴氏鼎说：“关于‘上生’与‘下生’的理论，前代儒者意见不一。认为律为下生、吕为上生的，有《史记·律书》及《前汉书·律历志》、《晋书·律历志》、刘歆、京房、蔡邕；认为黄钟等三律为下生、蕤宾等三律为上生的，有《史记·律书》及郑玄、孔颖达、《淮南子·天文训》、《通典》、《礼书》。如果依照律下生、吕上生的说法，那么大吕、夷则、仲吕只能得到半律；如果依照黄钟三律下生、蕤宾三律上生的说法，则都能得到完整的正律。”朱熹在《钟律篇》中保存了各种说法，而在相生图中则采用了郑玄、孔颖达、蔡邕《律吕新书》的观点。朱熹认为郑玄、孔颖达的说法导致阴阳错乱无序，但又说大吕、夹钟、仲吕三吕属于阳位，所以使用倍数，这其实是想避开“律上生吕”的名称，却仍然沿用了“律上生吕”的实质。陈氏用阳消阴长的道理，破解了阴阳错乱无序的疑惑，最为恰当。《律吕正义》说：“律吕始于黄钟，终于应钟，止于十二个，是因为圣人审察音律制定标准，其生成声音的原理不得不止于十二。所以《国语》说：‘以三为纲纪，以六为平衡，以十二为完成，这是天道的规律。’”至于蕤宾生出大吕，汉代《律历志》主张下生，《通典》主张上生，主张下生的尊崇司马迁《律书》，主张上生的尊崇《淮南子》的说法。而朱熹《仪礼经传通解》也采用上生的说法。大概蕤宾如果下生，那么三分损益法仅能得到大吕的一半，必须加倍才能得到完整；如果上生，那么三分益一，恰好得到大吕的完整数值。其数值位于黄钟、太簇之间，而声音处于黄钟、太簇的交界。与其下生而得到一半，哪里比得上直接使用上生的简便恰当呢？这是从声音度数方面来说，适宜采用上生。黄钟一阳复始，是十一月的律，三分损益下生林钟，是六月的吕，这是阳生阴，适宜下生。林钟三分益一上生太簇，是一月的律，这是阴生阳，适宜上生。太簇三分损一下生南吕，是八月的吕，这是阳生阴，适宜下生。南吕三分益一上生姑洗，是三月的律，这是阴生阳，适宜上生。姑洗三分损一下生应钟，是十月的吕，这是阳生阴，适宜下生。应钟三分益一上生蕤宾，是五月的律，这是阴生阳，适宜上生。至于蕤宾生出大吕，再次采用上生，是因为从黄钟十一月的律，一阳开始生长，而大吕十二月的吕，二阳相继，位置虽然处于阴位，但气实际上顺应阳。蕤宾五月的律，一阴开始生长，位置虽然处于阳位，但气则属于阴。所以蕤宾生出大吕，实际上是阴生阳，适宜上生。从蕤宾一阴生长开始，夷则七月的律，无射九月的律，气都属于阴。从黄钟一阳生长开始，夹钟二月的吕，仲吕四月的吕，气都属于阳。所以大吕生出夷则为下生，夷则生出夹钟为上生，夹钟生出无射为下生，无射生出仲吕为上生。这都是因为蕤宾上生而导致的，这是从阴阳理气方面来说，适宜采用上生。古代的圣王制定十二律吕，以配合十二个月，节制四季的变化，阐明消长的机理，全都本源于阴阳。阴阳的辨别精密，那么道理就明了而数理就完备。所以律吕三分损益，上下相生的方法，确实是千古不变的至理。

【吴氏鼐说：“《律吕正义》采纳陈用之的说法，并推广其义理。这与蔡邕‘阳生阴为下生，阴生阳为上生’的说法，以及朱熹‘律吕相生为小阴阳，子午交界是大阴阳’的说法，都符合其义理，非常精妙。只是陈氏认为汉代《律历志》有误，大概是不知汉代《律历志》‘蕤宾、夷则、无射三律下生’，而又使用倍数的，都是以子一分、丑三分二为基本数值。”】

《后汉书·律历志》：京房的方法，黄钟十七万七千一百四十七，林钟十一万八千九十八，太簇十五万七千四百六十四，南吕十万四千九百七十六，姑洗十三万九千九百六十八，应钟九万三千三百十二，蕤宾十二万四千四百十六，大吕十六万五千八百八十八，夷则十一万五百九十二，夹钟十四万七千四百五十六，无射九万八千三百零四，仲吕十二万一千七十二。

【《律吕新书》桑氏悦说：蕤宾的实际数值是十二万四千四百一十六，由此下生大吕，应当减去四万一千四百七十二成为大吕八万二千九百四十四，是可以的。为什么反而增加蕤宾的一分而得到十六万五千八百八十八的数值呢？前代儒者说：黄钟生出十一律，子、寅、辰、午、申、戌六个阳辰都下生，丑、卯、巳、未、酉、亥六个阴辰都上生，阴数加倍。其实阳数有四，其实大吕应当是未阴辰，而四其实可以吗？减损而增益，增益而减损，这就是律之所以形成的原因。蕤宾既然增加了应钟的一分，大吕又增加蕤宾的一分，可以吗？回答说：朱熹说：十二管隔八相生，从黄钟的管开始，阳都下生，阴都上生；从蕤宾的管开始，阴反而下生，阳反而上生，以象征天地之气。如果拘泥于古法而认为阳必定下生，阴必定上生，那么用它……】

译候气而气不应，以此制作音乐则乐声不和谐。这是郑氏重视“上生法”之所以成为不可更改之论的原因。可惜西山当时遗漏了记载这一说法，不能不使初学者产生疑惑。范氏认为，从子到巳，阳气生发而阴气退却，所以律生吕称为“下生”，吕生律称为“上生”；从午到亥，阳气上升而阴气退却，所以律生吕称为“上生”，吕生律称为“下生”。梁氏说：班固《汉书·律历志》记载隔八相生，一上一下，最终止于中吕，其长度只有三寸三分多一点。京房的法则则是到蕤宾时再次用上生法，总共五次下生、六次上生，最终止于中吕，其长度为八寸六分多一点。如果仲吕的长度只有三寸三分多一点，那么即使三分益一，也不能再生出黄钟的律管，所以采用六寸六分，这样三分益一就可以再次生出黄钟了。

译陈氏埴说：律吕按照隔八相生的原则产生。向上生的，是三分益一，比如林钟生出太簇，从六寸向上生成为八寸。向下生的，是三分去一，比如黄钟生出林钟，从九寸向下生成为六寸。古史说阳一定向下生，阴一定向上生。如果拘泥于这个法则，十二个月的律就没有这种递减的次序，用它来候气则气不应验，用它来制乐则乐不和谐。所以郑康成有重上生的方法，从黄钟生出直到蕤宾，就阳反向上生，阴反向下生，六次上生五次下生而终结。它的依次递减次序，可以用来候气，可以用来制乐，这是天然的法度，不是巧算所能做到的。吴氏鼐说：京房以子、丑、寅、卯、辰五个阳辰为下生，巳、午、未、申、酉、戌六个阴辰为上生。大概十二律中，除了仲吕不返生外，只有蕤宾重上生，其余则一上一下，这是计算律吕的变通方法。如果按照本法则，大吕应当是八万二千九百四十四，夹钟应当是七万三千七百二十八，仲吕应当是六万五千五百三十六。但本法则中大吕、夹钟、仲吕都得到子声，加倍后正声才相合，所以本数是天地气化相生的缺漏。加倍后相合正声的，是人事辅助裁成的妙用。即使是重上生的变通方法，也是用来弥补气化缺漏的。

蕙田按语：以上是律吕三分损益的数目，以及蕤宾重上生的方法。

《律吕正义》定律吕之长损益相生篇：自古论述律吕的人，必定先考察黄钟的长度。黄钟的长度确定了，其他十一律吕都由此确定。《律吕新书》说，黄钟九寸，一寸作十分为九十分；又说黄钟九寸，一寸作九分为八十一分。九十分是黄钟的正数，而八十一分源于《管子·地员篇》的音律度分，《史记》《淮南子》于是将其作为管音度分。《新书》虽然兼取二者，但九寸的说法确实不可更改。只是尺度不明，那么坚持九寸的说法，也不能没有失误。所以确定律吕的长度，必定要用古尺贯通，用今尺比例推求，然后才能得到真正的数目。用古尺来说，黄钟九寸，三分损益得到六寸为林钟。林钟三分益一得到八寸为太簇。太簇三分损一得到五寸三分三厘三毫三丝三忽三微三纤有余为南吕。南吕三分益一得到七寸一分一厘一毫一丝一忽一微一纤有余为姑洗。姑洗三分损一得到四寸七分四厘零七丝四忽零七纤有余为应钟。应钟三分益一得到六寸三分二厘零九丝八忽七微六纤有余为蕤宾。蕤宾三分益一得到八寸四分二厘七毫九丝八忽三微五纤有余为大吕。大吕三分损一得到五寸六分一厘八毫六丝五忽五微六纤有余为夷则。夷则三分益一得到七寸四分九厘一毫五丝四忽零九纤有余为夹钟。夹钟三分损一得到四寸九分九厘四毫三丝六忽零六纤有余为无射。无射三分益一得到六寸六分五厘九毫一丝四忽七微四纤有余为仲吕。仲吕三分益一得到八寸八分七厘八毫八丝六忽三微三纤有余，与黄钟九寸相比，不足一分二厘一毫一丝三忽六微六纤有余。用今尺来说，黄钟七寸二分九厘损益相生，则林钟得到四寸八分六厘，太簇得到六寸四分八厘，南吕得到四寸三分二厘，姑洗得到五寸七分六厘，应钟得到三寸八分四厘，蕤宾得到五寸一分二厘，大吕得到六寸八分二厘六毫六丝六忽六微六纤有余，夷则得到四寸五分五厘一毫一丝一忽一微一纤有余，夹钟得到六寸零六厘八毫一丝四忽八微一纤有余；无射得到四寸零四厘五毫四丝三忽二微有余；仲吕得到五寸三分九厘三毫九丝零九微四纤有余。到仲吕上生，与黄钟原数相比不足九厘八毫一丝二忽零六纤有余。黄钟古尺的尺度所生的律吕，其分寸如彼；今尺的尺度所生的律吕，其分寸如此。古尺的尺度数目多，今尺的尺度数目少。数目多的，是横排黍粒所生；数目少的，是纵排黍粒所累。数目的多少虽然不同，但管子的长短则相同。今尺的七寸二分九厘，正是古尺的九寸。至于仲吕不能还生黄钟，是数目使然。大概十二律吕上下相生，损的逐渐减少而益的不足，所以仲吕上生变化为黄钟，虽然不及黄钟一分上下，但其数目仍与黄钟相近，不能自成一律；其声音也与黄钟相近，不能自成一音。仔细推究其理，下生而损，上生而益，损益之间，数目有消长，也如同气盈朔虚有闰分。这就是古人用律吕配合十二个月的原因。

《律吕正义》定律吕之积损益相生篇：制定律吕的方法，以积实容黍为关键，是因为管子的长短广狭，依据这个来校正，而声音的洪细高低，依赖这个产生，所以必须得到黄钟的真正积实，然后中声才能确定。由此三分损益作为十一律吕，而积实没有不合的，声音没有不和谐的。只是古今尺

译度量标准不同，那么纵长、周长和直径就会随之改变，而体积的数值也会不同。必须考证古今体积数值的差异，并用容积的相同来验证，然后律吕的真实分寸才能辨别清楚。黄钟的体积，古尺为八百一十分，今尺为四百三十分四百六十七厘二百一十毫，数值不同，但体积的积分和龠容纳黍粒【一千二百粒】的实际数量从未不同，所以十二律吕的体积通过三分损益相生，都以此为基础。黄钟古尺的体积八百一十分，三分损一得五百四十分为林钟；林钟三分益一得七百二十分为太蔟；太蔟三分损一得四百八十分为南吕；南吕三分益一得六百四十分为姑洗；姑洗三分损一得四百二十六分六百六十六厘六百六十六毫有余为应钟；应钟三分益一得五百六十八分八百八十八厘八百八十八毫有余为蕤宾；蕤宾三分益一得七百五十八分五百一十八厘五百一十八毫有余为大吕；大吕三分损一得五百零五分六百七十九厘零一十二毫有余为夷则；夷则三分益一得六百七十四分二百三十八厘六百八十三毫有余为夹钟；夹钟三分损一得四百四十九分四百九十二厘四百五十五毫有余为无射；无射三分益一得五百九十九分三百二十三厘二百七十三毫有余为仲吕。至于今尺的体积，黄钟的四百三十分四百六十七厘二百一十毫，三分损益则林钟得二百八十六分九百七十八厘一百四十毫，太蔟得三百八十二分六百三十七厘五百二十毫，南吕得二百五十五分零九十一厘六百八十毫，姑洗得三百四十分一百二十二厘二百四十毫，应钟得二百二十六分七百四十八厘一百六十毫，蕤宾得三百零二分三百三十厘八百八十毫，大吕得四百零三分一百零七厘八百四十毫，夷则得二百六十八分七百三十八厘五百六十毫，夹钟得三百五十八分三百一十八厘零八十毫，无射得二百三十八分八百七十八厘七百二十毫，仲吕得三百一十八分五百零四厘九百六十毫。制作律管以获取声音，都源于体积，那么其他十一律吕的体积，应当与黄钟一并详细论述，但论律者大多没有涉及，大概是因为他们所定的律吕长度与横截面积相乘得到的体积数值有不吻合之处。十二律吕的度量，太蔟以上得到整寸而没有零头，所以没有显现出同异，南吕以下体积差异逐渐增多。南吕古尺的长度五寸三分三厘三毫三丝三忽有余，与横截面积九方分相乘得到体积四百八十分，如果以南吕为五寸三分与横截面积九方分相乘，只得到体积四百七十七分，就少了三分。到无射四寸九分九厘四毫三丝六忽，与横截面积相乘得到四百四十九分四百九十二厘有余，如果以无射为四寸八分八厘四毫八丝与横截面积相乘，只得到体积四百三十九分六百三十二厘，就少了九分八百六十厘。凡是制作乐器的方法，都以体积数值加倍，有的加四倍，有的加八倍，有的加到十几倍，等到使用的时候。如果体积少一分，四倍就相差四分，八倍就相差八分；体积少九分，四倍就相差三十六分，八倍就相差七十二分。声音的发生，辨别的关键正是在容纳实际体积多寡毫厘之间，怎么能因为零头就忽略它呢？至于黄钟的龠体积八百一十分，容纳一千二百黍，大概所积的是方分，所容的是圆粒，用方分度量圆粒，那么必定有空隙，所以合八百一十分之方恰好容纳一千二百黍之圆，这才是虚实相应的准则。然而十二律吕的律管都产生于黄钟，而论述者也只提到黄钟的容量，其他都没有记载。体积的积分尚且担心虚数难以凭信，而容纳黍粒则有实际的黍可以证明，所以容纳黍粒的分数也应当用三分损益来核实。黄钟容纳一千二百黍，三分损一得八百黍为林钟，林钟三分益一得一千零六十七黍为太蔟，太蔟三分损益得七百一十一黍为南吕，南吕三分益一得九百四十八黍为姑洗，姑洗三分损一得六百三十二黍为应钟，应钟三分益一得八百四十三黍为蕤宾，蕤宾三分益一得一千一百二十四黍为大吕，大吕三分损一得七百四十九黍为夷则，夷则三分益一得九百九十九黍为夹钟，夹钟三分损一得六百六十六黍为无射，无射三分益一得八百八十八黍为仲吕，仲吕三分益一得一千一百八十四黍【凡是余数超过大半的进一黍，不足一半的不计】。体积虽然有古今尺度的差异，而容纳黍粒则是一样的，因此借黍来验证分数，推演分数来制定律吕。用一千二百黍填满黄钟的龠，不亏不溢，那么其他律吕的容纳也就没有一黍的误差。由此可知古人制定律吕，有积分来验证实体，有容积来验证积分，所以互相比较，务必得到律吕的真实尺度。

译所以一并记载它们的相同与不同之处，使观看的人能够从中得出恰当的结论。

译蕙田按：以上所述律吕的长度、律吕的积数、三分损益的数值，也是防止蕤宾再次向上生律的方法。

【考律绪言】吴氏鼎说：谈论音律的人，都说采用三分损益法。为什么是三分？为什么有损有益？没有人阐明其所以然的道理。只有明代葛中选在《泰律》中说，一个音位具备三个部分，合起来是三，这是参天之意。三分减去一分，剩下二分，这是两地之意。三分减去一分后，在剩下的二分之中，仍然具备三个部分。依次相生，都是三。在剩下的二分之中，各自分为二，加倍运行，都是两。因此在一个音位之中，以三为标准，是三的两倍；以两为标准，是两的三倍。三是依次相生的，倍是自生的。按声音的道理，不过是一律一吕。律吕的区别，不过是一阴一阳。阴阳的数目，不过是一参一两。参，是三分的来源；两，是损益的来源。凡是声音，大的如雷霆，小的如蚊蚋，其间高低清浊，多得无法计算。等到这个声音与那个声音配合使用时，总不出相生相应的道理。相生的，是一母一子。母是一，子是三。相应的，是一全一半。全是一，半是二。由三到九，到二十七，到八十一，数目不同，都归于三。由二到四，到八，到十六，数目不同，都归于二。一三一二，音律的变化就穷尽了。那么三分损益，音律的变化也就穷尽了。那些不使用三分损益法的人，对于音理有什么恰当之处呢？李氏光地说：音律用损益相生，为什么呢？回答说：凡是象数都起于阴阳。象，是方圆相互变化的；数，是奇偶相生相克的。所以方内接圆，必定得到外圆的一半，都以面积来说。其外圆必定得到内圆的两倍。圆内接方，也必定得到外方的一半。其外方也必定得到内方的两倍。律的上生是下生的两倍，下生是上生的一半，其道理是一样的。大概方圆包含，奇偶乘除，阴阳变化，是天地生生不息的道理。如果象所生的相同，数所起的相同，那么上下没有不相应的，内外没有不契合的，倍半没有不和谐的。所以司马迁《律书》称之为同类，现在西方算学称之为比例。孔子说：“同声相应，同气相求。”说的就是这个道理。金石铿锵的声音，与丝竹繁细的声音，物性截然不同，而各自以其本性作为声律，则没有不相应的，难道不是同类比例的说法吗？相生必定隔八位，为什么呢？回答说：比位，是阴阳相合的情理。隔七位，是阴阳相对的意义。隔八位，是阴避开阳位，偏正的区别，尊卑的等级。这样然后理顺，情和而相应了。

辨不用三分损益

【明代郑世子朱载堉著《律吕精义》，创立新法，不使用三分损益，不拘泥于隔八相生，专门依靠开方乘除。从黄钟倍律转生十二次，仍然得到黄钟正律。正律生半律，或左旋，或右旋，或隔六，或逐位往返，循环无端】吴氏鼎说：新书记载宋代胡瑗认为仲吕反生不及黄钟，于是迁就林钟以下的围径以凑合黄钟的清声。何承天、刘焯想要增加林钟以下十一律的分数，使仲吕反生黄钟。蔡氏论述说，只有黄钟一律成律，其他十一律都不成律。现在朱载堉的方法，减少十一律的分数，使反生黄钟半数，也如同何、刘增加十一律的数目，使反生黄钟原数，正所谓只有黄钟一律成律罢了。至于他所用的开方乘除，都有遗弃不尽的余数。考察京房六十律相生法，余分都弃之不用。蔡氏论述说：律学精妙，其生数的方法正在毫厘秒忽之间。京房因为不尽的算法不容损益，于是或者弃之或者增之，那么其畸零盈余赘余亏损的积累也不能成为此律了。现在朱载堉的方法，正是京房或弃或增的毛病。蔡氏所斥责不得为律的，反而以秒忽不尽为自然之理，三分损益为疏舛之法，不也很奇怪吗？

右三分损益

《史记·律书》得到九寸，命名为“黄钟之宫”。

《淮南子》黄钟的长度修九寸。

《律吕新书》黄钟长九寸。

《律吕正义·黄钟律分篇》：黄钟之律有长度和围径，则有尺度；有尺度，然后数确立。黄钟元声原本没有断绝于世，而造律的尺唯独难以得到其真。《隋书·律历志》记载历代尺十五种，其后改革更加厉害。到《律吕新书》所载，如周尺、汉刘歆铜斛尺、蔡邕铜龠尺、建武铜尺、魏杜夔尺、晋田父玉尺、始平古铜尺、汲冢玉律尺、刘曜土圭尺、刘宋钱乐之浑仪尺、后魏元延明尺、后周玉尺、梁景表尺、隋开皇水尺、五代王朴律准尺、宋和岘尺、李照尺、胡瑗、阮逸尺、邓保信尺、大晟乐尺，共二十多种。然而尺是用来度量律的，而黍是用来确定尺的。古今尺度虽然各不相同，而律的长短自然不可更改，黍的大小又未曾改变。所以黄钟的分数互相参求，而可以得到其真。宋代李照用纵黍累尺，管容一千七百三十黍，空径三分

译（前文省略），必定在大的方面有所缺失。胡瑗用横放的黍粒累加成一尺，竹管能容纳一千二百粒黍，内径三分四厘六毫，这也不是真正的尺度。《通志》记载夏尺十寸，商尺十二寸，周尺八寸。自夏、商、周三代以后，尺的长度虽然不统一，但大致上长不超过商尺，短不低于周尺。现在黄钟的长度是九寸，这既不是夏尺的九寸，也不是商尺的九寸，更不是历代各种尺的九寸，而是原本制定律度时十分之九的长度。如果用夏尺、商尺的尺度来制作黄钟的龠，其容量超过一千二百粒黍，这本来就不必多说。曾经用今尺的八寸作为周尺来制定法度，制作黄钟的龠，其容纳的黍粒又稍微不足；再用今尺的八寸一分来制定法度，才恰好符合一千二百粒黍的容量。这才知道古代圣人确定黄钟的律，大概是契合九九天数的全数来确立尺度，并且用今尺来验证：纵放一百粒黍得到十寸的全长，而横放一百粒黍正好符合八寸一分的限度。明代郑世子载堉在《律吕精义·审度篇》中也记载横放一百粒黍相当于纵放八十一粒黍。又《前汉书·律历志》说：“黄钟的长度，用中等大小的秬黍，以一粒黍的宽度来度量，将黄钟的长度分为九十分，一分作为一分。”所谓“广”，就是横的意思。九十分作为黄钟的长度，那么黄钟是由九十粒横放的黍粒累加而成就很明白了。用横放黍粒的尺度与纵放黍粒的尺度相比，就是古尺与今尺的比例。以古尺的十寸【即横放一百粒黍的尺度】作为第一比例数，今尺的八寸一分【即纵放八十一粒黍的尺度】作为第二比例数；黄钟古尺九寸，作为第三比例数。推算得出第四比例数为七寸二分九厘，这就是黄钟在今尺上的尺度。考察音律而不审定尺度，固然没有特别契合的道理；审定尺度而不验证黍粒，也没有恰好相符的妙处。依据现在所确定的尺，制作黄钟的律，考察其声音，已经得到中正；用黍粒填充，又恰好符合一千二百的数量。那么八寸一分的尺，难道不是古人制定律度的真正尺度吗？

译蕙田按：黄钟长九寸，这一说法始于《史记》《淮南子》和《律吕新书》，遵循九寸的说法，是因为九寸即九分。黄钟律度以三为基数，用九为倍数，所以九九相乘得八十一分，这并非度量衡中的尺寸之分寸。后人不知道九是黄钟的度法，却拘泥于九寸就是尺寸中的寸，所以有的认为一寸等于十分，有的认为一尺等于十寸，有的主张用黍粒来确定尺的长度，有的认为不应当用黍粒来确定尺的长度，有的主张用钱币来校验尺的长度，议论纷纷，结果黄钟真正的度法终究无法得到，古代的律吕标准终究无法求得。我们圣祖天生神圣，心中通晓律吕的本源，就用九九相乘的数目来确定黄钟，而横放黍粒的宽度恰好符合八寸一分的限度。用声音来考察，则得到其中和之音；用黍粒来实测，又恰好符合一千二百粒的数目。这难道不是心中通晓造化规律而为万世立下法则吗？那些不得其本源，只是用尺度去揣摩推测的人，可以一举而将其谬误彻底驳倒。

辨《史记》八寸七分一的说法

《史记》误刻本说：“黄钟长八寸七分一。”

索隐说：律九九相乘得八十一，所以说长八寸十分之一。旧本作七分，大概是错误。朱熹说：蔡京掌权时，制作音乐完全破坏了前代的说法。音乐本来有因循中声、正声的区别。比如正声长九寸，中声只有八寸七分一。按《史记》中“七”字多处错误，应该是十分之一。那音乐只是杜撰，至今还在使用。

辨《汉书》九寸寸十分的说法

《汉书·律历志一》：“黍粒的宽度，度量黄钟的长度为九十分，一分为一分，十分为一寸，十寸为一尺。”

吴鼎说：“这是说黄钟九寸、一寸十分的说法的开始，京房、刘歆、郑康成都赞同。后世如李照、房庶、胡瑗、范景仁、司马光都采用此说。而明代何塘说：‘《汉志》说黄钟的律长九寸，加一寸为一尺。度量衡之所以取法于黄钟，是因为看重它与天地之气相应。如果加一寸作为一尺，那又何必取法于黄钟呢？殊不知黄钟的长度，本来不是人力所能决定的。《汉志》不知道这一点，竟然想给黄钟加一寸作为一尺，这是错误的。’”

蕙田按：加一寸作为一尺的说法，也是因为不知道黄钟的寸是假借的说法，本来不能以度量的一寸十分来类比。

辨朱载堉黄钟一尺的说法

朱载堉说：一分，总称为一段。定黄钟为一尺，所以说：“子一分，丑三分二，即一尺中的三寸之二；寅九分八，即一尺中的九分之八。”

蕙田按：一尺的说法，最为没有道理，不值得辩驳，都是拘泥于度量尺度的缘故。

辨黄钟三寸九分的解释

《吕氏春秋》说：黄帝命令伶伦制作律管，伶伦从大夏的西部，来到阮隃的北边，在嶰谿的谷中选取竹子，选取那些中空、厚薄均匀、孔窍整齐的竹子，截断两节之间，其长度三寸九分，吹奏它，作为黄钟的宫声，吹奏时称为含少。

《乐典》说：黄帝命令伶伦截断竹子，两节之间发出的声音长三寸九分，所以吹奏时称为含少。加上无声的部分四十二分，就是完整的律管三寸九分的半数。阳依附于阴，阴包含少量的阳，因此这样命名。古代乐经传注，从黄钟八寸一分开始，上下相生，穷尽于应钟四寸二分，那么其中间长短相距取用的数目，大概只有三寸九分而已。伶伦先得到嶰谿的竹子，截取一均之间，另外在三寸九分之内开孔吹奏，以具备黄钟的五声。所以总括其整体而命名为黄钟之宫，而将其所开的孔作为黄钟所含的少声。朱载堉说：后学者没有通达，把三寸九分当作黄钟的长度，是错误的。八寸一分，三寸九分，合起来为十二寸，即律吕的全数。季本说：应当是长九寸，空径三寸的误写。”

蕙田按：《吕览》三寸九分的说法，《乐典》认为声音发出三寸九分，那是吹口。古乐经传以下，人们各执一说，都是揣测不当，只有御制《律吕正义》说：曾经截竹为管，详细审察其音。黄钟的半律不与黄钟相合，而与黄钟相合的是太簇的半律。《吕氏春秋》把三寸九分的管作为声中黄钟之宫，就是半太簇合黄钟的意思。这才知道三寸九分，是论述宫均相应的半声，而不是论述其长度。所以《吕氏》说：“吹奏它则声音明朗，指的是声音。”说：“含少，少的意思，不就是半律的意思吗？”后人只凭长短的数目，想要牵强附会九寸八十一分，大多显得主观臆断。

附今尺八寸七分一的数目

《律吕正义》说：黄钟古尺长九寸，今尺长七寸二分九厘【今按古尺十寸相当于今尺八寸一分，所以黄钟的管在古尺为九寸，在今尺为七寸二分九厘】

大吕古尺长八寸四分二厘七毫，今尺长六寸八分二厘六毫。

太簇古尺长八寸，今尺长六寸四分八厘。

夹钟，古尺长七寸四分九厘一毫，今尺长六寸零六厘八毫。

姑洗古尺长七寸一分一厘一毫，今尺长五寸七分六厘；仲吕古尺长六寸六分五厘九毫，今尺长五寸三分九厘三毫。

蕤宾，古尺长六寸三分二厘，今尺长五寸一分二厘；林钟，古尺长六寸，

译现在的长度是四寸八分六厘。

夷则律，古尺为五寸六分一厘八豪，今尺为四寸五分五厘一毫。

译南吕的古尺长度为五寸三分三厘三毫，今尺为四寸三分二厘。无射的古尺长度为四寸九分九厘四毫，今尺为四寸零四厘五毫。

应钟的古尺长度为四寸七分四厘，今尺为三寸八分四厘。

惠田按：以上所述为黄钟的寸法。

《汉书·律历志》记载黄钟为八百一十分。

后汉郑康成在《月令注》中说：“凡是律管的空围为九分。”

蔡邕在《铜龠铭》中说：“龠，是黄钟的宫音，空围九分，能容纳一千二百粒黍。”

《月令》章句说：“黄钟的管，直径三分，围九分。”

孟康说：“黄钟律管的孔径三分，是参天之数；围九分，是终天之数。”

韦昭说：“黄钟管直径三分，围九分，进而乘以九，九九八十一，所以黄钟的数理就确立于此。”

《晋书·志》说十二律的空径为三分。

《隋书·志》说：“黄钟的管，直径三分，长九寸。”

《宋史·志》说：“皇祐年间，诏令王洙、范镇、房庶等人制定律管，直径三分，围九分，能容纳一千二百粒黍。”

胡瑗说：黄钟直径三分四厘六毫，围十分三厘八毫。又说：黄钟律管，每长一分内实十三粒黍，又三分黍之一；围中容纳九平方分。后来的儒者固执地坚守单一的法度，大多不能贯通知晓权量之法，只是制造尺子来求律，便作为确凿的证据。因此说围九分者，是取围圆九分罢了。因为围九分的错误，于是有了直径三分的说法。如果遵循直径三围九的法度，黄钟的管只能容纳九百粒黍，积量只有六百七分半。这样黄钟的声音就无法端正，权量之法也就无从产生。

房庶说：“增大空径四厘六毫，因此乐声太高。”范镇说：“古律空径三分，围九分；如今新律为三分四厘六毫，这四厘六毫是从哪里来的？”又说：“古人用竹围作为律，竹的形状本来就是圆的，为什么用平方分来计算？又算法中圆分称为径，圆方分称为方斜，所谓径三围九，方五斜七就是如此。如今圆分为什么用方法计算？这是算法的错误。”

司马光说：“径三围九，是数学家所说的概略而已。如果用密率来说，直径七分，围二十二分。”

胡铨说：班固以八十一分为黄钟的实数，起十二律的周径度，其长度用来容纳其实数，起初并没有直径三围九的说法。郑康成等人被八十一分的实数所迷惑，以一寸为九分，而不考察方圆之异，于是“径三围九”的论调兴起。律的形状是圆的，如果认为是径三围九，那么削去四角的方形，就不足九分的数量，用它来容纳黍，怎么能达到一千二百粒呢？那么所谓围九分是方形的，怎么知道的呢？知道龠是方形的，就知道黄钟的分量，怎么能不方呢？围九分是方形，而使之圆，那么直径就不止三分了。所以“径三围九”的说法，是孟康提出的。

朱熹《钟律篇》说：“黄钟围九分，直径三分四厘六毫。”又说：“古人只说空围九分，不说直径三分，大概不止三分有余。”

蔡元定说：“空围九分，积八百一十。”分

又说：按十二律的围径，自西汉以前的传记都没有明文记载。只有班固的志书说：黄钟八百一十分，由此义理起十二律的周径。然而他的说法是自以律的长度自乘，而因之以十配合为说罢了，不能作为依据。只有审度章说：一黍的宽度，度量黄钟的长度九十分，一为一分。嘉量章则以一千二百黍充实其龠，谨权衡章则以一千二百黍为十二铢。这样累加九十黍作为长度，积一千二百黍作为宽度，是可以看到的。长度九十黍，容纳一千二百黍，那么空围应当有九平方分，即是围十分三厘八毫，直径三分四厘六毫。每一分容纳十三黍又三分黍之一，以九十相乘，就是一千二百。又汉代斛的铭文说：律嘉量，方尺圆其外，庣旁九厘五毫，幂百六十二寸，深尺，积一千六百二十寸，容十斗。嘉量的法度，合龠为合，十合为升，十升为斗，十斗为石。一石积一千六百一十寸，为分者一百六十二万；一斗积一百六十二寸，为分者十六万二千；一升积十六寸二分，为分者一万六千二百；一合积一寸六分二厘，为分者一千六百二十。那么黄钟的龠为八百一十分是明确的。空围八百一十分，那么长度累加九十黍，宽度容纳一千二百黍。大概十倍其宽度之分作为长度，十一倍其长度之分作为宽度，是自然的数理。自从孟康以律的长度十分之一作为围的错误，其后韦昭等人于是都有直径三分的说法，而《隋志》开始著录作为定论。然而累加九十黍，直径三黍，只容纳黍八百有余，终究与一千二百黍的法度两不相通，而律竟然不成。唐代因声制乐，虽然接近于古，而律也不是正确的。本朝承袭，都不能察觉。只有胡安定认为九分者是九平方分，以此破除直径三分的法度。然而所定的

译按照律吕的法则，如果空围（圆管的内周长）与理论值不符，那么也就不能成为合格的律管了。

《性理大全》中彭氏说：黄钟律管有周长、有直径、有底面积、有空围内的体积，还有纵向的长度。例如《史记》论述纵向长度，《律历志》论述纵向长度及体积；东汉郑玄注释《月令》论述底面积；东汉蔡邕《月令章句》论述纵向长度。这些都是不可更改的定论。唯独关于直径的说法，汉代以前都没有明确的记载。汉代《律历志》开篇论述未竟，东汉蔡邕才开始创立直径为三分的说法。晋代孟氏及以后的儒者继续提出直径三分、周长九分的说法。宋代胡氏、蔡氏又提出直径三分四厘六毫、周长十分三厘八毫的说法。然而考察古代的方形、周长、直径、底面积、体积，都没有完全符合的。曾经依据东汉蔡邕所说的直径三分，用密率进行乘除计算，只得到空围内的底面积七分七厘多，少了将近一分九十二厘多。空围内的体积实际只得到六百三十六分多，少了将近一百七十三分多。这样一来，黄钟律管岂不是太狭窄了。大概黄钟的空积非常微小，如果直径内相差一忽，那么底面积及体积所差的忽数就非常多。这就是东汉蔡邕的说法之所以不符合的原因。

晋代孟氏等儒者说直径三分、周长九分，使用直径一、周长三的比率，虽然是古法，但用密率推算，直径一则周长三有余。假如直径七，则周长应当是二十二。现在依据孟氏所说的直径三分，那么周长应当是九分四厘二毫一秒强，不仅仅止于九分。如果依据九分周长的数值，那么直径应当只有二分八厘六毫二秒六忽强，又不及三分。这就是晋代孟氏等儒者的说法之所以不符合的原因。

宋代胡氏不主张直径三、周长九的说法，大意是怀疑其管太狭窄。然而他所说的直径三分四厘六毫、周长十分三厘八毫，也是使用直径一、周长三的比率。如果依据他所说的三分四厘六毫直径，应当得到周长十分八厘七毫六秒二忽强，不仅仅止于十分三厘八毫。如果依据十分三厘八毫的周长，那么直径只得到三分三厘多，又不及三分四厘六毫。这就是宋代胡氏的说法之所以不符合的原因。

宋代蔡氏所说的直径周长分数与胡氏相同，至于算法，使用圆田术“三分益一”得到十二，开方去除以求直径。又用直径相乘，用管长乘之，使用“三分益一、四分退一”的方法求底面积和体积。现在暂且依据他的说法，将九平方分平放，又“三分益一”，将三方分割置于九平方分之外，其积为十二平方分，其纵横可得三分四厘六毫。余不尽二毫八丝四忽，如蔡氏所说，但依据此直径用密率相乘，则空围内的底面积不仅仅止于九平方分，而是得到九平方分零四十厘六十毫五十七秒十四忽多，空围内的体积实际不仅仅止于八百一十分，而是得到八百四十六分五百四十五厘一百四十二秒六百忽多。这样一来，黄钟律管岂不是太大了。仔细考察，方形内的圆形所占的不止是四分之三，圆形外的方形应当退去的又不及四分之一，以所知的“三分益一、四分退一”，乃是算家的大致方法，这就是宋代蔡氏的说法之所以不能完全符合的原因。

现在想要求得黄钟的确切定数，取此管九寸，寸作十分，分作十厘，厘作十毫，毫作十秒，秒作十忽，以符合天地五位终于十的数目，于是用十乘八十一得到八百一十分，用八百一十分分配给九十分长的管，知道此管长九十分，空围中容纳八百一十分，即十分管长空围中容纳九十分，一分管长空围中容纳九分，于是以此管底空围中所容的九分用平方底面积推算，知道一分有百厘，厘有百毫，毫有百秒，秒有百忽，累积计算，九平方分共有底面积九万万忽，依据密率乘除得到圆周长十分六厘三毫六秒八忽，万分忽之六千三百一十二，又用圆周求直径，计算得三分三厘八毫四秒四忽，万分忽之五千六百四十五，又用半径半周相乘，仍得到九万万忽内一忽弱，总共得到底面积九平方分。既然用周长直径相乘复得底面积，这样一来，黄钟的宽度与长度以及空围内的体积都可以计算了，所以底面积计算为九平方分，深一分的管则空围内应当有九立方分，深九十分的管计算九十，则空围内应当有八百一十立方分，这就是黄钟一管的实际数值，其数与天地造化无不吻合，这算法之所以成立的原因。

算法既成之后，或用竹，或用铜，另外制作，依据其长度作九十分，于是取九十分中的三分三厘八毫四秒四忽，万分忽之五千六百四十五，以符合孔径，这样一来，周长、底面积以及空围内的体积自然无不吻合，只是直径数自入毫以下不可再细分，而算法积忽与秒不容许误差罢了。

译李氏光地《古乐经传》说：“彭氏的计算，差不多是正确的。在秒、忽之下，还有不尽的分数，也就没有形体可以记载了。大概方形体的体积为十四，则其内切圆的体积为十一。所以知道‘益一退一’的方法，是古人粗略的算法。用体积求圆周，将体积作为被除数，乘以八十八，除以七，再开平方。用圆周求直径，将圆周作为被除数，乘以直径法七，除以圆周法二十二。用圆周和直径求体积，将圆周折半作为被除数，乘以直径折半作为除数。这是彭氏的说法。如果用体积求直径，将体积作为被除数，乘以十四，除以十一，再开平方。用直径求圆周，将直径作为被除数，乘以圆周法二十二，除以直径法七。所得的数值，也都符合。”

《律吕正义》确定黄钟纵长、体积、面积、圆周、直径篇：《律吕新书》说黄钟长九寸，空围九分【意思是圆面积为九平方分】，体积为八百一十分。既然有纵长和体积，那么面积、圆周、直径自然可以考察得出。汉代蔡邕、晋代孟康、吴国韦昭都主张直径三分、圆周九分，用现在所定的比例四率法计算，得到面积六分七十五厘【平方定位法，百厘成分，百分成寸，所以说几十几分、几十几厘】，用长九十分乘以它，得到体积六百零七分五百厘【立方定位法，千厘成分，千分成寸，所以说几百几十几分、几百几十几厘】，与八百一十分相比，未免太少了。宋代胡瑗、蔡元定主张直径三分四厘六毫，用定率计算，得到面积九分三十九厘三十九毫。用长九十分乘以它，得到体积八百四十五分四百五十一厘。与八百一十分相比，又超过了。只有刘宋祖冲之的密率求得直径三分三厘八毫四丝四忽，面积八分九十九厘九十七毫有余，这个数值比较接近。但他的方法用圆周率二十二乘以四，仍然使用圆田术三分益一起算，所以微小的余数还不够精密。如果固执一种说法而不互相参证求索，那么在道理上就有遗漏；互相参证求索而不用密法比例，那么在数值上就有遗漏。现在将黄钟古尺体积八百一十分，除以九十分，得到面积九平方分。用比例四率互相求索，表内面线相等，面积不同，定数为比例。以圆面积一十万为一率，方面积一十二万七千三百二十四为二率，现在面积九平方分为三率，推得四率一十一分四十五厘九十毫为圆面积。经线相等的正方面积，开平方得三分三厘八毫五丝一忽，这就是黄钟古尺的直径数。求圆周则以圆周直径相求的定数为比例，以直径一百一十三为一率，圆周三百五十五为二率，现在直径三分三厘八毫五丝一忽为三率，推得四率十分零六厘三毫四丝六忽为黄钟古尺的内圆周数。与当时的尺相比，黄钟古尺的体积与今尺的体积之比，即古尺自乘再乘的数与今尺自乘再乘的数之比【因为体积相比所以用自乘再乘】。以古尺一百分，自乘再乘，得一百万分为一率。今尺八十一分，自乘再乘，得五十三万一千四百四十一分为二率。黄钟古尺体积八百一分为三率，推得四率四百三十分四百六十七厘二百一十毫，这就是黄钟今尺的体积。如果求面积，则以今尺长七寸二分九厘除以它，得到面积五分九十厘四十九毫。依法求直径，得二分七厘四毫一丝九忽，这就是黄钟今尺的直径数。如果用古尺的直径数依法比例推求今尺的直径数，或者用今尺的直径数依法比例推求古尺的直径数，都彼此协调符合。用纵长、体积、面积、圆周、直径，古尺今尺互相参证求索，没有不环转符合的，而没有毫厘之差，这才是立法的精密，而在道理和数值上没有遗漏【吴氏鼐说：黄钟长九寸，空围九分，那么郑玄、蔡邕、孟康、韦昭的说法是正确的。长九十分，容纳一千二百黍，是《汉书·律历志》的说法，而《宋史》宗奉它。体积八百一十分，也是《汉书·律历志》的说法，而蔡氏宗奉它。以空围九分为九平方分，则是胡安定的说法。直径三三八五，圆周一零六三，则是《正义》的说法。驳斥直径三分圆周九分，则是司马光的说法。聚集古人算律的言论，参差不一的，断案精凿，则是彭氏。合古今尺比例而得到黄钟真度，则是《正义》。这个义理明白了，那么诸家疑似的说法就可以剖析判断了】

蕙田案：以上黄钟纵长，体积，面积，圆周，直径。

《汉书·律历志》：八百一十分是黄钟的体积，三百六十分是林钟的体积，六百四十分是太簇的体积。

孟康说：“黄钟长九寸，围九分；林钟长六寸，围六分；太簇长八寸，围八分。”

蔡邕《月令章句》说：“黄钟的管长九寸，其余的都稍短，只有大小围径没有增减。”

《隋书·律历志》说：“《汉书·律历志》说：黄钟围九分，林钟围六分，太簇围八分。《续汉书·律历志》及郑康成都说：十二律的空管都直径三分，围九分。后魏安丰王依照班固”

译志，林钟的空围是六分，太簇的空围是八分，制作律管吹奏它，不符合黄钟商征的音律，都改为空围九分，才与均钟相合。开皇九年，牛〇、辛彦之、郑译、何妥等人参考古代律制，制作黄钟律管，直径都是三分，那九寸的度量有增减，所以容纳黍粒的数量不同。

译范镇说：“黄钟长九寸，三分损一为林钟，长六寸。律管周长都是九分。黄钟的体积是八百一十分，三分损一，林钟的体积是五百四十分。十二律都如此。”

《律吕新书》记载，东都之乱后，乐律散失。邕当时未乱，应当亲眼见过。孟康时，汉代的量器虽存，但律管不存。孟康说：“黄钟、林钟、太簇的周长和直径各不相同，这没什么可奇怪的。”又说：“胡安定见仲吕反生，达不到黄钟的数值，于是迁就林钟以下各律的周长和直径，以凑合黄钟。清声以夷则、南吕为直径三分，周长九分；无射为直径二分八厘，周长八分四厘；应钟为直径二分六厘五毫，周长七分九厘五毫【范蜀公说：“胡先生律管周长十分三厘八毫的有八根，九分的有一根，八分四厘的有一根，九厘五毫的有一根，都不对。”】律管因为周长相同，所以长短不同，可以确定声音的高低。如果让律管的周长像这样不同，那就不能成为律管了。

《律吕正义》说，史志中关于律吕的记载，说法不一，有主张直径相同的，有主张直径不同的。只有直径相同，才能得出长短的差异，而声音的清浊依靠它来辨别。如果直径不同而长短又不同，那就成了同一种形状，十二律吕都像一根黄钟了。所以直径相同的说法，是十二律吕的定论。

吴氏鼎说：“《礼记·月令》郑玄注说：‘凡是律管周长九分。’孔颖达疏说：‘各律虽然长短有差别，其周长都以九分为限。’这是十二律周长直径没有差异的明文记载。《汉书·律历志》说黄钟体积八百一十分，由此义推导出十二律的周长和直径。陈垿解释说：‘知道律管虽然十二根，周长直径是一样的。’《律吕新书》论述胡瑗周长直径不同的错误，以及明代韩邦奇《志乐》说：‘十二根律管随其长短而减少其周长，那就与八百一十分、十七万之数相违背了。’邢云路《律考》说：‘如孟康所说，那么应钟长四寸六分，周长四分六厘，直径只有一分五厘。一分五厘的管子，过于细，怎么吹奏，怎么发声。’以上三种说法足以纠正周长直径不同的错误。”

蕙田按：以上十二律周长直径

附以黍定尺不同

《汉书·律历志一》：“黍的宽度，度量九十分，黄钟的长度一为一分。”

《隋书·律历志》：“一黍的宽度，度量九，十黍为黄钟的长度，一黍为一分。”

《魏书·律历志》：永平年间，太乐祭酒公孙崇以一黍的长度累加为寸法。太常卿刘芳受诏修乐，以中等秬黍一黍的宽度即为一分。而中尉元匡以一黍的宽度度量两黍的缝隙，以取一分。三家争论，很久不能决定。太和十九年，高祖诏令以一黍的宽度用成分，以九十黍的长度来定铜尺。有关部门奏报刘芳的尺与高祖所制相同，刘芳于是主管修造金石乐器。

《宋史·律历志》：景祐年间，阮逸、胡瑗取上党中等秬黍，累加度量求尺，制作黄钟律管。马端临说：“胡瑗以横黍累尺，管容黍一千二百。”

蕙田按：此以横黍起分，与《汉书》一黍的宽度，宽字相合。

《魏书·律历志》：永平年间，太乐祭酒公孙崇更造新尺，以一黍的长度累加为寸法。

《宋史·律历志》：景祐年间，邓保信制尺，用上党圆秬黍，一黍的长度累加而成尺。律管一根，据尺裁九十黍的长度，空径三分，空围九分，容秬黍一千二百。于是用黍长为分，再累加成尺。翰林学士丁度议论说：“保信的黍尺以长为分，虽然符合后魏公孙崇所说，但当时已不施用。况且保信现在的尺以圆黍累加，及首尾相衔，与实龠之黍再累加成尺不同，不可用。”诏令罢免。景德年间，潞州进献秬黍，李照等人选择大黍纵累之，检考长短，尺与太府尺合法，于是确定。范镇说：“李照以纵黍累尺，空径三分，容黍一千七百三十，太长，不合古法。”朱载堉说：“黄钟九寸，纵黍九分之寸。”

蕙田按：此以纵黍累尺，与古法不合。

《古乐经》传：古称秬黍中等者，中不是不大不小的意思，乃是不长不短的意思。大概是圆而无纵横的。现在想用黍参定律管，须选择圆的是对的。

蕙田按：圆黍起分，即与横黍相同了。

《魏书·律历志》：中尉元匡以黍的宽度度量两黍的缝隙以取一分。朱载堉说：“斜黍者，非纵非横，而首尾相衔。”

蕙田按：此以斜黍起分。

朱载堉说：“上党秬黍好的，纵累八十一枚，斜累九十枚，横累百枚，都与大泉九枚相合。”

蕙田按：朱氏法，应当以横累九十枚，斜累八十一枚，与横黍法相近。

《国朝防要》说：“古时黄钟为万事根本，所以尺量权衡都起于黄钟。到晋隋间，累黍为尺而以制律容受，最终不能相合。等到平定陈国得到古乐，于是使用它。唐朝兴起，因声以制乐，其乐器虽无法度，而其声音尚不”

译背离了古法。五代时期战乱频仍，雅乐散失，王朴开始用尺来制定音律，但音高和乐器都出现了偏差。因此，宋太祖担心音高过高，特意降低了一个律级。到了此时又降低了半个律级，然而太常寺的雅乐相比唐代的音高仍高出五个律级，相比当时的燕乐高出三个律级。皇帝虽然在制定礼乐上勤勉努力，却没有找到恰当的标准，这是因为有关部门在用尺来推演音律时出现了失误。河南程氏说：黄钟的音高并不难确定，世上自有懂音乐的人，将上下各律的音高进行考证，一旦确定了正确的音高，就用黍米来填充律管，看律管能装下多少粒黍，然后据此推演制定标准。古代的律管应当装满一千二百粒黍，现在的羊头黍与之不符，那就用几种不同大小的黍来验证，看哪种大小的黍才能符合这个数量，然后以此作为标准。从前胡先生制定音律，选取羊头山的黍，用三种筛子筛选，取中等大小的黍，但仍未确定标准。又说：用律管来定尺，是以天地之气为标准，而不是以黑黍为比较依据。黑黍的累计数量在先王时代，恰好与度量衡相合，所以可以使用。现在的时代则不同了。

译蔡氏元定说：律吕的文献散失，其器物不能完全见到，然而古人制作律吕的本意，还是可以考察的。想要寻求声气中的标准，却没有合适的准则，那么不如多截断竹子，用来模拟黄钟的律管，有的极短，有的极长，在长短之间，每相差一分，就制成一支律管，都依据其长度折算为九寸，并测量其围径，如同黄钟的方法一样。像这样交替吹奏，就能得到中声；按深浅排列，就能验证中气。如果声音和谐、气机相应，那么黄钟之所以为黄钟就确实可信了。黄钟可信，那么其余十一律以及度量衡的标准也就得到了。后世的人不知道从这方面去探求，只寻求尺度的标准，晋代以后，大多从金石中去寻求，梁、隋以来，又参用秬黍。下至王朴刚愎自用，就专门依赖累黍，连金石也不再考察了。金石的真伪，固然难以完全相信，至于秬黍，每年有丰歉，土地有肥瘠，种子有长短、大小、圆扁的不同，尤其不可依赖。况且古人说“选取中等大小的秬黍来充实龠”，这是先得到黄钟，然后用黍来度量，不足就换大的，有余就换小的，大约九十黍的长度，中间容纳一千二百黍的容量，用来显示圆周直径的宽度，从而产生度量衡的数值罢了，并不是律由黍产生的。百世之后，想要寻求百世之前的律，也应该在声气之前去寻求，而不要拘泥于秬黍，这样就能得到了。

蕙田按语：《防要》及《新书》都说，不必用黍来制定律。

《后汉书·律历志》记载：天通过日影来效验，地通过回声来效验，这就是律。阴阳调和则日影至，律气相应则灰飞散。所以天子常在冬至、夏至之日，驾临前殿，集合八能之士，陈列八音，听辨乐音的均调，测量日影，观察钟律，称量土灰，考察阴阳。又说：“候气的方法，建造三重房屋，关闭门户，涂抹缝隙必须周密，布置缇缦。室内用木头做案台，每支律各一个，内低外高，按照方位，将律管放在上面。用葭莩灰覆盖律管内部的一端，按历法等待观察。气至则灰飞散，被气所动的，灰就散开；被人或风所动的，灰就聚集。”殿中候气使用十二支玉律，只有在冬至、夏至时才候气。灵台使用六十支竹律，每日候气如同其律。

《晋书·律历志》记载：杨泉记录说：选取宜阳县金门山的竹子做律管，河内的葭莩做灰。有人说将律管放置在室内，按照十二时辰埋入地下，使上端与地面平齐，用竹莩灰装满律管，用罗縠覆盖律管，口气至时，吹动灰并使罗縠颤动。

《隋书·音乐志》记载：后齐神武霸府田曹参军信都芳，很有巧思，能用律管候气，仰观云色。曾与人对话，就指着天说：“孟春之气到了。”人们去查验律管，飞灰已经应验。每月所候，言辞都没有差错。又制作二十四扇轮扇，埋入地下，用来测候二十四节气。每一气感应一扇自动，其他扇都停止，与律管灰飞相应，如同符契一样。开皇九年，平定陈朝后，高祖派遣毛爽及蔡子元于普明等人，去候节气。依照古法，在三重密屋之内，用木头做案台，共十二具。每次取律吕之管，按照十二时辰的位置放在案台上，并用土埋住上端，与地面平齐，装满葭莩灰，用轻薄的缇素覆盖律管口。每月气至，与律管符合，则灰飞冲开缇素，散出外面。而气应有早晚，灰飞有多少。有的刚入月，气就应验；有的到中下旬，气才应验；有的灰飞出三五夜就完了；有的终月才飞少许。高祖觉得奇怪，问牛𪟝，牛𪟝回答说：“灰飞出一半是和气，灰全部飞出是猛气，灰不能飞出是衰气。和气应验，说明政治平和；猛气应验，说明臣子放纵；衰气应验，说明君主残暴。”高祖说：“臣子放纵、君主残暴，政治不平，不是每天不同、每月不同的。现在十二月在一年之内，应验不同，怎么会有如此严重的暴君和放纵的臣子呢？”牛𪟝不能回答。李氏光地说：“京房候气的方法，自蔡伯喈、郑康成都有此说，那么恐怕古人确实有这种方法。只是十二支律管未必就是十二律，而在长短之间原本没有什么可取的。所以《礼记正义》说：‘十二律各当其所处的时辰，斜埋地下，入地处低，出地处高，黄钟之管埋于子位，上头向南，这就是横插以迎接各方之气。方法在于方位，不在于长短。’如后齐信都芳将二十四扇轮扇埋入地下，气至而扇自动，这必定是在其中间，而周围设置轮扇以迎接气罢了。这与长短分数又有什么关系呢？然而这种方法，也是古人用来验证气是否和谐的方法，如同《乐记》所说的‘八风从律而不奸’罢了。排列律管候气，固然有应验、不应验，又怎么能据此确定律管呢，所以得到了律管。”

蕙田按语：候气的说法，始于东汉《志》，但其方法没有流传下来。后人议论不一，现在保留它以待考证。

右黄钟真度

五礼通考卷七十二

<经部,礼类,通礼之属,五礼通考》>

钦定四库全书

五礼通考卷七十三

刑部尚书秦蕙田撰

吉礼七十三

宗庙制度

《尚书·益稷》：我想听到六律五声

《周礼》