<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七>

译句股第十术

凡是测量时转折而成直角的，都构成直角三角形。其中直角等于圆周的四分之一，其余两个角如果测知其中一个角的弧度，用圆周的四分之一减去它，剩下的就是未测那个角的弧度。如果三角形不是转折而成直角，它的角有的钝于直角，有的锐于直角，用圆周的一半减去一个角的弧度，剩下的就是另外两个角的和，再减去这两个角，就得到第三个角。

圆周内外所构成的直角三角形，都是平方数。随着直径和角所指的方向，分割圆周成为弧背，都是圆周度数。度数相同则内外可以互相权衡，直角三角形的三边相通为一，这就是法则。内外互相权衡，直角三角形的三边相通为一，这样就可以通过小求大、通过大求小了。

小直角边、小另一直角边、小斜边【表一】

大直角边、大另一直角边、大斜边【表二】句股第十一术。

用原有的两条直角边确定它们的比率，现在已知的一条直角边与之互相权衡，异名相乘同名相除【如前表隔表互相权衡，异名相乘同名相除，凡使用表格都仿照此法】，得到所求的一条直角边，凡是推算步测。

大直角边除以小直角边得到大另一直角边。如果再次测量，从表长减去人眼高度，乘以两表之间的距离【前后表相去的距离】，古人称之为表间积。人眼前后距离两表的两个数相减为差，除以这个差再加上表高，得到所测的高度，这是小另一直角边乘以两大直角边的差，两小直角边的差除以它得到大另一直角边。如果用人眼距离前表的数，或者距离后表的数乘以表间距离，人眼前后距离两表的两个数的差除以它，得到前表或后表距离所测处的远近。这是任意用一个小直角边乘以两大直角边的差，两小直角边的差除以它，各自得到一个大直角边。凡是表作为小另一直角边，人眼距离前后表各为一个小直角边，它们的差为两小直角边的差，所测高度为大另一直角边，前后表距离所测处各为一个大直角边，两表之间的距离为两大直角边的差。它们前后各自构成同度数的直角三角形，所以能够以小知大，交替互相推求，没有不通达的。高深广远，一个道理都是直角三角形比例的一方面，附带论述它。

圆周的一半容纳直角三角形，那么圆周直径为直角三角形的斜边，直角边和另一直角边又作为斜边而分析它，成为同度数的三个直角三角形。

吴说：第七、第八、第九三术的道理，因为所构成的直角三角形同度数，所以可以互相推求。圆内包含同度数的三个直角三角形，就作为直角三角形斜边和差的比率。又因为直角边的平方、另一直角边的平方合并，恰好与斜边的平方相等的原因。大概第一术到第九术，一个道理相互贯通。

圆周的四分之一，随着直径和角所指的方向，成为同度数的三个直角三角形。

直角边、另一直角边、斜边

内直角边分，次内直角边分，直径角【表一】

直角边分，圆半径，直径引数【表二】圆半径，次直角边分，次引数【表三】

使用表格互相推求如前第十一术

凡是同度数互相权衡的方法，直角三角形的大小是恒定的。直角三角形对应直角的方形，变化为三个角，不对应直角的方形，用直角三角形驾驭它，截为六个直角三角形，而同度数的各自二三三交错，因此辗转互相权衡。三个角锐于直角三角形的，内弧【凡是锐角用本角弧度】三个角一个钝于直角三角形的，外弧【只有钝角用外角弧度】

凡是三个距离构成三个角的形状，对着已知的距离。它的角叫正角，弧度叫正弧，其余两个角或右或左。正弧内直角边分为直角边，对着正角的距离作为斜边。右弧内直角边分为直角边，对着右角的距离作为斜边。如果左弧内直角边分为直角边，那么对着左角的距离作为斜边。用直角边求斜边，是先知两个角的【知两角一边】用斜边求直角边，是先知两个距离的【知一角两边】

直角边【直角边与形状相通，一为法则】直角边【此形状的实际数值】斜边

正弧内直角边分，截右角的距离，对着正角的距离【表一】右弧内直角边分，截正角的距离，对着右角的距离【表二】

直角边、直角边、斜边

正弧内直角边分，截左角的距离，对着正角的距离【表一】左弧内直角边分，截正角的距离，对着左角的距离【表二】

直角边、直角边、斜边

右弧内直角边分，截左角的距离，对着右角的距离【表一】左弧内直角边分，截右角的距离，对着左角的距离【表二】句股第十二术【吴说：现在叫两角夹一边，求其余角其余边，已知的两角不夹已知的一边，方法相同】凡是三个距离构成三个角的形状，从右到左两次测量所得的弧度及两次测量相距的距离，求其余两个距离。在圆周的一半减去两次测量的弧度，剩下的为对着已知一个距离的角的弧度，这就是正角正弧。两次测量为对着所求两个距离的角的弧度，用已知的距离乘以对着所求一个距离的角的弧度，内直角边分正弧内直角边分除以它，得到所求的距离。凡是钝于直角三角形的一个角，它的弧度超过圆周的四分之一，用外弧内直角边分互相推求的方法，都相同。

直角边

译股第十三术【吴说：现在称为已知两边及其夹角，以及角所对的边，求其余的角和边】

译已知两边长及一角的弧度，且已知该角所对的边与已知角相对，此角为直角，弧度为直角弧度，此边为对直角的边；另一边与所求角相对，用直角弧度内的正弦值乘以另一边【已知两边之一】，再除以对直角的边，得到所求角弧度内的正弦值；既然已知两角两边，则如前第十二术可推知其余。

如果先知道两边一角而没有直角，则已知的角称为本角，弧度称为本弧。用弧矢法来推算，用圆周的一半减去本弧，余下的为两弧之和。将圆分割成弧背，弧背的正弦值与两弧内的正弦值，构成同角度的两个直角三角形。两弧内的正弦值，为直角边；弧背的正弦值为其两正弦值之和，取一半得到半弧背的正弦值，为半和的正弦值；直角边与正弦值通一为斜边。半弧背之外的正弦值，通一为斜边。半弧背，就是所求两角的半和度数。已知的两边，实际上对应所求两角的边，所以两边之和与差的比值，与半和度半差度的正弦值，通一为斜边。

句股第十四术【吴曰：今名两边夹一角，求余角余边，用梅勿庵切线分外角法】已知两边及一角弧度，不知道该角所对的边及两边所对的角。用圆周的一半减去已知一角弧度，余下的为所求两角弧度之和【吴曰：亦名外角】，取一半为半和度，用已知两边相减的差乘以半和度的正弦值，再除以已知两边相加之和，得到半差度的正弦值。用半差度与半和度相减，得到对已知小边的角弧度；若相加，则得到对已知大边的角弧度。既然已知三角两边，则如前第十二术可推知其一。

凡是正弦值随数的和差，可以相互权衡。凡是内正弦值不随和差全半相互权衡。

吴曰：三角形，任意以两边为斜边，第三边或为两直角边之和【锐角形的边，或对钝角的边】或为两直角边之差【钝角旁的边】，截之成两个直角三角形，两斜边之和差相乘，得到长方形面积，同于两直角边之和差相乘所得长方形面积。用两直角边之和除之，得到两直角边之差；若用差除之，则得到和。以此作为三边求角的比率，将三角形分为两个直角三角形，然后用直角三角形求角法，用八线表之。半径全数【或十万，或千万】与直角边相乘，斜边除之，得到直角边与斜边所交之角，余斜边。此术为平面三角法边角互求之一，记载中所不载者。

又有一种方法，凡是三角形的内切圆半径，截三边为六段相等者，各两段成角，旁相等的边作为直角边，都以内切圆的半径作为另一直角边。三边相加之和，取一半为半和。三边各与半和相减，而得到三个差。角所对边的差，即边所对角两旁相等的边。先知道三边，求其角，用三个差连乘【连乘者，两差相乘得数，余一差又乘之】，半和除之，开方得到内切圆半径。用八线表半径全数与内切圆半径相乘，角所对边的差除之，得到半角的正切，倍之得到角。如果三个差连乘又乘，以半和则开方得到三角形面积，半和除之得到内切圆半径。三角形面积者，内切圆半径与半和相乘之积也。此求角、求积及内切圆三术交通，皆不论角之锐钝，颇为便用，附存之。

《句股割圜记》中浑圆，中其圆而规之，二规之交，循圆半周而得，再交。

如赤道为一规，黄道为一规。赤道即周髀之中衡，黄道自南而北交于春分，自北而南交于秋分。二分相距半天周。

距交四分圆周之一，规之翕辟之节也。

如分至相距四分天周之一，更为一规。过二至二极，为玉衡之中。维【吴曰：今名二极二至交圈】赤道距北极，黄道距北极璿玑【吴曰：今名黄道极】皆四分天周之一。北极璿玑距正北极，与黄道距赤道相等。

<经部,礼类,通礼之属,五礼通考,卷一百九十七>

缘是以为经，谓之经度，横截经度之外，谓之纬度。太傅礼，东西为纬，南北为经。故古法皆以黄赤道之度为纬度，二道二极相距之度为经度【吴曰：今欧逻巴反之】纬度之宗，赤道是也；经度之宗，玉衡中维是也。黄赤道二至相距之度，《授时术草》谓之二至内外半弧背【夏至为内，冬至为外。吴曰：今名黄赤大距】赤道离二至之度，《授时术草》谓之赤道半弧背【吴曰：今从二分起数，则为赤道余弧】

经之内规之谓之经弧，纬之内截其规谓之纬弧。经弧如各度黄赤道相距之数，授时术草谓之黄赤道内外半弧背【春分后为内，秋分后为外。吴曰：今名黄赤距纬】纬弧如日躔黄道离二至之数，授时术草谓之黄道半弧背【吴曰：今为黄道余弧】

经纬之度界其外，经纬之弧截其内，是为半弧。背者

译第四，用勾股定理来推演它。在弧背的一半之外和之内，矩形的分划与平行线相互对应，从而得到度数相同的勾股。〇以上各项，都是古代弧矢术中用于测量方正的仪器。

译方直仪不必具备次矩分、句股〇面各一【圜半径为句，次矩分为股，次引数为〇，与本弧外内矩分的句股〇三三相应，详见上篇第十二图方直仪所不必具备而可知者】。加一于四而得五，因此参其体，两其用。所谓“用”，是从旁侧观察所得。旁侧观察用于经度，则经弧矩分为句，纬度次内矩分为股；经弧内矩分为句，纬弧次内矩分为〇。

句 股 〇 【互求率一】

经度【矩分】 圜半径 经度【径引 表数 一】

经度【内矩分】 经度【次内矩分】 径隅 【表二】

圜半径 经度【次矩分】 经度【次引 表数 三】

经弧【矩分】 纬度【次内矩分】 虚 【表四】

经弧【内矩分】 虚 纬弧【次内表矩分 五】

表一、表二、表三，都是经度本身固有的句股〇，即所谓“参其体”；表四、表五，是平行相应的句股〇，即所谓“两其用”。体与用，可以依据表格互相推求。

旁侧观察用于纬度，则纬弧矩分为句，经度次内矩分为股，纬弧内矩分为句，经弧次内矩分为〇。

句股〇【互求率二】

纬度【矩分】 圜半径 纬度【径引 表数 一】

纬度【内矩分】 纬度【次内矩分】 径隅 【表二】

圜半径，纬度【次矩分】 纬度【次引 表数 三】

纬弧【矩分】 经度【次内矩分】 虚 【表四】

纬弧【内矩分】 虚 经弧【次内表矩分 五】

旁侧观察用于经弧，则经度矩分为句，纬度径引数为之股，经度内矩分为句，纬弧径引数为之〇。

句股〇【互求率三】

经弧【矩分】 圜半径 经弧【径引 表数 一】

经弧【内矩分】 经弧【次内矩分】 径隅 【表二】

圜半径，经弧【次矩分】 经弧【次引 表数 三】

经度【矩分】 纬度【径引数】 虚 【表四】

经度【内矩分】 虚 纬弧【径引 表数 五】

旁侧观察用于纬弧，则纬度矩分为句，经度径引数为之股，纬度内矩分为句，经弧径引数为之〇。

句 股 〇 【互求率四】

纬弧【矩分】 圜半径 纬弧【径引 表数 一】

纬弧【内矩分】 纬弧【次内矩分】 径隅 【表二】

圜半径 纬弧【次矩分】 纬弧【次引 表数 三】

纬度【矩分】 经度【径引数】 虚 【表四】

纬度【内矩分】 虚 经弧【径引 表数 五】

仪器设立，构成四方，旁侧观察得到同度的句股。经度矩分为句，则纬度矩分为股；经度内矩分为句，则纬弧矩分为股；经弧矩分为句，则纬度内矩分为股；经弧内矩分为句，则纬弧内矩分为股。

句 股 〇 【互求率五】

经度【矩分】 纬度【矩分】 虚 【表一】

经度【内矩分】 纬弧【矩分】 虚 【表二】

经弧【矩分】 纬度【内矩分】 虚 【表三】

经弧【内矩分】 纬弧【内矩分】 虚 【表四】

共有句股二十四种，作为互相推求的比率，遵循古法以来，推步起日至，这就是其根本方法。

句股第十五术

已知经度【吴曰：如黄赤大距，亦名黄赤交角】，已知纬弧【吴曰：如黄道离二至度，若起二分则为黄道余弧】，求经弧【吴曰：如黄赤距纬】。用经度内矩分乘以纬弧次内矩分，除以径隅，得到经弧内矩分【在前表中选择使用径隅半径省除者，其余并不列出】。

《授时术草》说：设置黄赤道小〇【纬弧次内矩分，旁行用于经度，故名黄赤道小〇】，用二至内外半弧〇【即经度内矩分】乘以它为实，黄赤大〇【即经度径隅】为法，除之得到黄赤道内外半弧〇【即经弧内矩分】。

句股第十六术

已知经度，已知纬弧，求纬度【吴曰：如起一至赤道离度，若起二分则为赤道余弧】。用纬弧矩分乘以经度径引数，除以圜半径，得到纬度矩分。

句股第十七术

已知经度，已知经弧，求纬弧。用经度次引数乘以经弧内矩分，除以圜半径，得到纬弧次内矩分。

句股第十八术

已知经度，已知经弧，求纬度。用经度次矩分乘以经弧矩分，除以圜半径，得到纬度次内矩分。

句股第十九术

已知纬度，已知经弧，求纬弧。用纬度内矩分乘以经弧次内矩分，除以径隅，得到纬弧内矩分。

句股第二十术

已知纬度，已知经弧，求经度。用经弧矩分，乘以纬

译将经度引数除以圆周半径，得到经度的矩分。

勾股第二十一术

已知经度，已知纬度，求纬弧，用纬度矩分乘以经度次内，再除以圆周半径，得到纬弧的矩分。

译勾股第二十二术

已知经度，已知纬度。求经弧，用经度的矩分乘以纬度，再减去矩分，除以圆周半径，得到经弧的矩分。

勾股第二十三术

已知纬度，已知纬弧，求经弧。用纬度的次引数乘以纬弧的内矩分，除以圆周半径，得到经弧的次内矩分。

勾股第二十四术

已知纬度，已知纬弧，求经度。用纬度的次矩分乘以纬弧的矩分，除以圆周半径，得到经度的次内矩分。

勾股第二十五术

已知经弧，已知纬弧。求纬度，用纬弧的内矩分，乘以经弧的径引数，除以径隅，得到纬度的内矩分。

或者用纬弧的内矩分与径隅相乘，除以经弧的次内矩分，得到纬度的内矩分【列出此条以阐明古代方法】《授时术草》说：设置黄道半弧〇【即纬弧内矩分】，用周天半径【即纬度径隅】乘以它作为实数，赤道小〇【经弧次内矩分旁行用于纬度，所以叫赤道小〇】作为法数，相除得到赤道半弧〇【即纬度内矩分】。

勾股第二十六术

已知经弧，已知纬弧。求经度，用经弧的内矩分，乘以纬弧的径引数，除以径隅，得到经度的内矩分。

吴说：“就黄道和赤道而言，古代推算历法从冬至、夏至开始，或者先知道冬至、夏至的黄赤距及黄道【有经度，有纬弧】；或者先知道冬至、夏至的黄赤距及各度的黄赤距【有经度，有经弧】；或者先知道赤道及各度的黄赤距【有纬度，有经弧】；或者先知道冬至、夏至的黄赤距及赤道【有经度，有纬度】；或者先知道赤道、黄道【有纬度，有纬弧】；或者先知道各度的黄赤距及黄道【有经弧，有纬弧】。都是凭借其中两个量求得另外四个量。古代称为‘二至黄赤距’的，就是现在的大距；古代称为‘各度黄赤距’的，就是现在的距纬。”

引申并扩展它，以经度为节点的，它的两个规都是纬。从交点已经到经弧，称为次纬仪。以纬度为节点的，它的两个规都是经。从交点已经到纬弧，称为次经仪。仪各自作为半弧背的，构成三个圆周度的勾股〇【吴说：现在的正弧三角】。于是把半弧背的外内矩分叫做方数，勾股〇、圆周度勾股〇，就是古代的弧矢术。必须用方数勾股〇来驾驭它，方数为标准，由方得出圆，这是建立算法的普遍原则。次纬仪的经弧作为它的勾度，纬度的次半弧背作为它的股度，纬弧的次半弧背作为它的〇度。

圆周度、勾股〇，它们的外内矩分平行相应，得到同度的方数，勾股〇各有三个。

仪器不全，次矩分的勾股〇面各有一个，加上一个于三个，从四旁观察。股度的径引数作为股，那么〇度的径引数作为它的〇，用于句度。

勾股〇【互求率一】句度【矩分】圆周半径句度【径引表数一】

句度【内矩分】句度【次内矩分】径隅【表二】圆周半径，句度【次矩分】句度【次引表数三】

虚，股度【径引数】〇度【径引，表数，四】句度次内矩分作为〇，那么〇度次内矩分作为它的股，用于股度。

勾股〇【互求率二】股度【矩分】圆周半径股度【径引表数一】

股度【内矩分】股度【次内矩分】径隅【表二】圆周半径，股度【次矩分】股度【次引表数三】

虚〇度【次内矩分】句度【次内表矩分四】股度次内矩分作为股，那么句度径引数作为它的〇，用于〇度

勾 股 〇 【互求率三】〇度【矩分】 圆周半径 〇度【径引 表数 一】〇度【内矩分】 〇度【次内矩分】 径隅 【表二】圆周半径 〇度【次矩分】 〇度【次引 表数 三】

虚股度【次内矩分】句度【径引表数四】仪器建立时，旁行得到同度的方数，勾股〇三个为三成，股度矩分作为股，那么〇度矩分作为它的〇，句度矩分作为勾，那么股度内矩分作为它的股，〇度内矩分作为〇，那么句度内矩分作为它的勾，取方直仪经度的节点，作为它的度【合并方直仪次纬仪成为斜剖的立方形，两端必然形成同度勾股形】

吴说：“这一条完备了正弧三角的道理与方法，就这七十八个字，神妙地阐明它，可以穷尽推算历法的能力了。”

勾 股 〇 【互求率四】经度【矩分】 圆周半径 经度【径引 表数 一】经度【内矩分】 经度【次内矩分】 径隅 【表二】圆周半径 经度【次矩分】 经度【次引 表数 三】

虚，股度【矩分】〇度【矩，表分，四】

句度【矩分】股度【内矩分】虚【表五】

句度【内矩分】虚〇度【内矩表分六】凡勾股十八，为

译相互换算的比率。四次观测仪器也是如此。其次，纬仪开合的节度，就是经度。因此有经度相互换算的比率。其次，经仪开合的节度，就是纬度。有纬度相互换算的比率。

译方直仪、次纬仪的大致法则，前面已略有余论。各种仪器的圆周度数与内外方形数值、勾股关系，只需保留方直仪、次纬仪的弧度，原本称量，道理自然显现。它们的形制都仿照这两种仪器制作，不再单独列出图表。查阅五仪通率及十仪通率，就能各自得到它们的用途了。

距离经纬的弧度，占圆周的四分之一，这个规度称为外规。

例如交于北极璇玑为一个规，

作为总仪，凡是构缀的规法有五种，都以四分之一作为界限，并且前后交错叠加。

将仪器半弧背四合而成五种仪器：叫方直仪，叫右方仪，叫右次方仪，叫左方仪，叫左次方仪。

右方仪：经弧、次半弧背作为它的经度，外规度作为它的纬度，纬弧作为它的经弧，纬度次半弧背作为它的纬弧。

右次方仪：纬弧次半弧背作为它的经度，经度作为它的纬度，纬度次半弧背作为它的经弧，外规次半弧背作为它的纬弧。左方仪：外规度作为它的经度，纬弧次半弧背作为它的纬度，经度次半弧背作为它的经弧，经弧作为它的纬弧。

左次方仪：纬度作为它的经度，经弧次半弧背作为它的纬度，外规次半弧背作为它的经弧，经度次半弧背作为它的纬弧。左平面、右平面、右欹面、左欹面，五仪通率：经度、纬度、经弧、纬弧【方直仪】经弧【次半弧背】外规度、纬弧、纬度【次半弧背】右方仪【次半弧背】纬弧【次半弧背】经度、纬度【次半弧背】外规【次半弧背】右次方仪【次半弧背】外规度、纬弧【次半弧背】经度【次半弧背】经弧【左方仪】纬度、经弧【次半弧背】外规【次半弧背】经度【次半弧背】左次方仪【次半弧背】半弧背。

三合而成十种仪器：叫次纬仪，叫次经仪，叫两纬仪，叫两经仪，叫次经纬度仪。仪器的勾度、股度互换，那么内外矩分各自旋转而改变，所以有五个名称而仪器有十个。

次纬仪是方直仪的右仪，旋转成为右方仪的左仪，就交换勾度为股度，股度为勾度。有外规度互相推求的比率。次经仪是方直仪的左仪，〇度次半弧背作为它的勾度【即纬弧，次纬仪作为通率】，经度次半弧背作为它的股度，勾度次半弧背作为它的〇度【即经弧，次半弧背】，有股度次半弧背互相推求的比率【即纬度】。

旋转成为左方仪的右仪，那么经度次半弧背作为它的勾度，〇度次半弧背作为它的股度，勾度次半弧背作为它的〇度，有外规度互相推求的比率。

两纬仪是右方仪的右仪，〇度次半弧背作为它的勾度，外规次半弧背作为它的股度，股度次半弧背作为它的〇度，有勾度次半弧背互相推求的比率。

旋转成为右次方仪的左仪，那么外规次半弧背作为它的勾度，〇度次半弧背作为它的股度，股度次半弧背作为它的〇度，有经度互相推求的比率。

两经仪是左方仪的左仪，勾度作为它的勾度，外规次半弧背作为它的股度，经度作为它的〇度，有〇度互相推求的比率；旋转成为左次方仪的右仪，那么外规次半弧背作为它的勾度，勾度作为它的股度，经度作为它的〇度，有股度次半弧背互相推求的比率。

次经纬度仪，是右次方仪的右仪，股度作为它的勾度，经度次半弧背作为它的股度，外规度作为它的〇度，有〇度互相推求的比率。

旋转成为左次方仪的左仪，那么经度次半弧背作为它的勾度，股度作为它的股度，外规度作为它的〇度。有勾度次半弧背互相推求的比率。

【股度〇度二规翕辟之节】 勾 股 〇 十仪通率：经度 勾度 股度 〇度 【次纬仪】外规度 股度 勾度 〇度 【次纬仪之旋】股度【次半弧背】〇度【次半弧背】经度【次半弧背】勾度【次半弧背】次经仪【次半弧背】外规度 经度【次半弧背】〇度【次半弧背】勾度【次半弧背】次经仪之旋【次半弧背】勾度【次半弧背】〇度【次半弧背】外规【次半弧背】股度【次半弧背】两纬仪【次半弧背】经度 外规【次半弧背】〇度【次半弧背】股度【次半弧背】两纬仪之旋【次半弧背】〇度 勾度 外规【次半弧背】经度 【两经仪】股度【次半弧背】外规【次半弧背】勾度 经度 【两经仪之旋】〇度 股度 经度【次半弧背】外规度 【次经纬度仪】勾度【次半弧背】经度【次半弧背】股度 外规度 【次经纬度仪之旋】

吴说：现在的正弧三角法有三角三弧共六件事，借用黄道赤道的名称，叫黄道弧的是次纬仪的〇度，叫赤道弧的是股度，叫黄赤距弧的【也叫距纬弧】是勾度。有直角，它的度数正好是一个象限，这是勾度股度相交之处。有黄赤交角，它的度数就是黄赤大距，方直仪的经度，这是〇度股度相交之处。有黄道交极圈角

译右方仪、左方仪之外的规度，作为它的度数，这就是句度。〇度相交之处，正对仪器的经弧，即黄赤距弧；纬度是赤道余弧，纬弧是黄道余弧。此书记载将各种仪器设置在浑天仪上，循环一周，极正弧三角法所未能完备之处，也弥补了梅勿庵堑堵测量所未能完备之处。虽然不必全部用于正弧三角法，但正弧三角法所用的八线比例，没有遗漏的了。

译凡礼仪有十五种，这叫做一个终了。获得方形数中的勾股〇，三百弧矢术的正整之，就叙述完了。

勾股第二十七术【第十九术通用】

已知勾度，已知股度，求〇度。用勾度的径引数，乘以股度的径引数，用圆半径去除，得到〇度的径引数。

勾股第二十八术【第二十五术通用】

已知勾度，已知〇度，求股度。用〇度的次内矩分，乘以勾度的径引数，用径隅去除，得到股度的次内矩分。

勾股第二十九术【第二十三术通用】

已知股度，已知〇度，求勾度。用股度的径引数，乘以〇度的次内矩分，用圆半径去除，得到勾度的次内矩分。【勾度与股度的名称可以互换，则与前面的术相同】

以上三种距离互相求取的方法有三种。【吴曰：如同黄道距离二分点的度数、赤道同升度数、黄赤距离度数这三者互相求取，使用次纬仪】

勾股第三十术【第十七术通用】

已知经度，已知勾度，求〇度。用经度的次引数，乘以勾度的内矩分，用圆半径去除，得到〇度的内矩分。

勾股第三十一术【第十八术通用】

已知经度，已知勾度，求股度。用经度的次矩分，乘以勾度的矩分，用圆半径去除，得到股度的内矩分。

勾股第三十二术【第二十一术通用】

已知经度，已知股度，求〇度。用经度的径引数，乘以股度的矩分，用圆半径去除，得到〇度的矩分。

勾股第三十三术【第二十二术通用】

已知经度，已知股度，求勾度。用经度的矩分，乘以股度的内矩分，用圆半径去除，得到勾度的矩分。

勾股第三十四术【第十五术通用】

已知经度，已知〇度，求勾度。用经度的内矩分，乘以〇度的内矩分，用径隅去除，得到勾度的内矩分。

勾股第三十五术【第十六术通用】

已知经度，已知〇度，求股度。用经度的次内矩分，乘以〇度的矩分，用径隅去除，得到股度的矩分。

以上已知一角一距离，求其余距离的方法有六种，经度恒为已知的一角。规度【吴曰：如果经度是黄赤交角度，那么黄赤距离为勾，赤道为股，黄道为〇；如果经度是黄道交极圈角度，那么赤道为勾，黄赤距离为股，黄道为〇；都使用次纬仪已经完备】

勾股第三十六术【第二十术通用】

已知勾度，已知股度，求经度。用圆半径，乘以勾度的矩分，除以股度的内矩分，得到经度的矩分。或者用两经仪的旋转【吴曰：现在的又次形法】作为股度、经度、〇度【同第三十二术】，用股度的次引数，乘以勾度的矩分，用圆半径去除，得到经度的矩分。

勾股第三十七术【第二十六术通用】

已知勾度，已知〇度，求经度：用径隅乘以勾度的内矩分，除以〇度的内矩分，得到经度的内矩分。或者用两经仪作为勾度、经度、〇度【同第三十术】，用〇度的次引数乘以勾度的内矩分，用圆半径去除，得到经度的内矩分。

勾股第三十八术【第二十四术通用】

已知股度，已知〇度，求经度。用圆半径，乘以〇度的矩分，除以股度的矩分，得到经度的径引数。或者用次经纬度仪作为勾度、经度、股度【同第三十一术】，用〇度的次矩分，乘以股度的矩分，用圆半径去除，得到经度的次内矩分。

以上已知两距离求一角的方法有三种，经度恒为所求的一角。规度【吴曰：如果求黄赤交角，那么黄赤距离为勾，赤道为股，黄道为〇；如果求黄道交极圈角，那么赤道为勾，黄赤距离为股，黄道为〇】。凡已知一角一距离与其余距离互相求取，其方法有九种，其余一角也是如此。勾股第三十九术。

已知经度，已知勾度。求外规度，用次经纬度仪的旋转作为勾度、经度、〇度【同第三十术】，用勾度的径引数乘以经度的次内距分，用圆半径去除，得到外规度的内矩分。

勾股第四十术

已知经度，已知股度，求外规度，用两纬仪的旋转作为经度、〇度、勾度【同第三十四术】，用经度的内矩分乘以股度的次内矩分，用径隅去除，得到外规度的次内矩分。

勾股第四十一术

已知经度，已知〇度，求外规度，用次经纬度仪作为股度、经度、〇度【同第三十二术】，用〇度的径引数乘以经度的次矩分，用圆半径去除，得到外规度的矩分。

以上已知一角一距离，求一角的方法有三种，经度恒为已知的一角，规度外规度恒为所求的一角。规度【吴曰：如果求黄道交极圈角，以经度为黄赤交角度，黄赤距离为勾，赤道为股，黄道为〇；或者黄道交极圈角求黄赤交角，那么经度又当作黄道交极圈角，外规度当作黄赤交角，将赤道改为勾，黄赤距离改为股，而〇不变】

勾股第四十二术

已知经度，已知外规度，求〇度，用两纬仪的

译随即求得经度、句度、股度【同第三十一术】，以经度乘以次矩分，再乘以两外规度次矩分，用圆周半径去除，得到〇度次内矩分。

译句股第四十三术

已知经度，已知外规度，求句度。用次经仪的旋转作为句度，经度，〇度【同第三十术】。以外规度的次引数乘以经度的次内矩分，用圜半径去除，得到句度的次内矩分。

句股第四十四术

已知经度，已知外规度，求股度。用两纬仪的旋转作为经度，句度，〇度【同第三十术】。以经度的次引数乘以外规度的次内矩分，用圜半径去除，得到股度的次内矩分【如果所求的一个边距，不论它是句度还是股度，总是以句度来对待，经度总是作为对所求边距的角，规度则与前术相同】。

以上已知两角求一边距的有三种【吴说：如黄赤交角及黄道交极圈角，求黄道、赤道、黄赤距】。凡是两角与边距互相求取，其方法有六种，选择各种仪器中简便利于计算的使用，不可胜数。术中没有必要详细列举。

吴说：就黄赤道起二分而言，黄道、赤道、黄赤距是正弧三角的三边。其三角中一个直角为赤道交极圈角，两个锐角为黄赤交角。黄道交极圈角，放置直角不需要求取。三边互相求取的有三种：黄赤交角与三边互相求取的有九种；黄道交极圈角与三边互相求取的也有九种【道理同黄赤交角与三边互相求取】。合并两角与边互相求取的又得到九种【黄赤交角与三边求黄道交极圈角的有三种，黄道交极圈角与三边求黄赤交角的也有三种，同属一个道理】。总共三十件事。这里记载约略其术十八种。句股割圜记：下三觚不是弧矢术的正统，用句股弧矢来驾驭它。浑圜的规度，正视之中绳，侧视之随其高低而有余。只有平视之中规，都以平写的方式呈现。沿着规度的端点，走完半周得到圜径。横截圜径，齐规度的未抵外周，得到规度所为半弧〇。弧与〇改变正侧之势以为平。于是命名外周的度数为它的规度。

凡是矢属于规度的端点，〇属于规度的末端。一纵一横，相遇也。用矢，用内矩分准是率率之。

超过四分圜周之一，用大矢过半周，如同适合四分圜周之一，矢与半弧〇都适合圜半径，用半径为矢，为内矩分，适合四分圜周的三，如同适合圜半周，大矢应该很大，满圜径，用圜径为矢，超过四分圜周的三，还是往而复，仍然用小矢。

凡是超过四分圜周之一以减半周而得到余弧，过半周以半周减去而得到，〇弧减去余弧，〇弧的矢于圜径得到大矢。只有超过四分圜周的三以减圜周，用其余弧的矢。

四分圜周之一，古推步法谓之一象【周天分四象】，这是规度的大限，率的变化。减去两距于圜半周，用其余弧为两距；减去对两距的觚于圜半周，用其外弧为两觚。内矩分共用之半弧〇也，余一距及其对觚共用之觚与距也。

如果三觚各作为浑圜的一极，距觚四分圜周之一规。之三，规之交成三，觚三距则觚同其距之规度，距同其觚之规度。

前术大小倨句之体更也，后术觚与距之体更也。吴说：“现在的斜弧三角法，有锐角，有钝角；或者三角俱锐，或者两锐一钝，或者两钝一锐，或者三角俱钝。其三边或者俱不满一象，或者一边过之，或者两边过一象，或者三边俱过。约其大致，有相对之边角及对所求之边角，用边角互求法；有相对之边角，又有一边或一角非对所求之边角，则用垂弧法截为两正弧三角。若有两边一角求对角之边，或者有三边求角，则用矢较法。不能直用三法者，如上前后二术，易大边为小边，易钝角为锐角，及边易为角，角易为边，然后随其体势，总不出三法之范围矣。”

句股相权之大恒，觚之规度，内矩分各与对距相应。三距为浑圜之规度，则觚之内距分与对距之内矩分相应。相应而展转互权矣。

所知之觚与所知之距为相对之觚与距，其觚曰正觚其距曰对正，觚之距所知之觚与所求之距为相对之觚与距，其觚曰对所求一距之觚，或者所知之距与所求之觚相对，其距曰对所求一觚之距。

凡是觚与距适四分围周之一者，内矩分适圜半径，句股第四十五术【吴说：此边角互求法，以对角求对边】

以对正觚之距内矩分，乘以对所求一距之觚内矩分，正觚内矩分去除，得到所求之距内矩分。

句股第四十六术【吴说：此亦边角互求法，以对边求对角】

以正觚内矩分乘以对所求一觚之距，内矩分对正觚之距，内矩分去除，得到所求之觚内矩分。如果所求为倨于句股之觚，则所得为其外弧内矩分，以

译外弧减去圆周长的一半，就得到所求的角。

如果所求的不是对边距离，而是对角，就将其截断，形成圆弧度数，两个直角三角形，各自参照次纬仪的比例，进行通分计算。

译句股第四十七术【吴说：这是垂弧法，以及在次形上作垂弧的方法】

三个角都垂直于句股，从内部截取的部分，一个角及其对距为二，构成圆度句股〇的两个；三个角中有一个角斜交于句股，或者从内部截取。

从内部截取的部分，斜交于句股的一个角，及其对距为二，或者从外部截取，而斜交于句股的角有外弧，也都构成圆度句股〇的两个。如果两个角斜交于句股，或者三个角都斜交，使用前面变化率大小斜交句股的形体，另外构成一个三觚。然后或者截取它的内部，或者截取它的外部，既然得到了圆度句股〇，随着它的形体态势，没有不与次纬仪相应的。按照中篇的各种方法去求取。

凡是内矩分为半弧〇，它的弧背是浑圆大规。半弧〇不满圆半径的，以矢为枢纽，用半弧〇画规，形成浑圆的小规【吴说：现在称为距等圈，它的周长直径距离大圈的周长直径平行相等】横截正视、侧视的规【移动它的度数为平视】侧视的规也截小规，而与中围的大规相应。截小规的直径为大小矢，那么与中围大规的直径为大小矢相应。

三觚的作用，是两距的和与差。所求的角，或者已知的角，已知两距旁边的角，称为本觚。在旁边于本觚的右距，用平写的方法，作为平视的规。左距作为侧视的规，截左距的末端，形成小规，而在平面上识别左距。两距和的度数，差的矢，差的一半作为矢，一半的差作为句，小规的半径作为〇。

用差的度数与对本觚的距，两矢的差，作为句；左距侧视的规，截小规的直径，形成大小矢作为〇。

这样得到同度的句股两个，而句与〇通一为道。凡是角的规度，是中围大规。大小规的半径及其矢，都通一为道。

句 〇 【本觚规度】

矢半较【和度较度】小规半径，大规半径【表一】失较【较度对距】小规的矢，大规的矢【表二】如果左距恰好是圆周的四分之一，那么所形成的规恰好是中围大规【小规的半径即左距所为半弧背的〇，凡是半弧背恰好是圆周四分之一的，半弧〇也恰好是圆半径】如果左右距相等没有差度，那么和度的矢一半作为句，小规的半径作为〇，对距的矢作为句，小规的大小矢作为〇【如果没有差度而左距又恰好是圆周的四分之一，和度必定恰好是圆半周，用圆直径作为矢，一半就是半径，不再构成句股，对距的矢即为本觚的矢，也不再构成句股，对距的度数即本觚规度，直接不需要求了】

吴说：根据八线表，从半径全数中减去余〇，为正矢，即小矢，加上余〇半径为大矢。梅勿庵《环中黍尺》卷五说：角旁两弧度【即左距右距】相加为总【即两距之和度】相减为存【即两距之较度】看总弧是否超过象限，以总存两余〇相加；不超过象限则相减，并折半为初数。如果总弧超过两个象限，与超过象限的方法相同【其余〇仍然相加】超过三个象限，与在象限内相同【其余〇仍然相减】如果存弧也超过象限，那么反过来加减【总弧超过象限或超过半周宜相加，现在反过来相减；如果总弧超过三个象限宜相减，现在反过来相加】并且用两余〇同在半径相减，不然就相加。如勿庵法使用时，宜审查余〇同在半径，不同在半径。大概超过一个象限、超过半周，余〇都在外半径；不超过象限、超过三个象限，余〇都在内半径。知道这个，大概加减不会错误。又超过一个象限、超过半周，都与半周相减而用余弧剰弧的余〇；超过三个象限，与圆周相减而用其余弧的余〇。知道这个，大概用余〇不会错误。这两条应当为勿庵补充其例子。他的书又说：或者总弧恰好足半周，用半径为总弧余〇；如果角旁两弧同数，那么没有存弧，用半径为存弧余〇。这是勿庵迁就的方法，不是算理。恰好足半周没有余〇，戴君所谓大矢宜甚大满圆直径罢了，不应当设半径为余〇。又没有存弧的，没有由来有存弧的余〇，而空设半径以入加减，这两者不可以算理衡量。因此知道两余〇加减立法的根本，大概属于假借，这里记录立新法，改用两矢较半之与勿庵所得初数同，不需要强设，而且免去详细审查加减的麻烦。

以觚求距，求对距的矢；以距求觚，求本觚规度的大小，矢。

句股第四十八术【吴说：这是矢较法，现在称为两边夹一角求对边，及两角夹一边求对角】知道一个角两距，而距在角的左右，求对角的距。这个角叫本觚，用左右两距相并为和度，相减为较度。和度、较度的矢相减，一半作为矢，一半的较【吴说：即所谓初数，又名中数，只是他用余〇，这里用矢，立法不同罢了】乘以本觚的矢，圆半径除之，得到对距，与较度的两矢较，加较度矢，即

译对着距离的矢。凡是不知道较的度数，就使用和的度数的一半，乘以两个觚的矢所得到的结果，就是对着距离的矢。如果已知两个觚和一个距，且觚位于距的两端，依照前面的方法，将觚视为距，将距视为觚，那么计算方法相同。

译句股第四十九术【吴说：这也是矢较法，现在称为三边求角及三角求边】

已知三条边长求角度，所求的角度称为本角。将旁边的两条边长相加作为和度，相减作为较度。对边的矢与较度的矢相减，得到两矢的差，再乘以圆的半径。用和度的矢除以较度矢的一半，得到本角的矢。如果没有较度，则用圆的半径乘以对边的矢，再除以和度矢的一半，得到本角的矢。如果是已知三个角度求边长，参照前面的方法，将角度换为边长，将边长换为角度，也就等同于已知三条边长求角度了。

凡是矢，无论是小矢还是大矢，例子前面已经见过。

总共三篇，共计图表五十五个，算法四十九种，记录两千四百一十四字。依据《周髀算经》首章的言论，推演到极致，以完备步算的大全，补充六艺中散失的简篇。研究经学的士人，在广博见闻方面，或许会涉及这些内容。

吴说：“《准望简法》首章说：‘制作矩尺来观测，凡是把仪器放大一百倍，那么十分之一称为小分。矩尺累积其分数，一万小分，即一百万。以矩尺的百分作为圆的半径。从一个角度画圆，画圆的度数，恰好是圆周的四分之一。在这个角度设置垂线，截断画圆的度数成为半弧背，两个弧背外面的方形，称为矩分。半弧〇称为内矩分。垂线在弧内，称为径隅。圆的半径，与径隅是一样的。抵住弧外与矩分相应的，称为径引数。矩分超过满百，不与垂线相交。垂线所指之处，知道下一个弧背的矩分。矩尺累积作为实数，下一个矩分作为法数。实数除以法数得一，得到超过满百的矩分。从画圆的度数中减去半弧背，这就是下一个半弧背。将其减半，用它的矩分加到半弧背的矩分上，得到径引数。内矩分与弧外方数平行相应。’画圆的全圆，总共一百，对应昼夜的数量。一度六十分，以十分为一小度，对应昼夜的刻分。一分容纳不下六千，就将小度分为三份。命名为太少三之一曰少半度，三之二曰太半度。一个矩尺画圆，小度有一百五十，方圆的道理就完备了。没有圆无法穷尽方的变化，没有方无法阐明圆的用途。”

又说：天本来没有度数，历算家设定度数来推测日月星辰的运行。古法三百六十五度又四分之一度【古时一年的实际天数是三百六十五日又四分之一日，这里粗略举出大致情况罢了，大概随着适宜的情况修改，不与天争时间】，每昼夜，太阳向右旋转一度，度，是运行经过的名称。现在使用三百六十整度，那么每昼夜，太阳运行不到一度，虽然失去了名度的意义，但计算器具不妨使用它。这是模仿《周髀算经》制作矩尺，所以用古代的刻法作为度法【古代昼夜一百刻，一刻六十分，总共十分为一小刻，〇十二个时辰，每个时辰八大刻二小刻，梁朝天监年间改为昼夜九十六整刻，现在的刻法使用它】，得名度的，是太阳向左旋转一刻所经过的度数。

五礼通考卷一百九十七

<经部,礼类,通礼之属,五礼通考》>

钦定四库全书

五礼通考卷一百九十八

刑部尚书秦蕙田撰

嘉礼七十一

观象授时

《尚书·舜典》协时月正日

蕙田按：时、月、正、日与律、度、量、衡相对而言，似乎属于四项事物。我私下认为，时是四季，月是十二月，正是三正，日是三百六十六天。有了正而后时才能协调，比如建子则子、丑、寅为春；建丑则丑、寅、卯为春；建寅则寅、卯、辰为春。有了正而后月才能协调，建子则子月为正；建丑则丑月为正；建寅则寅月为正。时与月都以三正而协调，那么日的协调就不必说了。古代三正通用于民俗，所以奉行天道、符合地理、授予民时。正字似乎作三正解释是对的。注疏、蔡传将正字作虚字解释，恐怕不准确。三正不协调，那么万事就会败坏。所以《甘誓》列举有扈氏的罪状说：“怠慢废弃三正。”

曰知録说：三正的名称，见于《甘誓》。苏氏认为自舜以前，必定有以建子、建丑为正朔的，其由来尚早。防子之命说：“统承先王，修其礼物。”由此可知杞国使用夏正，宋国使用商正，如果朝觐会同，则使用周的正朔。在其本国，自然使用其先王的正朔。三正之所以不同，怀疑古代分封的国家各自有所承袭。所以公刘在夏后氏的时代，一之日、二之日已经使用建子为纪。《舜典》“协时月正日”，就是协调这些不整齐的时月。

《甘誓》有扈氏，威侮五行，怠弃三正。

蔡氏沈说：“三正，是子丑寅的正朔。夏正建寅，怠弃者是不使用正朔。根据这一章，三正交替建立，其由来已久。舜协调时月正日，也是为了统一正朔。子丑的建立，唐虞之前，应当已经有了。”

钦定传説彚纂三正注疏。主天地人，而后人以夏以前无改正朔事。林之竒则认为不必求之太深，只是说其废三纲五常。有人认为三正必有所指，如三纲三事之类。有人认为不使用夏时的正朔，也不使用唐虞以前的正朔，如秦使用亥为正。有人认为三正本兼用，如《周礼》有正月，又有正