钦定续通志卷九十九

译隋代刘焯制定皇极术，把天周和岁周分别作为天、岁各自的周期，于是天周与岁周的分数分开了。岁周既然比天周短，却仍用小余的零碎数值来确定度数，只是在计算的乘除过程中徒增烦扰，实际上并不能与太阳运行严密相合。《唐书》说，九执历出自西域，把一周天定为三百六十度，没有余分；又说它的名称和数目奇异，没有详细记载。明代大统历与回回历并行，回回历把一周天分为三百六十度，大统历则沿用授时历的旧法。到崇祯年间，徐光启改正历法，采用欧罗巴的方法，把一周天定为三百六十度，一度六十分，一分六十秒。凡测量赤道经纬、黄道经纬、地平经纬的度数，都采用同样的划分。臣等谨考，古法根据太阳一天所运行的路程把它规定为一度，而所谓四分之一度，始终没有确定的标准，所以历代的斗分、各家的数值彼此不同。到了授时历，采用减少岁余、增加天周的法则，太阳运行与天度之间的区别才清楚地分开。何况冬季运行盈余、夏季运行缩减的差异，在一年之中本来就没有连续几天保持匀速运行的情况。所以，与其采用零碎的度数而根本不能与太阳运行相合，不如把天周规定为整数度，并以它作为起算的根本，这确实是推步的好方法【周天的数值从起算点开始，本来就带有零碎数，所以分为半周、象限、十二宫、二十四气、七十二候，无不先有零碎数，而太阳运行的盈缩又不在其中，因此推步稍难。如今把周天定为整数，只求太阳运行的盈缩，就是用整数统摄零数的方法，容易了一倍】。而且，所谓度由太阳运行产生，说的只是经度；历算家最难处理的，尤其是纬度。如今以三百六十作为度数，经度和纬度就通用同一套方法，因此黄道、赤道虽然有正斜之别，度分却可以互相推求。七曜运行的天体虽然有内外、大小之别，比例也可以互相比较，因为都同样以三百六十为度。把它一半分为一百八十，十四分之一为九十，于是八线法也由此产生。因此，用它来制作测量仪器，度数容易划分；用它来测量七曜，度分容易取得；用它来计算三角，原理和方法容易明白，这也只是因为它适合实际使用而已【三百六十度用于计算，实际上源自回回历，到欧罗巴才得到发展】。何况七曜运行的顺逆、进退、增减，全在小轮，是推步中最精微的关键。然而小轮与大轮的比例极其悬殊，好像镒与铢一样，计算累积的细微数值却不会有误，这是因为它们的度数都规定为三百六十。即使是太阴的会望、转交，五星的岁轮，也没有一种不是以三百六十为标准，地球也是如此。所以，用太阳运行来记度数，只能用于黄道经度；而把整度用于计算，则可以总括万种情况，包括斜侧、纵横、周遍和相互对应，可以说是掌握简要原则来驾驭纷繁变化，是最好的方法。臣等又考察，天体是浑圆的，赤道、黄道、地平都各有经度和纬度。赤道均匀分为三百六十度，平分为半周，每半周一百八十度；四分为象限，每象限九十度；六分为纪限，每纪限六十度；十二分为宫、为时，每宫或每时三十度。这叫赤经。由经度引出弧线，与赤道垂直相交，再各自延长，汇聚于南北两极，均成为完整的圆周，也分为三百六十度。两极彼此相距一百八十度，各极距赤道九十度，这叫赤纬。按照纬度作圆，与赤道平行，称为距等圈。这些圆大小不同，靠近赤道的较大，远离赤道的较小，但度数同样是三百六十，与赤道的度数相应。赤道有运动和静止两种意义：运动的赤道随天体向左旋转，与黄道相交，太阳运行在南北方向的界限由此确定；静止的赤道是太虚中的位置，自古不移动，昼夜的时刻由此确定。这就是赤道的经纬。黄道的宫度与赤道相同。黄道与赤道相交的两个点是春分、秋分，相距各半周；把两交点之间平分，就是冬至、夏至，距两交点各一象限；将象限六分为节气，每节气十五度，这叫黄经。由黄经引出弧线，与黄道垂直相交，再各自延长，环绕天体，就成为完整的圆周。这些圆周彼此汇合的地方，不是赤道的南北两极，而是另有枢纽中心，叫作黄极。黄极距赤极的距离，就是黄道与赤道相距的度数；黄极距黄道也都是九十度，这叫黄纬。月亮和五星出入黄道南北的情况，由此可以辨别。这就是黄道的经纬。凡是经过赤道两极的南北圈，必定与赤道成直角，却不能与黄道成直角；经过黄道两极的圆，也必定与黄道成直角，却不能与赤道成直角。只有经过黄、赤两极的圆，它经过黄道、赤道的地方必定正是冬至、夏至的度数，所以同时与两道成直角，称为极至交圈。以赤道度数为主、以黄道度数为准来比较，就会显示大小不同：浑圆的球体在中腰处度数最宽，这就是所谓腰围大圈；逐渐靠近两端就逐渐变窄，这就是所谓距等圈。冬至、夏至时，黄道的腰部度数相当于赤道距等圈的度数，所以黄道一度相当于赤道一度有余；春分、秋分时，两道虽然都处于腰部，但赤道平直而黄道倾斜，所以黄道一度相当于赤道一度不足。这就是所谓同升之差，也是七政升降变化的依据。七政因斜正而有伏见的先后，都由此推算。至于地平经纬，则以各人居处的天顶为极。因为人所居住的地面不同，天顶也各不相同，经纬便随之改变。地处在天体中央，形体圆而小；随着人站立的位置不同，视力所能达到的范围恰好得到大圆的一半，于是地面虽然是圆的，却与平面没有区别，所以称为地平。地平是诸曜出没的界限，也是昼夜、明暗交替的地方。地平也分为三百六十度，四分为四方，各相距九十度；二十四分为二十四个方向，各十五度。这叫地平经。由经度引出弧线，会聚于天顶，并且都与地平成九十度，这叫地平纬，也叫高弧。由地平正午方向向上会聚于天顶的高弧，其完整圆周必定经过赤道南北两极，称为子午圈。子午圈是诸曜出入地平的中线；北极的高低、日影的长短以及中星的移动，都由此测定。这就是地平的经纬。以上讲的是度数法以及赤道、黄道、地平的经纬度。

译《尚书》说：“一年有三百六十六日，用闰月来确定四时，完成一年。”这就是历家岁实法的起源。前代各家历法所定的数值并不一致。《周髀算经》把三百六十五日作为恒定的一年，余下四分之一日，所以四年闰一日。太初术中，阏逢摄提格年为太初元年，大余五十四。索隐说：一年十二个月，六个大月、六个小月合计三百五十四日，用六来除它，五六三十日，可以除去三百日，余下五十四日，所以后文说大余就是日数。它的岁余数也是四分之一，因此下文把天度规定为小余八，大概是以三十二为度法。三统历、四分历都沿用了这个数值。自灵帝时期，会稽东部尉刘洪开始减少岁余，后世沿用，历代都有增减。测验的方法，大抵是从前一年冬至到本年冬至，计算其中的小余时刻，把它加入大余作为岁实。到了授时历，考验更加详细。郭守敬改定历法，自己说他创制简仪、高表，凭实际测量的数值考正了七项：第一是冬至，第二是岁余。他求冬至的方法，是从丙子年立冬以后，按照每天测得的日影，逐日比较，取冬至前后日影差相同的日子作为标准，得到丁丑年冬至在戊戌日夜半以后八刻半。又确定戊寅年冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯年冬至在戊申日夜半后五十七刻，庚辰年冬至在癸丑日夜半后八十一刻，辛巳年冬至在己未日夜半后六刻。他求岁余的方法，是从刘宋大明以来，测量日影、验证节气，得到冬至时刻准确数值的共有六次；用这些数值互相比较，各自得到相应的岁余，考验四年，彼此相符，没有差错。又从宋大明壬寅年到现在共八百一十九年，计算每年应为三百六十五日二十四刻二十五分，比大明术减少一十一秒。这里的二十五分，是现在历法合于周天的数值【按：金代赵知微重修大明历，小余为二十四分三十六秒，实际上比授时历多一十一秒；郭守敬所减的是赵氏历术的数值，并不是祖冲之原来的数值】。至于向上考察和向下推求，又有消长法。其法是：从至元十八年辛巳作为元，顺推一百年，岁实应当减少一分；逆推一百年，岁实应当增加一分。每相隔增加一百年，岁实就各增减一分，以此作为向上考察、向下推求的根本。洪武十七年，元统制定大统术，各项数值全都沿用授时历。但删去了岁实消长的说法，以洪武十七年甲子为元。监副李德芳说，大统历不采用消长法。按照鲁献公十五年戊寅岁考察，天正冬至与以辛巳为元的推算相差四日半有余，现在应当恢复以辛巳为元并采用消长法。万历年间，郑世子载堉进呈历书，议论岁余说：“阴阳消长的道理，是逐渐积累的，没有不从秒开始的。授时历考察古代，在相隔一百年时突然增加一分，从道理上说并不妥当。假如鲁隐公三年辛酉岁下距至元辛巳二千年，按授时历原法计算，岁实应增加二十分，得到庚午日六刻，作为该年天正冬至。到下一年壬戌岁下，距至元辛巳一千九百九十九年，按原法应增加十九分，得到乙亥日五十刻四十四分，作为该年天正冬至。两次冬至相减，相距三百六十五日四十四刻四十四分；这样一来，岁余就是九分日之四，而不是四分日之一。历法的错误，没有比这更严重的了。”新法斟酌取量，假定每年增减二秒，向上推算就会在昭公己丑年失差一秒；如果每年增减一秒半，则会在僖公辛亥年失差。现在约取中间数来确定相距时间，把它自身相乘七次再除以八，所得数取百分之一作为分，得到一秒七十五忽，这样辛亥、己丑两年都能符合。后来徐光启修订历法，撰写《学历小辩》说：“岁实的小余从汉代到元代逐渐减少，现在新法所确定的岁实又比元代更小。不明白这一点的人一定会说，新法不但比大统历更符合先天，而且用来推算壬申冬至时，大统历得到己亥寅正一刻，新法得到辰初一刻十八分。为什么呢？这是因为恒定的岁年与推步月亮运行相似，冬至没有固定的标准率，正如定朔、定望没有固定的标准率一样。朔望没有固定标准率，应当在平朔、平望的基础上加减；冬至没有固定标准率，应当在平年基础上加减。所以，新法的平冬至虽然在大统历之前，但确定的冬至总在大统历之后。”〔原文数字、纪年保留：正岁〕 臣等谨考，天体运行有盈有缩，不会突然增加或突然减少。郭氏每百年消长的办法，郑世子认为不合道理，这是正确的。宋宁宗时，杨忠辅制定统天历，所定岁实与授时历相同，以斗分差乘以相距差作为躔差，暗中包含加减的方法，大约每百年加减一分零六秒。郭氏大概以统天术为本制定此法，但杨忠辅的历术逐年分算，郭氏的历术却把相距年数总数乘以该数，变化突然，比杨氏的方法更加不合道理。而且，消长的分数必须以当时测定的岁实数已经准确无误、知道不需要再加减为前提，然后才能把它作为消长的根本。授时历所测的岁余却还不是准确数值。一年的小余是二十四刻二十五分，积累四年正好得到九十七刻。丁丑年冬至既然在戊戌日夜半后八刻半，那么辛巳年冬至就应当在己未日夜半后五刻半，不应是六刻。如果把辛巳年的六刻作为准确数值，那么丁丑年就应当在九刻，不应只是八刻半。这四年既然都是实际测量所得，就已经相差半刻了，却说彼此相符、没有差错，这是为什么呢？又考察大明五年辛丑，祖冲之测得日影最长，冬至在乙酉日夜半三十二刻七分。

译从大明壬寅年【辛丑年十一月的冬至，实际上就是壬寅年前的天正冬至】向下到至元辛巳年相距八百一十九年，按授时历的岁实累加，共为二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分。以辛巳年天正冬至在己未日子正后六刻为基准逆推，当时的冬至应在乙酉日子正后五十四刻，比祖冲之所记的冬至还要后得多。既然不能与当时的测算严密相合，于是制定每百年增加一分的方法来使它相合；这样该年冬至又落在甲申日七十九刻太，岂不是又比实际天象提前了吗？然而却说从大明壬寅年到现在每年都应得到这个数值，这是为什么呢？徐光启把定朔、定望类比为确定冬至，他的论述最为准确；但他没有说明消长所以发生的原因。太阳由于有远地点和近地点而产生盈缩，春分是太阳运行接近平均速度的位置，因此所得岁实是恒定率；取得恒定率以后，才能求得确定值，正如月亮有平朔、平望以后，才能求定朔、定望。李天经在《历法条议》中说：“用圭表测量冬至、夏至，不是最好的历法，因为冬至、夏至前后太阳南北运行的度数很小。以一丈高的表来说，一天的日影差不过一分三十秒，这样一秒就相当于六刻有余。如果测量误差达到二三秒，就会相差近二十刻，哪里能得到准确标准呢？现在的历法独用春分、秋分，是因为这时太阳一天南北运行二十四分，一天的日影差一寸二分，即使测量误差一二秒，也不到一刻，比冬至、夏至时最为精密。西方历法以春分为岁首，其岁余是通过多次测量春分取得的。既根据每年春分测得岁实的平均率，又随着当时太阳距远地点、近地点的位置以及本轮、均轮进行加减，就能得到确定值，不必再说消长。冬至接近太阳近日点时，两年冬至之间的时间必定多于平均率；夏至接近太阳远日点时，两年夏至之间的时间必定少于平均率。并且古代太阳本轮、均轮半径之差大于今天，所以加减的均数也更大，冬至岁实应当更加增加。至元辛巳年太阳近日点大约与冬至同度，所以岁实尤其大。以上为岁实。《唐书·志》的《日躔盈缩略例》说：北齐张子信长期观测日食、月食并校验时刻，发现太阳运行有入气差，但还没有求得损益的准确数值。到刘焯创立盈缩躔衰术，并配合四象升降，麟德术因袭了这种方法。凡阴阳往来，都逐渐积累而发生变化。太阳到达最南的冬至时，运行最快；由快逐渐减慢，到春分经过中点后变慢。等到太阳到达最北的夏至时，运行最舒缓；随后逐渐加快，到秋分又经过中点后加速。运行快到极点就寒冷，舒缓到极点就温暖；运行到中点时雨旸之气交会，这是自然的规律。元代《授时术》说：冬至时太阳运行一度有余，出赤道二十四度不足。从此太阳轨道逐渐向北，经过八十八日九十一分，到春分前三日交于赤道，实际运行九十一度三十一分，恰好平准。此后太阳运行的盈分逐渐减少，又经过九十三日七十一分，到夏至这天进入赤道内二十四度不足，实际运行九十一度三十一分，太阳每日运行一度不足。此前的盈分全部减尽而不再有余。从此太阳轨道逐渐向南，经过九十三日七十一分，到秋分后三日交于赤道，实际运行九十一度三十一分，又恢复平准。此后太阳运行的缩分逐渐减少，经过八十八日九十一分，出赤道外二十四度不足，实际运行九十一度三十一分，又到冬至。此前的缩分全部减尽而不再有余。盈缩都有损益，开始时为益，末尾时为损。从冬至到春分、从春分到夏至，太阳运行轨道由北陆转向西，再由西转向南；对于盈分是增加，增加到极点后转为减少，减少到没有余分便转入缩。从夏至到秋分、从秋分到冬至，太阳运行轨道由南陆转向东，再由东转向北；对于缩分是增加，增加到极点后转为减少，减少到没有余分又转入盈。盈的初段和缩的末段都为八十八日九十一分，运行一象；缩的初段和盈的末段都为九十三日七十一分，运行一象。盈缩的极差都为二度四十分，这是由实测日影得到的；再用算术推考，也与实测相符合。明代《大统术》沿用了这一方法。万历末年，西法论太阳盈缩，主张采用本天高卑之法。其说认为，太阳在本天上始终作平行运动；从黄道测量它的运行度数，便产生盈缩。黄道以地为中心，而太阳本天不以地为中心，于是有两心之差，遂分出高卑。夏至前后太阳在本天的高半部，所以离黄道近而距地远；距离远，就看见它在本天运行的度数较小，人从黄道观察它，便觉得比平行运动慢了。这就是运行度数之所以有缩。冬至前后太阳在本天的低半部，所以离黄道远而距地近；距离近，就看见它在本天运行的度数较大，人从黄道观察它，便觉得比平行运动快了。这就是运行度数之所以有盈。又有本轮之法，认为太阳本天与地同心，而本天周围另有本轮承载太阳。太阳在本轮上半部时，顺着动天向西运行，距地远而为高，所以向右移动的度数比平行运动少，称为减；在本轮下半部时，逆着动天向东运行，距地近而为卑，所以向右移动快于平行运动，称为加。在本轮左右两侧，距地不远不近，是高卑适中的位置，称为中距，其运行与平行运动相等。这就是不同心法的小变通，本轮全径就是两心差。至于盈缩的起算，古法定在二至；西法则把太阳本天距地最远的位置称为最髙，距地最近的位置称为最卑，也称高冲。这两个位置是盈缩的界限，每年运行一分有余。

译臣等谨案：古历关于太阳运行，只有各恒气十五日有余的总数率，没有每日的细数；关于太阴运行，也只有每日的总数率，没有一日内十二限的总数率。有这些细数，都是从《授时历》开始的，均以平、立、定三差求得。其方法是把盈缩的日数分为六段，各用该段日数除该段的积度，所得数相减为一差；一差再相减为二差。等到这些数相等，便据此产生定差、平差和立差。定差是盈缩初日最大的差数；用平差、立差减去它，便成为每日的定差。之所以分为六段，是因为一年二十四个定气分为四象限，每象限有六气。李天经《历法条议》说：七曜加减分用平、立、定三差法仍然不足，因为以加减平行求得自行，是历家的重要事务。天体是真圆形，与平行运动不同；旧用的三差法都从句股和平行运动推定，与天体并不相合，所以盈缩损益的数值还不真实。如今新法的加减诸表采用圆形配圆形，才可以符合天体。现在考察西法测天的方法，有平三角、弧三角等法，都以割圆八线为根本。割圆八线中，正弦、余弦和半径相对构成圆内的正、余两个句股形；正割、余切、余割与半径构成圆外大小两个句股形；锐角分成两个句股形，钝角补成句股形。这些都不超出句股法，只是改用角度；有八线就可以求出正弦、余弦。与古人用弧矢法求弧背相比，更为精密。若为弧三角形的正弧三角，就以黄道、赤道及地平经纬作为十比例；斜弧三角则使用边角比例以及垂弧总较三法，但也不超出同式句股形。臣等又考察西法：以最髙、最卑两个位置作为太阳盈缩起算的起点。两个位置每年各有自己的运行分数；其高卑相对于本天半径，并不是两心差的全部，而只是其中一半。于是又在本轮周围设置均轮，以调节它。把两心差的全数分为四份，以其中三份作本轮半径，以一份作均轮半径。本轮位于本天周围，作平行运动就是经度；均轮中心在本轮周围自行运行，就是引数。本轮中心的运行比均轮中心略快，两者运行的差数，就是最髙、最卑每年的运行分数。太阳在均轮周围运行，其速度是均轮中心的两倍。这是因为本轮有上下左右四限，均轮只有远近两限，所以太阳运行必为两倍。最髙、最卑与二至同度时，本轮心、均轮心和地心在一直线上，没有加减差。由最卑到最髙的半周，平行运动在后、实际运行在前，称为加差；由最髙到最卑的半周，平行运动在前、实际运行在后，称为减差。根据引数用三角形求均数，就得到每日的盈缩差；以此加减平行运动，便得到太阳的实际运行。以上是日躔盈缩。《前汉天文志》说月有九道：黑道二道出黄道北，赤道二道出黄道南【按：这里的赤道就是月道出于黄道南面的部分，所以用南方的颜色命名；唐、宋志改称朱道，并不是天的赤道】；白道二道出黄道西，青道二道出黄道东。立春、春分时，月从东方的青道运行；立秋、秋分时，向西从白道运行；立冬、冬至时，向北从黑道运行；立夏、夏至时，向南从赤道运行。《唐志》说：凡月亮合朔时所交的节点，冬至在阴历、夏至在阳历时，月行青道【冬至、夏至以后，青道的半交点在春分宿，位于黄道正东；立冬、立夏以后，青道的半交点在立春宿，位于黄道东南；到相冲的宿也如此】；冬至在阳历、夏至在阴历时，月行白道【冬至、夏至以后，白道半交点在秋分宿，位于黄道正西；立冬、立夏以后，白道半交点在立秋宿，位于黄道西北；到相冲的宿也如此】；春分在阳历、秋分在阴历时，月行朱道【春分、秋分以后，朱道半交点在夏至宿，位于黄道正南；立春、立秋以后，朱道半交点在立夏宿，位于黄道西南；到相冲的宿也如此】；春分在阴历、秋分在阳历时，月行黑道【春分、秋分以后，黑道半交点在冬至宿，位于黄道正北；立春、立秋以后，黑道半交点在立冬宿，位于黄道东北；到相冲的宿也如此】。四序分为八节，到阴阳交接运行之处，便与黄道相会，所以月有九道。各道都根据月交所进入的七十二候以及交初、中交时黄道上的日度计算【案：即初交、中交时黄道上的日度】。每五度为一限，开始数十二，每限减一，终于四，约为一度有余；按平数再从四开始，每限增加一，终于十二，到达半交，距黄道六度。又从十二开始每限减一，终于四，约为一度有余；按平数再从四开始，每限增加一，终于十二，又与太阳轨道相会。凡太阳运行，以赤道以内为阴、以外为阳；月亮运行则以黄道以内为阴、以外为阳。因此月亮经过春分交点后运行于阴历，经过秋分交点后运行于阳历，都是同名；若经过春分交点后运行于阳历，经过秋分交点后运行于阴历，都是异名。《大衍术议》又说：阴阳历交点在冬至、夏至时，月行青道、白道，交点相同而出入运行的方向不同。因此青道到春分宿及其相冲宿，都在黄道正西。若阴阳历交点在立春、立秋，月循朱道、黑道，交点相同而出入方向不同，因此朱道到立夏宿及其相冲宿，都在黄道西南；黑道到立冬宿及其相冲宿，都在黄道东北。若阴阳历交点在春分、秋分宿，月行朱道、黑道，交点相同而出入方向不同，因此朱道到夏至宿及其相冲宿，都在黄道正南；黑道到冬至宿及其相冲宿，都在黄道正北。若阴阳历交点在立夏、立冬，月行青道、白道，交点相同而出入方向不同，因此青道到立春宿及其相冲宿，都在黄道东南；白道到立秋宿及其相冲宿，都在黄道西北。

译其大体规律都兼有两道，而实际分别主掌八节，合于四正和四维。考察阴阳历中终的交点，月亮正好运行在黄道上；距交点七日，运行九十一度，等同于一象的数率，位于八道的中间。八道在春秋两分时正好运行，距黄道六度，交点就在冬夏二至；在冬夏二至时正好运行，距黄道六度，交点就在春秋二分。太阳出入赤道二十四度，月亮出入黄道六度。月亮每交一周，退过此前交点一度以及八万九千七百七十三分度之四万二千五百三少半；累计二百二十一月及七千七百五十三分，交道便运行一周天。再把它分成两半，将近九年九道运行完毕。以四象考察，各按合朔时所交入的七十二候确定其八道运行。以朔交为交初，以望交为交中。若交初在冬至初候并进入阴历，便运行青道；又经过十三日七十六分日之四十六到达交中，到了相冲宿，变入阳历，仍运行青道。若交初进入阳历，便运行白道。因此考察交初所进入的位置，就可以知道月道周天的度数。如果望交在冬至初候，就减去十三日四十六分，察看大雪初候的阴阳历，以校正它的运行。臣等谨按：《汉志》开始说月有九道八行；到《唐书》说得特别详细，元史总括说明白道，却没有九道这个名称。现在的术法仍沿用它。月道交会黄道，也如同黄道交会赤道。初交、中交如同春分、秋分，半交如同冬至、夏至。月道每运行一周，便退后一度不足；十八年有余，才退完黄道一周。所谓阴阳历，是以黄道内外来区别：月亮由南向北进入黄道以内为阴，由北向南出黄道以外为阳。《汉志》用四方颜色区别黄道各段，文字十分简略。《唐志》和《大衍历议》的说法各不相同，读者反而容易混乱，现在为之分析。《唐志》说“凡月合朔所交”，是根据初交来说的【今法称为中交】。它说冬至在阴历、夏至在阳历，月行青道，是指初交在冬至宿而运行于阴历，前半交由南向北运行青道；初交在夏至宿而运行于阳历，前半交由北向南运行青道。这里举出初交和前半交，中交及后半交也就可以知道了。其余都仿此。《大衍议》说阴阳历交点在冬至、夏至时，月行青道、白道，交点相同而出入之道不同。这是总括交终来说的：例如合朔在冬至宿而运行于阴历，初交由南向北，向东进入青道；中交变为阳历，由北向南，一周都运行青道。这就是《天文志》所说“冬在阴历，夏在阳历，月行青道”，只是冬至时进入、夏至时出去，方向不同。又如合朔在冬至宿而运行于阳历，初交由北向南，向西出白道；中交变为阴历，由南向北，一周都运行白道。合朔在夏至宿而运行于阴历，初交由南向北，向西进入白道；中交变为阳历，由北向南，一周都运行白道。这就是《天文志》所说“冬在阳历，夏在阴历，月行白道”，只是冬至时出去、夏至时进入，方向不同。其余仿此。以上是白道交周。《元史志》说，古法认为月亮平行运行十三度十九分度之七。汉代耿寿昌认为，日月运行到牵牛、东井时，太阳超过常度，月亮运行十五度，到娄、角时才开始平行运行，这是赤道造成的。贾逵认为，如今合朔、弦、望、月食的加时所以不准确，是因为不知道月亮运行有迟疾。李梵、苏统都认为月行应有迟疾，不必局限在牵牛、东井、娄、角之间，而是由运行轨道的远近和出入产生的。刘洪撰《乾象术》，苦心思考二十多年，才悟出其中道理，列出差率，以包摄进退损益的数值。后来作历法的人都沿用它。到唐代一行考察九道迂回曲折的数值，才得到月行迟速的道理。先儒说月亮和五星都距太阳近时运行快，距太阳远时运行慢。几家制定方法，以进入转周一周的日数作为迟疾二术，各设初、末两个限。初时为益，末时为损。在疾初、迟末，运行率超过平行；在迟初、疾末，运行率低于平行。自进入转周第一日，运行十四度半有余，此后逐渐减慢，累计七日恰好达到平行度，称为疾初限；其积度比平行多五度四十二分。从此运行速度每日减小，又累计七日运行十二度有余，先前增加的部分全部减尽而无余，称为疾末限。从此又运行迟度，再累计七日恰好达到平行度，称为迟初限；其积度比平行少五度四十二分。从此迟度每日减小，运行度数逐渐增加，又经过七日重新运行十四度半有余，先前增加的部分也全部减尽而无余，称为迟末限。进入转周一周实际为二十七日五十五刻四十六分，迟疾极差都为五度四十二分。旧法以一日为一限，共用二十八限。如今经过测验，得到转分进退在各时不同，于是把一日分为十二限，共三百三十六限；半日为半周限，再分为四份就是象限。明崇祯年间，李天经进《历法条议》，论太阴说：“朔望之外，另有损益分，只用一次加减还不能穷尽。旧定太阴平行推算朔望加减，大约五度有余，但两弦时的多寡不一。即使《授时历》也说朔望平行数不足，却没有说明其道理和方法。现在除加减外再用一次加减，称为二、三均数。其方法详载于《新法历书》。太阴本天的周围设置本轮、均轮、次轮、次均轮四轮，太阴实体位于次均轮周围。推算朔望用本轮、均轮，推算两弦用次轮，推算两弦前后用次均轮。”

译本轮心的平行度与均轮心所产生的迟疾之差，叫作初均数。初均数用来求初实行。二均数由次轮产生，是次均轮心距次轮最近点、即当地心的角度。三均数由次均轮产生。太阴实际所在的位置与二均数相加减，便是二三均数；再用它加减初实行，就是白道实行。又说各朔之后月亮在黄昏向西出现，因迟疾不同，差别有时达到三日，原因有三：一是月亮的视行度，视行为疾段便出现得早，迟段便出现得晚；二是黄道升降有斜有正，正则出现早，斜则出现晚；三是白道有南纬、北纬，位于北纬时出现早，位于南纬时出现晚。臣等谨案：太阴有四轮，其中本轮产生迟疾四限，其余各轮都是用来调节迟疾数值的，所以本轮是推算月亮运行的主轮。它的初、末四限，也如同太阳的盈缩四限。西方人最初测算时，只用本轮推算朔望，用次轮推算两弦；但各按原法都不能精密符合太阴运行，所以又在本轮上增加均轮。又因为两弦前后的运行不同于两弦时，所以又在次轮外增加次均轮。朔望时，太阴在次轮的最近点，又在次均轮的最下点，而次均轮心又必定常在次轮周围；从地心看，它们都在实际运行线上，经度没有差异，所以求朔望的初均数只用均轮，不用次轮。两弦时，太阴在次轮的最远点，又在次均轮的上点，而次均轮心也必定在次轮的最远点，所以两弦时只用次轮，不用次均轮。至于朔望前后和两弦前后，太阴在次轮远近两点之间，又在次均轮上下两点之间，次均轮心也不在次轮远近两点上，因此有次轮与次均轮的差，有时加、有时减。本轮用来推算本天的高卑，均轮用来调节本轮的运行度数；次轮用来确定朔望、两弦的远近，次均轮又用来区别朔望、两弦前后的加减。因此，本轮运行度数配合初均轮的倍引，产生初均数；按高卑左右分别成为朔望的加减差。次轮运行度数配合次均轮的倍离，产生二、三均数；按远近上下分别成为两弦及两弦前后的加减差。初均数的加减差就是《授时历》的迟疾差：从最髙到最卑六宫为迟历、为减差；从最卑到最髙六宫为疾历、为加差。最髙前后三宫相当，最卑前后三宫相当，其差数都相等，只是加减不同。求初实行的方法，是以平行运动减去月孛平行运动【月孛就是本轮的最髙点】，得到引数；用直角三角形，以本轮半径的一半为对直角边，以引数为一角，求得对角边，再乘三【均轮半径是本轮半径的一半；合本轮、均轮半径时，均轮半径为三份，所以无论小边大小，都乘三；三分之一是对角边，三分之二就是均轮上倍引数的通弦。均轮向右旋转，必定是引数的两倍，其道理与太阳相同】又求得对余角边，与半径相加减，再用直角三角形求出对小边的角，这就是初均数；并求出对直角边，作为次轮最近点到地心线的距离，用来求次均数。以初均数加减用时的太阴平行运动，就是初实行。朔望以外的加减差，就是二均数、三均数。二均数产生于次轮全径，三均数产生于次均轮半径，也如同初均数产生于本轮、均轮半径。得到二均数、三均数后，再用三均数加减二均数，就是二三均数。因此求白道实行的方法，是以初实行减去本日太阳实行，得到次引。用斜弧三角形两边夹一角的方法，求得对通弦的角，作为二均数，并确定加减号。把初均数与均轮心距最卑的度数相加，作为加减泛限；看是否足九十度来确定加减限，并求对角边，作为次均轮心到地心线的距离。再用此线和次引，按两边夹一角法求三均数，也确定其加减号【次引的倍度未超过半周时，月亮在轮左，所以为加；超过半周时，月亮在轮右，所以为减】。于是将二均数与三均数相加减，得到二三均数【两个均数同号便相加，异号便相减】，再用它加减初实行，得到白道实行。以上是月离迟疾。（接上）两个均数同号便相加，异号便相减；再用二三均数加减初实行，得到白道实行。以上是月离迟疾。傅仁均《戊寅元术》说月有三大三小。刘孝孙让算学博士王孝通用《甲辰术》诘问傅仁均说：“平朔、定朔旧有两家说法：三大三小是定朔望，一大一小是平朔望。日月运行有迟有速，运行相及叫作合会。晦朔没有固定日期，要随时调节。若定朔的大小都在朔日，合会虽然确定了，但蔀元、纪首、三端都会失误。若上面接续履端之始，下面能够归于终点，合会有固定时刻，那么《甲辰元术》就是通用的历法了。”傅仁均回答说：“《尚书》说：‘季秋月朔，辰弗集于房。’孔氏说：‘集就是集合。’不相合就知道会发生日食。《尚书》又说：‘先时者杀无赦，不及时者杀无赦。’既然有先后差别，就知道应有定朔。《诗经》说：‘十月之交，朔日辛卯。’《春秋左氏传》又说：‘不记朔，是官员失误。’此后历法逐渐产生误差，没有人能够详尽校正，所以秦、汉以来常常不是在朔日发生日食。宋代御史中丞何承天稍想说明这个道理，却不能详尽研究，于是受到散骑侍郎皮延宗等人的压制。孝通的话，是皮延宗旧有的说法。推算的根本，必须推求上元：日月如同合璧，五星如同连珠，在夜半甲子日朔旦冬至。”

译从此以后七曜分散运行，不再把余分全部消尽，最终仍会像起初一样会合。只有朔分、气分有可以消尽的道理；因为可以消尽，便有三端。这只是记载日数的起点罢了。有人认为这就是夜半甲子日朔旦冬至，不是这样。冬至自有常数，朔的名称由月亮运行决定，而月亮运行有迟有疾，并不恒定，三端怎么能正好相合？所以必须日月相合并且与冬至在同一天，才叫作合朔冬至。《大衍术》合朔议说：“虞说：所谓朔在会合，如果日月躔次已经相同，何必担心连续出现大月？日月相离，何必担心连续出现小月？”《春秋》中不记朔的日食有八次，《公羊传》说是第二日，《谷梁传》说是晦日，《左氏传》说是官员失误。刘孝孙推算都得出是朔日，认为丘明正确，于是与刘焯共同议定朔，但被有关官署压制，不能施行。傅仁均开始制定定朔法，并说：“晦日月亮不从东方出现，朔日月亮不在西方显现。” 臣等谨案：太阳每日平行运行一度，月亮每日平行运行十三度十九分度之七。合朔时日月同度；累计弦限七日有余，月度超过太阳一个象限，这是上弦。又累计弦限，月度距太阳半周天，与太阳相对，这是望。此后月亮向太阳运行，又累计弦限，距太阳一个象限，这是下弦；再累计弦限，月亮追上太阳，又运行一周度而成为合朔。这些都有固定的度数和固定的日期，所以称为经朔、经望、经弦。至于定朔、定望、定弦，有时晚于通常日期，所以有加差；有时早于通常日期，所以有减差。加差的原因有两个：一是太阳运行有盈，太阳运行超过常度，月亮便追不上；二是月亮运行有迟，月亮运行慢于常度，便追不上太阳。这两种情况都必须超过通常日期，增加时刻，才能达到朔、望、弦的度数，所以时刻要加。减差的原因也有两个：一是太阳运行有缩，太阳运行慢于常度，月亮容易追上；二是月亮运行有疾，月亮运行快于常度，容易追上太阳。这两种情况都不必等到通常日期到来，就已经达到朔、望、弦的度数，所以时刻要减。如果太阳之盈遇到月亮之迟，两者都应有加差；太阳之缩遇到月亮之疾，两者都应有减差。因此盈与迟、缩与疾是同名，度数应相加。如果太阳之盈遇到月亮之疾，太阳方面应加、月亮方面应减；太阳之缩遇到月亮之迟，太阳方面应减、月亮方面应加。因此盈与疾、缩与迟是异名，度数应相减，以数值较大者为主。按以上所说，把盈缩、迟疾两差同名相加、异名相消，加减差的度数大数就确定了。但还要进行乘除；前面所说的是度数，不是时刻。所以必须把所得的度数分数乘以每限的时刻数作为实，以每限月行度数作为法除之，便换算成时刻，命名为加减差。以上是实朔望。钦定《续通志》卷九十九。

译钦定《四库全书》。钦定《续通志》卷一百。天文略（四）。日月五星步规法下。《春秋·隐公三年》春季，周王二月己巳日发生日食。《公羊传》说：“发生日食，为什么有的记日期，有的不记日期？有的说朔日，有的不说朔日？回答说：‘某月某日是朔日，发生日食’，这是在正朔发生的日食。之所以有的记日期、有的不记，是有的推算早了，有的推算晚了；推算早了，是把朔日定在前面，推算晚了，是把朔日定在后面。”大概古代把日月并列纪日，按平度使用平朔，所以日食常常不在朔日。东汉刘洪撰《乾象术》，才知道月亮有迟疾；北齐张子信才知道太阳有盈缩。有了这两个因素，便可以制定定朔，但人们仍不敢采用。到唐代李淳风、僧一行才采用，直到今天没有改变，这是验证历法的首要事务。《元史·志》说：“术法的疏密，验证在交食。推算运行的方法很难做到精密；加时有早晚，食分有浅深，必须取得精密吻合，不能偶然相合。推算加时，必须以躔离朓朒为依据；考求食分，必须以距交远近为依据。如果入气盈缩、入转迟疾没有得到准确数值，那么合朔不在先失误，就必然在后失误。合朔先后失误，亏食时刻怎么能精密呢？” 太阳和月亮都向东运行，但太阳慢、月亮快，太阳被月亮追上，这叫一会。交点直道有阳历、阴历；交会日期有中前、中后；再加上地形南北、东西不同，人的视线高下、斜直各异，所以食分多少按道理不可能完全相同。如今合朔已经校正，那么加时就没有早晚差别；气刻处于中点，食分就不会有强弱误差。向上推求，从《诗》《书》《春秋》直到三国以来记载的日食，没有不相符合的。既然与过去相合，长期施行自然不会有弊病。明万历年间，郑世子载堉进《历书》，论日食说：“日道与月道有两个相交处。如果正好在交点会合，日食就会全食；如果只是在交点前后接近处，则虽有日食而不会全食，这是天的交限。又有人的交限。假如中国看见全食，在太阳正下方的地方只亏一半；塞外之地则虽到交点而不食，换一个地方观察也是如此。为什么呢？太阳如同大红球，月亮如同小黑丸，共悬在一条线上；太阳在上、月亮在下，从正下方看去，小黑丸必定遮住红球，似乎全食。等到旁观者因远近不同，食分就有多少之别。”〔原文数字、纪年保留：九月〕 春分以后，太阳运行在赤道北侧，交点以外偏多、交点以内偏少；秋分以后，太阳运行在赤道南侧，交点以外偏少、交点以内偏多。因此有南北差。冬至以后，太阳运行在黄道东侧，午前偏多、午后偏少；夏至以后，太阳运行在黄道西侧，午前偏少、午后偏多，因此有东西差。正午仰视太阳，太阳显得高；日暮平视，太阳显得低，因此有距午差。日食发生在中前，看到得早；发生在中后，看到得晚，因此有时差。以上各种差别，只有太阳有，月亮没有。所以推算交食，只有太阳较难。要推算九服各地的变化，必须分别依据当地情况，考察日影的长短，衡量辰极的高下，这样才可能求得。历书中推定的数值，只是按燕都所见来说的。旧说月亮运行内道，日食多能验证；运行外道，日食多不能验证。又说天的交限虽在内道，若处于人的交限之外，就和外道相同，太阳也不食。这种说法似乎正确，但还不完备。假如夏至前后，日食发生在寅、卯、酉、戌之间，人朝东北或西北观察，外道的食分反而比内道多。太阳的形体大于月亮，月亮不能完全遮住太阳；有时超过全食，阳光从四周溢出，形状像金环，所以太阳不可能有十分全食，即使全食也只到九分八十抄。《授时历》规定日食阳历限六度，定法六十；阴历限八度，定法八十。各自把限度按定法除之，都得到十分。现在在各自定法下增加一数来除限度，便得到九分八十余秒。《授时历议》论月食说：暗虚就是地影。地影遮蔽月亮，没有早晚高下的差异，也没有四时九服的区别。譬如在暗室中悬挂一个黑丸，左边点蜡烛，右边悬挂一个白丸；如果烛光被黑丸遮住，白丸就得不到光。人在四周观看，结果没有不同。因此月食没有时差。自《纪元历》妄自设置时差，《授时历》沿用它，是错误的。崇祯四年十月辛卯朔，日食按新法预推，顺天府见食二分一十二秒，应天府以南不食，大漠以北全食。按照成例，京师所见食分不到三分，便不予救护。徐光启说：月食在夜间，加时早晚没有固定依据；只有日食可以根据日影确定时刻，不能迁就，所以历法疏密，这就是明确的证据。臣等编纂新法，逐渐接近完成，但以后交食的日期还很遥远；现在若不能与监臣共同观测，成书以后将凭什么取得验证？而且这次日食必须实地测候，还有一个道理。旧法说日食发生在正中便没有时差；现在这次日食明明发生在日中，而新法仍有时差，是因为七政运行都依据黄道，不依据赤道。旧法所谓中，是赤道的午中，不是黄道的正中。黄道与赤道的中点，只有冬至、夏至的加时正午才恰好同度。如今十月朔距冬至还很远，两种中点相差二十三度有余，怎么能因为加时接近正午就不加不减？恰好遇到这一天，又遇到这个时刻，足以验证时差正法，这是第一点。本地的地理经度还没有得到真实数值，因此加时难以确定。必须根据交食时多次测验，才能比较校勘、统一确定。如今这次日食按新法测候，如果加时刻分前后不相合，就应当根据过去记载的地理经度分数斟酌改定；这可以求得里差的真实数值，这是第二点。时差这一方法，只知道中点不加减，却不知道中点要分黄道、赤道。现在一经亲眼看见，人人都会知道加时的原因在黄道；由此推及其他，其他术法也都一样，足以知道学习并不困难，这是第三点。