五礼通考卷一百九十七

译次轮的半径为一百九十二万九千四百八十。

江永说：次轮的大小也与太阳的本天相等，其半径比本天半径的五分之一稍小。

译火星轨道与黄道的交角为一度一十九分四十秒。

火星的平位置应在第八宫九度一十三分一十三秒一十一防；

其远地点应在第九宫九度五十一分五十九秒二十七防，升交点应在第六宫七度二十一分四十九秒三十五防，采用火星的计算数值。

火星每日的平运动为一千八百八十六秒七七○○三五八【江永说：测算火星平运动的方法，也采用前后两次观测，与土星、木星相同。《新法算书》记载古代测定二万八千八百五十七日又千分日之八百八十三，火星在次轮上运行了三十七周，将中积日分作为被除数，火星在次轮运行的周数三十七作为除数，相除得到每周期为七百七十九日零十分日之九分四二七八三。于是以每周三百六十度作为被除数，周期作为除数，相除得到二十七分四十一秒三十九防三十七纎四十三忽五十五芒，这是火星每日相对于太阳的运行距离。减去每日太阳的平运动，余数为三十一分二十六秒四十防一十二纎零七忽四十四芒，即为火星每日的平经度】

远地点每日的平运动为十分秒之一，又八三四三九九。

升交点每日的平运动为十分秒之一，又四四九七二三。

本天半径为一千万；

本轮半径为一百四十八万四千；

均轮半径为三十七万一千

【江永说：均轮半径是本轮半径的四分之一】

最小次轮半径为六百三十万二千七百五十。

【江永说：火星的次轮大小随时不同。当本轮位置高且太阳位置也高时，次轮最大；当本轮位置低且太阳位置也低时，次轮最小。若二者皆处于高低之中，则次轮与太阳本天等大。此处设定火星处于最低位置，且恰逢太阳运行至最低位置，故次轮半径最小，如此设定】

本天高低大差为二十五万八千五百；

太阳高低大差为二十三万五千

【江永说：将两大差合计四十九万三千五百，取其半数二十四万六千七百五十，加于最小次轮半径六百五十四万九千五百之上，得到次轮不大不小之半径，这也与太阳本天等大，但在本天中仅占三分之二稍弱】

本道与黄道的交角为一度五十分；

火星的平位置应在第二宫一十三度三十九分五十二秒十五防；

远地点应在第八宫初度三十三分一十一秒五十四防，升交点应在第四宫一十七度五十一分五十四秒○七防，求得天正冬至【详见日躔篇】

求火星的平位置，将积日【详见月离篇】与火星每日平运动相乘，满一周天秒数后去掉余数，将余数换算为宫度分，即为积日平运动，将其加到平位置应得之数上，得到火星的年根【若向上考证古代，则置平位置应减去积日平运动】；再取火星每日平运动，乘以所设定的距天正冬至的日数，所得数与年根相加，得到火星的平位置。

求远地点的平位置，将积日与远地点每日平运动相乘，所得数为积日平运动，将其加到远地点应得之数上，得到远地点的年根【若向上考证古代，则置远地点应减去积日平运动】；再取远地点每日平运动，乘以所设定的距天正冬至的日数，所得数与年根相加，得到远地点的平位置。

求升交点的平位置，将积日与升交点每日平运动相乘，所得数为积日平运动，将其加到升交点应得之数上，得到升交点的年根【若向上考证古代，则置升交点应减去积日平运动】；再取升交点每日平运动，乘以所设定的距天正冬至的日数，所得数与年根相加，得到升交点的平位置。

求初实行，取火星平位置减去远地点平位置，得到引数【江永说：本轮心平位置距离远地点的度数，也就是均轮心在本轮上左旋距离第一宫初度的度数】；使用直角三角形【江永说：小句股形】，以本轮半径减去均轮半径作为对直角的边【江永说：土星本轮半径八十六万五千五百八十七，减去均轮半径余五十六万九千一百七十四；木星本轮半径七十万五千三百二十，减去均轮半径余四十五万七千三百四十；火星本轮半径一百四十八万四千，减去均轮半径余一百一十一万三千；此边为小〇，从本轮心抵均轮底，与直角相对】；以引数作为一个角【江永说：此角汇聚于本轮心，引数度在本轮周上，即为其角的度数】；求得对引数角的边【江永说：此边为小句，用正〇比例：半径千万为一率，引数度正〇为二率，对直角之边为三率，求得四率为对角之边，从直角抵均轮底，与小〇相交；引数超过象限以后，使用二率之法，详见日躔实行条】；以及求得对余角的边【江永说：此边为小股，用余〇比例：半径千万为一率，引数度余〇为二率，对直角之边为三率，求得四率为对余角之边，从直角抵本轮心；使用二率之法同上】；再使用直角三角形【江永说：大句股形】，将对引数角的边与均轮的通〇相加【求通〇详见月离篇，江永说：本轮左旋一度，均轮右

译旋转两个二度，因此均轮上用来贯通〇〇的引数，是倍数的度数。求取的方法：以半径一千万作为第一率。

译以引数角的正弦作为第一率，均轮半径作为第二率，求得第四率，将其加倍即为通分母；火星均轮半径为本轮半径的四分之一，则对引数角的边减去三分之一即为通分母，作为小边。江氏永说：此边为大句，从本轮心横向抵达均轮倍度之处，即次轮心所在。以对余角的边与本天半径相加减（引数三宫至八宫相加，九宫至二宫相减。江氏永说：引数起于最高，初宫在顶，六宫在底，应当说九宫至二宫相加，三宫至八宫相减，此注偶有错误），作为大边。直角在两边之中。江氏永说：此边为大股。求得对小边的角为初均数。江氏永说：用切线比例，大边为第一率，小边为第二率，半径千万为第三率，求得第四率为正切，以正切查表得角度，此角凑近地心。并求得对直角的边为次轮心距地心线。为求次均之用。江氏永说：从地心出斜线至次轮心为大句股的斜边。用割线比例，本天半径为第一率，初均数度的正割为第二率，大边为第三率，求得第四率为次轮心距地心线。以初均数加减本星平行（引数初宫至五宫为减，六宫至十一宫为加），得初实行。江氏永说：次轮心所当本天的度数也，次轮心距地心线已过本天，截至本天，当其度未至本天，当引长之至本天，当其度。

求本道实行，置本日太阳实行减初实行，得次引。即星距太阳度。江氏永说：土、木、火皆在太阳之上，星与太阳合伏在次轮的顶点，自是遂日有距太阳度，其行右旋，距度即次轮上之宫度。用三角形。江氏永说：斜三角也。以次轮心距地心线为一边，次轮半径为一边（惟火星次轮时时不同，须加减用之，法详后。江氏永说：火星与太阳有定距，故次轮因高卑而有大小），次引为所夹之外角（过半周者与全周相减用其余），求得对次轮半径的角为次均数。江氏永说：当用切线分外角法求之，两边相并为一率，两边相减之余为二率，半外角切线为三率，求得四率为半较角切线，以半较角减半外角，其余为对次轮半径之角。并求得对次引角的边为星距地心线。为求视纬之用。江氏永说：此次引角皆谓两边所夹之本角，从地心出斜线指星，对之次均角正弦为一率，次引角正弦为二率，次轮半径为三率，求得四率为星距地心线。乃以次均数加减初实行（次引初宫至五宫为加，六宫至十一宫为减），得本道实行。江氏永说：星体行于本道也。

求火星次轮半径，以火星本轮全径（命为二千万。江氏永说：即最大之矢也）为一率，本天高卑大差为二率，均轮心距最卑之矢为三率（引数与半周相减即均轮心距最卑度，不过象限则以余弦减半径为正矢，若过象限以余弦加半径为大矢。江氏永说：八线表无矢线，以余弦加减半径即得），求得四率为本天高卑。又以太阳全径（亦命为二千万。江氏永说：太阳之本轮全径）为一率，太阳高卑大差为二率，本日太阳引数之矢为三率（引数过半周者与全周相减用其余。江氏永说：太阳引数起最卑），求得四率为太阳高卑差。乃置火星次轮最小半径，以两高卑差加之，得次轮半径。江氏永说：他星绕日，绕其本轮心耳，火日同类，独以太阳实体为心，故次轮大小兼论太阳之高卑。

求黄道实行，置初实行，减正交平行，得距交实行。次轮心距正交之度。乃以本天半径为一率，本道与黄道交角之余弦为二率（江氏永说：土星交角余弦九九九〇四，木星交角余弦九九九七三，火星交角余弦九九九四九），距交实行之正切为三率，求得四率为正切，检表得黄道度，与距交实行相减，余为升度差，以加减本道实行（距交实行不过象限及过二象限为减，过象限及过三象限为加），得黄道实行。江氏永说：星行本道与黄道相当之经度也。

求视纬，以本天半径为一率，本道与黄道交角之正弦为二率（江氏永说：土星交角正弦〇四三九一，木星交角正弦〇二三一七，火星交角正弦〇三一九九），距交实行之正弦为三率，求得四率为正弦，检表为初纬。江氏永说：此次轮心距交远近之本纬也，正当交无纬，满九十度纬最大，各如交角。又以本天半径为一率，初纬之正弦为二率，次轮心距地心线为三率，求得四率为星距

译星距黄道线【江永说：由于本轮有高低之分，起初当纬度变化发生在本天半径之上时，纬度会增大；发生在本天半径之下时，纬度会减小。这就是星距黄道线，这里的“星”是泛指本轮而言，并非指星辰的实体】，于是以星距地心线作为第一比例项，星距黄道线作为第二比例项，本天半径作为第三比例项，求得第四比例项为正值〇查表得到视纬度【江永说：这是人眼观测到的星辰纬度，星辰有高低之分，而当距离线变化发生在本天半径之上时，距离线会变小；发生在本天半径之下时，距离线会增大】，随即确定其位于黄道之南或北【距离交点运行的实度数，从第一宫到第五宫属于黄道以北，从第六宫到第十一宫属于黄道以南】

译求晨夕伏见的定限度，设定黄道实行的位置与太阳实行的位置同宫同度为合伏。合伏之后，距离太阳逐渐变远，称为晨见东方【江永说：行星运行迟缓而太阳运行迅速，所以行星在太阳的西侧而早晨可见】，顺行，顺行逐渐变慢【江永说：行星的本轮中心在本天中运行，始终平行没有快慢，人们观察行星在轮上运行则有快慢，且有顺行逆行。合伏后行星运行到本轮上半部分的左侧，本轮中心已随本轮运行，而行星又向左运行就快了。接近象限时，其趋势向下倾斜就逐渐变慢】，慢到极点而退行，称为留退初【江永说：行星运行到本轮的象限，其趋势直下似乎不运行，但还有本轮中心的运行。进入下半部分深处接近轮底，行星向右运行的度数与轮向左运行的度数相减刚好抵消，则似乎不运行而停留。既停留则行星向右运行的度数多于轮向左运行的度数，人们观察行星为退行。停留的时候就是退行的开始，只是积累久了才达到一度。旧法行星停留数日或数十日，其方法粗略疏漏，道理不是这样的】，退行，距离太阳半周为退冲【江永说：当本轮的底部，火星接近退冲，切入太阳本天之内】，退冲的次日为夕见【江永说：过冲在太阳的东侧，傍晚可见东方】，退行逐渐变慢，慢到极点而顺行，称为留顺初【江永说：轮底向右的趋势快，逐渐向上逐渐变慢。轮向左运行的度数与行星向右运行的度数相减刚好抵消而停留。既停留则轮向左运行的度数多于行星向右运行的度数，又见为顺行。停留的时候就是顺行的开始】，顺行逐渐变快【江永说：过三象限以上，轮向左运行而行星也向左所以逐渐变快】，再靠近太阳以至于合伏为夕不见【江永说：行星靠近太阳被阳光所照耀，太阳落山而行星未出现，太阳落山深入地下而行星也隐没了。傍晚行星可见而行星在地平线上为夕不见的开始】。其伏见的限度，土星为十一度，木星为十度，火星为十一度三十分【江永说：因为行星体大小约为这个限度】。合伏前后某日，太阳实行与本星实行相距接近这个限度，即以本日本星黄道实行依照日食法求得限距地高【江永说：黄道在地平上九十度的限度，所谓黄平象限也。必须求这个限度不得限距地高。则无黄道地平交角，不能计算行星距日黄道度。求法先依照日躔篇，以本日太阳实行查距纬，求得本日日出日落时刻。如求晨见，用日出时刻约减三刻；求夕不见，用日落时刻约加三刻。其次依照月食篇，以本时黄道实经度求赤道经度，再依照日食篇，以本时变赤道度求本时春秋分距午赤道度。其次求本时春秋分距午黄道度，其次求本时午位黄赤距纬，其次求本时黄道与子午圈交角，其次求本时午位黄道高弧，其次求本时限距地高，即黄道地平交角也。本时变赤道度以后，也可依照月食法求之，较省径。伏见时行星在地平，太阳在地下，宜求地下的限距地，今求地上的限距地者，倒算借算法也。黄道在地平上与地下等，地上近南的限距地，即地下近北的限距地，故借地上倒算之】。乃用正弧三角形【江永说：有直角为正弧】有直角【江永说：置行星于地平，设太阳在地上，从天顶出线过太阳至地平交成直角，犹如太阳在地下，从天顶出线过太阳至地平交成直角也】，有黄道地平交角【即限距地高】，有本星伏见限度为对交角之弧【江永说：设太阳在地上，其高弧为本星伏见限度】，求得对直角之弧【江永说：黄道地平交角的正弦为一率，本天半径为二率，本星伏见限度的正弦土一九〇八一，木一七三六五，火一九九三七各为三率，求得四率为正弦检表得弧度】为距日黄道度【若行星当黄道无距纬，即为定限度】。有黄道地平交角，以本星距纬为对交角之弧【江永说：置行星于地平，或纬南或纬北，距纬直角设于地平上，距纬弧与直角相对】，求得两角间之弧【江永说：两角间之弧无所对而已，有两角一弧求法，本天半径为一率，黄道地平交角的余切为二率，距纬的正切为三率，求得四率为正弦检表得两角间之弧】为加减差，以加减距日黄道度【纬南则加，纬北则减。江永说：从地平上视之，纬南为减，纬北为加；地下的南北相反，故南加北减】，得伏见定限度。视太阳与行星相距度接近定限度，如在合伏前某日，即为某日夕不见；在合伏后某日，即为某日晨见。

求合伏时刻，视太阳实行将及行星实行为合伏，本日已过行星实行为合伏，次日求时刻之法，于太阳一日之实行内减行星一日之实行为一率【江永说：同向东行，故相减】，余与月离求朔望

译时刻的计算方法相同【江永说：日法作为二率，太阳与距星作为三率，求得四率即为合防时刻】

译求退冲时刻，以行星黄道实行与太阳实行相距将近半周为退冲，本日已过半周为退冲，次日求时刻的方法，以太阳一日的实行与本星一日的实行相加为一率【江永说：一东一西，所以相加】其余同前【江永说：也以日法为二率，太阳距星为三率】

求交宫时刻【与月离同】

求同度时刻，以两星一日的实行相加减为一率【两星同行则减，一顺一逆则加】日法为二率，两星相距为三率，求得四率为距子正的分数，以时刻收之，即得。

求黄道宿度【与日躔同。江永说：也以积年乘差得数，加黄道宿钤，以减本星黄道实行，余为本星所躔宿度】

惠田案以上推土木火三星法

推金水二星法

金星用数

金星每日平行三千五百四十八秒三三○五一六九【江永说：与太阳每日平行同，五十九分零八秒奇也。金水二星的本天原在太阳本天之下，其次轮原与太阳本天等大，与上三星同理。而星行次轮有时在日上，有时在日下，绕日成圆象，离日不甚远，不能冲日，则即借太阳的本天为二星的本天，以太阳的平行为二星的平行。而其绕日之圈别为伏见轮，亦曰次轮，其实借象，亦借算也。上三星亦有绕日圈，以其甚大不便用，则用岁轮本象算之。金水亦自有本天有岁轮，以其本天隐而伏见轮显，则于伏见轮算之】

最高每日平行十分秒之二又二七一○九五。

【江永说：金水正交与最高相距有定度，故不列正交行及正交应】

伏见每日平行二千二百十九秒四三一一八八六【江永说：金星离日之行也，古测定二千九百一十九日又十分日之六百六十七，金星行次轮五周，置中积日分为实，星行次轮周数五为法，除之得周率五百八十三日零十分日之九分三三四，乃以每周三百六十度为实，周率五百八十三日零为法，除之得三十六分五十九秒二十五分五十二纤一十六忽四十四芒为每日金星在次轮周之平行，一名伏见行】

本天半径一千万

【江永说：即太阳的本天也】

本轮半径二十三万一千九百六十二。

均轮半径八万八千八百五十二。

【江永说：本轮之心在本天，均轮之心在本轮，亦如上三星】

次轮半径七百二十二万四千八百五十。

【江永说：次轮又名伏见轮，星体行其上，右旋其心在均轮。金星原有次轮与太阳本天等大，而金星本天在日天之下者，其半径即此次轮之半径。今既用太阳的本天为星本大，则原本天半径遂为此次轮之半径矣。星在原次轮上，左旋，今以伏见轮为次轮，则星仍右旋矣】

次轮面与黄道交角三度二十九分。

金星平行应初宫初度二十分十九秒十八分。

【江永说：即律元冬至次日壬申子正时，太阳平行宫度也】

最高应六宫，○一度三十三分三十一秒。○四分伏见应初宫十八度三十八分十三秒，○六分。

水星用数

水星每日平行【与金星同】

最高每日平行十分秒之二又八八一一九三。

伏见每日平行一万一千一百八十四秒，一一六五二四八。

【江永说：古测定一万六千八百零二日又十分日之四，水星行次轮一百四十五周，置中积日分为实，以次轮周数一百四十五为法除之，得周率一百一十五日零十分日之八分七八六二一。乃以每周三百六十度为实，周率为法除之，得三度零六分二十四秒零六分五十九纤二十九忽二十二芒，为每日水星在次轮周之平行，一名伏见行。金、水各以伏见行加太阳一日之平行，则金、水之本行也】

本天半径一千万

【江永说：亦即太阳的本天】

本轮半径五十六万七千五百二十三。

均轮半径一十一万四千六百三十二。

次轮半径三百八十五万

【江永说：此亦水星本天半径，借为伏见轮半径也】

次轮心在大距与黄道交角五度四十分。

【江永说：大距、离、正交、中交各九十度】

次轮心在正交，当黄道北交角五度○五分一十秒，其交角较三十四分五十秒【与大距交角相较，后仿此】当黄道南交角六度三十一分○二秒，其交角

译较五十一分○二秒【江永说：正交本道从南面交叉进入北面，交角北面狭窄而南面宽阔】

次轮中心在中间，交点位于黄道北面时，交角为六度十六分五十秒，其交角差为三十六分五十秒；交点位于黄道南面时，交角为四度五十五分三十二秒，其交角差为四十四分二十八秒。

译江永说：中交原本指向黄道，从北交出发，到达南交，角在北边宽阔而在南边狭窄。

水星平行应【与金星相同】

最高应十一宫，○三度，○三分五十四秒五十四防。伏见应十宫，○一度十三分十一秒十七防。

求天正冬至【详见日躔】

求本星平行【与土星、木星、火星的方法相同，下文仿此】

求最高平行

求伏见平行【江永说：也仿照求本星平行的方法】

求正交平行，设置最高平行，金星则减去十六度，水星则加减六宫，得到正交平行【江永说：《律历指掌》说水星正交与最高同度，这是误将中交当作正交了】

求金星初实行，用引数求初均数【江永说：金星本轮半径二十三万一千九百六十二，减去均轮半径，余一十四万三千一百一十，为对直角之边】以加减平行为初实行，及求次轮心距地心，皆与土、木、火三星同。求水星初实行，用三角形【江永说：其他行星均轮起于最近防，轮心左旋，轮边右旋；水星均轮起于最远防，轮心轮边皆左旋。其他行星引数一度，均轮上两度；引数半周，均轮一周；水星引数一度，均轮上三度；引数四宫，均轮一周，所以算法不同】以本轮半径为一边，均轮半径为一边，以引数三倍之为所夹之外角【过半周者与全周相减用其余】求其对角之边，并对均轮半径之角【江永说：先求对均轮半径之角，用切线分外角法，以边总六十八万二千一百五十五为一率，边较四十五万二千八百九十一为二率，半外角切线为三率，求得四率为半较角切线，以半较角减半外角，其余即对均轮半径之角，乃以此角之正弦为一率，三倍引数所夹本角之正弦为二率，均轮半径为三率，求得四率为对角之边】又用三角形，以本天半径为大边，以求得对角之边为小边，以求得对均轮半径之角与均轮心距最卑度相加减【引数不及半周者与半周相减，过半周者减去半周，即均轮距最卑度加减之法，视三倍引数度不过半周则加，过半周则减江永说：三倍引数度不过半周者，其度在引数度之外，故加；过半周者，其度在引数度之内，故减】为所夹之角，求得对小边之角为初均数【江永说：也用切线分外角法求之】并求得对角之边为次轮心距地心线【江永说：均数角之正弦为一率，所夹本角之边为二率，次轮半径为三率，求得四率为对角之边】以初均数加减水星平行【引数初宫至五宫为减六宫至十一宫为加】得初实行

求伏见实行，置伏见平行加减初均数【引数初宫至五宫为加，六宫至十一宫为减。江永说：减星行则加伏见行，加星行则减伏见行】得伏见实行。求黄道实行，用三角法，以次轮心距地心线为一边，次轮半径为一边，伏见实行为所夹之外角【过半周者与全周相减用其余】求得对次轮半径之角为次均数【江永说：也用切线分外角法求之】并求得对角之边【江永说：以次均角之正弦为一率，亦如求次轮心距地心线之法】为星距地心线【为求视纬之用】以次均数加减初实行【伏见实行初宫至五宫为加，六宫至十一宫为减】得黄道实行【江永说：金水次轮之心在黄道上，故以次均加减初实行即黄道实行】

求距次交实行，置初实行，减正交平行为距交实行，以伏见实行相加【加满全周去之，用其余】得距次交实行【初宫至五宫为黄道北，六宫至十一宫为黄道南江永说：此原有之次轮心距正交实行也，合星平行与伏见平行为轮心本行，则合星实行与伏见实行为轮心实行也，今虽不用原有之次轮，而算距交必加伏见实行，谓之距次交实行，犹之用原有次轮也】

求视纬，以本天半径为一率，次轮面与黄道交角之正弦【江永说：金星交角正弦○六○七六】为二率【金星交角惟一，水星交角则时时不同，须求实交角用之法详后】距次交实行之正弦为三率，求得四率为正弦检表得次纬【江永说：此亦初纬也，以距次交求得谓之次纬】又以本天半径为一率，次纬之正弦为二率，次轮半径为三率，求得四率为星距黄道线【江永说：上三星求星距黄道线，以次轮心距地心线为三率，则

译有时金星的大距纬度大于初纬，这是因为以次轮半径作为第三比例项，所以必然小于次纬。金星可以用另一种方法求得：先用次轮半径七二二四八五乘以交角的正弦，再除以半径一千万，得到四三八九八二；以此作为次轮大距的正弦，再乘以各度距交点的正弦，除以半径一千万，就得到了金星距离黄道的线，这样可以省去一次求解。于是以金星距离地心的线作为第一比例项，金星距离黄道的线作为第二比例项，本天半径作为第三比例项，求得第四比例项为正弦，查表得到视纬，并确定其南北方向【距离次交点实行的初宫至五宫为黄道北，六宫至十一宫为黄道南】。

译求水星的实际交角。以半径一千万作为第一比例项，将交角较化为秒数作为第二比例项【距离交点实际运行在九宫至二宫时，使用次轮心在正交时的交角较；在三宫至八宫时，使用次轮心在中交时的交角较，仍根据其南北方向来使用。江永说：距离交点实际运行是指伏见轮心距离正交，并非原本次轮心距离正交，所以虽然水星自有其宫位，但不以此宫位来区分南北，必须查考距离次交点的实际运行，初宫至五宫为北，六宫至十一宫为南】，将距离交点实际运行的正弦值作为第三比例项，求得第四比例项即为交角差。设定交角【使用交角的方法与使用交角较相同】，用交角差对交角进行加减【距离交点实际运行在九宫至二宫时，星在黄道北则加，在南则减；在三宫至八宫时则相反。江永说：水星正交在最卑点，九宫至二宫在本轮的下半部分，三宫至八宫在上半部分，所以使用交角较与交角较以此确定，而南北加减也以此区分】，得到实际交角【江永说：求次纬时将其作为第二比例项】。

求晨昏伏见的确定限度。水星实际运行与太阳实际运行同宫同度称为合伏。合伏后距离太阳实际运行逐渐变远。傍晚出现在西方【江永说：水星与太阳同向运行之外，仍有伏见运行，所以经过太阳后先傍晚出现】，顺行。顺行逐渐变慢。慢到极点而退行为留退初【江永说：水星在次轮上运行也因逐渐接近象限而变慢，过象限进入下半部分，深伏见运行与轮心运行相减刚好尽时即为留，留的界限即为退初】，退行逐渐接近太阳【江永说：在太阳之下逐渐接近太阳】，则傍晚不可见。再次与太阳同度称为合退伏【江永说：轮的底部与太阳相合】，从此又逐渐远离太阳【江永说：在太阳西侧】，早晨出现在东方。退行。退行逐渐变慢。慢到极点而顺行为留顺初【江永说：也因逐渐向上而变慢，退度与轮心运行相减刚好尽时即为留，留的界限即为顺初】，顺行逐渐加快【江永说：也因轮上半轮运行而水星也随之运行的原因】，再次接近太阳以至合伏为早晨不可见。其伏见限度，金星为五度【江永说：因为星体大】，水星为十度。其求确定限度的方法与土星、木星、火星相同【江永说：也是先求距离太阳的黄道度，再求确定限度】。看水星与太阳相距的度数接近确定限度，如果在合伏前某日，即为某日早晨不可见。在合伏后某日，即为某日傍晚可见。在合退伏前某日，即为某日傍晚不可见。在合退伏后某日，即为某日早晨可见。求合伏时刻。看水星实际运行即将到达太阳实际运行，为合伏本日。已过太阳实际运行，为合伏次日【江永说：土星、木星、火星是太阳追星，金星、水星是星追太阳，所以相反】。求时刻的方法与月离求朔望时刻的方法相同。

求合退伏时刻，水星退行，看太阳实际运行即将到达，水星实际运行为合退伏，本日已过，水星实际运行为合退伏，次日。求时刻的方法，与土星、木星、火星求退冲时刻的方法相同。

求交宫时刻【与月离相同】

求同度时刻【详见土星、木星、火星】

求黄道宿度【与日躔相同】

惠田案：以上为推算金星、水星的方法

推演陵犯法

求陵犯入限。月亮陵犯恒星，以本日月亮经度与次日月亮经度，查本年陵犯恒星经纬度表【江永说：星靠近黄道内外，月亮可以相及的】，某星在此限度内为陵犯入限，再复查月亮在入限各星的上下【看两纬度同在黄道北的，纬度多的为在上，纬度少的为在下；同在黄道南的，纬度少的为在上，纬度多的为在下；一南一北的，纬度北的为在上，纬度南的为在下。江永说：都以在星北为上，在星南为下】，月亮在上的，两纬度相距二度以内取用；月亮在下的，一度以内取用【江永说：月亮常有视差降下，所以在北取二度，在南取一度，如同日食中阴历限度宽，阳历限度窄的道理】，相距十七分以内为陵【江永说：月亮半径大的可达十七分，陵是相及而未掩】，十八分以外为犯【江永说：过一度则不为犯】，纬度相同为掩。月亮陵犯五星，以本日月亮经度在星前，次日在星后为入限，其余与前相同。五星陵犯恒星，以两纬度相距一度以内取用，相距三分以内为陵【江永说：五星大的约三分】，四分以外为犯，其余与前相同。五星与日相陵犯，以行速快的为陵犯之星，行速慢的为受陵犯之星。如快慢相同而有顺逆的，以顺行者为陵犯之星，逆行者为受陵犯之星。皆以此星经度，本日在彼星前，次日在彼星后为入限，其余同前。

求日行度，月亮陵犯恒星，即以月亮一日之行度为日行度【以本日经度与次日经度相减即得，星仿此】，月亮陵犯五星，以月亮一日之行度相加减【星顺行则减，逆行则加】，得到日行度。五星陵犯恒星，以本星一日之行为日行度。五星自相陵犯，以两星一日之

译对两星相进行加减运算【若两星同向运行则相减，一顺一逆则相加】，得到太阳每日运行的度数。求算陵犯发生的时刻，以日行度【若有整度则化为分】作为第一率，以日法作为第二率，以两星相距的度数作为第三率，求得第四率为分，按日法折算为时刻【江永说：画陵犯应当不论】

译求视差，以日法为一率，太阳一日之行为二率，陵犯时刻化分为三率，求得四率，与本日太阳实行相加为本时太阳黄道度，依日食求视差法，求得东西差及南北差【江氏永说：以太阳黄道经度依月离篇求得赤道经度，乃以陵犯时为用时，如日食篇求用时，春秋分距午赤道度以下十七条，求得东西差，乃以本天半径为一率，用时白道高弧交角之正弦为二率，用时高下差之正弦为三率，求得四率为正弦，得用时南北差，推陵犯不以如日食之密，不求近时定时可也】求视纬，置太阴实纬，以南北差加减之【加减之法与日食同】得视纬

求太阴距星，以太阴视纬与星纬相加减【南北相同则减，一南一北则加】得太阴距星，取相距一度以内者用。

求陵犯视时，以太阴实行化秒为一率【以太阴日行度二十四除之即得江氏永说：一日分为二十四时，故日行度亦以二十四除】一时化秒为二率，东西差化秒为三率，求得四率为秒，收为分，以加减陵犯时刻【太阴距限西则加，东则减】得陵犯视时【江氏永说：太阴视差皆由地心、地面不同，与日食同理，五星亦有防差，可不论】

蕙田案以上推陵犯法

京师及各省北极高度

京师北极高三十九度五十五分【江氏永说：观象台之极高也】畅春园北极高三十九度五十九分三十秒。

盛京四十一度五十一分

山西三十七度五十三分三十秒。

朝鲜三十七度三十九分十五秒。

山东三十六度四十五分二十四秒。

河南三十四度五十二分二十六秒。

陕西三十四度十六分

江南三十二度四分

四川三十度四十一分

湖广三十度三十四分四十八秒。

浙江三十度十八分二十秒

江西二十八度三十七分十二秒。

贵州二十六度三十分二十秒

福建二十六度二分二十四秒

广西二十五度十三分七秒

云南二十五度六分

广东二十三度十分

【江氏永说：极高度皆以测影测星定，各以本方极高度之正切。京师八二六六二，盛京八九五六七，山西七七八二四，朝鲜七七一六一，山东七四六九二，河南六九六九三，陕西六八一三，江南六二六四九，四川五九三三六，湖广五九○九三，浙江五八四四八，江西五四五六七，贵州四九八七，福建四八八五九，广西四七○九六，云南四六八四三，广东四三七九一。与黄赤大距度正切四三四六四相乘，半径千万除之，为赤道度之正弦，得二至日出入卯酉前后赤道度。以一度变时之四分加减卯酉正初刻，得日出入时刻分】

各省东西偏度【凡偏东一度，节气迟时之四分；偏西一度，节气早时之四分】

盛京偏东七度十五分【江氏永说：迟一刻十四分】

浙江偏东三度四十一分二十四秒【江氏永说：迟一刻】福建偏东二度五十九分【江氏永说：迟十二分】

江南偏东二度十八分【江氏永说：迟九分】

山东偏东二度十五分【江氏永说：迟九分】

江西偏西三十七分【江氏永说：早二分】

河南偏西一度五十六分【江氏永说：早八分】

湖广偏西二度十七分【江氏永说：早九分】

广东偏西三度三十三分十五秒【江氏永说：早十四分】

山西偏西三度五十七分四十二秒【江氏永说：早一刻一分】广西偏西六度十四分四十秒【江氏永说：早一刻十分】

陕西偏西七度三十三分四十秒【江氏永说：早二刻】

贵州偏西九度五十二分四十秒【江氏永说：早二刻九分半】四川偏西十二度十六分【江氏永说：早三刻四分】

云南偏西十三度三十七分【江氏永说：早三刻九分】

朝鲜偏东十度三十分【江氏永说：迟二刻十二分】

【江氏永说：偏东西度，盖屡测月食时刻定之。节气近子半，东西可差一日，则朔望〇亦然。而月大小，惟据顺天府时刻定者，尊京师也。各省交食时刻，则以东西偏度定。地球周九万里，一度二百五十里，此南北纬度里数也。若东西经度，惟南海外当赤道之下者里数如之，中国当赤道之北，则里数渐少，愈近北则愈少。如圆球上作距

译等分圆环，靠近腰部的较大，靠近顶部的较小，到了顶部就形成一个防区了。各省之间东西相望，有的正对有的斜对，想要计算它们之间的距离，都可以用弧三角法来计算。方法是：用各省的北极高度减去象限，剩下的就是距离地北极的度数。比如要计算京师与盛京之间的距离，京师距离地北极五十度五分，作为一边；盛京距离地北极四十八度九分，作为另一边；偏角七度十五分，作为两边所夹的角。两边相加九十八度十四分，作为总弧，余弦为〇一四三二。两边相减一度五十六分，作为存弧，余弦为〇九九九四二，两者相加得一〇一三七四，折半得五〇六八七，与角的矢八〇〇相乘作为实数，半径十万作为法数，相除得四〇五，这是对弧与存弧两矢的差。用这个差加上存弧矢五八，得四六三，这就是所求的对弧矢。用矢减去半径得余〇九九五三七，查表得五度三十一分，将五度三十一分换算成里数，得到一千三百八十里，这是盛京距离京师斜望的实际里数。考察驿站里程为一千四百四十五里，大概是因为人行走的道路曲折，多了六十五里。其他省份计算经度里数，都仿照这个方法。

译蕙田按：以上论述北极高度及东西偏度。

右推步法下

附戴震《勾股割圆记》【吴思孝解】

蕙田按：《史记》记载黄帝迎日推历，《世本》记载黄帝的臣子隶首创制算数。历指日月运行轨迹可以推算而言。数指从一至九，进而九数相乘，以穷尽乘除之用而言。二者相互依存以成就其能。考察《周官》，九数的计算，在六艺中占其一，由保氏掌管以教导贵族子弟，司徒掌管以教导万民。数的应用，以勾股最为重要。所以《周髀算经》记载周公向商高请教，于是得到勾长三、股长四、弦长五的比例。该书指出要点说：“数的法则源于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”又说：“方数为常法，以方推圆。”又说：“智慧出于勾，勾出于矩。”这几句话，古今推步家没有能超出其范围的。大概步算的大端有两类，叫象，叫形。象指日月星辰经纬的运行，明显可见。形指方圆勾股用来测量这些象。古人有勾股术，有弧矢术。现在称为平三角，弧三角。平三角即勾股的异名，弧三角即弧矢的异名。勾股弧矢方圆之义完备了。学习这些术，不得其理，则繁杂琐碎而近于技艺。戴氏《勾股割圆记》三篇，上篇是古代的勾股法，即现在的平三角。中篇是古代的弧矢法，即现在的正弧三角。下篇也是古代弧矢法，即现在的斜弧三角。其中对于平三角正比例，以同度六勾股阐明。对于斜弧三角的两边夹一角及三边求角，用两矢较，不用余弦，都是此前所未有的。又认为各种术的巧妙，除了同度勾股相权之外，更没有其余的术。总以《周髀》首章之言推演到极致，称名立法，一律使用古义，以补《九章》之亡艺。进乎道了。因此取来附在推步之后，而步算的大全就都具备了。

《勾股割圆记》上：割圆的方法，在圆心处将其分割，截圆周为弧背。连接弧背的两端叫弦，弦截圆直径得矢。弦矢之内，形成相等的两个勾股。半弧弦为勾，减去矢于圆半径余数为股。连接勾股的两端叫弦，也叫弦。勾股的弦得圆半径。

勾股三矩【凡有分数刻识的都叫矩】方之【各自相乘得方幂】合勾与股二方，恰如弦之大方。

勾股第一术

勾与股求其弦，勾自乘，股自乘，并之为弦，实开方得弦。

勾股第二术

勾与弦求其股，勾自乘，弦自乘，相减，余为股实，开方得股。

勾股第三术

股与弦求其勾，股自乘，弦自乘，相减，余为勾实，开方得勾【与第二术同】

减矢于圆直径，余为股弦；和矢恒为股弦较，和较相乘为勾之方。

勾股第四术

股与弦求其勾，用和较率，股弦相加为和，相减为较，以较乘和为勾实，开方得勾【勾与弦求其股用和较率术同】

勾股第五术

勾与股弦较，求其股，或求其弦，勾自乘，股弦较除之，得股弦和，和较相减，余为倍股，半之得股；若相加，则为倍弦，半之得弦【股与勾弦较，求勾弦术同】

勾股第六术

勾与股弦和，求其弦，或求其股，勾自乘，股弦和除之，得股弦较，以加股弦和，半之得弦，以减股弦和，半之得股【股与勾弦和，求勾弦术同，凡勾与股之名可互易，故不两列】

勾股第七术

截圆直径得矢，求弧背之弦，用第四术。命矢为小矢，于圆直径减小矢，余为大矢，以小矢大矢相乘，四之开方，得弧背之弦。若不四其实，则得半弧弦【凡方面倍其积，必四倍】或不用和较率，则矢与圆半径相减，余为股，圆半径为弦，用第三术得勾，倍勾为弧背之弦。

勾股第八术

弧背之弦与矢求其圆直径，用第五术，弦折半，自乘矢除之【若弦自弃，则四其矢除之】加矢为圆直径。

减勾于圆半径，余为次弧背之矢，倍股为次弧弦，减次弧背之矢于圆直径，余为勾弦和，其矢为勾弦较，和较相乘为股之方。

勾股第九术

圆直径平截之，得弧背之弦，求其矢，弦折半与圆半径相减，得次弧背之矢【即勾弦较，若相加则得勾弦和】用第七术得次半弧背之弦，于圆半径减次半弧背之弦得矢，或不用和较率，则弧背之弦半之为勾，圆半径为弦，用第二术得股，股即次半弧背之弦也。

引弦于弧背外，成勾股弦。弧背外之勾，谓之矩分；弦谓之径。引数股，得圆半径也。次弧背外之股，谓之次

译矩分；〇这叫做次引。通过计算得出圆的半径。

方与圆相互包含的形体，用圆的一周来包含勾股和与较的比率，取圆周的四分之一与之相应；用方的四周来包含圆的周长，总共四个角与之相应；勾股〇用三周来包含圆的一半周长，总共三个角与之相应。