五礼通考卷一百九十六

译十二分一秒三十七微有奇】

太阳平行朔策一十万四千七百八十四秒三零四三二四【一半为望策，以下三条相同】

译江永说：二十九度六分二十四秒十八微多，平行望策五万二千三百九十二秒一五二一六二。

太阳引数朔策一十万四千七百七十九秒三五八八六五。

江永说：二十九度六分十九秒多。引数望策五万二千三百八十九秒六七九四三二五。

太阴引数朔策九万二千九百四十秒二四八五九。江永说：减去满周天得到二十五度四十九分多。引数望策应当加上半周，六十四万八千秒，再折半，总共六十九万四千四百七十秒一二四二九五。

太阴交周朔策十一万零四百一十四秒零一六五七四。

江永说：减去满周天，得一宫零四十分十四秒多。交周望策，应当加上半周，六十四万八千秒。再折半，总共七十万三千二百零七秒零零八二八七。

太阳小时平行一百四十七秒八四七一九。江永说：二分二十七秒多。

太阳小时引数一百四十七秒八四零一二七。

太阴小时引数一千九百五十九秒七四七六五四二。江永说：三十二分三十九秒多。

太阴小时交周一千九百八十四秒四零二五四九。江永说：三十三分四秒多。

月距日，小时平行一千八百二十八秒六一二一一零八。

江永说：三十分二十八秒多。

太阳光分半径六百三十七。

江永说：假设地半径为一百，太阳实际半径为五百零七，而光体四处扩散，还有余数一百三十，因此照耀地体，能侵入下半部分，而地影也因此变得瘦小。

地半径一百。

江永说：假设整数以便于计算。地圆周九万里，半径二万四千一百三十余里。

太阴实际半径二十七。

江永说：比太阳半径少十九倍多。日月实体相差很大，而视直径大致相等。全直径约半度多，月亮稍大于太阳。在最高点和最低点，则各有加减。

太阳最高点距地一千零一十七万九千二百零八，与地半径的比例为一十一万六千二百。

江永说：太阳本天半径加上本轮半径，减去均轮半径，为太阳最高点距地的数值。其比例为一千一百六十二个地半径，最高点和最低点的中间为一十一万四千一百五十四多。本轮均轮逐渐变小，则此数也有细微差别。

太阴最高点距地一千零一十七万二千五百，与地半径的比例为五千八百一十六。

江永说：太阴本天半径，加上本轮半径，减去均轮次均轮两个半径，为太阴最高点距地的数值。其比例为五十八个地半径多。最高点和最低点的中间，五千七百一十七四多。

朔应二十六日，三八五二六六六。

江永说：律元天正冬至辛未，是十一月初四日。这是从初五日壬申子正开始计算，距离十二月戊戌平朔二十六日多。其小余九小时十四分四十六秒多。

首朔太阳平行应初宫二十六度二十分四十二秒五十七微。太阴相同。

江永说：首朔，是指律元甲子年前十二月的朔日。

首朔太阳引数应初宫一十九度一十分二十七秒二十一微。

江永说：太阳距离最低点的度数，用来减去太阳平行，应当是首朔最低点所在的位置。

首朔太阴引数应九宫一十八度三十四分二十六秒一十六微。

江永说：太阴距离月孛的度数。太阴平行，应当加上十二宫，用引数减去，应当是首朔月孛所在的位置。

首朔太阴交周应六宫初度三十分五十五秒一十四微。

江永说：太阴距离正交的度数。太阴平行，应当加上十二宫；用交周减去，为首朔正交所在的位置。

求天正冬至。详见日躔。

求首朔，设置积日。详见月离，江永说：律元冬至次日正午到所求年冬至次日正午。减去朔应得到通朔。上考往古，加上朔应，江永说：积日内减去二十六日多，是从律元十二月首朔开始计算的，通朔是指未计算积朔的名称。用朔策去除，得到的数加一为积朔，余数再减去朔策为首朔。上考往古，则除得的数即为积朔，不用加一，余数即为首朔，不用再减去朔策，江永说：得数是指除得若干朔，加一是指在得数之外加一朔才是十二月朔，前所除仍有不尽的日分，在所加的一朔内减去，即得所求的首朔，距离天正冬至次日后的若干日及分，总共计算积朔日分，从律元十二月戊戌平朔起算，上考往古也以此朔为根本。

求太阴入食限，用积朔与太阴交周朔策相乘，满周天秒数去除后的余数，为积朔太阴

译交周应【上考往古，则置首朔太阴交周应，减积朔太阴交周。江氏永说：首朔太阴交周应不足减的，加上十二宫再减，后面仿照此例】又加上太阴交周望防，再以太阴交周朔防连续加十三次，得到逐月望太阴平交周【江氏永说：加十三次，是从十二月望到十二月望】看某月交周进入可食的限度，就是有食之月【交周从五宫十五度零六分到六宫十四度五十四分，从十一宫十五度零六分到初宫十四度五十四分，都是可食的限度。江氏永说：初宫、五宫是阴律，六宫、十一宫是阳律，都以距离交点十四度五十四分为虚宽的限度，比《授时历》的十三度五分加大】再在实交周中详细考察【江氏永说：一年进入食限的有两次或三次，而不都发生食的原因是有定望加减，定望在白天不算，或者已经进入食限但日月地影半径有减差，也不发生食】

译求平望，用太阴进入食限的月数与朔策相乘，加入望策，再加上首朔日分及纪日【天正冬至加一日即为纪日，江永说：天正冬至从甲子日起，又加一日作为纪日，为什么呢？以前计算积日是从律元辛未日子正开始，而朔应从次日壬申子正开始，中间相差一日，所以在天正冬至日加一日作为纪日】，满纪法去除后的余数为平望日分，从初日起算甲子得到平望干支，用日法通其小余，按法收取得到时刻分秒。

求太阳平行，设置积朔加上太阴进入食限的月数，与太阳平行朔策相乘，满周天秒数去除后，为积朔太阳平行，加上首朔太阳平行应【上考往古，则用积朔平行减去平行应】，再加上太阳平行望策，即得。

求太阳平引，设置积朔加上太阴进入食限的月数，与太阳引数朔策相乘，满周天秒数去除后，为积朔太阳平引，加上首朔太阳引数应【上考往古，则用积朔平引减去引数应】，再加上太阳引数望策，即得。

求太阴平引。设置积朔，加上太阴进入食限的月数，与太阴引数朔策相乘，满周天秒数去除后，为积朔太阴平引。加上首朔太阴引数应【上考往古，则用积朔平引减去引数应】，再加上太阴引数望策，即得。

求太阳实引。用太阳平引，依日躔法求得太阳均数。用太阴平引，依月离法求得太阳初均数。两均数相加减为距弧【两均同号相减，异号相加。江永说：平望时或未及望，或已过望之弧】，以小时月距日平行为一率，一小时化秒为二率【江永说：一小时三千六百秒】，距弧化秒为三率【江永说：一分化六十秒，一度化三千六百秒】，求得四率为距时秒【江永说：这是用度秒求时秒】，随之确定其加减号【两均同加，日大则加，日小则减；两均同减，日大则减，日小则加；两均一加一减，其加减从日。江永说：日月本轮以最高最卑为界，左六宫为加，右六宫为减。两均同加者皆在左，两减者皆在右，一加一减者或日左月右，或月左日右也。这是想要加减太阳的平引数，进退皆从日】，又以一小时化秒为一率，太阳小时引数为二率，距时化秒为三率，求得四率为秒【江永说：这是用时秒求度秒】，用度分收取为太阳引弧【依距时加减号】，用加减太阳平引得实引【江永说：为求日实均之用】。

求太阴实引，以一小时化秒为一率，太阴小时引数为二率，距时化秒为三率【江永说：即上条距时也】，求得四率为秒，用度分收取为太阴引弧【依距时加减号】，用加减太阴平引得实引【江永说：为求月实均之用】。

求实望，用太阳实引复求太阳均数为日实均【江永说：如日躔求实行之法，用直角三角形两次求之，其小直角用实引为一角】，并求得太阳距地心线【直角三角形对直角之边，详日躔江永说：此大直角三角形也，既求得直角之句与股，其斜〇为太阳距地心线，法用本天半径为一率，实均数度之正割线为二率，大边为三率，求得四率为太阳距地心线，此线为后求地影半径之用】，用太阴实引复求太阴初均数为月实均【江永说：如月离求初实行之法，用直角三角形两次求之，其小直角用实引为一角，朔望求得初均即得太阴实行，故不复求二三均】，并求得太阳距地心线【详月离江永说：此谓次均轮心距地心，非谓月之实体也，求法已解于月离求初实行条，朔望时月与次均轮心同一直线上，故亦可谓之太阴距地，此线为后求太阴半径之用】，两均相加减为实距弧【与距弧同，江永说：亦两均同号相减，异号相加】，依前求距时法求得四率为秒，用时分收取为实距时，设置平望用实距时加减之【加减法与距时同】，得实望【加满二十四时则实望进一日，不足减者借一日作二十四时减之则实望退一日江永说：进一日为次日，退一日者子正前为昨日】。

求实交周，以一小时化秒为一率，太阴小时交周为二率，日距时化秒为三率，求得四率为秒，用度分收取为交周距弧，用加减平交周【依实距时加减号】，又以月实均加减之为实交周【江永说：以交周距弧加减平交周者，从平望至实望月距交进退之度也，而月实均为月之实行，故又以实均依其加减号加减之为实

译观测月亮的望时，距离正交点或中交点的度数，若进入“必食限”，则必定发生月食。所谓“实交周”，是指从第五宫十七度四十三分零五秒到第六宫十二度十六分五十五秒，以及从第十一宫十七度四十三分零五秒到第一宫十二度十六分五十五秒，这属于必定发生月食的范围；如果不进入这个范围，就不必计算。江永说：中交和正交，无论是阴律还是阳律，都以距离交点十二度十六分五十五秒作为必定发生月食的界限。这是根据地球影子的半径和月球半径的最大值来计算其所对应的度数，因此是这样规定的。地球的影子必定在太阳的对面，随着观察者所处位置的不同，影子的高低也会随之变化，不存在地面与地心之间的视差，所以月食不分阴律阳律，在九州各地看到的食分都是相同的。

译求太阳黄道实经度，以一小时化秒为一率，太阳每小时平行为二率，实距时化秒为三率，求得四率为秒，以度分折算，即为太阳距弧【依实距时的加减号】，用以加减太阳平行，再以日实均加减之，即为黄道经度【江永说：以太阳距弧加减太阳平行，是从平望到实望日进退的平度，而日实均为实行，所以又用实均加减之，作为实望时日距冬至的经度】，即求得赤道经度【方法详见《月离》求太阴出入时刻条。江永说：以本天半径比黄赤大距之余弦，若太阳距春秋分黄道经度之正切，与赤道经度之正切也。春分后黄道经度内减三宫为距春分黄道经度，秋分后减九宫，春分前加三宫为距秋分黄道经度】。

求实望用时，以日实均变时为均数时差，以升度差【黄赤经度相减】变时为升度时差，两时差相加减为时差总【加减之法详见《月离》求太阴用时条】，用以加减实望，即为实望用时【距日出后、日入前九刻以内者可以见食，九刻以外者全在昼，即不必算。江永说：可见食者带食也】。

求食甚时刻，以本天半径为一率，黄白大距之余弦为二率【江永说：黄白大距之余弦九九六二二】，实交周之正切为三率，求得四率为正切【江永说：与《月离》求黄道实行条同，亦犹日躔黄求赤也】，查八线表得食甚交周，与实交周相减为交周升度差【江永说：实交周者，白道上月距交之度；食甚交周者，黄道上距交之度也。黄与白有升度差，犹赤与黄有升度差也】。又以太阴小时引数与太阴实引相加，依《月离》求初均法算之，为后均，以后均与月实均相加减【两均同号相减，异号相加】，得数又与小时月平行相加减【两均同加，后均大则加，小则减；两均同减，后均大则减，小则加；两均一加一减，其加减从后均】，为月距日实行【江永说：此于食甚之后设一小时算其月距日行分若干，以为升度差当得若干时分之比例也。此一小时月距日实行又为后初亏复圆时刻之用】。乃以月距日实行化秒为一率【江永说：度分之秒】，一小时化秒为二率【江永说：时分之秒】，升度差化秒为三率【江永说：度分之秒】，求得四率为秒【江永说：时分之秒】，以分折算得食甚距时，用以加减实望用时【实交周初宫、六宫为减，五宫、十一宫为加。江永说：实交周初宫、六宫，月已过交，宜减时分差早；五宫、十一宫，月未至交，宜加时分差晚】，即为食甚时刻【江永说：既得实望用时，复求食甚时刻者，白道黄道有升度差，则时刻亦小异也】。

求食甚距纬，以本天半径为一率，黄白大距之正弦为二率【江永说：黄白大距四度五十八分三十秒，正弦八六七三】，实交周之正弦为三率，求得四率为正弦【江永说：此以大股大句比小股小句也】，查八线表得食甚距纬【实交周初宫、五宫为北，六宫、十一宫为南。江永说：距交十二度十六分五十五秒以内所当二道之宽也，远交纬大，近交纬小，如正当其交则无距纬，月心与地影心合为一】。

求太阴半径，以太阴最高距地为一率，地半径比例数为二率，太阴距地心线【求月实均时所得】内减去次均轮半径为三率，求得四率为太阴距地【江永说：此以最高时月距地半径有奇，求其渐卑之距地也，前所求太阴距地心线者，次均轮心距地心线也，定朔望时月体在次均轮之底，故须减去次均轮半径一十一万七千五百，乃为月实体所在】。又以太阴距地为一率，太阴实半径为二率，本天半径为三率，求得四率为正切，查八线表得太阴半径【江永说：太阴视半径旧表最小者一十五分一十五秒，最大者一十七分二十秒】。

求地影半径，以太阳最高距地为一率，地半径比例数为二率，太阳距地心线【求日实均时所得】为三率，求得四率为太阳距地【江永说：此以最高时日距地一千一百六十二地半径，求其渐卑之距地也】。又以太阳光分半径减地半径所余为一率，太阳距地为二率，地半径为三率，求得四率为地影之长【江永说：太阳光分半径大于地半径五倍有奇，地影渐远渐小，成角形，自日心至地影之尽处为大股，光

译将半径分为大句，又在大句的股中分为两个股，首先将半径减去地半径后剩余的部分，其次是大句，太阳距离地球的距离是次大股，地半径是小句，地影长度是小股。又以地影长度为一率，地半径为二率，本天半径为三率，求得四率为正切，查八线表得到地影角【江永说：地影的角度，引影线至本天满半径，其度数在本天的弧上】。又以本天半径为一率，地影角的正切为二率，地影长度减去月亮距离地球后的余数为三率，求得四率为月亮所在处地影的宽度【江永说：大股与大句之比如同小股与小句之比】。于是以月亮距离地球为一率，地影的宽度为二率，本天半径为三率，求得四率为正切，查八线表得到地影半径【江永说：旧表中地影半径最小为四十三分，最大为四十七分】。

译求食分，以太阴全径为一率，十分为二率，太阴半径与地影半径相并为并径【江永说：旧表中并径最小者五十八分一十五秒，最大者一度四分二十秒】内减食甚距纬【并径不足减距纬，即不食；江永说：距纬大于并径不食，与并径等亦不食】余为三率，求得四率，即食分【江永说：地影半径内减太阴半径，其余距纬与之等，自此以上皆能食既】

求初亏复圆时刻，以食甚距纬之余弦为一率，并径之余弦为二率，半径千万为三率，求得四率为余弦，检八线表得初亏复圆距弧【江永说：初亏至食甚，食甚至复圆，其距弧等正弦，纵余弦横，月食至地影中横过，故以余弦半径为比例，八线之理，正弦余弦相为消长，正弦大者余弦小，正弦小者余弦大，极而至于无正弦，则余弦与半径等。假令食甚正当交防，无距纬，则一率与三率皆半径，而二率四率之余弦必等，余弦等正弦亦等，以并径之正弦为半径，规一小圆于本天大圆之中，地影包其内，是距弧正弦与半径等，月食必从影之正右横过且穿其心。又设距纬与并径等，则一率与二率之余弦等，三率与四率皆半径，则小圆之半径尽无距弧，月从影之上下相切而过，不食矣。其他有距纬未至等于并径者，三率半径必稍大于一率，则四率之余弦亦必稍大于二率，余弦大者正弦小，距弧月从影之偏右横过，不穿心矣】又以月距日实行化秒为一率【江永说：前求食甚时刻所得】小时化秒为二率，初亏复圆距弧化秒为三率，求得四率为秒，以时分收之为初亏复圆距时，以加减食甚时刻得初亏复圆时刻【减得初亏，加得复圆】

求食既生光时刻，食甚距纬之余弦为一率，地影太阴两半径较【江永说：相减之余也】之余弦为二率，半径千万为三率，求得四率为余弦，检八线表得食既生光距弧。又以月距日实行化秒为一率，小时化秒为二率，食既生光距弧化秒为三率，求得四率为秒，以时分收之为食既生光距时，以加减食甚时刻得食既生光时刻【减得食既，加得生光】

求食限总时，以初亏复圆距时倍之，即食总时。求太阴黄道经纬度，置太阳黄道经度，加减六宫【过六宫则减去六宫，不及六宫则加六宫；江永说：月在日之对冲，故加减六宫】再加减食甚距弧【江永说：食甚距时之弧也，以一小时化秒为一率，月距日实行化秒为二率，食甚距时化秒为三率，求得四率为秒，以度分收之为食甚距弧，其加减依食甚距时】又加减黄白升度差【求升度差法详月离，求黄道实行条】得太阴黄道经度，即求纬度【详月离，江永说：前已求食甚距纬矣】

求太阴赤道经纬度【详月离求太阴出入时刻条。江永说：本天半径为一率，黄赤大距之余弦为二率，太阴距春秋分黄道经度之正切为三率，求得四率为赤道经度之正切，赤纬后无所用，如欲求之，依弧三角两边夹一角求对边之法】

求宿度：求得本年黄赤道宿钤【求黄道宿钤法详日躔，有黄道经纬度即可求赤道经纬度，与太阴求赤道法同。江永说：求宿赤道经度用弧三角法，以本宿黄道纬度南则加九十度，北则减九十度，为距黄极之一边，黄赤大距为一边，本宿距冬至黄道经度为所夹之外角，过半周者与全周相减，用其余，依太阴求赤道纬度法求得对角之边，为宿距北极度，不及九十度者减去九十度，余为南纬，宿有数星，所求者距星也】以太阴黄赤道经度各如法减之【详日躔】即得太阴黄赤道经度

求黄道地平交角【江永说：此下二条皆为求定交角以辨初亏复圆方向也】以食甚时刻【江永说：从子正起】变赤道度【每时之四分变作一度，每时之一分变度之十五分】又于太阳赤道经度内减三宫【不及减者加十二宫减之；江永说：经度起冬至，故减三宫为春分，不及减者在春分前也】余为太阳距春分赤道度，两数相加【满全周去之】为春分距子正赤道度，加减半周得春分距午正东西赤道度【过半周者减半周为午正西，不及半周者与半周相减为午正东】春分距午正东西度过象限者，与半周相减，余为秋分距午正

译以秋分距午正的东西度数（与春分相反），用春秋分距午正的东西度数减去九十度，余数即为春秋分距地平的赤道度数，将其作为斜弧三角形的一条边；以黄赤大距度数（即春秋分处的角度）及赤道与地平的交角（用极髙减去象限得到，春分在午西、秋分在午东者用此角，若春分在午东、秋分在午西者则用此角与半周相减取余数；赤道去天顶与极髙相同，故用极髙减象限即得赤道地平交角，如京师极髙四十度，则交角五十度；凡角度必两边皆满九十度才见对角之弧度，午正赤道距地平、地平正东正西距午正皆九十度，故赤道地平交角的度数在子午圈上，黄道地平交角亦同理；赤道交角必朝向黄道，春分午西秋分午东者赤道包黄道，故用其本角以向黄道；春分午东秋分午西者黄道包赤道，故赤道用其外角以向黄道；本角锐而外角钝，钝角之正弦余弦即锐角之正弦余弦，但锐角之矢为正矢，钝角之矢为大矢，大矢者即半径加余弦）作为夹该边的两个角，求得对边的角即为黄道与地平的交角（春分午东、秋分午西者，所得数即为黄道地平交角；如春分午西、秋分午东者，则以所得数与半周相减，余数为黄道地平交角；皆用形外垂弧法求之。形外垂弧者，从天顶出线，过春秋分角至地平成直角，以便用半径比例。春分午东、秋分午西者，赤角钝而黄角锐，作垂弧于近赤道边，以本天半径为一率，赤道地平交角之正弦为二率，春秋分距地平赤道度之正弦为三率，求得四率为正弦，检表得度数为垂弧。又以春秋分距地平赤道度之余弦为一率，本天半径为二率，赤道地平交角之余切为三率，求得四率为正切，检表得虚角，以春秋分角并虚角为总角。又以本天半径为一率，总角之正弦为二率，垂弧之余弦为三率，求得四率，检表得度数为黄道地平交角。春分午西、秋分午东者，赤角锐而黄角钝，作垂弧于近黄道边，亦以本天半径为一率，赤道地平交角之正弦为二率，春秋分距地平赤道度之正弦为三率，求得四率为正弦，检表得垂弧。又以春秋分距地平赤道度之余弦为一率，本天半径为二率，赤道地平交角之余切为三率，求得四率为正切，检表得总角，于总角内减春秋分角，余为虚角。又以本天半径为一率，虚角之正弦为二率，垂弧之余弦为三率，求得四率为余弦，检表得黄道地平交角之外角，以外角与半周相减，余为黄道地平交角。右法皆三求而后得角，若用次形法则易边为角，易角为边，可用加减捷法求之。春秋分角度为一边，赤道地平交角度为一边，春秋分距地平赤道度为所夹之角，两边相并为总弧，相减为存弧，各取余弦视总弧过象限，两余弦相加；不过象限，相减折半为初数，以半径为一率，角之矢为二率，初数为三率，求得四率为对弧存弧两矢较。以矢较加入存弧矢为对弧矢，得正矢与半径相减得大矢，于矢内减半径为余弦，以余弦检表得对弧，易弧为角，视得正矢为锐角，得大矢为钝角。此法较防），求黄道髙弧交角，以黄道地平交角之正弦为一率，赤道地平交角之正弦为二率，春秋分距地平赤道度之正弦为三率，求得四率为正弦，检表得春秋分距地平黄道度数（黄道地平交角对春秋分距地平赤道一边，赤道地平交角对春秋分距地平黄道一边，此亦斜弧三角角有所对之边，又一角对所求之边，则皆用正弦比例）；又以太隂黄道经度视春秋分在地平上者，与三九宫相减，余为太隂距春秋分黄道度数（春秋分宫度大于太隂宫度为距春秋分前，反此则在后）；又以太隂距春秋分黄道度与春秋分距地平黄道度相加减为太隂距地平黄道度数（春秋分在午正西者，太隂在分后则加，在分前则减，春秋分在午正东反是；食甚时太隂所当黄道度即地影之心，太隂距地平黄道度即影心距地平黄道度也）；随视其距限之东西（春秋分在午西者，太隂距地平黄道度不及九十度为限西，

译如果超过九十度，则界限在东方；春秋分时，若位于午位之东，则情况相反。于是，以月亮距离地平黄道度的余弦作为第一比例项，本天半径作为第二比例项，黄道与地平交角的余切作为第三比例项，求得第四比例项为正切值，查表得到黄道高弧交角。【江永说：从天顶引出线经过影心到达地平，与黄道相交形成角度，这个角对着下方两角之间的地平弧，因为弧度尚未求得，不能使用正弦法，应当如此求解，这与之前求虚角、总角的方法相同。此交角是在地影上所作大圆的角度，也就是影边的角度。食发生在界限以东的，角在左下方；食发生在界限以西的，角在右下方。】求得初亏和复圆的定交角，将食甚时的交周，用初亏和复圆的距离弧进行加减，得到初亏和复圆的交周。【减去得到初亏，加上得到复圆。】于是，以本天半径作为第一比例项，黄白大距的正弦作为第二比例项，初亏和复圆交周的正弦分别作为第三比例项，分别求得第四比例项为正弦值。【江永说：这也如同求食甚距离纬度的方法。】查表得到初亏和复圆的距离纬度。【交周在初宫、五宫为纬北，在六宫、十一宫为纬南。】再以并径的正弦作为第一比例项，初亏和复圆距离纬度的正弦分别作为第二比例项，半径千万作为第三比例项，求得第四比例项为正弦值。【江永说：并径对着直角，距离纬度对着纬差角，所以都用正弦比例。】查表得到初亏和复圆的纬差角，分别与黄道高弧交角相加减，得到初亏和复圆的定交角。【月亮在界限以东，初亏时纬南则加，纬北则减；月亮在界限以西，初亏时纬南则减，纬北则加；复圆时的加减法则相反。江永说：在影上所作的交角，界限以东在左下，界限以西在右下，而月亮进入影子都从右边出，影子都从左边，用纬差角加减交角时，界限以东看其右上方的对角，初亏时纬南，白道在下则两角加大，纬北，白道在上则对角减小；界限以西看其右下方的本角，初亏时纬南，白道在下本角减小，纬北，白道在上本角加大，复圆时相反，依此类推可知。】如果初亏和复圆没有纬差角，【江永说：这正是交防的时候。】就以黄道高弧交角作为定交角。

译求取初亏和复圆的方向。如果食分在交限以东，且初亏与复圆的定交角在四十五度以内，则初亏在下偏左，复圆在上偏右；若定交角在四十五度以外，则初亏在左偏下，复圆在右偏上；若定交角恰好是九十度，则初亏在正左，复圆在正右；若定交角超过九十度，则初亏在左偏上，复圆在右偏下。如果食分在交限以西，且初亏与复圆的定交角在四十五度以内，则初亏在上偏左，复圆在下偏右；若定交角在四十五度以外，则初亏在左偏上，复圆在右偏下；若定交角恰好是九十度，则初亏在正左，复圆在正右；若定交角超过九十度，则初亏在左偏下，复圆在右偏下【江永说：靠近地平线则交角小，靠近交限则交角大，正当交限时恰好是九十度，超过九十度的情况，是因为月亮纬度偏南或偏北而有增减。月亮本体不能分东西，但可以分为左右，其偏正上下分为八个方向，都是依据定交角来确定的】

求取带食情况，用本日的日出或日入时刻【初亏或食甚在日出之前的称为带食出地，食甚或复圆在日入之后的称为带食入地，带食出地的用日出时刻，带食入地的用日入时刻】与食甚时刻相减，余数作为带食距时，将小时换算成秒作为一率，将小时对应的月亮距日实行换算成秒作为二率，将带食距时换算成秒作为三率，求得四率为秒，用度分来收拢作为带食距弧【江永说：这是地平距离食甚的弧长，日出时带食在西方的，初亏尚未到食甚，食甚防备在地平之上，食甚尚未到复圆，食甚防备在地平之下；日入时带食在东方的，初亏尚未到食甚，食甚防备在地平之下，食甚尚未到复圆，食甚防备在地平之上】又用半径千万作为一率，带食距弧的余弦作为二率，食甚距纬的余弦作为三率，求得四率为余弦，查表得到对应两心相距的弧长【江永说：这是月心与影心之间的距离，正当食甚时距纬即两心相距，因为带食有距弧，或者初亏未到食甚，或者食甚未到复圆，那么两心相距必然大于食甚距纬，另外形成斜弧，带食距弧与距纬相交成直角，直角与两心相距弧相对，求法应当以一半径三余弦为比例】于是用月亮全径作为一率，十分作为二率，合并直径内减去带食两心相距余作为三率，求得四率为带食分秒。

求取各省月食时刻，用京师月食时刻按照各省东西偏度进行加减【与推算各省节气时刻的方法相同。江永说：月食分秒没有差异，只有时刻西方早而东方晚】求取各省月食方向，用各省赤道高度及各省时刻按照上述方法推算【江永说：先以各省偏度加减食甚时刻，然后依照求黄道地平交角以下四条方法推算】

惠田案：以上为推算月食的方法

推算日食的方法

所用数值

太阳实半径五百零七【其余详见月食部分】

【江永说：地球半径假设为一百，太阳半径大于地球半径五倍零七，所以为五百零七】

求取天正冬至【详见日躔部分】

求取首朔【详见月食部分】

求取太阳入食限，与月食求逐月望平交周的方法相同，只是不使用望策，即为逐月朔平交周。看某月交周是否进入可食的限度，即为有食的月份【交周从五宫九度零八分至六宫八度五十一分，又从十一宫二十一度零九分至初宫二十度五十二分，都是可食的限度。江永说：阴律二十度五十二分，阳律八度五十一分，这是虚宽的可食限度。日食限度阴律度数多，阳律度数少，是因为人在地面看月亮有视差，月亮不在天顶，看起来总是下降。初宫、五宫月亮在黄道北，距离交点尚远，实际度数本不食，视度减去则见食；六宫、十一宫月亮在黄道南，距离交点近，实际度数本当食，视度加上反而不见食。后面推算三差时详细论述】

求取平朔，与月食求平望的方法相同，只是不加望策，后面三条相同。

求取太阳平行

求取太阳平引

求取月亮平引

求取太阳实引

求取月亮实引

求取实朔

求取实交周，以上四条都与月食方法相同，只是食限不同【实交周从五宫十一度四十五分至六宫六度十四分，又从十一宫二十三度四十六分至初宫十八度十五分为确切的食限，实交周进入此限的有食，不进入限的不必布算，但也有进入限而不食的，是因为三差的缘故，后面详细论述。江永说：阴律十八度十五分，阳律六度十四分为确切的食限】

求取太阳黄赤实经度【与月食方法相同，下面两条仿照此例】

求取实朔用时，实朔用在日出前或日入后五刻以内可以看见食，五刻以外全在夜间，不必布算【江永说：五刻以内可见带食】

求取食甚用时【与月食求食甚时刻的方法相同】按月食无视差，所以用食甚距时加减实望用时，即得食甚时刻。如果是日食，则视差种类繁多，其时刻因此进退，所以又有近时、定时的求取，这里只称为用时。此后

译于是根据观测时刻求取视差，以此来推算定时的时刻。

求取观测时刻时春分点距离午正的赤道度数，用太阳的赤道经度减去三宫【如果不够减，就加上十二宫再减】，得到太阳距离春分点之后的赤道度数。

又将食甚时刻的用时转换为赤道度数，加上或减去半周【超过半周的减去半周，不足半周的加上半周；江永说：超过半周的是午正之后，不足半周的是午正之前】，得到太阳距离午正的赤道度数。

将这两个数相加【满一周的减去一周】，如果这个数不超过象限，就是春分点距离午正以西的赤道度数；如果超过一个象限，就与半周相减，余数就是秋分点距离午正以东的赤道度数；如果超过两个象限，就减去两个象限，余数就是秋分点距离午正以西的赤道度数；如果超过三个象限，就与全周相减，余数就是春分点距离午正以东的赤道度数【江永说：比如观测时刻是巳正，赤道度数为150度，加上半周180度，得到330度。假设太阳距离春分点20度，相加得到350度，这是超过三个象限，与全周相减，余10度，即为春分点距离午正以东的赤道度数。如果太阳距离春分点40度，相加得到370度，满一周减去一周，余10度，这是不超过象限，即为春分点距离午正以西的赤道度数。超过一个象限、超过两个象限的情况，仿照此类推】

译求用时春秋分距午黄道度，以黄赤大距的余弦为一率【江永说：黄赤大距的余弦为0.91712】，本天半径为二率，用时春秋分距午赤道度的正切为三率，求得四率为正切，查表得用时春秋分距午黄道度【江永说：这就是《月离》篇中“太阴出入时刻”条下由黄道求赤道的算法，此处反用而已。根据八线之理，余弦与半径之比等于半径与正割之比，如果想用半径作为除数来省去除法运算，则以本天半径为一率，黄赤大距的正割1.09037为二率】

求用时午位黄赤距纬，以本天半径为一率，黄赤大距的正弦为二率【江永说：黄赤大距的正弦为0.39862】，用时春秋分距午黄道度的正弦为三率，求得四率为正弦，查表得用时午位黄赤距纬【江永说：这是利用大股大句比小股小句的原理】

求用时黄道与子午圈交角，以用时春秋分距午黄道度的正弦为一率，本天半径为二率，用时春秋分距午赤道度的正弦为三率，求得四率为正弦，查表得用时黄道与子午圈交角【江永说：子午圈与赤道相交成直角，则有半径的正弦对应黄道弧，而赤道弧则对应黄道与子午圈的交角，所以都按正弦比例计算。如果想把半径作为一率以省去除法，则以春秋分距午黄道度的余割为二率】

求用时午位黄道宫度，设定用时春秋分距午黄道度，若春分点在午位之西则加三宫，秋分点在午位之西则加九宫，春分点在午位之东则与三宫相减，秋分点在午位之东则与九宫相减，得到用时午位黄道宫度【江永说：午位黄道宫度是从冬至初宫开始计算的，所以这样加减】

求用时午位黄道高弧，将用时午位黄赤距纬与赤道高弧【北极高度减去象限的余数，江永说：比如极高三十度与九十度相减余五十度】相加或相减，得到用时午位黄道高弧【黄道三宫至八宫则相加，九宫至二宫则相减，江永说：春分后为北纬故加，秋分后为南纬故减】

求用时黄平象限距午度分，以用时黄道与子午圈交角的余弦为一率，本天半径为二率，用时午位黄道高弧的正切为三率，求得四率为正切，查表得度数，与九十度相减，余数为用时黄平象限距午度分【江永说：黄道在地平之上恒为半周，其九十度限为最高之处，称为黄平象限。一天中只有春秋分两点正当地平时，九十度限在正午。若春秋分在地平之上，此限或在午东，或在午西。推求日食的食分、食时之差，先求此限所在为关键。既然求得黄道与子午圈交角为一角，午位黄道高弧为一边，又有子午圈与地平相交的直角，这就是两角夹一边，求对直角的黄弧，也如同前文求春秋分距午黄道度的方法一样求之。如果想用半径为一率以省去除法，则以黄道与子午交角的正割为二率。求得四率为午位黄道距地平的度数，与九十度相减，则得限距午度分。春分在地平上时，限在午东；秋分在地平上时，限在午西】

求用时黄平象限宫度，将用时黄平象限距午度分与用时午位黄道宫度相加或相减，得到黄平象限宫度【午位黄道宫度，初宫至午宫为加，六宫至十一宫为减。若午位黄道高弧超过九十度，则反其加减。江永说：初宫至五宫春分在地平上，六宫至十一宫秋分在地平上。午位黄道高弧超过九十度的，是北极高度二十三度半以下的地方，向北看太阳，所以反其加减】

求用时月距限，将太阳黄道经度与用时黄平象限宫度相减，余数为月距限度，随即观察其距限的东或西【太阳黄道经度大于黄平象限宫度者为限东，小于者为限西。江永说：此时尚未求东西差，太阳黄道经度即太阴黄道经度】

求用时限距地高，以本天半径为一率，用时黄道与子午圈交角的正弦为二率，用时午位黄道高弧的余弦为三率，求得四率为余弦，查表得用时限距地高【江永说：限距地高即黄道地平交角，这是以两角夹一边求对边之角的方法。午位黄道高弧即午位黄道距天顶的余度，限距地高即限距天顶的余度，如果从天顶算起，则是半径与黄道子午圈交角的正弦，若午位黄道距天顶的正弦与限距天顶的正弦以减象限而得限距地高，此处用高弧计算故用余弦，此两余弦即彼两正弦也，从天顶算亦有半径正弦者，黄极出线过天顶至黄平象限成直角，黄极出线至黄道无非直角，他处不过天顶，惟交黄平象限乃过天顶。月食求黄道地平交角，既得春秋分距地平】

译赤道度数在之后，通过三次推求即可得到，这之所以需要曲折地推求，必定是因为要寻求黄道平象限的缘故。

译求取观测时刻的太阴高度弧，以天体半径作为第一比例项，以观测时刻的限距地高之正弦作为第二比例项，以观测时刻的月距限之余弦作为第三比例项，求得第四比例项为正弦，查表即得观测时刻的太阴高度弧【江永说：高度弧与地平相交成直角，与月距地平黄道度的弧相对，而限距地高即黄道与地平的交角与所求的高度弧相对，皆以正弦比例，此处用月距限之余弦，即月距地平黄道度之正弦】

求取观测时刻黄道与高度弧的交角，以观测时刻月距限之正弦作为第一比例项，以观测时刻限距地高之余切作为第二比例项，以天体半径作为第三比例项，求得第四比例项为正切，查表即得观测时刻黄道与高度弧的交角【江永说：从天顶引出线交黄道经度至地平的角度，有月距地平黄道度为一边，有限距地高即黄道地平交角，又有太阴高度弧与地平相交为直角，因此由两角与对直角的边来求另一角，方法应当以月距地平黄道度之余弦作为第一比例项，此处用月距限之正弦即月距地平黄道度之余弦，此角作于日体上角，当日心角度在边，食在限东角在日的左下，在限西角在日的右下】

求取观测时刻白道与高度弧的交角，置观测时刻黄道与高度弧，以黄白交角【即朔望黄白大距度，江永说：朔望黄白大距四度五十八分三十秒，近五度】加减之【交周初宫十一宫，月距限东则加，限西则减；交周五宫六宫，反之，江永说：初宫十一宫为正交，白道自南而交入于北；五宫六宫为中交，白道自北而交出于南。月体偏南，以南为下，北为上。月距限东者，交角向东南，黄道西高而东下，遇正交逆其势，白道昂而出于上，则黄道高度弧交角本小者增大约五度；过中交顺其势，白道愈低而下，则交角愈变小，减约五度。月距限西者，交角向西南，黄道东高而西下，遇正交顺其势，交角愈小；遇中交逆其势，交角变大，此东西加减之理也】得观测时刻白道与高度弧的交角【如过九十度者，限东变为限西，限西变为限东；不足减者反减之。限距地高在天顶北者，白平象限变为天顶南；限距地高在天顶南者，白平象限变为天顶北，江永说：白道高度弧交角适足九十度者，正当白道限处，即白平象限也。如黄道交角已有八十五度一分半，加入四度五十八分半，满九十度则无东西差。若过九十度，则交角改向，本在东南者变为西南，而月在限西；本在西南者变为东南，而月在限东，本用加者变而减矣。不足减者反减之，此谓月距限甚近地平，黄道交角不及四度五十八分半，则置黄白距度而以黄道交角反减之。黄平象限近天顶，有白道之加减，能变北为南，南为北也。交角与距限相因，限近者交角大，限远者交角小。后求东西差，其关键在交角之余弦。既得白道高度弧交角，则可不必求白平象限矣。日食加时，古法以正午为限，午后先会后食，时用加；午前先食后会，时用减；正午则无加减，此未明九十度限之理也。九十度限黄道在地平上最高之处，日月距限有远近，黄道高度弧交角由此变，时差多少由此生，非以正午为限也。一日之间，惟春秋分二点正当地平限与午圈合为一，其余皆在午东、午西，距午度分多少，又视极之高下。极高四十度之地，限距午最多者二十四度有余。如用古法则，食时近午前，或在限西，当加者误减之；食时近午后，或在限东，当用减者误加之矣。西法始以黄道九十度为限，然犹未密也。日食由月掩，月之视差又大，当论白道之九十度限，乃为亲切。白平象限在黄平象限之左右，朔望时，黄白交角四度五十八分半，即是二限相距之度分。既以黄平象限求得黄道高度弧交角，乃以黄白交角加减之，而得白道高度弧交角，以为后求东西差之用，于理为尽，于法为最密】

求太阳距地【详见月食求地影半径条】

求太阴距地【详见月食求太阴半径条】

求观测时刻高低差，以地半径为一边【江永说：地半径一百】，太阳太阴距地为一边，观测时刻太阴高度弧与九十度相减为所夹之角【江永说：太阴距天顶之度也，太阳之地半径差小，食时日月相去甚近，故求太阳地半径差亦同用太阴之高度弧，虽微有高低，不论也】求得对地半径之角为太阳太阴地半径差【用太阳距地为边求得者为太阳地半

译径差，以太阴距地作为边长求得的是太阴的地半径差。江永说：日食有东西南北的偏差，都产生于高下差，高下差是由于地半径。历法所推算的食甚时刻应当食几分，这是从地心观测太阳的结果。

译【月亮和太阳，人从地面观察，若不在天顶正上方，则存在视差。从地心引出直线指向日月，又从地面引出直线指向日月，连同地球半径线垂直向上至人所站立之处，构成三边。自地平线以上皆构成斜边三角形。求对地球半径的角，有常规方法，也有快捷方法。常规方法作垂线，分为直角三角形的两条直角边。先求垂线，作为短直角边：以本天半径为一率，夹角的正弦为二率，地球半径为三率，求得四率为垂线。接着求短直角边：以本天半径为一率，夹角的余弦为二率，地球半径为三率，求得四率为短直角边。用短直角边减去日月距离地面的线，余数为长直角边。再以长直角边为一率，垂线为二率，本天半径为三率，求得四率为正切，查表得到对地球半径的角。快捷方法用切线分外角法求解：以夹角减半周余数为外角，折半后查表取正切线。以地球半径与日月距离线相加为一率，相减为二率，半外角的正切为三率，求得四率为正切，查表得到半较角。以半较角减半外角，其余数即为对地球半径的角。原本想求观察日月的差角，现在反而求对地球半径的角，为什么呢？这是倒算法。凡是相对的角必然相等，地面与地心观察日月的差角，犹如从日月观察地面与地心的差角。】两地半径差相减，余数为用时高下差【江永说：太阳远月亮近，日差小，接近地平线时三分有余；月差大，接近地平线时一度有余。两差相减，才成为高下差】。

求用时东西差，以本天半径为一率，用时白道高弧交角的余弦为二率，用时高下差的正切为三率，求得四率为正切，查表得到用时东西差【江永说：日月正当白道象限，则高下差即为南北差，而无东西差；有距限则有东西差，有南北差。三差似直角三角形，高下差为斜边，南北差为股，东西差为句。直角对高下差，交角对南北差，余角对东西差。直角者，是从白极引出线，经过原月心至视白道成直角也。交角者，是从天顶引出线，经过原月心至视白道与白道相交，即白道高弧交角的对角也。余角者，是原月心距极、距顶二线相交之角也。高下差在距顶线上，南北差在距白极线上，东西差在视白道线上。如白道遇天顶北者，距极线先过降下的视白道，而后到原白道，东西差在原白道上也。余角对东西差，故以交角余弦为比例。交角小者，余弦大，东西差多；交角大者，余弦小，东西差少。至满九十度，则余弦与半径等，两正切亦等，而无东西差矣】。求食甚近时，以月距日实行化秒为一率【江永说：前求食甚用时所得，见月食求食甚时刻条】，小时化秒为二率，用时东西差化秒为三率，求得四率为秒，以时分收之为近时距分【江永说：近地平距分大者过六十分】，以加减食甚用时【用时月距限西则加，限东则减，仍视白道高弧交角变限不变限为定。江永说：变限虽西亦减，东亦加，旧法未用白道高弧交角则有加误为减，减误为加者矣】，得食甚近时。按近时已较用时为亲切矣，然视差顷刻变幻，其时刻犹未可定，故复因近时求视差以推定时。

求近时春秋分距午赤道度，以食甚近时变赤道度求之，余与前用时之法同，后诸条仿此，但皆用近时所当度数立算。

求近时春秋分距午黄道度

求近时午位黄赤距纬

求近时黄道与子午圈交角

求近时午位黄道宫度

求近时午位黄道高弧

求近时黄平象限距午度分

求近时黄平象限宫度

求近时月距限，置太阳黄道经度加减用时东西差【依近时距分加减号】为近时太阴黄道经度，与近时黄平象限宫度相减，为近时月距限度，余与前同。

求近时限距地高

求近时太阴高弧

求近时黄道与高弧交角

求近时白道与高弧交角

求近时高下差

求近时东西差

求食甚视行，以用时东西差倍之减近时东西差，余为视行【江永说：此为求定时距分比例设也。假令用时东西差三十分，近时东西差三十一分，则近时比用时多一分矣。夫月距日此时三十分而多一分，则由近时至定时月行三十分又必多一分，并前为二分，其数恒倍，故于用时东西差先倍之，然后减之，而以其余为视行。如用时东西差三十分，倍之六十分，减去近时三十一分，余二十九分为视行。如近时差分少于用时差分，亦倍而减之，而视行大于用时差分】。求食甚定时，以视行化秒为一率，近时距分化秒为二率，用时东西差化秒为三率，求得四率为秒，以时分收之为定时距分【江永说

译视行化秒与用时东西差化秒相较之差，犹如近时距分与定时距分相较之差。以加减食甚用时，得食甚定时。（加减与近时距分同。江氏永曰：加减法见前求食甚近时条。）按：食甚时刻须求时差而定，则食分之深浅亦必因视差而变，故复因定时求视差，以定食分。

译求取定时的春秋分距午赤道度数，用食甚定时的变赤道度数来求取，其余方法与用时法相同，后面各条仿照此法，但都使用定时所应有的度数进行计算。

求取定时的春秋分距午黄道度数

求取定时的午位黄赤距纬

求取定时的黄道与子午圈交角

求取定时的午位黄道宫度

求取定时的午位黄道高弧

求取定时的黄平象限距午度分

求取定时的黄平象限宫度

求取定时的月距限，设定太阳黄道经度，加减近时的东西差【依据定时距分的加减符号】得到定时的太阴黄道经度，其余同前【江永说：定时太阴黄道经度与定时黄平象限宫度相减，得到定时月距限度】

求取定时的限距地高

求取定时的太阴高弧

求取定时的黄道与高弧交角

求取定时的白道与高弧交角

求取定时的高下差

求取定时的东西差

求取定时的南北差【江永说：此前未得到定时，不必求南北差，到此才求取，以确定食分】以本天半径为一率，定时白道高弧交角的正弦为二率，定时高下差的正弦为三率，求得四率为正弦，查表得到定时南北差【江永说：东西南北差皆因月亮有距限度，从高下差而产生，其原理与形象已解释，见求用时东西差条，凡四率皆用正弦者，因为角与边相对，半径即直角的正弦，此直角对高下差，白道高弧交角对南北差，故如此求取】

求取食甚视纬，依照月食求食甚距纬法推求，得到实纬【江永说：以本天半径为一率，黄白大距的正弦为二率，实交周的正弦为三率，求得四率为正弦，查表得到实纬。按食甚定时有东西差，则太阴距交也有进退，而求实纬仍须用原算的实交周正弦为三率，实交周者，是实朔用时太阴距交的白道度数。至于以定时南北差加减得到视纬，则距交进退的度数也包含在内了】以定时南北差加减得到食甚视纬【黄平象限在天顶南的，实纬在黄道南则加，而视纬仍为南；在黄道北则减，而视纬仍为北。若实纬在北而南北差大于实纬，则反减而视纬变为南。黄平象限在天顶北的，实纬在黄道北则加，而视纬仍为北；在黄道南则减，而视纬仍为南。若南北差大而反减的，视纬即变南为北。江永说：交周初宫、五宫为北，六宫、十一宫为南。反减者，是以实纬减南北差。人在地面看月亮总是下降，月亮在天顶北则下降于北，实纬多的反而少，少的反而多，故加减相反】

求取太阳半径。以太阳距地为一率【江永说：求太阳距地，见月食求地影半径条】太阳实半径为二率，本天半径为三率，求得四率为正弦，查表得到太阳半径【江永说：旧表最小者十五分，最大者十五分三十秒】求取太阴半径【详见月食】

求取食分，以太阳全径为一率，十分为二率【江永说：分太阳全径为十分，但只在直径线上截取，未论圆容之积。月食亦然】太阳太阴两半径相加，内减食甚视纬，余数为三率，求得四率即食分【江永说：一分又分六十秒，视纬之余也当化分为秒，求得四率以分收之，其余为秒】

求取初亏复圆用时，以食甚视纬之余弦为一率，并径【太阳太阴两半径相加】之余弦为二率，半径千万为三率，求得四率为余弦，查表得到初亏复圆距弧【江永说：初亏至食甚之弧，食甚至复圆之弧，用余弦之理解见月食】又以月距日实行化秒为一率，小时化秒为二率，初亏复圆距弧化秒为三率，求得四率为秒，以时分收之为初亏复圆距时，以加减食甚定时得到初亏复圆用时【减得初亏，加得复圆】

求取初亏春秋分距午赤道度数，用初亏用时的变赤道度数求取，其余如前法，后面各条仿照此法，但都使用初亏所应有的度数进行计算。

求取初亏春秋分距午黄道度数

求取初亏午位黄赤距纬

求取初亏黄道与子午圈交角

求取初亏午位黄道宫度

求取初亏午位黄道高弧

求取初亏黄平象限距午度分

求取初亏黄平象限宫度

求取初亏月距限。设定太阳黄道经度，减初亏复圆距弧，又加减定时东西差【依据定时距分的加减符号】得到初亏太阴黄道经度。其余同前【江永说：太阴黄道经度大于黄平象限的为限东，小的为限西】

求取初亏限距地高

求取初亏太阴高弧

求取初亏黄道与高弧交角

求取初亏白

译道与高弧相交成角

求初亏时的高下差

求初亏时的东西差

求初亏时的南北差

求初亏的视行，用初亏的东西差减去定时的东西差，如果初亏和食甚在同一侧则相减，初亏在东侧而食甚在西侧则相加，江永说：食分接近极限时则有限位的变化，日月向左旋转，所以初亏的极限在东侧，食甚的极限在西侧，复圆的情况与此类似，作为差分，用来加减初亏到复圆的距离弧长即为视行，相减得到差分的，食分在极限东侧，初亏的东西差大则减，小则加；食分在极限西侧，则相反；相加得到差分的，总是相减，江永说：初亏时视食甚退向西方，其加减应当如此

译求初亏的确定时刻，以初亏时的视运动速度换算成秒作为第一率，初亏到复圆的时间间隔换算成秒作为第二率，初亏到复圆的弧长换算成秒作为第三率，求得第四率为秒，将其换算为时分作为初亏距分【江永说：有余数则为秒】，用此数减去食甚的确定时刻，得到初亏的确定时刻【江永说：初亏到复圆所用的时间已经接近精确了，但视差在顷刻间会有变化，所以再用东西方向上的视差来求确定时刻最为精确】。

求复圆时距春分秋分点过午的赤道度数，用复圆所用时间换算成赤道度数来求，其余方法同前，后面各条仿照此法，但都使用复圆时应有的度数进行计算。

求复圆时距春分秋分点过午的黄道度数。

求复圆时午位黄赤距纬。

求复圆时黄道与子午圈的交角。

求复圆时午位黄道宫度。

求复圆时午位黄道高弧。

求复圆时午位黄平象限的度数分。

求复圆时黄平象限的宫度。

求复圆时月亮距限的距离，设置太阳黄道经度，加上初亏到复圆的弧长，再加上确定时刻的东西视差【依据确定时刻距分的加减符号】，得到复圆时太阴的黄道经度，其余方法同前。

求复圆时限距地高。

求复圆时太阴高弧。

求复圆时黄道与高弧的交角。

求复圆时白道与高弧的交角。

求复圆时高下差。

求复圆时东西差。

求复圆时南北差。

求复圆时的视运动，用复圆时的东西差与确定时刻的东西相减，合并为差分【复圆与食甚在同一限，则减去食甚限；东复圆限西，则相加】，以此加减初亏到复圆的弧长作为视运动【相减得到差分的，食在限东，复圆东西差大则加，小则减；食在限西，则相反；相并得到差分的，则恒减。江永说：复圆视食甚进而东，则加减应当如此】。

求复圆的确定时刻，以复圆时的视运动换算成秒作为第一率，初亏到复圆的时间间隔换算成秒作为第二率，初亏到复圆的弧长换算成秒作为第三率，求得第四率为秒，将其换算为时分作为复圆距分，用此数加上食甚的确定时刻，得到复圆的确定时刻。

求食限的总时间，将初亏距时与复圆距时相加，即得食限总时。

求太阳黄赤宿度【与月食相同】。

求初亏复圆的确定交角，求得初亏复圆各自的视纬【与食甚的方法相同。江永说：设置食甚交周，用初亏复圆距弧加减之，得到初亏复圆交周。然后用本天半径作为第一率，黄白大距的正弦作为第二率，初亏复圆交角的正弦各自作为第三率，各自求得第四率为正弦，查表得到初亏复圆实纬。各自用初亏复圆南北差加减之作为视纬，加减法详见食甚视纬。实交周加减升度差，即为食甚交周，求法见月食食甚时刻条。此处使用食甚交周，是因为初亏复圆距弧都是黄道上的度分】，以求纬差角【江永说：太阳太阴两半径的正弦作为第一率，初亏复圆视纬的正弦各自作为第二率，半径千万作为第三率，求得第四率为正弦，查表得到初亏复圆纬差角】，各自与黄道高弧交角相加减，作为初亏及复圆的确定交角，方法与月食相同【江永说：在太阳体上作十字交角，限东在左下，限西在右下，而月亏日皆从右，复圆皆从左。其以纬差角加减交角也，限东视其右上之对角，初亏纬南，白道在下，对角加大；纬北，白道在上，对角减小。限西视其右下之本角，初亏纬南，白道在下，本角减小；纬北，白道在上，本角加大。复圆加减反此】。

求初亏复圆方向，食在限东者，初亏复圆确定交角在四十五度以内，初亏上偏右，复圆下偏左；四十五度以外，初亏右偏上，复圆左偏下；恰好九十度，初亏正右，复圆正左；超过九十度，初亏右偏下，复圆左偏上。食在限西者，初亏复圆确定交角在四十五度以内，初亏下偏右，复圆上偏左；四十五度以外，初亏右偏下，复圆左偏上；恰好九十度，初亏正右，复圆正左；超过九十度，初亏右偏上，复圆左偏下【京师北极高四十度，黄平象限在天顶南，故其方向如此。若北极高二三十度以下，黄平象限有时在天顶北，则方向与此相反。江永说：日体不可分东西，而可分左右，其方向与月食相反】。

求带食，以初亏复圆距时换算成秒作为第一率，初亏复圆视运动换算成秒作为第二率【带食在食甚前用初亏视运动，带食在食甚后用复圆视运动】，带食距时【以食甚定时如月食法求之，江永说：初亏或食甚在日出前者为带食出地，食甚或复圆在日入后者为带食入地，带食出地者用本日日出时分，带食入地者用本日日入时分与食甚时分相减，余为带食距时】换算成秒作为第三率，求得第四率为秒，将其换算为度分作为带食距弧【江永说：地平距食甚之弧也，带食出地者初亏未食甚，食甚防在

译地平线下，食甚时月亮尚未复圆，食甚时月亮在地平线上，带食入地的情况是初亏时尚未食甚，食甚时月亮在地平线上，食甚时月亮尚未复圆，食甚时月亮在地平线下。又用半径一千万作为第一率，带食距弧的余数作为第二率，食甚时视纬的余数作为第三率，求得第四率为余数，查表得到对食时日月两心相距的距离。江永说：正当地平时，日月两心相距的距离，食甚时的视纬就是两心相距的距离，因为带食有距弧，所以两心相距的距离必然大于视纬，另外形成斜弧，带食距弧与视纬相交成直角，而两心相距的弧与直角相对，求法应当以一半径和三个余数作为比例。于是用太阳全径作为第一率，十分作为第二率，全径内减去对食两心相距的余数作为第三率，求得第四率为带食的分秒。江永说：求带食的方法本来应当如此，而日月靠近地平线时常有青蒙气掩映，蒙气能使低处变为高处，太阳未出地平或已入地平却仍在地平线上，又能使小的变大，这样就会使加时的早晚、食分的多少与原来推算的不符，不必等到带食，即使是正食时靠近地平线在蒙气内的情况也是如此，蒙气的高低厚薄各自随其方位不同，必须长期观测以意推测，又或许随日随时有游气称为本气，即使靠近天顶也是如此，所以日食除了三差之外还有三差，一是青蒙气差，一是青蒙径差，一是本气径差，这些不是方法所能控制的，所以不予讨论，月食也是如此。

译求取各省日食的时刻及食分，以京师食甚时的时刻，按照各省东西方向的偏度进行加减，得到各省食甚时的时刻【江永说：偏东一度，时刻推迟四分；偏西一度，时刻提早四分】。然后按照各省的北极高度，依照方法推算近时、定时的食分以及初亏、复圆的定时，即可得到【江永说：推算只到各省的治所，详细论述的话，各府、州、县也不同】。求取各省日食的方向，以各省黄道高弧交角以及初亏、复圆的视纬，依照方法求得，即可得到。

惠田按语：以上为推算日食的方法。

右推步法中

五礼通考卷一百九十六

<经部,礼类,通礼之属,五礼通考》>

钦定四库全书

五礼通考卷一百九十七

刑部尚书秦蕙田撰

嘉礼六十八

观象授时

会典推木火土三星法

土星用数

土星每日平行一百二十秒六〇二二五五一【江永说：土星距离地球最远，运行最慢。计算土星、木星、火星三星平行的方法，使用前后两次观测，取其距离恒星的度分相等，距离太阳的远近左右也相等，然后计算前后相距的中间积日有多少时日，以及行星运行满次轮多少周，就可以得到其平行的比率。《新法算书》记载古代测定二万一千五百五十一日又十分日之三，土星运行次轮五十七周。将中间积日分作为被除数，行星运行次轮的周数五十七作为除数去除，得到周期率三百七十八日零一百分日之九分二九八二。再将每周三百六十度作为被除数，周期率三百七十八日零作为除数去除，得到五十七分零七秒四十二分四十一纤四十四忽三十三芒，为每日土星距离太阳的运行。与每日太阳平行五十九分零八秒一十九分四十九纤五十一忽三十九芒相减，余二分零三十六分零八纤零七忽零六芒，为每日土星平行经度。凡是行星平行，是指本轮心平行于本天】

最高每日平行十分秒之二又一九五八〇三。

【江永说：各星都有本轮，即有最高，最高即有行度，如同太阳的最卑行，太阴的月孛行一样。其运行向右旋转】

正交每日平行十分秒之一，又一四六七二八。

【江永说：各星各有本道，与黄道相交。正交者，是从南而交入于北。交点运行向左旋转】

本天半径一千万

【江永说：各本天大小极不相等，半径常设定为一千万，整数便于计算。想要得到其距离地球的数量，用太阳距离地球高低的中数与次轮半径比较就可以知道。如太阳距离地球一千一百四十一地半径，而土星次轮一百零四万有奇，则本天半径比太阳本天半径大约大十倍弱。木星、火星本天仿照此例】

本轮半径八十六万五千五百八十七。

均轮半径二十九万六千四百一十三。

【江永说：本轮的中心在本天，均轮的中心在本轮。本轮向左旋转，均轮向右旋转。均轮半径比本轮半径三分之一稍强】

次轮半径一百〇四万二千六百。

【江永说：次轮用来承载行星而向右旋转，其顶点合于太阳，其底点冲于太阳，其中心在均轮上。次轮原本与太阳本天等大，因为行星的本天很大，所以其半径仅相当于本天半径的十分之一有奇】

本道与黄道交角二度三十一分。

【江永说：如同黄道与赤道，白道与黄道有距度一样。各交角仿照此例】

土星平行应七宫二十三度十九分四十四秒五十五分。

【江永说：律元天正冬至次日，壬申子正时，土星平行的宫度。各应仿照此例】

最高应十一宫二十八度二十六分〇六秒〇五分正交应六宫二十一度二十〇分五十七秒二十四分木星用数

木星每日平行二百九十九秒二八五二九六八【江永说：测量木星平行的方法，也使用前后两次观测，与土星相同。《新法算书》记载古代测定二万五千九百二十七日又千分日之六百一十七，木星运行次轮六十五周。将中间积日分作为被除数，行星运行次轮的周数六十五作为除数，去除，得到周期率三百九十八日零十分日之八分八六四一五。再将每周三百六十度作为被除数，周期率三百九十八日零作为除数，去除，得到五十四分零九秒零二分四十二纤四十七忽三十二芒，为每日木星距离太阳的运行。与每日太阳平行相减，余四分五十九秒一十七分零七纤零四忽零七芒，为每日木星平行经度】

最高每日平行十分秒之一，又五八四三三。

正交每日平行百分秒之三又七二三五五七。

本天半径一千万

本轮半径七〇万五千三百二十。

均轮半径二十四万七千九百八十。

【江永说：均轮半径，比本轮半径三分之一而强